專題第02講二次函數的實際應用（30題）

1.（2022秋?泰興市期末）一水果店售賣一種水果，以8元/千克的價格進貨，經過往年銷售經驗可知：以

12元/千克售賣，每天可賣60千克；若每千克漲價0.5元，每天要少賣2千克；若每千克降價0.5元，每

天要多賣2千克，但不低于成本價.設該商品的價格為尤元/千克時，一天銷售總質量為y千克.

（1）求y與x的函數關系式.

（2）若水果店貨源充足，每天以固定價格x元/千克銷售（x28）,試求出水果店每天利潤W與單價x的

函數關系式，并求出當尤為何值時，利潤達到最大.

2.（2023?朝陽）某超市以每件10元的價格購進一種文具，銷售時該文具的銷售單價不低于進價且不高于

19元.經過市場調查發現，該文具的每天銷售數量y（件）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數關系,

部分數據如下表所示：

銷售單價元/元???121314???

每天銷售數量W…363432???

件

（1）直接寫出y與龍之間的函數關系式；

（2）若該超市每天銷售這種文具獲利192元，則銷售單價為多少元？

（3）設銷售這種文具每天獲利w（元），當銷售單價為多少元時，每天獲利最大？最大利潤是多少元?

3.（2023?海淀區校級開學）電纜在空中架設時，兩端掛起的電纜下垂可以近似的看成拋物線的形狀.如圖，

在一個斜坡BD上按水平距離間隔60米架設兩個塔柱,每個塔柱固定電纜的位置離地面高度為27米

=。。=27米），以過點A的水平線為x軸，水平線與電纜的另一個交點為原點。建立平面直角坐標系，

如圖所示.經測量，4。=40米，斜坡高度12米（即以。兩點的鉛直高度差）.

結合上面信息，回答問題：

（1）若以1米為一個單位長度，則D點坐標為,下垂電纜的拋物線表達式為.

（2）若電纜下垂的安全高度是13.5米，即電纜距離坡面鉛直高度的最小值不小于13.5米時，符合安全

要求，否則存在安全隱患.（說明：直線軸分別交直線2。和拋物線于點X、G.點G距離坡面的

鉛直高度為G”的長），請判斷上述這種電纜的架設是否符合安全要求？請說明理由.

4.（2023春?江岸區校級月考）如圖，在斜坡底部點。處安裝一個的自動噴水裝置，噴水頭（視為點4）的

高度（噴水頭距噴水裝置底部的距離）是1.8米，自動噴水裝置噴射出的水流可以近似地看成拋物線.當

噴射出的水流與噴水裝置的水平距離為8米時，達到最大高度5米.以點。為原點，自動噴水裝置所在

的直線為y軸，建立平面直角坐標系.

（1）求拋物線的解析式；

（2）斜坡上距離O水平距離為10米處有一棵高度為1.75米的小樹NM,垂直水平地面且M點到水

平地面的距離為2米.

①記水流的高度為yi,斜坡的高度為"，求yi-”的最大值（斜坡可視作直線OM）；

②如果要使水流恰好噴射到小樹頂端的點N,直接寫出自動噴水裝置應向后平移（即拋物線向左）多少

米？

5.（2023?武漢模擬）如圖，灌溉車為綠化帶澆水，噴水口H離地豎直高度OH為1.2m.可以把灌溉車噴出

水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG,

其水平寬度。￡=3處豎直高度下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊拋物線

最高點A離噴水口的水平距離為2",高出噴水口0.4加，灌溉車到綠化帶的距離。。為d（單位：機）.

（1）求上邊緣拋物線的函數解析式，并求噴出水的最大射程OC；

（2）求下邊緣拋物線與無軸的正半軸交點B的坐標；

（3）要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，直接寫出d的取值范圍.

6.（2022秋?華容區期末）農戶銷售某農產品，經市場調查發現：若售價為6元/千克，日銷售量為40千克,

若售價每提高1元/千克，日銷售量就減少2千克.現設售價為x元/千克（x26且為正整數）.

（1）若某日銷售量為24千克，求該日產品的單價；

（2）若政府將銷售價格定為不超過18元/千克.設每日銷售額為卬元，求w關于x的函數表達式，并求

w的最大值和最小值；

（3）市政府每日給農戶補貼。元后（0為正整數），發現最大日收入（日收入=銷售額+政府補貼）還是

不超過450元，并且只有5種不同的單價使日收入不少于440元，請直接寫出所有符合題意的a的值.

7.（2023春?蔡甸區月考）如圖，拋物線AB,AC是某噴水器噴出的水抽象而成，拋物線AB由拋物線AC

向左平移得到，把汽車橫截面抽象為矩形。EFG,其中OE=匹米，￡>G=2米，米，拋物線AC表

3

達式為y=a（X-2）2+h+^-,/i=A,且點A,B,D,G,C均在坐標軸上.

33

（1）求拋物線AC表達式.

（2）求點B的坐標.

（3）要使噴水器噴出的水能灑到整個汽車，記。。長為d米，直

接寫出d的取值范圍.

8.（2022秋?華容區期末）如圖，足球場上守門員在。處開出一高球，球從離地面1米的A處飛出（4在y

軸上），運動員乙在距。點6米的8處發現球在自己頭的正上方達到最高點M,距地面約4米高.球第

一次落地點后又一次彈起.據實驗，足球在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度

減少到原來最大高度的一半.

（1）求足球開始飛出到第一次落地時，該拋物線的表達式.

（2）運動員乙要搶到第二個落點D他應再向前跑多少米？（取4娟=7，276=5）

9.（2023?淮安一模）某網店專門銷售某種品牌的漆器筆筒，成本為30元/件，每天銷售y（件）與銷售單

價x（元）之間存在一次函數關系，如圖所示.

（1）求y與尤之間的函數關系式；

（2）如果規定每天漆器筆筒的銷售量不低于240件，當銷售單價為多少

元時，每天獲取的利潤最大，最大利潤是多少？

10.（2023?盤錦）某工廠生產一種產品，經市場調查發現，該產品每月的銷售量y（件）與售價無（萬元/

件）之間滿足一次函數關系，部分數據如表：

每件售價3萬元???2426283032???

月銷"y/件…5248444036???

（1）求y與尤的函數關系式（不寫自變量的取值范圍）.

（2）該產品今年三月份的售價為35萬元/件，利潤為450萬元.

①求：三月份每件產品的成本是多少萬元？

②四月份工廠為了降低成本，提高產品質量，投資了450萬元改進設備和革新技術，使每件產品的成本

比三月份下降了14萬元.若四月份每件產品的售價至少為25萬元，且不高于30萬元，求這個月獲得的

利潤w（萬元）關于售價尤（萬元/件）的函數關系式，并求最少利潤是多少萬元.

11.（2023春?江都區月考）某企業生產并銷售某種產品，假設銷售量與產量相等，圖中的線段表示該產

品每千克生產成本yi（單位：元）與產量x（單位：kg）之間的函數關系；線段CD表示該產品銷售價

”（單位：元）與產量x（單位：kg）之間的函數關系，已知0＜xW120,加＞60.

（1）求線段AB所表示的yi與x之間的函數表達式；

（2）若機=90,該產品產量為多少時，獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

（3）若60＜機＜70,該產品產量為多少時，獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

元

D

B

工kg

O120*

12.（2023?梁溪區模擬）為加強勞動教育，各校紛紛落實勞動實踐基地.某校學生在種植某種高產番茄時，

經過試驗發現：①當每平方米種植2株番茄時，平均單株產量為8.4千克；②在每平方米種植的株數不

超過10的前提下，以同樣的栽培條件，株數每增加1株，平均單株產量減少0.8千克.

（1）求平均單株產量y（千克）與每平方米種植的株數x（尤為整數，且2Wx<10）之間的函數關系式；

（2）已知學校勞動基地共有10平方米的空地用于種植這種番茄.問：當每平方米種植多少株時，該學

校勞動基地能獲得最大的產量？最大產量為多少千克？

13.（2023春?倉山區校級期末）根據以下素材，探索完成任務.

如何設計大棚苗木種植方案？

素材1：圖1中有一個大棚苗木種植基地及其截面圖，其下半部分是一個長為20%寬為1機的矩形，其

上半部分是一條拋物線，現測得，大棚頂部的最高點距離地面

素材2：種植苗木時，每棵苗木高1.76"z,為了保證生長空間，相鄰兩棵苗木種植點之間間隔1加，苗木

頂部不觸碰大棚，且種植后苗木成軸對稱分布.

（1）任務1：確定大棚上半部分形狀.根據圖2建立的平面直角坐標系，通過素材1提供的信息確定點

的坐標，求出拋物線的函數關系式；

（2）任務2：探究種植范圍.在圖2的坐標系中，在不影響苗木生長的情況下，確定種植點的橫坐標的

取值范圍.

14.（2023?岳麓區校級二模）從2020年開始，越來越多的商家向線上轉型發展，“直播帶貨”已經成為商

家的一種促銷的重要手段.某商家在直播間銷售一種進價為每件10元的日用商品，經調查發現，該商品

每天的銷售量y（件）與銷售單價無（元）滿足y=-10X+400,設銷售這種商品每天的利潤為W（元）.

（1）求W與尤之間的函數關系式；

（2）該商家每天想獲得1250元的利潤，又要減少庫存，應將銷售單價定為多少元？

（3）若銷售單價不低于28元，且每天至少銷售50件時，求W的最大值.

15.（2022秋?蜀山區校級期末）某超市經銷甲、乙兩種商品.商品甲每千克成本為20元，經試銷發現，該

種商品每天銷售量y（千克）與銷售單價無（元/千克）滿足如圖所示的一次函數關系，商品乙的成本為4

元/千克，銷售單價為10元/千克，但每天供貨總量只有80千克，且能當天銷售完.為了讓利消費者，超

市開展了''買一送一”活動，即買1千克的商品甲，免費送1千克的商品乙.

（1）直接寫出銷售量y與銷售單價尤之間的函數表達式；

（2）設這兩種商品的每天銷售總額為S元，求出S（元）與x（元/千克）的函數關系式；（注：商品的

銷售額=銷售單價X銷售量）

（3）設這兩種商品銷售總利潤為W,若商品甲的售價不低于成本，不超過成本的150%,當銷售單價定

為多少時，才能使當天的銷售總利潤最大？最大利潤是多少？（注：銷售總利潤=兩種商品的銷售總額

-兩種商品的總成本）

16.（2023春?蓮池區校級期中）為促進學生德智體美勞全面發展，推動文化學習與體育鍛煉協調發展，某

校舉辦了學生趣味運動會.該校計劃用不超過5900元購買足球和籃球共36個，分別作為運動會團體一、

二等獎的獎品.已知足球單價170元，籃球單價160元.

（1）學校至多可購買多少個足球？

（2）受卡塔爾世界杯的影響，學校商議決定按（1）問的結果購買足球作為一等獎獎品，以鼓勵更多學

生熱愛足球，同時商場也對足球和籃球的價格進行調整，足球單價下降了。％,籃球單價上漲了

最終學校購買獎品的經費比計劃經費的最大值節省了155元，求a的值.

17.（2023春?宜都市期末）某公司分別在A,B兩城生產同種產品，共100件.A城生產產品的總成本y（萬

元）與產品數量尤（件）之間具有一次函數關系：y=ax+b.當尤=5時，y=40；當尤=30時，y=140.B

城生產產品的每件成本為7萬元.

（1）求a,b的值；

（2）當A,2兩城生產這批產品的總成本之和為660萬元時，求A,B兩城各生產產品多少件？

（3）從A城把該產品運往C,。兩地的費用分別為機萬元/件和3萬元/件；從8城把該產品運往C,D

兩地的費用分別為1萬元/件和2萬元/件.C地需要90件，。地需要10件，在（2）的條件下，若A,2

兩城總運費之和的最小值為150萬元，求m的值.

18.（2023?海淀區校級四模）某公園修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端安

裝一個可調節角度的噴水頭，從噴水頭噴出的水柱形狀是一條拋物線.建立如圖所示的平面直角坐標系，

拋物線形水柱的豎直高度y（單位：相）與到池中心的水平距離x（單位：滿足的關系式近似為y=a

（尤-h）2+k（a<0）.

（1）在某次安裝調試過程中，測得x與y的部分對應值如下表：

水平距離xlm00.511.522.53

豎直高度y/相2.252.812532.81252.251.31250

根據表格中的數據，解答下列問題：

①水管的長度是m；

②求出y與無滿足的函數解析式y=a（x-h）2+k（a<0）；

（2）安裝工人在上述基礎上進行了下面兩種調試：

①不改變噴水頭的角度，將水管長度增加水柱落地時與池中心的距離為力；

②不改變水管的長度，調節噴水頭的角度，使得水柱滿足y=-0.6（x-1.5）2+3.6,水柱落地時與池中

心的距離為d2.

則比較力與沒的大小關系是：didi（填“>”或“=”或“<”）

19.（2023?羅山縣三模）實心球是中考體育項目之一.在擲實心球時，實心球被擲出后的運動路線可以看

作是拋物線的一部分.已知小軍在一次擲實心球訓練中，第一次投擲時出手點距地面1.8%實心球運動

至最高點時距地面34”，距出手點的水平距離為4%.設實心球擲出后距地面的豎直高度為y（m），實心

球距出手點的水平距離為尤（加）.如圖，以水平方向為無軸，出手點所在豎直方向為y軸建立平面直角

坐標系.

（1）求第一次擲實心球時運動路線所在拋物線的表達式.

（2）若實心球投擲成績（即出手點與著陸點的水平距離）達到124〃為滿分，請判斷小軍第一次投擲實

心球能否得滿分.

（3）第二次投擲時，實心球運動的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數關系y=-0.08（尤-5）2+3.8

記小軍第一次投擲時出手點與著陸點的水平距離為di,第二次投擲時出手點與著陸點的水平距離為d2,

20.（2023?花溪區校級一模）過山車是一項富有刺激性的娛樂工具，在乘坐過山車的過程中能夠親身體驗

由能量守恒、加速度和力交織在一起產生的效果，那感覺真是妙不可言.如圖是合肥某樂園中部分過山

車滑道所抽象出來的函數圖象，線段A8是一段直線滑道，且長為3旄米，點A到地面距離OA=6

米，點B到地面距離8E=3米，滑道8-C-。可以看作一段拋物線，最高點為C（8,4）.

（1）求滑道B-C-D部分拋物線的函數表達式；

（2）當小車（看成點）沿滑道從A運動到。的過程中，小車距離x軸的垂直距離為2.5米時，它到出發

點A的水平距離是多少？

（3）現在需要對滑道C-D部分進行加固，建造某種材料的水平和豎直支架CRPH,PG.已知這種材

料的價格是75000元/米，為了預算充足，至少需要申請多少元的資金.

21.（2022秋?豐都縣期末）拋實心球是豐都中考體育考試項目之一，如圖1是一名男生投實心球情境，實

心球行進路線是一條拋物線，行進高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數關系如圖2所示，擲出時，

起點處高度為1.9利，當水平距離為4機時，實心球行進至最高點35m處.

（1）求y關于x的函數表達式；

（2）根據中考體育考試評分標準（男生版），投擲過程中，實心球從起點到落地點的水平距離大于等于

9.7/w時，即可得滿分10分.該男生在此項考試中能否得滿分，請說明理由.

y

3.5

04Dh

圖2

22.（2022秋?建昌縣期末）2022年11月，“中國傳統制茶技藝及其相關習俗”申遺成功，弘揚茶文化，倡

導“和美雅靜”的生活方式已成時尚.某茶商經銷某品牌茶，成本為50元/千克，經市場調查發現，每

周的銷量y（千克）與銷售單價無（元/千克）滿足一次函數關系，部分數據列表如下：

銷售單價X（元/566575

千克）

銷量y（千克）12811090

（1）求y與尤的一次函數關系式；

（2）求該茶商這一周銷售該品牌茶葉所獲利潤w（元）的最大值.

23.（2023?錦州二模）近年來國家出臺政策要求電動車上牌照，“保安全、戴頭盔”出行.某頭盔專賣店購

進一批單價為36元的頭盔.在銷售中，通過分析銷售情況發現這種頭盔的月銷售量y（個）與售價x（元

/個）（42Wx（72）滿足一次函數關系，下表是其中的兩組對應值.

售價x（元/個）…5055…

月銷售量y（個）…10090…

（1）求y與尤之間的函數關系式；

（2）專賣店的優惠活動：若購買一個這種頭盔，就贈送一個成本為6元的頭盔面罩.請問這種頭盔的售

價定為多少元時，月銷售利潤最大，最大月銷售利潤是多少元？

24.（2023?金湖縣三模）某超市購進甲、乙兩種商品，已知購進5件甲商品和2件乙商品，需80元：購進

3件甲商品和4件乙商品，需90兀.

（1）甲、乙兩種商品的進貨單價分別是多少？

（2）設甲商品的銷售單價為無（單位：元/件），在銷售過程中發現：當12WxW18時，甲商品的日銷售

量y（單位：件）與銷售單價尤之間存在一次函數關系，小y之間的部分數值對應關系如表：

銷售單價x（元/件）1218

日銷售量件）164

請寫出當12WxWl8時，y與x之間的函數關系式；

（3）在（2）的條件下，設甲商品的日銷售利潤為w元，當甲商品的銷售單價x（元/件）定為多少時,

日銷售利潤最大？最大利潤是多少？

25.（2022秋?新撫區期末）疫情防控常態化，全國人民同心抗疫.某商家決定將一個月獲得的利潤全部捐

贈給社區用于抗疫.已知商家購進一批產品，成本為10元/件，擬采取線上和線下兩種方式進行銷售，

市場調查發現，線下的月銷量y（件）與線下售價X（元/件，且12WxW16）之間滿足一次函數關系，部

分數據如下表：

尤（元/件）12131415

y（件）1000900800700

（1）求y與尤之間的函數關系式;

（2）若線上售價始終比線下每件便宜2元，且線上的月銷量固定為600件.當x為何值時，線上和線下

銷售月利潤總和W達到最大？最大利潤是多少？

（3）要使（2）中月利潤總和W不低于4400元，請直接寫出x的取值范圍.

26.（2023?嘉魚縣模擬）為鞏固扶貧攻堅成果，我縣政府督查各部門和單位對口扶貧情況.某單位的幫扶

對象種植的農產品在某月（按30天計）的第x天（x為正整數）的銷售價格p（元/千克）關于x的函數

’0.4x(0<x<20)

關系為p=<銷售量y（千克）與尤之間的關系如圖所示.

-0.2x+12(20<x(30)’

（1）直接寫出y與龍之間的函數關系式和尤的取值范圍；

（2）求該農產品的銷售量有幾天不超過60千克？

（3）當月第幾天，該農產品的銷售額最大，最大銷售額是多少？（銷售額=銷售量X銷售價格）

02030天)

27.（2023?云夢縣校級三模）李麗大學畢業后回家鄉創業，開了一家服裝專賣店代理品牌服裝的銷售.已

知該品牌服裝進價每件40元，日銷售y（件）與銷售價無（元/件）之間的關系如圖所示（實線），每天

付員工的工資每人82元，每天應支付其他費用106元.

（1）直接寫出日銷售y（件）與銷售價x（元/件）之間的函數關系式；

（2）當某天的銷售價為48元/件時，收支恰好平衡（收入=支出），求該店員工人數；

（3）若該店只有2名員工，則每天能獲得的最大利潤是多少元？此時，每件服裝的價格應定為多少元?

琳

28.（2023?臥龍區二模）如圖，在斜坡底部點。處安裝一個自動噴水裝置，噴