精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔平面向量的數乘運算知識點一：向量數乘運算：⑴實數九與向量a的積是一個向量的運算叫做向量的數乘，記作九".①|阪|二|九阿;②當九〉0時，九a的方向與a的方向相同；當九＜0時，九a的方向與a的方向相反；當九二0時，九a=0.⑵運算律：①九（目a）二（九日）a.，②（九十目）日二九乙十目a；③九Q+6）=九M+九b.⑶坐標運算：設a=（x,y），貝|J九萬二九（國丁）二（九x,九y）..Dava豐0/一xy=0時，向量a、b(b豐一xy=0時，向量a、b(b豐0)21設a=（x,j）,b=（x,y），其中b豐0，則當且僅當xy共線.TOC\o"1-5"\h\z知識點三：平面向量基本定理：如果e、丁是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這1 2一平面內的任意向量a，有且只有一對實數九、九，使a=X工十九7.（不共線的向量￡、1 2 11 22 1r作為這一平面內所有向量的一組基底）2知識點四：分點坐標公式：設點P是線段PP上的一點，P、P的坐標分別是（x,y）,12 1 2 1 1（x,y）,當pp=XPF時，點P的坐標是（x1+'x2,y1：|y2].（當22 1 2 I1+九1+九）九=1時，就為中點公式。）知識點五：平面向量的數量積：⑴a?b=|a||b|cOS0Q中0,b牛0,0。＜0＜180。）.零向量與任一向量的數量積為0.⑵性質：設a和b都是非零向量，則①a1boa?b=0.②當a與b同向時，a?b=同忖；當a與b反向時，a?b=-|a|b；a?a=a2=同2或同=ja，a.③⑶運算律：①a⑶運算律：①a?b=b?a；@(九a).b二九(a.b)=a.Q)；③(a+b)⑷坐標運算：設兩個非零向量a二（\，y1），b=（x2,y2），貝Ua?b=x1x2+，1y2.設a、8,y1),b=(1y2)，則若a=(x,y),則同2=x2設a、8,y1),b=(1y2)，則y±bo>xx+yy=0.12 12設a、b都是非零向量設a、b都是非零向量4=(x,y),B=(x,y),U是a與b的夾角，1122a?bcosU=——-數學平面向量數量積的坐標表示同步達綱【同步達綱練習】一、選擇題.1數學平面向量數量積的坐標表示同步達綱【同步達綱練習】一、選擇題.1.下列各向量中，與a=(3,2)垂直的向量是(—Fb=(3,-2)b—Fb=(3,-2)b=(2,3)C.1b=(-4,6)D.=(-3,2).若a=(2,3),b=(-4,7)，則=(-3,2).若a=(2,3),b=(-4,7)，則a在b方向上的投影為(v13B.可v65C.丁D.<651 —V ——F.已知向量a=(3,-2),b=(m+1,1-m),若a±b，則m的值為()1A.51A.51B.-5C.-1D.14.已知向量4.已知向量Ia|=5，且a=(3,x-1),x￡N,與向量a垂直的單位向量是(A.4

(5,

4-5)或(-53A.4

(5,

4-5)或(-53-5)3，5)43B.(-5,5)C.(-3,435)或(5D.(4，5.若a=(cosa,sina—*),b=(cosB,sinB),則(B.a//bC.(D.(aB.a//bC.(D.(a+b)/(a-b)6.已知a=(1,b=(-33+1,<3-1)，則a與b的夾角為(兀47.以A(2,5)兀兀47.以A(2,5)兀3兀2D.B(5,2),C(10,7)為頂點的三角形的形狀是(A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形8.已知a=(-2,-1),b=（入，1）8.已知a=(-2,-1),b=（入，1）.若a與b的夾角為鈍角，則人的取值范圍是（）A.D.(-2，+8)1(-8,-2)B.(2，+8)C.(-,，+8)—F- -* —Ff9.已知a=（x1,y1）,b=（x2，y2）,則在下列各結論中為a?b=0的充要條件的是（）③口1③口1+學2=0④X1X2+yiy2=0A.①③ B.A.①③ B.②③10.已知a與b的夾角的余弦為-63，65A.(4，3)，(-12，5) B.(3，4)4)，(-5，12)C.③④ D.①④-I- T則a，b的坐標可以為（）（5，12） C.（-3，4），（5，-12）D.(-3，二、填空題—fe- -fc- -r—r.已知a=(4,3),b=(-1,2)，則a與b的夾角為,f -I- -Ir —.已知a=(3,-5),b=(-4,-2)，則a?b=..順次連接A(3,-1)，B(1,2)，C(-1,1)，D(3,-5)的四邊形是..以原點和點A（5,2）為頂點作等腰直角三角形OAB，NB=90°，則向量AB為.-b —-I- -=-f.已知向量a=(1,2),b=(x,1)，分別求出當a+2b與2a-b平行和垂直時實數x的值.兀.已知a=(2,1),b=(-1,-1),c=a+kb,d=a+b,c與d的夾角是:，則實數k的4值.三、解答題1.已知a=(1,-2),b=(4,3)求⑴a2 (2)b2 (3)a?b(4)(3a+2b)?(a-3b) (5)a與b的夾角—ta- f(6)a在b上的投影.已知：點A(0,3),B(6,3),ADLOB,垂足為D,求點D的坐標..已知人(-2,3),正方形OABC,求點C、點B的坐標.【素質優化訓練】.已知a=(-1,0),b=(1,1),c=入a+ub(入、u￡R),若c±a，且Ic1=2,試求入、u的值及向量c的坐標.-a. — —* —■> -? -?.若a=(cosa,sina), b =(cosB,sinB),用Ika+b I='%：3 |a-kb |(k￡R,kW0),試用k表示a?b.—fe- -fe- -fe--ft- f -ft-.已知〃=(-3,-2),b=(-4,k),若(5a-b)?(b-3a)=-55,求實數k的值..求與向量a=(v3,-1)和b=(1,,：3)的夾角相等，且模為v2的向量c的坐標..已知矩形ABCD的相對頂點A(0,-1),C(2,5),且頂點B到兩坐標軸的距離相等，求頂點D的坐標.【生活實際運用】如圖，四邊形ABCD是正方形，P是對角線BD上的一點，PECF是矩形，用向量法證明(1)PA=EF (2)PA±EF

TOC\o"1-5"\h\z一 "2證明：建立如圖所示坐標系，設正方形邊長為1,IOPI二人，則A（0,1）,P（—證明：建立如圖所示坐標系，設正方形邊長為1,\o"CurrentDocument"22 22 22-2-入），E（1,—2—入），F（—2—入，0）— .2 22 Q<2；?PA=（--2~入，1--2-人），EF=（-2-人-1,-⑴IPA⑴IPAI22 222=（萬人）2+（i—人）2二人2-%：2人+1IEFI<2 22 IEFI2=（2入-1）2+（2-入）2=人2-.V2入+1???IPAI2=IEFI2,故PA二EF2y2 、2v2（2）PA?EF=（--2-入）（-2-入-1）+（1--2-入）（--2-人）=0PA±EF APAXEF.【知識探究學習】已知4(0,2)5(0/),(0<@<^，在x軸的正半軸上求點C,使NACB最大，并求出最大值.解，設C(x,0)(x>0)則CA=(-x,a),CB=(-x,b)則CA則CA?CB=x2+ab.CA?CBcosNACB二——:——=7CA?CBx2+abyx2+a2tx2+b2令t=x2+ab

故cos/ACB=.:一ab(a-b)21 1 2、a當-二k〒即t=2ab時，cos/ACB最大值為」^.t2ab a+b當c的坐標為（%a,0）時2工ab/ACB最大值為arccos -a+b【同步達綱練習】一、1.C2.C3.B4.D5.c6.A7.B8.A9.D10.c2A、l.arccos-252.-273.梯形4.(--372)或(-2，-2)6.6.15.2，三、1.(1)a2=5(2)a2=25⑶a?b=-22a.-15 2(4)-121 (5)n-