學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一復數的加法與減法運算1．復數的加減運算類比實數的加減運算，若有括號,括號優(yōu)先；若無括號,可從左到右依次進行．2．算式中出現(xiàn)字母時，首先確定其是否為實數,再提取各復數的實部與虛部，將它們分別相加．3．準確提取虛、實部,正確進行符號運算有利于提高解題的準確率．【典型例題1】計算下列各式：(1)(13－5i）＋(－3＋4i）；(2)（－3＋2i)－（4－5i）；（3)（10－9i）＋（－8＋7i)－(3＋3i）;(4）（1－2i）－(2－3i)＋（3－4i)－(4－5i)＋…＋（2013－2014i）－(2014－2015i）．思路分析:根據復數加法、減法的運算法則進行計算．解:(1）（13－5i)＋（－3＋4i）＝（13－3)＋（－5＋4）i＝10－i；（2)(－3＋2i)－(4－5i)＝（－3－4)＋（2＋5）i＝－7＋7i；(3）（10－9i)＋（－8＋7i）－（3＋3i）＝(10－8－3)＋（－9＋7－3）i＝－1－5i;(4）原式＝（1－2＋3－4＋…＋2013－2014）＋（－2＋3－4＋5－…－2014＋2015）i＝－1007＋1007i.探究二復數加減運算的幾何意義1．復數加法、減法的幾何意義與平面向量的平行四邊形法則、三角形法則有關，因此在求解與平行四邊形、三角形有關的復數問題時，主要應根據復數加、減運算的幾何意義求解計算．2．由于復數可用向量表示，因而可將復數問題轉化為向量問題,利用向量的方法解決復數問題．3．在復平面內，z1，z2對應的點為A，B，z1＋z2對應的點為C，O為坐標原點，則四邊形OACB：(1)為平行四邊形；（2)若|z1＋z2｜＝｜z1－z2|，則四邊形OACB為矩形；（3）若｜z1|＝｜z2｜，則四邊形OACB為菱形；（4）若|z1|＝｜z2｜且｜z1＋z2｜＝|z1－z2｜，則四邊形OACB為正方形．【典型例題2】已知平行四邊形ABCD中,eq\o(AB，\s\up6(→))與eq\o（AC,\s\up6（→））對應的復數分別是3＋2i與1＋4i,兩對角線AC與BD相交于O點．(1）求eq\o(AD，\s\up6（→）)對應的復數；（2）求eq\o（DB,\s\up6(→））對應的復數;（3）求△AOB的面積．思路分析：由復數加法、減法運算的幾何意義可直接求得eq\o(AD,\s\up6(→)），eq\o（DB,\s\up6（→）)對應的復數，先求出向量eq\o（OA,\s\up6（→）)，eq\o(OB,\s\up6(→）)對應的復數，通過平面向量的數量積求△AOB的面積．解：（1)由于ABCD是平行四邊形，所以eq\o（AC，\s\up6(→）)＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)），于是eq\o（AD,\s\up6（→）)＝eq\o(AC,\s\up6（→))－eq\o(AB，\s\up6(→）)，而(1＋4i）－(3＋2i）＝－2＋2i，即eq\o（AD，\s\up6（→)）對應的復數是－2＋2i。（2)由于eq\o（DB，\s\up6(→）)＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o（AD，\s\up6（→））,而（3＋2i)－（－2＋2i)＝5，即eq\o（DB,\s\up6（→）)對應的復數是5。(3)由于eq\o（OA,\s\up6(→))＝eq\f（1,2)eq\o（CA，\s\up6(→))＝－eq\f（1，2)eq\o(AC，\s\up6(→)）＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2）),eq\o（OB，\s\up6（→））＝eq\f(1，2)eq\o（DB，\s\up6(→））＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（5，2)，0）)，即eq\o（OA,\s\up6（→)）＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2）)，eq\o（OB,\s\up6（→））＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（5,2），0))，于是eq\o(OA,\s\up6(→）)·eq\o（OB，\s\up6(→）)＝－eq\f(5,4),而|eq\o（OA,\s\up6（→))|＝eq\f（\r(17），2），｜eq\o(OB，\s\up6（→）)｜＝eq\f(5，2)，所以eq\f(\r(17)，2）·eq\f（5，2)·cos∠AOB＝－eq\f（5，4),因此cos∠AOB＝－eq\f（\r(17),17），故sin∠AOB＝eq\f(4\r(17),17),故S△AOB＝eq\f（1，2）｜eq\o(OA,\s\up6（→）)｜｜eq\o(OB,\s\up6（→))|sin∠AOB＝eq\f(1,2）×eq\f(\r(17)，2)×eq\f（5，2）×eq\f（4\r（17），17）＝eq\f(5,2)，即△AOB面積為eq\f（5，2）。探究三復數加減運算的綜合問題在進行復數的加法、減法以及模的運算時,主要依據加減運算法則、模的公式計算求解．【典型例題3】(1)已知復數z滿足｜z|＝eq\r（5)，且z＋1是純虛數，求z；(2)設f(z）＝z＋3i－eq\x\to(z)－｜z｜,若z1＝2－i，z2＝－1＋2i，求f(z1－z2）．思路分析：（1)設z＝x＋yi（x，y∈R）代入求解；（2)先求出z1－z2，再代入f(z)中計算．解：（1）設z＝x＋yi（x，y∈R）,則z＋1＝（x＋1）＋yi，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r（x2＋y2)＝\r(5)，，x＋1＝0，，y≠0，)）解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－1，，y＝2））或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－1,，y＝－2。）)于是復數z＝－1＋2i或z＝－1－2i.(2)由已知得z1－z2＝（2－i)－（－1＋2i)＝3－3i，于是f(z1－z2）＝f(3－3i）＝3－3i＋3i－（3＋3i)－|3－3i|＝－3i－3eq\r(2）。故f（z1－z2）＝－3eq\r(2)－3i。探究四復平面內兩點間距離公式及應用1．|z1－z2｜表示復平面內，復數z1，z2對應的點Z1與Z2之間的距離,在應用時,要注意絕對值符號內應是兩個復數差的形式;2．涉及復數模的最值問題以及點的軌跡問題,均可從兩點間距離公式的復數表達形式入手進行分析判斷，然后通過幾何方法進行求解．【典型例題4】已知z∈C,且|z＋3－4i｜＝1,求|z｜的最大值與最小值．思路分析：|z＋3－4i｜＝|z－(－3＋4i)|表示復數z對應的點與復數－3＋4i對應的點之間的距離，從而可知z對應點的軌跡為圓，然后借助幾何方法求解．解：由于｜z＋3－4i|＝｜z－(－3＋4