PAGEPAGE1隨意角、弧度制及隨意角的三角函數(shù)1．角的概念(1)隨意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線圍著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形；②分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角．(2)象限角：使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角；假如角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．(3)全部與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．2．弧度制(1)定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)rad表示，讀作弧度．正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝eq\f(π,180)rad，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°.(3)扇形的弧長(zhǎng)公式：l＝α·r，扇形的面積公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)α·r2.其中r是半徑，α(0<α<2π)為弧所對(duì)圓心角．3．隨意角的三角函數(shù)隨意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)時(shí)，則sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．三個(gè)三角函數(shù)的性質(zhì)如下表：三角函數(shù)定義域第一象限符號(hào)其次象限符號(hào)第三象限符號(hào)第四象限符號(hào)sinαR＋＋－－cosαR＋－－＋tanα{α|α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}＋－＋－概念方法微思索1．總結(jié)一下三角函數(shù)值在各象限符號(hào)為正的規(guī)律．提示一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．三角函數(shù)坐標(biāo)法定義中，若取點(diǎn)P(x，y)是角α終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，怎樣定義角α的三角函數(shù)？提示設(shè)點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離為r，則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．1．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）已知，且，則A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，即，解得（舍去），或．，，，則．故選．2．（2024?全國(guó)）已知，則A． B． C．3 D．5【答案】B【解析】，則．故選．3．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）已知，，則A． B． C． D．【答案】B【解析】，可得：，，，，，，解得：．故選．4．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）若，則A． B． C． D．【答案】B【解析】，．故選．5．（2024?山東）已知，則A． B． C． D．【答案】D【解析】依據(jù)余弦函數(shù)的倍角公式，且，．故選．6．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）已知，則A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，故選．7．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）若為第四象限角，則A． B． C． D．【答案】D【解析】為第四象限角，則，，則，是第三或第四象限角或?yàn)檩S負(fù)半軸上的角，，故選．8．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）已知，則A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】由，得，即，得，即，即，則，故選．9．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）已知，則A． B． C． D．【答案】B【解析】，，即，得，即，得故選．10．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）若在，是減函數(shù)，則的最大值是A． B． C． D．【答案】C【解析】，由，，得，，取，得的一個(gè)減區(qū)間為，，由在，是減函數(shù)，得．則的最大值是．故選．11．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）若在，是減函數(shù)，則的最大值是A． B． C． D．【答案】A【解析】，由，，得，，取，得的一個(gè)減區(qū)間為，，由在，是減函數(shù)，得，．則的最大值是．故選．12．（2024?全國(guó)）A． B． C．0 D．【答案】A【解析】因?yàn)椋蔬x．13．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）若，則__________．【答案】【解析】，．故答案為：．14．（2024?江蘇）已知，則的值是__________．【答案】【解析】因?yàn)椋瑒t，解得，故答案為：．15．（2024?浙江）已知，則，__________．【答案】；【解析】，則．．故答案為：；．16．（2024?上海）已知，，則__________．【答案】【解析】，，，，，故．故答案為：．17．（2024?四川）__________．【答案】【解析】．故答案為：．18．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）已知，，則__________．【答案】【解析】，兩邊平方可得：，①，，兩邊平方可得：，②，由①②得：，即，．．故答案為：．19．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）已知，則__________．【答案】【解析】，，則，故答案為：．20．（2024?江蘇）若．則__________．【答案】【解析】，解得，故答案為：．21．（2024?北京）在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，若，則__________．【答案】【解析】方法一：角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，，，方法二：，當(dāng)在第一象限時(shí)，，，角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，在其次象限時(shí)，，，，當(dāng)在其次象限時(shí)，，，角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，在第一象限時(shí)，，，綜上所述，故答案為：．22．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）已知，，則__________．【答案】【解析】，，，，解得，，，故答案為：．23．（2024?浙江）已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若角滿意，求的值．【解析】（Ⅰ）角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)，．，，，；（Ⅱ）由，，，得，，又由，得，則，或．的值為或．24．（2024?北京）已知函數(shù)．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在區(qū)間，上的最大值為，求的最小值．【解析】函數(shù)，的最小正周期為；（Ⅱ）若在區(qū)間，上的最大值為，可得，，即有，解得，則的最小值為．25．（2024?上海）設(shè)常數(shù)，函數(shù)．（1）若為偶函數(shù)，求的值；（2）若，求方程在區(qū)間，上的解．【解析】（1），，為偶函數(shù)，，，，；（2），，，，，，，，或，，，或，，，，或或或26．（2024?上海）已知（1）若，且，，求的值（2）求函數(shù)的最小值【解析】（1）若，且，，則，則，則．（2）函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為．1．（2024?西安模擬）已知、是方程的兩個(gè)實(shí)根，且，則A． B． C． D．【答案】D【解析】、是方程的兩個(gè)實(shí)根，且，，，，，．故選．2．（2024?香坊區(qū)校級(jí)一模）若，則的值為A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋裕郑裕驗(yàn)椋裕郑裕裕蔬x．3．（2024?龍鳳區(qū)校級(jí)模擬）若，，則A．2 B． C． D．【答案】A【解析】由，，所以．故選．4．（2024?碑林區(qū)校級(jí)模擬）A． B． C． D．【答案】D【解析】．故選．5．（2024?青羊區(qū)校級(jí)模擬）已知為銳角，，則A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋裕寓伲瑑蛇吰椒娇傻茫裕裕驗(yàn)闉殇J角，所以②，由①②可得．故選．6．（2024?廣東四模）已知，則A． B． C． D．【答案】A【解析】，即由．故選．7．（2024?桃城區(qū)校級(jí)模擬）已知，，則A．2 B． C．1 D．【答案】A【解析】，，，．故選．8．（2024?九龍坡區(qū)模擬）函數(shù)的最小正周期為A． B． C． D．【答案】C【解析】，其中，的最小正周期為．故選．9．（2024?梅河口市校級(jí)模擬）已知，，則的值為A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】，，可得：，，，．故選．10．（2024?全國(guó)四模）已知為銳角，若，則A． B． C． D．【答案】D【解析】為銳角，，，，，．故選．11．（2024?丹東二模）在中，，則A．7 B． C． D．【答案】A【解析】中，，為鈍角，，，則，故選．12．（2024?衡陽三模）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故選．13．（2024?包河區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)，滿意，，則A． B． C． D．1【答案】D【解析】，滿意，，則，故選．14．（2024?河南模擬）已知，則A． B． C． D．【答案】D【解析】，．故選．15．（2024?桃城區(qū)校級(jí)模擬）若，則A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，所以，則．故選．16．（2024?廬陽區(qū)校級(jí)模擬）已知為第三象限角，，則A． B． C． D．【答案】A【解析】為第三象限角，，，，．故選．17．（2024?淮北二模）若，則的值為A． B．0 C． D．1【答案】A【解析】，．故選．18．（2024?廣東四模）已知，則的值是A． B． C． D．【答案】A【解析】已知，．故，故選．19．（2024?碑林區(qū)校級(jí)模擬）已知，則A． B． C． D．【答案】C【解析】，；；故選．20．（2024?唐山二模）已知，則A． B． C． D．【答案】A【解析】，，．故選．21．（2024?梅河口市校級(jí)模擬）已知，且，則A． B． C． D．【答案】B【解析】，且，可得，可得，解得，或1（舍去），，．故選．22．（2024?讓胡路區(qū)校級(jí)三模）已知，則實(shí)數(shù)的值為A． B． C． D．1【答案】C【解析】由題意得，所以，移項(xiàng)得，所以，即．故選．23．（2024?黑龍江二模）若，，則A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，，．故選．24．（2024?運(yùn)城模擬）已知，則A． B． C． D．【答案】B【解析】，．故選．25．（2024?嵊州市二模）已知函數(shù)．（1）若求的值；（Ⅱ）設(shè)，若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求的最大值．【解析】（1）函數(shù)，若，則，且，，，．（Ⅱ），若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，在區(qū)間上，，，，求得，故的最大值為．26．（2024?嘉定區(qū)二模）設(shè)常數(shù)，函數(shù)．（1）若為奇函數(shù)，求的值；（2）若，求方程在區(qū)間，上的解．【解析】（1）當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，必有，可得．當(dāng)時(shí)，，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可知其為奇函數(shù)，符合題意，可得的值為0．（2）因?yàn)椋裕桑颍傻茫海颍栽趨^(qū)間，上的解為．27．（2024?西湖區(qū)校級(jí)模擬）已知，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【解析】（Ⅰ）已知，，所以．由于，．整理得，．所以．（Ⅱ）由于，所以．所以．28．（2024?西湖區(qū)校級(jí)模擬）已知，且為其次象限角．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【解析】（Ⅰ）由已知，得，．（Ⅱ），得，．29．（2024?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）已知，均為銳角，且．（1）求的值；（2）若，求的值．【解析】（1）由，得．解得，或．因?yàn)闉殇J角，所以，．（2）因?yàn)椋鶠殇J角，所以，所以，，．30．（2024?永康市模擬）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）設(shè)方程在，上恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，求的取值范圍．【解析】（1）函數(shù)．令，整理得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）設(shè)方程在，上恰有5