考點38正態分布與條件概率【題組一條件概率】1．一個袋中裝有大小相同的5個白球和3個紅球，現在不放回的取2次球，每次取出一個球，記“第1次拿出的是白球”為事件A，“第2次拿出的是白球”為事件B，則事件A發生的條件下事件B發生的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可理解條件概率，則可由條件概率公式得；,2．一個袋中裝有大小相同的3個白球和3個黑球，若不放回地依次取兩個球，設事件為“第一次取出白球”，事件為“第二次取出黑球”，則概率（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設事件為“第一次取出白球”，事件為“第二次取出黑球”，，第一次取出白球的前提下，第二次取出黑球的概率為：.故選：B.3．從中不放回地依次取個數，事件“第一次取到的是奇數”，事件“第二次取到的是奇數”，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，∴．選A．4．下圖展現給我們的是唐代著名詩人杜牧寫的《清明》，這首詩不僅意境極好，而且還準確地描述出了清明時節的天氣狀況，那就是“雨紛紛”，即天氣多陰雨．某地區氣象監測資料表明，清明節當天下雨的概率是0.9，連續兩天下雨的概率是0.63，若該地某年清明節當天下雨，則隨后一天也下雨的概率是（）A．0.63 B．0.7 C．0.9 D．0.567【答案】B【解析】記事件A表示“清明節當天下雨”，B表示“第二天下雨”，由題意可知，，所以．故選：B.5．袋中裝有完全相同的5個小球，其中有紅色小球3個，黃色小球2個，如果不放回地依次摸出2個小球，則在第一次摸出紅球的條件下，第二次摸出紅球的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為第一次摸到紅球的概率為，則第一次摸出紅球且第二次摸出紅球的概率為，所以所求概率為，故選C．【題組二正態分布】1．已知隨機變量服從正態分布，且，則的值為()A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】由題意得，隨機變量服從正態分布，所以圖象關于對稱，又因為，所以，解得，故選B.2．隨機變量服從正態分布，若，則的值（）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2【答案】C【解析】隨機變量服從正態分布，，得對稱軸是，，，，所以，故選C.3．某地區有10000名高三學生參加了網上模擬考試，其中數學分數服從正態分布，成績在(117,126]之外的人數估計有（）（附：若服從，則，）A．1814人 B．3173人 C．5228人 D．5907人【答案】A【解析】由題,,,所以,所以人,故選:A4．已知隨機變量ξ服從正態分布N（3，σ2），且P（ξ＞2）＝0.85，則P（3＜ξ＜4）＝_____．【答案】0.35【解析】∵隨機變量ξ服從正態分布N（3，σ2），∴μ＝3，∵P（ξ＞2）＝0.85，∴P（2＜ξ＜3）＝0.85﹣0.5＝0.35，則P（3＜ξ＜4）＝P（2＜ξ＜3）＝0.35.故答案為：0.35．5．隨著5G商用進程的不斷加快，手機廠商之間圍繞5G用戶的爭奪越來越激烈，5G手機也頻頻降低身價飛人尋常百姓家．某科技公司為了給自己新推出的5G手機定價，隨機抽取了100人進行調查，對其在下一次更換5G手機時，能接受的價格（單位：元）進行了統計，得到結果如下表，已知這100個人能接受的價格都在之間，并且能接受的價格的平均值為2350元（同一組的數據用該組區間的中點值代替）．分組一二三四五手機價格X（元）頻數10xy2020（1）現用分層抽樣的方法從第一、二、三組中隨機抽取6人，將該樣本看成一個總體，從中隨機抽取2人，求其中恰有1人能接受的價格不低于2000元的概率；（2）若人們對5G手機能接受的價格X近似服從正態分布，其中為樣本平均數，為樣本方差，求．附：．若，則，．【答案】（1）；（2）0.3413.【解析】（1）因為，所以．因為，所以，解得，．因為第1組的人數為10，第2組的人數為20，第3組的人數為30．所以利用分層抽樣法在60名學生中抽取6名學生，其中第1，2，3組分別抽取1人，2人，3人．所以恰有1人能接受的價格不低于2000的概率．（2）由題意可知，，所以，故．6．2019年春節期間，我國高速公路繼續執行“節假日高速公路免費政策”．某路橋公司為掌握春節期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費點記錄了大年初三上午9:20～10:40這一時間段內通過的車輛數，統計發現這一時間段內共有600輛車通過該收費點，它們通過該收費點的時刻的頻率分布直方圖如下圖示，其中時間段9:20～9:40記作區間，9:40～10:00記作，10:00～10:20記作，10:20～10:40記作，例如：10點04分，記作時刻64.（1）估計這600輛車在9:20～10:40時間段內通過該收費點的時刻的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）；（2）為了對數據進行分析，現采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機抽取4輛，設抽到的4輛車中，在9:20～10:00之間通過的車輛數為X，求X的分布列與數學期望；（3）由大數據分析可知，車輛在每天通過該收費點的時刻服從正態分布，其中可用這60輛車在9:20～10:40之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替，可用樣本的方差近似代替（同一組中的數據用該組區間的中點值代表），已知大年初五全天共有1000輛車通過該收費點，估計在9:46～10:22之間通過的車輛數（結果保留到整數）．參考數據：若，則①；②；③．【答案】（1）10點04分；（2）分布列詳見解析，；（3）.【解析】（1）這600輛車在9:20～10:40時間段內通過該收費點的平均數為，即10點04分；（2）結合頻率分布直方圖和分層抽樣的方法可知：抽取的10輛車中，在10:00前通過的車輛數就是位于[20,60)這一區間的車輛數，即，所以的可能值為.所以，，，所以的分布列為所以（3）由（1）得，，所以，估計在9:46～10:22這一時間段內通過的車輛數，也就是通過的車輛數，由，得，所以估計在9:46～10:22這一時間段內通過的車輛數為（輛）.7．2019年7月1日到3日，世界新能源汽車大會在海南博鰲召開，大會著眼于全球汽車產業的轉型升級和生態環境的持續改善．某汽車公司順應時代潮流，最新研發了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進行了單次最大續航里程（理論上是指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠里程）的測試．現對測試數據進行分析，得到如圖的頻率分布直方圖．（1）估計這100輛汽車的單次最大續航里程的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）；（2）根據大量的汽車測試數據，可以認為這款汽車的單次最大續航量程X近似地服從正態分布，經計算第（1）問中樣本標準差s的近似值為50．用樣本平均數作為的近似值，用樣本標準差s作為的估計值，現任取一輛汽車，求它的單次最大續航里程恰在250千米到400千米之間的概率；（3）某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動，客戶可根據拋擲硬幣的結果，操控微型遙控車在方格圖上行進，若遙控車最終停在“勝利大本營”，則可獲得購車優惠券．已知硬幣出現正，反面的概率都是，方格圖上標有第0格、第1格、第2格……第50格．遙控車開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，遙控車向前移動一次，若擲出正面，遙控車向前移動一格（從k到），若擲出反面，遙控車向前移動兩格（從k到），直到遙控車移到第49格（勝利大本營）或第50格（失敗大本營）時，游戲結束．設遙控車移到第n格的概率為，試證明是等比數列，并解釋此方案能否成功吸引顧客購買該款新能源汽車．參考數據：若隨機變量服從正態分布，則，，．【答案】（1）300；（2）；（3）見解析.【解析】（1）（千米）．（2）由．∴．（3）遙控車開始在第0格為必然事件，．第一次擲硬幣出現正面，遙控車移到第一格，其概率為，即．遙控車移到第格的情況是下面兩種，而且只有兩種：①遙控車先到第格，又擲出反面，其概率為．②遙控車先到第格，又擲出正面，其概率為．∴．∴．∴時，數列是等比數列，首項為，公比為的等比數列．∴，，，……，．∴．．∴獲勝的概率，失敗的概率．∴．∴獲勝的概率大．∴此方案能成功吸引顧客購買該款新能源汽車．8．為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）.根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態下生產的零件的尺寸服從正態分布.（1）假設生產狀態正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在之外的零件數，求及X的數學期望；（2）一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查.（?。┰囌f明上述監控生產過程方法的合理性；（ⅱ）下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經計算得，，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，.用樣本平均數作為μ的估計值，用樣本標準差s作為σ的估計值，利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查？剔除之外的數據，用剩下的數據估計μ和σ（精確到0.01）.附：若隨機變量Z服從正態分布，則，，.【答案】（1），（2）（ⅰ）見詳解；（ⅱ）需要.,【解析】（1）抽取的一個零件的尺寸在之內的概率為0.9974，從而零件的尺寸在之外的概率為0.0026，故.因此.的數學期望為.（2）（i）如果生產狀態正常，一個零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天內抽取的16個零件中，出現尺寸在之外的零件概率只有0.0408，發生的概率很小.因此一旦發生這種情況，就有理由認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查，可見上述監控生產過程的方法是合理的.（ii）由，得的估計值為，的估計值為，由樣本數據可以看出有一個零件的尺寸在之外，因此需對當天的生產過程進行檢查.剔除之外的數據，剩下數據的平均數為，因此的估計值為.，剔除之外的數據，剩下數據的樣本方差為，因此的估計值為.9．2019年女排世界杯（第13屆女排世界杯）是由國際排聯舉辦的賽事，比賽于2019年9月14日至9月29日在日本舉行，共有12支參賽隊伍.本次比賽啟用了新的排球用球_，已知這種球的質量指標ξ（單位：）服從正態分布.比賽賽制采取單循環方式，即每支球隊進行11場比賽，最后靠積分選出最后冠軍.積分規則如下（比賽采取5局3勝制）：比賽中以或取勝的球隊積3分，負隊積0分；而在比賽中以取勝的球隊積2分，負隊積1分.9輪過后，積分榜上的前2名分別為中國隊和美國隊，中國隊積26分，美國隊積22分.第10輪中國隊對抗塞爾維亞隊，設每局比賽中國隊取勝的概率為.（1）如果比賽準備了1000個排球，估計質量指標在內的排球個數（計算結果取整數）（2）第10輪比賽中，記中國隊取勝的概率為，求出的最大值點，并以作為p的值，解決下列問題.（i）在第10輪比賽中，中國隊所得積分為X，求X的分布列；（ii）已知第10輪美國隊積3分，判斷中國隊能否提前一輪奪得冠軍（第10輪過后，無論最后一輪即第11輪結果如何，中國隊積分