PAGEPAGE8第2講力的合成與分解一、單項選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．(2024·江西南昌十中期末)為了把陷在泥坑里的汽車拉出來，司機用一條牢固的繩子把汽車拴在一棵大樹上，起先時車與樹相距12m，然后在繩的中點用400N的水平力F沿垂直繩的方向拉繩，結果中點被拉過0.6m，如圖所示(俯視圖)，假設繩子的伸長不計，則汽車受到的拉力為(C)A．200N B．400NC．2000N D．800N[解析]本題考查力的合成在實際生活中的應用。對繩中點受力分析，如圖所示。設繩中張力大小為T，依據力的合成法則，結合幾何學問有eq\f(\f(F,2),T)＝eq\f(0.6,6)，解得T＝2000N，即汽車受到的拉力為2000N，故C正確。2．(2024·全國卷Ⅱ)如圖，一物塊在水平拉力F的作用下沿水平桌面做勻速直線運動。若保持F的大小不變，而方向與水平面成60°角，物塊也恰好做勻速直線運動。物塊與桌面間的動摩擦因數為(C)A．2－eq\r(3) B．eq\f(\r(3),6)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(3),2)[解析]當拉力水平常，物塊做勻速運動，則F＝μmg，當拉力方向與水平方向的夾角為60°時，物塊也剛好做勻速運動，則Fcos60°＝μ(mg－Fsin60°)，聯立解得μ＝eq\f(\r(3),3)，A、B、D項錯誤，C項正確。3．(2024·山東濟南期末)如圖所示，將小物塊P輕輕放到半圓柱體上時，小物塊只能在圓柱體上A到B之間保持靜止。若小物塊與圓柱體之間的動摩擦因數為eq\f(\r(3),3)，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，則圖中∠AOB為(B)A．30° B．60°C．90° D．120°[解析]本題考查力的合成與分解在臨界問題中的應用。物塊P在A、B兩點時，所受的摩擦力等于最大靜摩擦力，設此時OA與豎直方向夾角為θ，則由平衡學問可知mgsinθ＝μmgcosθ，解得θ＝30°，即∠AOB＝60°，故選B。4．(2024·上海寶山區一模)如圖所示，人用繩牽引小船靠岸，設水的阻力不變，則在小船勻速靠岸的過程中(B)A．繩子拉力不斷減小 B．繩子拉力不斷增大C．船所受浮力不變 D．船所受浮力增大[解析]本題考查動態平衡問題。對小船進行受力分析，如圖所示。因為小船做勻速直線運動，所以小船處于平衡狀態。設繩子拉力F與水平方向的夾角為θ，有Fcosθ＝f，Fsinθ＋F浮＝mg，船在勻速靠岸的過程中，θ增大，阻力不變，可知，繩子的拉力增大，所以船所受浮力減小。故B正確，A、C、D錯誤。5．(2024·湖南長沙月考)如圖所示，三根長度均為L的輕繩分別連接于C、D兩點，A、B兩端被懸掛在水平天花板上，相距2L，現在C點上懸掛一個質量為m的重物，為使CD繩保持水平，在DA．mg B．eq\f(\r(3),3)mgC．eq\f(1,2)mg D．eq\f(1,4)mg[解析]由題圖可知，要使CD水平，各繩均應繃緊，則AC與水平方向的夾角為60°；結點C受力平衡，受力分析如圖所示，則CD繩的拉力FT＝mgtan30°＝eq\f(\r(3),3)mg；D點受CD繩子拉力大小等于FT，方向向左，要使CD水平，D點所受CD、BD兩繩的拉力與在D點施加的力的合力為零，則CD繩子對D點的拉力可分解為沿BD繩的分力F1，及另一分力F2，由幾何關系可知，當F2與BD繩垂直時，F2最小，而F2的大小即為在D點施加的力的大小，故可施加力的最小值為F＝FTsin60°＝eq\f(1,2)mg。故選C。6．(2024·焦作月考)如圖所示，一根勻質繩質量為M，其兩端固定在天花板上的A、B兩點，在繩的中點懸掛一重物，質量為m，懸掛重物的繩PQ質量不計。設α、β分別為繩子端點和中點處繩子的切線方向與豎直方向的夾角，則(A)A．eq\f(tanα,tanβ)＝eq\f(m,m＋M) B．eq\f(cosα,cosβ)＝eq\f(m,m＋M)C．eq\f(tanα,tanβ)＝eq\f(m,M) D．eq\f(cosα,cosβ)＝eq\f(m,M)[解析]設繩子端點處和中點處繩子張力大小分別為F1、F2。對整體探討，分析受力，如圖甲所示，依據平衡條件得：F1cosα＝eq\f(1,2)(M＋m)g①對左半邊繩子探討(如圖乙)得：F1cosα＝F2cosβ＋eq\f(1,2)Mg②F1sinα＝F2sinβ③由①②得到：F2cosβ＝eq\f(1,2)mg④則由eq\f(③,①)得：tanα＝eq\f(2F2sinβ,M＋mg)⑤由eq\f(③,④)得：tanβ＝eq\f(2F1sinα,mg)⑥由③⑤⑥式聯立得：eq\f(tanα,tanβ)＝eq\f(m,m＋M)。由①④式聯立得：eq\f(cosα,cosβ)＝eq\f(M＋m,m)，故A正確，B、C、D錯誤。7．(2024·湖南師大附中月考)彈跳實力是職業籃球運動員重要的身體素養指標之一，很多聞名的籃球運動員因為具有驚人的彈跳實力而被球迷稱為“彈簧人”。彈跳過程是身體肌肉、骨骼關節等部位一系列相關動作的過程，屈膝是其中的一個關鍵動作。如圖所示，人屈膝下蹲時，膝關節彎曲的角度為θ，設此時大、小腿部的肌群對膝關節的作用力F的方向水平向后，且大腿骨、小腿骨對膝關節的作用力大致相等，那么腳掌所受地面豎直向上的彈力約為(D)A．eq\f(F,2sin\f(θ,2)) B．eq\f(F,2cos\f(θ,2))C．eq\f(F,2tan\f(θ,2)) D．eq\f(F,2cot\f(θ,2))[解析]設大腿骨和小腿骨對膝關節的作用力大小為F1，已知它們之間的夾角為θ，F即為它們的合力的大小，作出平行四邊形定則如圖所示，F1coseq\f(θ,2)＝eq\f(1,2)F，即F1＝eq\f(F,2cos\f(θ,2))，則腳掌對地面豎直向下的壓力FN＝F1sineq\f(θ,2)＝eq\f(F,2cot\f(θ,2))，由牛頓第三定律可知D正確。二、多項選擇題：在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的。8．(2024·湖北公安三中質檢)粗細勻稱的電線架在A、B兩根電線桿之間，由于熱脹冷縮，電線在夏、冬兩季呈現如圖所示的兩種形態，電線桿始終處于豎直狀態，下列說法中正確的是(AB)A．左圖是夏季B．冬季，電線對電線桿的拉力較大C．夏季與冬季，電線對電線桿的拉力一樣大D．夏季桿對地面的壓力較大[解析]本題結合生活實際考查力的合成問題。依據熱脹冷縮原理可知，夏季電線比冬季長，因此左圖是夏季，故A正確。以整條電線為探討對象，受力分析如圖所示。由共點力的平衡條件知，兩電線桿對電線的彈力的合力與其重力平衡，由幾何關系得2Fcosθ＝G，即F＝eq\f(G,2cosθ)，由于夏天氣溫較高，電線的體積會膨脹，正中部位電線下垂的距離h變大，則電線在桿上固定處的切線方向與豎直方向的夾角θ變小，F變小，可知冬季電線對電線桿的拉力較大，故B正確，C錯誤。電線桿及電線的質量肯定，整體受力平衡，夏季、冬季桿對地面的壓力相等，故D錯誤。9．(2024·河南鄭州質檢)一名雜技演員在兩幢高10m的樓之間表演“高空走鋼絲”。當他緩慢經過鋼絲的中點時，鋼絲與水平方向的夾角為10°。已知演員及橫桿的總質量為60kg，鋼絲重量不計。重力加速度為10m/s2，sin10°＝0.17，下列說法正確的有(BD)A．演員經過鋼絲中點時，鋼絲上的張力約為3530NB．演員經過鋼絲中點時，鋼絲上的張力約為1765NC．演員經過中點后又向右走了幾步停下來，此時鋼絲對演員的作用力方向朝左上方D．假如更換一根更長的鋼絲表演，演員經過鋼絲中點時，鋼絲上的張力會減小[解析]本題考查力的合成的定量計算與動態分析。對雜技演員在鋼絲中點時進行受力分析，如圖所示。依據平衡條件有2Fsinθ＝mg，可得F＝eq\f(mg,2sinθ)＝eq\f(600,2×0.17)N≈1765N，故A錯誤，B正確；當演員走幾步停止后依舊受力平衡，由平衡條件可知繩對人的作用力的合力與其重力等大反向，即方向豎直向上，故C錯誤；假如換成更長的鋼絲，人在中點平衡時對應的夾角θ變大，由F＝eq\f(mg,2sinθ)可知鋼絲的張力變小，故D正確。10．(2024·山東濟鋼高級中學月考)如圖所示，質量分別為m1、m2的兩個物體A、B通過輕彈簧連接，在力F的作用下一起沿水平方向做勻速直線運動，A在地面，B在空中。此時，力F與水平方向成θ角，彈簧中彈力大小為F1，彈簧軸線與水平方向的夾角為α，A受地面的摩擦力大小為f，則下列正確的是(AD)A．θ肯定大于α B．θ可能等于αC．F肯定小于F1 D．F肯定大于f[解析]本題借助平衡問題考查力的合成與分解。B受三力作用，大小分別為m2g、F、F1，依據平衡條件對B水平方向有Fx＝Fcosθ＝F1cosα，豎直方向有Fy＝Fsinθ＝F1sinα＋m2g；所以Fsinθ>F1sinα與Fcosθ＝F1cosα兩式兩邊相除得tanθ>tanα，即θ>α，則cosθ<cosα，所以F>F1；依據整體法得Fcosθ＝f，所以F>一題多解：對于B、D選項，考慮整體法，在水平方向上系統受外力F沿水平方向的分力和摩擦力f而處于平衡狀態，可知F>f；若θ＝α，則彈簧與F在一個方向上，有B球的重力G＝0，不合實際，故B錯。三、非選擇題11．有些人，比如電梯修理員、牽引專家和賽艇運動員，常須要知道繩或金屬線中的張力，可又不行能到那些繩、線的自由端去測量。一個英國公司制造出一種夾在繩子上的儀表，用一個杠桿使繩子的某中點有一個微小偏移量，如圖所示。儀表很簡單測出垂直于繩的復原力。假如偏移量為12mm，復原力為300N，計算繩中張力。[答案]1562.5N[解析]如圖所示，將力F沿著拉伸的方向分解成FT1和FT2，明顯FT1＝FT2＝FT，sinθ＝eq\f(F,2FT)；而由于θ角很小，所以sinθ約等于tanθ，而tanθ＝eq\f(12,125)，因此FT＝eq\f(F,2tanθ)＝eq\f(300,2tanθ)＝1562.5N。12．(2024·重慶月考)物塊A放在臺式測力計上，通過跨過定滑輪的輕繩與物塊B相連，B下端與一輕質彈簧粘連，彈簧的下端與地面接觸(未拴接)，整個系統處于平衡狀態，此時臺式測力計的示數為8.8N；已知mA＝2mB＝1kg，物塊A、B間的水平距離s＝20cm，傾斜繩與水平方向的夾角θ＝37°，物塊A與臺式測力計間動摩擦因數μ＝0.5，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，A、B和滑輪視為質點，不計滑輪質量和滑輪處摩擦，彈簧始終在彈性限度內，g取10m/s2(已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，cos2θ＋sin2θ＝1)。(1)求物塊A受到的摩擦力和繩對物塊A的拉力；(2)沿豎直方向調整滑輪的高度至某一位置時，物塊A剛好運動，且此時彈簧剛好離開地面，求滑輪移動的距離和彈簧的勁度系數。[答案](1)1.6N2N(2)eq\f(35,3)cm15N/m[解析](1)由臺式測力計的示數知物塊A此時所受的支持力N＝8.8N，物塊A受力示意圖如圖所示。依據平衡條件可知Tcos37°－f＝0，N＋Tsin37°－mAg＝0，解得T＝2N，f＝1.6N。(2)分析可知，此時彈簧復原原長，彈力為零；對B進行受力分析，有T1－mBg＝0，故T1＝5N。設此時輕繩與水平方向夾角為θ′，對A有T1′cosθ′－fm＝0；N1＋T1′sinθ′－mAg＝0，fm