2024-2025學(xué)年江西省萍鄉(xiāng)市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷

本試卷分和兩部分.第I卷1至2頁，第II卷5至6頁.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.考生要認(rèn)真核對答題卡上粘貼

的條形碼的“準(zhǔn)考證號、姓名、考試科目”與考生本人準(zhǔn)考證號、姓名是否一致.

2.客觀題選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.答案不能答在試卷上.主觀題用黑色墨水簽字筆在答題

卡上書寫作答，在試題卷上作答，答題無效.

3.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回.

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知集合"={Mnx<°},N={xC-。叫，若/鼠N,則實(shí)數(shù)0的取值范圍為（

）

A（一嗎"B.S'。c.S,e]D.（一”'e）

2.設(shè)萬，在，2是非零向量，則"aR=a-c，，是花=?！钡模ǎ?/p>

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.下圖是我國2018?2023年純電動汽車銷量統(tǒng)計(jì)情況，下列說法錯(cuò)誤的是（）

2018~2023年中國純電動汽車銷址統(tǒng)計(jì)

800T■銷量:萬輛756.8

201820192020202120222023

A.我國純電動汽車銷量呈現(xiàn)逐年增長趨勢

B.這六年銷量第60百分位數(shù)為536.5萬輛

C,這六年增長率最大的為2019年至2020年

D.2020年銷量高于這六年銷量的平均值

4.直線/過拋物線°：V=2px（p〉0）的焦點(diǎn)，且與0交于48兩點(diǎn)，若使|第=2的

直線/恰有2條，則。的取值范圍為（）

A0</?<1B0<7?<2cP〉1DP>2

22

T:——+=1（。>Z?>0）

5.已知橢圓b-的右焦點(diǎn)為尸，過/且斜率為1的直線/與T交于

48兩點(diǎn)，若線段48的中點(diǎn)M在直線x+2j=°上，則T的離心率為（）

V2V5G72

A.4B.3c,5D,2

6.如圖，在平行四邊形Z8C。中，12!1/氏40=7,28=5及,40=5,￡為邊50上異于端

點(diǎn)的一點(diǎn)，且/￡??！?45,則sin/CDE=（）

叵工工工

A.1。B,25c.13D.4

7.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，方程2一+2/一盯=1對應(yīng)的曲線為橢圓，則該橢圓的離心率為

（）

旦叵叵叵

A.2B.2C.5D.5

22

-—2=1（。〉。,b〉0）

8.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C：a-&的左、右焦點(diǎn)分別是尸2，離

V6

心率為2，點(diǎn)0（%，％）是c的右支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，過尸2作/耳0鳥的平分線的垂線，

垂足是M,若雙曲線C上一點(diǎn)7滿足6丁,巴7=5,則點(diǎn)7到雙曲線C的兩

條漸近線距離之和為（

A.2百B.2百C.2行D,2瓜

9.在V/5C中，若sinZ=2cos8cosC,則cosz8+cos2c的取值范圍為（）

,2

A一用B卜唱C6）D

M+lJ

_2J

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

22

C:^---^=1

10.已知雙曲線3-mm+6，則（）

A.機(jī)的取值范圍是J'3）

_,V7

y-±—x

B.機(jī)=1時(shí)，°的漸近線方程為‘2

C.C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（T°），（3,0）

D.C可以是等軸雙曲線

11.如圖，正方形N5CD的中心與圓。的圓心重合，P是圓。上的動點(diǎn)，則下列敘述正確

的是（）

A.P4PC+PB-PD是定值

B.莎?麗+麗?定+定?麗+麗.方是定值

C,網(wǎng)+網(wǎng)+|因+|囪是定值

-----(-2------(-2------(-2------*2

D.PA”B+PC+PD是定值

Z-BAD兀

12.直四棱柱4sCD—4片。］。1的所有棱長都為％3,點(diǎn)P在四邊形及

其內(nèi)部運(yùn)動，且滿足歸旬+歸a=8,則下列選項(xiàng)正確的是（

A.點(diǎn)「的軌跡的長度為兀.

B.直線NP與平面8。2與所成的角為定值.

2而

C.點(diǎn)P到平面401用的距離的最小值為7

D.?g的最小值為一2.

第n卷

注意事項(xiàng)：

第1I卷共2頁，需用黑色墨水簽字筆在答題卡上作答，若在試題卷上作答，答題無效.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

,2,2

2

13.已知雙曲線G-j=1,C,乙=1%

m4m的離心率分別為華和C2,則e—的最小值為

14.v2x+x-y）的展開式中//的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

15.法國數(shù)學(xué)家盧卡斯在研究一元二次方程-一》-1=0的兩個(gè)根西城2不同幕的和時(shí)，發(fā)現(xiàn)

了苞+%=1,x：+x；=3,…，由此推算x；°+E°=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.如圖所示的五面體“8C—4'G為直三棱柱”8C—451G截去一個(gè)三棱錐。一4四G后

的幾何體，ACLBC,4C=BC=44=2,〃為網(wǎng)的中點(diǎn)，。尸分別為CQ

的中點(diǎn).

G

(1)判斷3尸和CE是否垂直，并說明理由；

(2)設(shè)4P=XZC(0W東1),是否存在4,使得平面/BC與平面夾角的余弦值

為7?若存在，請求出幾的值；若不存在，請說明理由.

17.將一枚質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲兩次，所得的向上的點(diǎn)數(shù)分別記為口)，設(shè)上］表示不超

過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，I。」的值為隨機(jī)變量X

x

(1)求在X>°的條件下，7的概率；

(2)求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望.

18.如左圖所示，在直角梯形N3CD中，BCHAD,ADLCD,BC=2,AD=3,

CD=M,邊4D上一點(diǎn)E滿足DE=1.現(xiàn)將"BE沿BE折起到“能的位置，使平面

平面2CDE,如右圖所示.

(1)求證：A'C1BE；

(2)求異面直線4c與的距離；

(3)求平面48"與平面48所成銳二面角的余弦值.

19.已知片(—2,0),尸2(2,0),屈是圓°一+「=1上任意一點(diǎn)，片關(guān)于點(diǎn)M的對稱點(diǎn)

為N,線段片"的垂直平分線與直線月N相交于點(diǎn)八記點(diǎn)T的軌跡為曲線c.

（1）求曲線C的方程；

（2）設(shè)（/>0）為曲線C上一點(diǎn)，不與x軸垂直的直線/與曲線C交于G,H兩點(diǎn)

（異于￡點(diǎn)）.若直線GE,的斜率之積為2,求證：直線/過定點(diǎn).

20.在幾何學(xué)常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度.考察如圖

所示的光滑曲線c：y=上的曲線段前，其弧長為以，當(dāng)動點(diǎn)從/沿曲線段前運(yùn)動

到B點(diǎn)時(shí)，/點(diǎn)的切線乙也隨著轉(zhuǎn)動到8點(diǎn)的切線），記這兩條切線之間的夾角為△夕（它

等于0的傾斜角與的傾斜角之差）.顯然，當(dāng)弧長固定時(shí)，夾角越大，曲線的彎曲程度就

K=—_

越大；當(dāng)夾角固定時(shí)，弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段48的平

均曲率；顯然當(dāng)8越接近即As越小，K就越能精確刻畫曲線C在點(diǎn)/處的彎曲程度，

因此定義3X（若極限存在）為曲線。在點(diǎn)/處的曲率.（其中

V，，'分別表示y=/（%）在點(diǎn)力處的一階、二階導(dǎo)數(shù)）

=----73

（3）定義0+了）為曲線y=/（x）的“柯西曲率”.已知在曲線/G）="lnx—2”上

存在兩點(diǎn)0（*'/a））和°&2'"々）），且p,0處的“柯西曲率，，相同，求直+蘇的取

值范圍.

2024-2025學(xué)年江西省萍鄉(xiāng)市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷

本試卷分和兩部分.第I卷1至2頁，第n卷3至4頁.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.考生要認(rèn)真核對答題卡上粘貼

的條形碼的“準(zhǔn)考證號、姓名、考試科目”與考生本人準(zhǔn)考證號、姓名是否一致.

2.客觀題選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.答案不能答在試卷上.主觀題用黑色墨水簽字筆在答題

卡上書寫作答，在試題卷上作答，答題無效.

3.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回.

第1卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知集合"LvO},N={x0-。叫，若MqN,則實(shí)數(shù)0的取值范圍為（

）

A（-8,1]B.S』）c,Se]D.Se）

【正確答案】A

【分析】先解出集合再由子集關(guān)系求解集合N即可.

【詳解】由lnx<°得°<x<l,所以M=W0<x<l},

因?yàn)镸=所以a<e”對恒成立，

所以a4

故選：A.

2.設(shè)心在，己是非零向量，貝。范=是“B=c”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】B

【分析】分別判斷充分性和必要性成立情況得出結(jié)論.

一1--a-(b-c\=0a!\b-c\,7-

【詳解】若。力=則\J'Jcb=c.

若石=c,貝[]g_c=d,a-6=0gp(7a-b=a-c

“。4=。。”是“?=c”的必要而不充分條件;

故選：B.

3.下圖是我國2018?2023年純電動汽車銷量統(tǒng)計(jì)情況，下列說法錯(cuò)誤的是()

2018~2023年中國純電動汽車銷地統(tǒng)計(jì)

800T■銷量：萬輛756.8

201820192020202120222023

A.我國純電動汽車銷量呈現(xiàn)逐年增長趨勢

B.這六年銷量第60百分位數(shù)為536.5萬輛

C.這六年增長率最大的為2019年至2020年

D.2020年銷量高于這六年銷量的平均值

【正確答案】D

【分析】根據(jù)條形圖，結(jié)合百分位數(shù)、平均數(shù)求法及各項(xiàng)描述判斷正誤即可.

【詳解】A：由條形圖知，我國純電動汽車銷量呈現(xiàn)逐年增長趨勢，對；

B：由6x60%=3.6,故第60百分位數(shù)為2021年數(shù)據(jù)，為536.5萬輛，對；

C：由圖知：2019年到2020年增長率超過了100%,其它都不超過100%,對;

97.2+111.5+291.6+536.5+668.5+756,8°”

---------------------------------------------------------------=410,35>291.6

D：由6,錯(cuò)；

故選：D

4.直線/過拋物線°：/=2.（夕〉0）的焦點(diǎn)，且與C交于48兩點(diǎn)，若使|/a=2的

直線/恰有2條，則0的取值范圍為（）

A0<"1B.°<°<2C,P>1D,P>2

【正確答案】A

【分析】根據(jù)拋物線方程可得通徑長，根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦中通徑長最短可確定2夕<2,由

此可得所求范圍.

盧,0）

【詳解】由拋物線方程知：拋物線焦點(diǎn)為2',通徑長為2夕，

當(dāng)N8垂直于x軸時(shí)，48兩點(diǎn)坐標(biāo)為1萬'一",

此時(shí)1481mm=2。<2,且?>0,

即拋物線的焦點(diǎn)弦中，通徑最短，

所以。<"1.

故選：A.

22

T:--+=1（。>Z?>0）

5.已知橢圓。b的右焦點(diǎn)為尸，過尸且斜率為1的直線/與丁交于

48兩點(diǎn)，若線段48的中點(diǎn)M在直線x+2y=°上，則T的離心率為（）

V2VsVsV2

A.4B.3c,5D,2

【正確答案】D

【分析】分別聯(lián)立直線和橢圓，利用M的坐標(biāo)相等建立齊次方程，求解離心率即可.

;、

【詳解】

設(shè)4（嗎必）方（＞2，%），由題意可知直線4B的方程為了=x-c,

線段的中點(diǎn)〃是直線/與直線%+2丁=°的交點(diǎn),

2

X--C

I3

"1—cI1,1211

1cA—c,——

聯(lián)立〔x+2y=0,解得y〔=——3c,所以M\【33c人

江+片=1

另_方面，聯(lián)立卜二x-c,得（。一+力）廠—2。-5+。-。2_/6~=0

2a2c4

%]+%2=5T=一C79

易知A>°,由韋達(dá)定理得-a'+b3,解得口-=2價(jià),

,.cV2

a2=2（a~-c2）e=一=丁

所以V）,故離心率a2,故D正確.

故選：D.

6.如圖，在平行四邊形48c。中，1皿/840=7,45=5啦,40=5,￡為邊5。上異于端

點(diǎn)的一點(diǎn)，且幺后?！?45,貝ijsin/C￡＞￡=（）

V22_1

A.10B,25c.13D.4

【正確答案】B

17

cos/BAD=—產(chǎn),sin/BAD=—產(chǎn)

【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出5050,利用共

線定理設(shè)屜=彳比（°＜幾＜1）,表示出京二方+幾而，DE=/5+GT）赤，根據(jù)

______2=3

/￡?￡)￡=45建立等式求解5,分別求出各邊的長度，然后即可求解.

…csmZBADr

tan^BAD=----------二7

【詳解】由cosNBAD,

知/R4Q為銳角,

又因?yàn)閟iM/BXD+cosZ/BZD=1,

1.7

cos^TBAD——-f=,sin/B4D——產(chǎn)

所以5逝5V2

設(shè)5￡=45。(0</1<1),即屜=4通,

J__

AS-AD=|2§|-|2D|COS^BAD=572x5入XI——J5

5V2

AE=AB+BE=AB+AAD

DE=AE-AD=AB+(力-1”。

由/￡?￡>￡=45,

--*2/、---*2/、--*---*

(A8+2AD^^45+(2-1)20)=AB+2(2-1)^/)+(2A-1)AB-AD

得

=2522-152+45

=45

2=3

又0<%<1,故5

--—■2—■

=2,DE=AB——AD

則5

------24—*24—(■—(■

AB+—AD——ABAD50+4-1x5=5A/2

因此255

CEDE

即DEM50.在△<?￡>￡中，由正弦定理sin/CQEsinC,

以及sinC=BAD

7

sin/CDE=—

整理計(jì)算得25

故選：B.

7.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，方程2一+2/-町=1對應(yīng)的曲線為橢圓，則該橢圓的離心率為

（）

旦叵叵叵

A.2B.2C.5D.5

【正確答案】C

【分析】根據(jù)題意，分別將＞=》與^=一》代入方程解得交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到名"°,再由

離心率的公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】易得該橢圓的對稱中心為（°'°）,且關(guān)于直線了=±'對稱，

鹿目［_同_叵

將＞=x代入方程，解得兩交點(diǎn)的坐標(biāo)為i^,

座_且］r_Vs目

將》—代入方程，解得兩交點(diǎn)的坐標(biāo)為I（IA

V6,VTo1222^15

a——b-........0=J=

所以該橢圓的長半軸長3,短半軸長5,所以半焦距V3515,

cV10

e—_—____

所以其離心率為。5.

故選：C.

22

-—=1（?！?,6〉0）

8.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C:。后的左、右焦點(diǎn)分別是Q,F2,離

V6

心率為2，點(diǎn)0（X”％）是c的右支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，過尸2作/耳尸月的平分線的垂線，

垂足是若雙曲線C上一點(diǎn)7滿足月丁,用7=5,則點(diǎn)7到雙曲線C的兩

條漸近線距離之和為（）

A.2也B.2百C.2#＞D.2a

【正確答案】A

【分析】由雙曲線的定義，結(jié)合雙曲線的離心率，得雙曲線的方程及漸近線的方程,

再設(shè)T(M,V),由雙曲線的方程求點(diǎn)到兩條漸近線的距離之和.

設(shè)半焦距為c,延長巴拉交尸片于點(diǎn)N,由于尸河是㈤里的平分線，F(xiàn)2MLPM

所以ANPK是等腰三角形，所以忸M=|明，且/是限的中點(diǎn).

根據(jù)雙曲線的定義可知附H%=2%即|g|=2a,由于0是相

的中點(diǎn)，

八NT口口\M0\=—|A7\\=a=V2

所以〃。是鳥的中位線，所以?,

2

aX2_

=

—國—y

又雙曲線的離心率為2,所以。=々3,b=l,所以雙曲線c的方程為2

所以耳(-國)，鳥(①0),雙曲線c的漸近線方程為"歷叫

S_|M+V2vIIw-yj2vI

設(shè)7?,v),「到兩漸近線的距離之和為s,則GG,

22

由片=—G)(M+K)+V2=W+V-3=5；即/+/=8,

-----y=]-----V=]2222

又T在2'上，則2，即M-2V-=2,解得M=6,丫-=2,

2u

S-\\-2-J1

由故V3,即距離之和為2J5.

故選：A.

由平面幾何知識，歸M=l?聞，依據(jù)雙曲線的定義，可將也。|=正轉(zhuǎn)化為用°表示，進(jìn)

而的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

9.在V45C中，若sin4=2cos8cosC,則cos?8+cos?C的取值范圍為()

V2+1

A.4D.

V2+1

『I

【正確答案】B

［分析］先由已知條件結(jié)合sm/=sm（8+C）整理得tan8+tanC=2,tan8〉0,

tanC>0,再對cos?8+cos2c進(jìn)行弦化切，結(jié)合換元法、基本不等式、對勾函數(shù)性質(zhì)即

可求解取值范圍.

［詳解］由sinN=2cosBcosC以及s^n4=s^n［乃一（8+C）］=sin（5+C）得

sin8cosc+cosBsinC=2cos8cosC,

又由"e（°"）得sinZ=2cos8cosC>0,

所以tan8+tanC=2,且-c均為銳角，即tan8>0,tanC>0,

cos2B+cos2C11

cos2B+cos2C=

222222

所以sinB+cosBsinC+cosC1+tanB1+tanC

2+tan2B+tan2C_tan25+tan2C+2

（1+tan25）（1+tan2C）tan2Btan2C+tan2B+tan2C+l

tan2B+tan2C=（tanB+tanC）2-2tan5tanC=4-2tanBtanC

因?yàn)?/p>

6-2tanBtanC

所以cos2B+cos2C=tan2Btan2C-2tanBtanC+5,

設(shè)3-tanBtanC=m,

八d（tanB+tanCy兀

tanBtanCW---------------=1A-B--

因?yàn)镮2J,當(dāng)且僅當(dāng)4時(shí)等號成立,

81-i

掰e「23)m+—e472,6

所以"e*，力，故由對勾函數(shù)性質(zhì)mL」

2m2rV2+1

2m

cos25+cos2C=m2-4m+8

（3-m）2-2（3-m）+5

則m

故選：B.

思路點(diǎn)睛：解三角形取值范圍問題通常結(jié)合使用輔助角利用三角函數(shù)有界性、一元二次函數(shù)

單調(diào)性、基本不等式等求解.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

22

C:^---^=1

10.已知雙曲線3-mm+6，則（）

A.機(jī)的取值范圍是J'3）

_,V7

y-±—x

B.機(jī)=1時(shí)，°的漸近線方程為2

C.C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（T°），（3,0）

D.C可以是等軸雙曲線

【正確答案】ACD

【分析】選項(xiàng)A,利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求解；選項(xiàng)B,根據(jù)條件，利用求雙曲線漸

近線的求法，即可求解；選項(xiàng)C,由選項(xiàng)A知焦點(diǎn)在％軸上，再由c?=機(jī)+6+3-機(jī)=9,

即可求解；選項(xiàng)D,利用等軸雙曲線的定義，即可求解.

22

【詳解】對于選項(xiàng)A,因?yàn)?3—mm+6表示雙曲線，所以（加+'）?！樱┙?/p>

得一6（根<3,所以選項(xiàng)A正確;

x2

對于選項(xiàng)B,當(dāng)機(jī)=1時(shí)，雙曲線方程為27,其漸近線方程為

J22,所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

對于選項(xiàng)C,由選項(xiàng)A得機(jī)+6〉°，3一機(jī)〉o,所以焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)C的半焦距為c（c>°）,

則。2=機(jī)+6+3一機(jī)=9,解得c=3,故其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（一3,0），（3,0）,所以選項(xiàng)c正確;

m=--G（-6,3）

對于D,若°為等軸雙曲線，則3—機(jī)=機(jī)+6,解得2,所以選項(xiàng)D正確,

故選：ACD.

11.如圖，正方形NBC。的中心與圓。的圓心重合，P是圓。上的動點(diǎn)，則下列敘述正確

的是（）

A.西定+而?麗是定值

B.莎.而+而.定+定,而+而.莎是定值

I萬H而H4H麗I是定值

-----(-2-----(-2-----(-2-----(-2

D.PA”B+PC+PD是定值

【正確答案】ABD

【分析】依題意建立以。為原點(diǎn)的坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長為2°,圓的半徑為廠，P點(diǎn)坐標(biāo)

為尸（”/）,對選項(xiàng)中的表達(dá)式進(jìn)行化簡可得選項(xiàng)ABD中的表達(dá)式可寫成只含有。和廠的式

子，結(jié)果為定值，而C選項(xiàng)中的結(jié)果最終含有X，〉，即與夕點(diǎn)位置有關(guān)，不是定值.

【詳解】根據(jù)題意，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示:

不妨設(shè)正方形邊長為2。，圓的半徑為廠，P點(diǎn)坐標(biāo)為尸（XJ）；

則可得。,。）,。（一。,一。）,。（",一。）且—+y2=/.

^,PA二（a-x,a-y^PB=（-a-x.a-y^.PC二（-a-x,-tz-y）,PD=（a-x,-a-y^）

勿i7'U

所以對于A選項(xiàng)，

PA-PC+PB-PD=-2[(Q-X)(Q+x)+(a+y)(〃-y)]=-2(a2-x2+a2-y2^=2戶-4a2

，為定值，即A正確；

對于B選項(xiàng)畫.而+方.無+無.而+麗.可=_(a_x)(a+x)+(q_y)2

+(a+x)~-(a+v)(a-(a~x)(a+x)+(a+j)2+(a-xj-(a+v)(a-j)

=4(x2+/)=4r2^為定值，所以B正確；

H+HI+IPCI+H9

對于C選項(xiàng)，易知?1I〔III?表達(dá)式中不能表示成只含有邊長2a和半徑廠的式

子，

即與尸（x,y）有關(guān)，故其不是定值，所以c錯(cuò)誤;

對于D選項(xiàng),PA+PB+%一+0O=("—垃+("—城+("+垃+("N)2

+(a+x)-+(a+v)-+(a-x)-+(a+yJ=2[(a+x)~+(a-yJ+(a-x)-+(a+y]

=8/+492+y2)=8/+4r2

為定值，故D正確;

故選：ABD

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將向量坐標(biāo)化，再由向量數(shù)量積

的坐標(biāo)表示求解是否為定值.

/BAD兀

12.直四棱柱4ss-4gG2的所有棱長都為4,7,點(diǎn)P在四邊形8OQ/1及

其內(nèi)部運(yùn)動，且滿足歸$+歸a則下列選項(xiàng)正確的是（）

ac,

A.點(diǎn)P的軌跡的長度為兀.

B.直線NP與平面B'O/i所成的角為定值.

2亞

C.點(diǎn)P到平面如旦的距離的最小值為7

D.PCi的最小值為-2.

【正確答案】BC

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，表示忱H+PC=8,化簡后得點(diǎn)尸的軌跡方程，得軌跡長

度判斷A；向量法求線面角判斷B,向量法求點(diǎn)到平面距離，結(jié)合點(diǎn)尸的軌跡得最小值判斷

C；坐標(biāo)表示向量數(shù)量積，結(jié)合點(diǎn)尸的軌跡最小值判斷D.

【詳解】直四棱柱"BC?！?81G2的所有棱長都為4,則底面4BC。為菱形，

71

ZBAD=-

又3,則△4BQ和A△C8O都是等邊三角形,

設(shè)AD與NC相交于點(diǎn)°,由8￡>J_4C,以。為原點(diǎn)，（必為x軸，為歹軸，過。垂

直于底面的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則有AQ瓜0,01B（0,2,0）,C《28,0,0）0（0,-2,0）

4G百,0,4）與（0,2,4）,G《26,0,4）〃（O,_2,4）

點(diǎn)尸在四邊形以油用及其內(nèi)部運(yùn)動，^P（0,j,z）；-2<y<2,0<z<4

+^2>/3^+y2+z2=8

+/+2Z2

,有

/+z2=4(-2<y<2,0<z<2)

所以點(diǎn)p的軌跡為>°z平面內(nèi)，以。為圓心，2為半徑的半圓弧,

所以點(diǎn)P的軌跡的長度為2兀，A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

平面BDDA的法向量為加=6°，°）,AP=（一2"），2）,

AP-m2A/3V3

sin6=

22

直線/p與平面所成的角為e,則AP\\myJ12+y+z2

0&0,-

又由L2」，則

所以直線/P與平面所成的角為定值，B選項(xiàng)正確;

為=（-28,2,4）四（-20,-2,4）,設(shè)平面的一個(gè)法向量癡=（叩,幻，

ABX?n=-2A/3X+2y+4z=0

則有「方=—2Gx—2y+4z=0,令x=2,得y=0,z=G,）=@，°，百），

|-2V3X2+V3Z||-4V3+V3Z|

"丁呵一.

所以點(diǎn)尸到平A面DiBi的距離、'',

卜46+2閻2721

cc^min=------耳----=二一

0<z<2,所以Z=2時(shí)，<77,

2而

所以點(diǎn)尸到平面'〃片的距離的最小值為7,c選項(xiàng)正確；

網(wǎng)=?君，r，4-z）屬=G26,-y,4-z）

囤?西=T2+/+（Z-4）2,其幾何意義為點(diǎn)08*）到點(diǎn)（％）距離的平方減12,

由/+z?=4,點(diǎn)P8,z）到點(diǎn)94）距離最小值為4-2=2,

,°G的最小值為22-12=-8,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC.

方法點(diǎn)睛：

空間幾何體中的相關(guān)問題，要利用好幾何體本身的結(jié)構(gòu)特征，點(diǎn)線面的位置關(guān)系，圖形中的

角度和距離等，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法解決問題，也是常用的方法.

第II卷

注意事項(xiàng)：

第II卷共2頁，需用黑色墨水簽字筆在答題卡上作答，若在試題卷上作答，答題無效.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

222

Q：-「=1，G：土_匕=]

13.己知雙曲線機(jī)4機(jī)的離心率分別為6和02,則602的最小值為

3

【正確答案】2##1.5

e=

【分析】由雙曲線離心率公式結(jié)合基本不等式即可求解.

【詳解】

由題意得機(jī)〉°,

43

JTI———

m，即機(jī)=2時(shí)，等號成立，所以e?2的最小值為2.

3

故答案為.5

14.v2x+x-y）的展開式中V/的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

【正確答案】120

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式有關(guān)知識求得正確答案.

【詳解】由于XV=&);./,

所以(2,的展開式中含XT的項(xiàng)為CG)2X中V(-4=",

所以(2-+X—V)的展開式中//的系數(shù)為120.

故120

15.法國數(shù)學(xué)家盧卡斯在研究一元二次方程必-》-1=0的兩個(gè)根匹，/不同塞的和時(shí)，發(fā)現(xiàn)

了再+/=1,x；+x；=3,…，由此推算x；°+E°

【正確答案】123

【分析】利用韋達(dá)定理及匯=西+1,后=%+1可先計(jì)算立方和，再求五次方和，結(jié)合完

全平方公式計(jì)算即可.

［詳解］因?yàn)樵?"2=1,X1X2=-1,玉=再+1,%2=%2+1,

所以'；+*="（再+1）+%（工2+1）="I+￥+（再+'2）=2（/+%）+2=4

所以X；+*=X：（石+l）+xf（x2+1）=6+X：）++E）=G：+%2）-2（再工2）2+

G：+%；）=11

所以￡。+￡。=6+焉)121+2=123

故123

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.如圖所示的五面體ABC-為直三棱柱ABC—481G截去一個(gè)三棱錐D-48c后

的幾何體，幺℃。，"==2,〃為四的中點(diǎn)，E,尸分別為G。，

4。的中點(diǎn).

（1）判斷2斤和CE是否垂直，并說明理由;

（2）設(shè)4P=X4C（0W條1）,是否存在4,使得平面/8C與平面尸8斤夾角的余弦值

2

為7?若存在，請求出力的值；若不存在，請說明理由.

【正確答案】（1）8尸和CE不垂直，理由見解析

（2）存在實(shí)數(shù)2

【分析】（1）根據(jù)給定條件，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出8尸-CE即可

判斷.

（2）利用（1）中坐標(biāo)系，平面尸2尸的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得.

【小問1詳解】

2尸和CE不垂直，理由如下：

以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線C4,CB,℃1分別為x〃，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

刖2（2,0,0）5（0,2,0）C（0,0,0）4（2,0,2）。（0,2,1）q（0,0,2）

33—?3—3

^（o,l,-）F（l,l,-）5F=（1,-1,-）C￡=（0,l,-）

__33s

5F-CE=lxO+(-l)xl+-x-=-^O

因?yàn)?224

所以3尸和CE不垂直.

【小問2詳解】

2

假設(shè)存在幾使得平面/8C與平面尸8尸夾角的余弦值為由4?=X/C,得

F(2(l-2),0,0)

顯然平面NBC的一個(gè)法向量為〃i=(°'°』)，08=(2(4—1),2,0),

n2?PB=2(2-l)x+2)/=0

〈一一?3

\n2-BF=x-y-^--z=0

設(shè)平面必尸的法向量為〃2=(Xj*人則〔”2，取x=3,得

n2=(3,3-34-24)

設(shè)平面ABC與平面PBF的夾角為夕，

222

J9+9(1-+(-2力)~7

而0W%1.解得

2=1

所以存在實(shí)數(shù)2,使得平面/3C與平面尸2尸夾角的余弦值為7.

17.將一枚質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲兩次，所得的向上的點(diǎn)數(shù)分別記為設(shè)卜］表示不超

a

過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù),的值為隨機(jī)變量X

(1)求在X>°的條件下，6的概率;

(2)求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望.

2

【正確答案】(1)§

41

(2)分布列見解析，36

x=巴

【分析】（1）列舉X>0與7的樣本點(diǎn)，利用條件概率公式計(jì)算即可；

（2）根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列與期望公式計(jì)算即可.

【小問1詳解】

（ab）?QV6,1V6V6,a、Z）€N1

記拋擲骰子的樣本點(diǎn)為1'人則樣本空間為N/樣本空

間容量為36,

X=3

設(shè)事件/為：X>°,事件8為：b,

則/為：｛（1,1）,（2」），（3，1），（4，1），（5，1），（6，1），（2,2）,

（3,2）,（4,2）,（5,2）,（6,2）,（3,3）,（4,3）,（5,3）,（6,3）,（4,4）,（5,4）,（6,4）

（5,5）,（6,5）,（6,6）｝,其包含的樣本點(diǎn)數(shù)為21.

^5=｛（1,1）,（2,1）,（3,1）,（4,1）,（5,1）,（6,1）,（2,2）,（4,2）,（6,2）,（3,3）,（6,3）,（4,4）,（5,5）,（6,6））

，其包含的樣本點(diǎn)數(shù)為14,

尸3)=?上」

根據(jù)條件概率得。⑻213；

【小問2詳解】

隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,4,5,6,

p(x=o)=^^=—p(x=l)=—=-p(x=2)=—=-

')3612,17363,v7369,

p(X=3)=—=—P(X=4)=—P(X=5)=—