專題8數列數列是高考重點考查的內容之一，命題形式多種多樣，大小均有.其中，小題重點考查等差數列、等比數列基礎知識以及數列的遞推關系；解答題的難度中等或稍難，將穩定在中等難度.往往在利用方程思想解決數列基本問題后，進一步數列求和，在求和后可與不等式、函數、最值等問題綜合.在考查等差數列、等比數列的求和基礎上，進一步考查“裂項相消法”、“錯位相減法”等，與不等式結合，“放縮”思想及方法尤為重要．預測2020年將保持穩定，注意主觀題與不等式、函數等相結合.一、單選題1．（2020屆山東省淄博市高三二模）“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數學方法計算出半音比例，為這個理論的發展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為A． B．C． D．2．（2020屆山東省濰坊市高三下學期開學考試）已知數列中，前項和為，且，則的最大值為（）A． B． C．3 D．13．（2020屆山東省濟寧市高三3月月考）在《增減算法統宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關．”則下列說法錯誤的是（）A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C．此人第三天走的路程占全程的 D．此人后三天共走了42里路若存在兩項使得，則的最小值為A． B． C． D．5．（2020屆山東省青島市高三上期末）已知數列中,,.若為等差數列,則()A． B． C． D．二、多選題6．（2020屆山東省濰坊市高三模擬一）記為等差數列的前n項和.若，，則下列正確的是（）A． B． C． D．7．（2020·山東曲阜一中高三3月月考）在《增刪算法統宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關.”則下列說法正確的是（）A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第三天走的路程站全程的C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 D．此人后三天共走了42里路8．（2020屆山東省濰坊市高三模擬二）將n2個數排成n行n列的一個數陣，如圖：該數陣第一列的n個數從上到下構成以m為公差的等差數列，每一行的n個數從左到右構成以m為公比的等比數列（其中m＞0）.已知a11＝2，a13＝a61+1，記這n2個數的和為S.下列結論正確的有（）A．m＝3 B．C． D．9．（2020屆山東省濟寧市第一中學高三一輪檢測）等差數列是遞增數列，滿足，前項和為，下列選擇項正確的是（

）A． B．C．當時最小 D．時的最小值為10．（2020·山東滕州市第一中學高三3月模擬）已知數列滿足給出下列四個命題，其中的真命題是（）A．數列單調遞增； B．數列單調遞增；C．數從某項以后單調遞增； D．數列從某項以后單調遞增.三、填空題11．（2020屆山東省煙臺市高三模擬）已知數列的前項和公式為，則數列的通項公式為___．12．（2020屆山東省濰坊市高三模擬一）九連環是我國從古至今廣泛流傳的一種益智游戲.在某種玩法中，用表示解下個圓環所需移動的最少次數，滿足，且，則解下5個圓環需最少移動________次.四、解答題13．（2020·山東高三模擬）已知各項均不相等的等差數列的前項和為,且成等比數列.（1）求數列的通項公式;（2）求數列的前項和.14．（2020屆山東省煙臺市高三模擬）已知數列的前n項和，是等差數列，且.（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）令.求數列的前n項和.15．（2020屆山東省高考模擬）已知數列的前項和為，且（），數列滿足，（）．（Ⅰ）求數列通項公式；（Ⅱ）記數列的前項和為，證明：．16．（2020屆山東省濟寧市第一中學高三一輪檢測）已知是等差數列，是等比數列，且，，，．（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前n項和．17．（2020屆山東省濟寧市第一中學高三二輪檢測）已知數列中，，，.（1）求證：數列是等比數列;（2）求數列的前項和.18．（2020·山東滕州市第一中學高三3月模擬）已知等差數列的公差，其前項和為，若，且成等比數列．（1）求數列的通項公式；（2）若，證明：.19．（2020屆山東省泰安市肥城市一模）記為公差不為零的等差數列的前項和，已知，.（1）求的通項公式；（2）求的最大值及對應的大小.20．（2020屆山東省濟寧市高三3月月考）已知數列為公差不為0的等差數列，且成等比數列，.（1）求數列的通項；（2）設，求數列的前2020項的和.21．（2020屆山東省菏澤一中高三2月月考）設數列的前n項和為,已知,,.(1)證明:為等比數列,求出的通項公式;(2)若,求的前n項和,并判斷是否存在正整數n使得成立?若存在求出所有n值;若不存在說明理由.22．（2020屆山東省濰坊市高三模擬一）已知等差數列的前n項和為，，.（1）求的通項公式；（2）設，記為數列的前n項和.若，求m.23．（2020屆山東省濰坊市高三模擬二）已知數列{an}的首項為a1＝1，且.（Ⅰ）證明：數列{an+2}是等比數列，并求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）設bn＝log2（an+2）﹣log23，求數列的前n項和.24．（2020屆山東省六地市部分學校高三3月線考）數列滿足：（1）求的通項公式；（2）若數列滿足，求的前項和.25．（2020屆山東省濰坊市高三下學期開學考試）已知函數（k為常數，且）．（1）在下列條件中選擇一個________使數列是等比數列，說明理由；①數列是首項為2，公比為2的等比數列；②數列是首項為4，公差為2的等差數列；③數列是首項為2，公差為2的等差數列的前n項和構成的數列．（2）在（1）的條件下，當時，設，求數列的前n項和.26．（2020屆山東濟寧市兗州區高三網絡模擬考）在①；②；③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答．已知等差數列的公差為，前n項和為，等比數列的公比為q，且，____________．（1）求數列，的通項公式．（2）記，求數列，的前n項和．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．27．（2020·山東高三下學期開學）已知數列滿足．（1）求數列的通項公式；（2）設數列的前項和為，證明：．28．（2020屆山東省淄博市高三二模）已知數列滿足，且.（1）求證：數列是等差數列，并求出數列的通項公式；（2）求數列的前項和.29．（2020屆山東省淄博市部分學校高三3月檢測）已知數列滿足，，.（1）證明：數列為等比數列；（2）求數列的前項和.30．（2020·2020屆山東省淄博市高三二模）（本小題滿分12分）設函數.（Ⅰ）討論函數的單調性；（Ⅱ）如果對所有的≥0，都有≤，求的最小值；（Ⅲ）已知數列中，，且，若數列的前n項和為，求證：.一、單選題1．（2020屆山東省淄博市高三二模）“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數學方法計算出半音比例，為這個理論的發展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為A． B．C． D．【答案】D【解析】分析：根據等比數列的定義可知每一個單音的頻率成等比數列，利用等比數列的相關性質可解.詳解：因為每一個單音與前一個單音頻率比為，所以，又，則故選D.2．（2020屆山東省濰坊市高三下學期開學考試）已知數列中，前項和為，且，則的最大值為（）A． B． C．3 D．1【答案】C【解析】當時，兩式作差可得：，據此可得，當時，的最大值為33．（2020屆山東省濟寧市高三3月月考）在《增減算法統宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關．”則下列說法錯誤的是（）A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C．此人第三天走的路程占全程的 D．此人后三天共走了42里路【答案】C【解析】由題意可知，每天走的路程里數構成以為公比的等比數列，由S6=378求得首項，再由等比數列的通項公式求第二天的，第三天的，后三天的路程，即可得到答案．4．（2020屆山東省濟寧市第一中學高三二輪檢測）已知正項等比數列滿足：，若存在兩項使得，則的最小值為A． B． C． D．【答案】A【解析】因為數列是正項等比數列，，，所以，，，所以，，，，，因為，所以，，，當且僅當時“=”成立，所以的最小值為，故選A。5．（2020屆山東省青島市高三上期末）已知數列中,,.若為等差數列,則()A． B． C． D．【答案】C【解析】設等差數列的公差為，則，即，解得．則，解得．故選：C．二、多選題6．（2020屆山東省濰坊市高三模擬一）記為等差數列的前n項和.若，，則下列正確的是（）A． B． C． D．【答案】AC【解析】因為，所以，故選：AC.7．（2020·山東曲阜一中高三3月月考）在《增刪算法統宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關.”則下列說法正確的是（）A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第三天走的路程站全程的C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 D．此人后三天共走了42里路【答案】ACD【解析】設此人第天走里路，則數列是首項為，公比為的等比數列，因為，所以，解得，對于A，由于，所以此人第二天走了九十六里路，所以A正確；對于B，由于，所以B不正確；對于C，由于，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C正確；對于D，由于，所以D正確，故選：ACD8．（2020屆山東省濰坊市高三模擬二）將n2個數排成n行n列的一個數陣，如圖：該數陣第一列的n個數從上到下構成以m為公差的等差數列，每一行的n個數從左到右構成以m為公比的等比數列（其中m＞0）.已知a11＝2，a13＝a61+1，記這n2個數的和為S.下列結論正確的有（）A．m＝3 B．C． D．【答案】ACD【解析】∵a11＝2，a13＝a61+1，∴2m2＝2+5m+1，解得m＝3或m（舍去），∴aij＝ai1?3j﹣1＝[2+（i﹣1）×m]?3j﹣1＝（3i﹣1）?3j﹣1，∴a67＝17×36，∴S＝(a11+a12+a13+……+a1n)+(a21+a22+a23+……+a2n)+……+(an1＋an2＋an3＋……＋ann)（3n﹣1）?n（3n+1）（3n﹣1）故選：ACD.9．（2020屆山東省濟寧市第一中學高三一輪檢測）等差數列是遞增數列，滿足，前項和為，下列選擇項正確的是（

）A． B．C．當時最小 D．時的最小值為【答案】ABD【解析】由題意，設等差數列的公差為，因為，可得，解得，又由等差數列是遞增數列，可知，則，故正確；因為，由可知，當或時最小，故錯誤，令，解得或，即時的最小值為，故正確.故選：10．（2020·山東滕州市第一中學高三3月模擬）已知數列滿足給出下列四個命題，其中的真命題是（）A．數列單調遞增； B．數列單調遞增；C．數從某項以后單調遞增； D．數列從某項以后單調遞增.【答案】BCD【解析】因為，所以，當時,,所以，所以A錯誤；，，所以是等比數列，，所以B正確；，故，C正確；因為，所以，根據指數函數性質，知數列從某一項以后單調遞增，所以D正確.故選：.三、填空題11．（2020屆山東省煙臺市高三模擬）已知數列的前項和公式為，則數列的通項公式為___．【答案】【解析】由題意，可知當時，；當時，.又因為不滿足，所以.12．（2020屆山東省濰坊市高三模擬一）九連環是我國從古至今廣泛流傳的一種益智游戲.在某種玩法中，用表示解下個圓環所需移動的最少次數，滿足，且，則解下5個圓環需最少移動________次.【答案】16【解析】因為，所以，所以解下個圓環需最少移動的次數為.故答案為：.四、解答題13．（2020·山東高三模擬）已知各項均不相等的等差數列的前項和為,且成等比數列.（1）求數列的通項公式;（2）求數列的前項和.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）設公差為.由已知得,解得或（舍去）,所以,故.（2）,14．（2020屆山東省煙臺市高三模擬）已知數列的前n項和，是等差數列，且.（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）令.求數列的前n項和.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】（1）由題意知當時，，當時，，所以．設數列的公差為，由，即，可解得，所以．（2）由（1）知，又，得，，兩式作差，得所以．15．（2020屆山東省高考模擬）已知數列的前項和為，且（），數列滿足，（）．（Ⅰ）求數列通項公式；（Ⅱ）記數列的前項和為，證明：．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析【解析】（Ⅰ）（），①當時，，②①②得，即，，，，又，，數列是首項為1，公比為2的等比數列，．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，（），，，.16．（2020屆山東省濟寧市第一中學高三一輪檢測）已知是等差數列，是等比數列，且，，，．（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前n項和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）設等差數列的公差為，等比數列的公比為，因為，可得，所以，又由，所以，所以數列的通項公式為．（2）由題意知，則數列的前項和為．17．（2020屆山東省濟寧市第一中學高三二輪檢測）已知數列中，，，.（1）求證：數列是等比數列;（2）求數列的前項和.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）證明：因為所以,又因為,則,所以數列是首項為2,公比為2的等比數列.（2）由（1）知,所以,所以18．（2020·山東滕州市第一中學高三3月模擬）已知等差數列的公差，其前項和為，若，且成等比數列．（1）求數列的通項公式；（2）若，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（Ⅰ）∵數列為等差數列，且，．∵成等比數列，∴，即，又∴，∴，∴.（2）證明：由（1）得，∴．∴．∴．點睛：對于通項公式是分式型的數列求和時一般用裂項法，解題時注意以下兩點：（1）裂項時，一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項直到發現被消去項的規律為止；（2）消項的規律為：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數第幾項，即剩余的項具有對稱性．19．（2020屆山東省泰安市肥城市一模）記為公差不為零的等差數列的前項和，已知，.（1）求的通項公式；（2）求的最大值及對應的大小.【答案】（1）（2）當或時,有最大值為20．【解析】（1）設的公差為，且．由，得，由，得，于是,．所以的通項公式為．（2）由（1）得因為，所以當或時,有最大值為20．20．（2020屆山東省濟寧市高三3月月考）已知數列為公差不為0的等差數列，且成等比數列，.（1）求數列的通項；（2）設，求數列的前2020項的和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設等差數列的公差為，由得：解得所以數列的通項；（2）由（1）知數列的最小正周期為，∴數列的前2020項的和21．（2020屆山東省菏澤一中高三2月月考）設數列的前n項和為,已知,,.(1)證明:為等比數列,求出的通項公式;(2)若,求的前n項和,并判斷是否存在正整數n使得成立?若存在求出所有n值;若不存在說明理由.【答案】(1)證明見解析,;(2)不存在,理由見解析.【解析】(1)∵∴，因為，所以可推出．故，即為等比數列．∵，公比為2∴，即，∵，當時，，也滿足此式，∴；(2)因為，∴，兩式相減得:即，代入，得．令()，在成立，∴，為增函數，而，所以不存在正整數n使得成立．22．（2020屆山東省濰坊市高三模擬一）已知等差數列的前n項和為，，.（1）求的通項公式；（2）設，記為數列的前n項和.若，求m.【答案】（1）（2）.【解析】（1）設數列的首項為，公差為d，由已知得解得，所以.（2）由（1）可得，是首項為4，公比為2的等比數列，則.由，得，解得.23．（2020屆山東省濰坊市高三模擬二）已知數列{an}的首項為a1＝1，且.（Ⅰ）證明：數列{an+2}是等比數列，并求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）設bn＝log2（an+2）﹣log23，求數列的前n項和.【答案】(1);(2).【解析】（Ⅰ），，則數列是以3為首項，以2為公比的等比數列，，即.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，.，，，則.24．（2020屆山東省六地市部分學校高三3月線考）數列滿足：（1）求的通項公式；（2）若數列滿足，求的前項和.【答案】（1）;（2）.【解析】（1）令時，時，，滿足所以；（2）由，①②①②得25．（2020屆山東省濰坊市高三下學期開學考試）已知函數（k為常數，且）．（1）在下列條件中選擇一個________使數列是等比數列，說明理由；①數列是首項為2，公比為2的等比數列；②數列是首項為4，公差為2的等差數列；③數列是首項為2，公差為2的等差數列的前n項和構成的數列．（2）在（1）的條件下，當時，設，求數列的前n項和.【答案】（1）②，理由見解析；（2）【解析】（1）①③不能使成等比數列.②可以：由題意，即，得，且，.常數且，為非零常數，數列是以為首項，為公比的等比數列．（2）由（1）知，所以當時，.因為，所以，所以，.26．（2020屆山東濟寧市兗州區高三網絡模擬考）在①；②；③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答．已知等差數列的公差為，前n項和為，等比數列的公比為q，且，____________．（1）求數列，的通項公式．（2）記，求數列，的前n項和．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】方案一：選條件①（1）解得或（舍去）（2）方案二：選條件②（1）解得或（舍去）（2）方案三：選條件③解得或（舍去）（2）27．（2020·山東高三下學期開學）已知數列滿足．（1）求數列的通