第四章圖形的相似（B卷?培優卷）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

A卷（共100分）

第I卷（選擇題，共32分）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題4分，共32分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.如圖，四邊形A8CD與四邊形EFGH位似，位似中心是O,若且四邊形A3C。的周長為

4,則四邊形EFG8的周長為（）

C.20D.24

【答案】A

【分析】根據位似的性質，可知兩個四邊形的周長之比也為1：3,即可得解.

【詳解】解：由題知：OA:OE=l3

3CADCB=CRGFE=3X4=12,

故選4.

【點睛】本題考查了位似圖形的性質，知道位似圖形周長比等于相似比是解題的關鍵.

2.如圖，直線乙〃4〃4,直線。，b與直線4,k，4分別交于點A,B,C和點O,E,尸，若AB：3c=2：3,

)

C.7D.8

【答案】B

【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，根據平行線分線段成比例定理得到部=分，據此代

BCEF

值計算即可.

【詳解】解：???4〃/2〃/3,

.AB_DE

VAB：BC=2：3,EF=9,

?DE_2

??=一,

93

DE=6,

故選B.

3.如圖，點￡是：ABCD的邊AD的中點，班平分—ABC交AC于點后下列結論不正確的是（

A.BF=3EFB.CD=DEC.CF=2AFD.S,=2S

【答案】A

【分析】根據平行四邊形的性質得出AD〃5C,進而得到△但w，得出B等F=表BC=與CF，結合線

段中點性質即可判斷A,C選項；再根據等腰三角形的性質和角平分線的性質即可判斷B選項；最后根據

△AM和AAEF中，底邊防和石尸上的高相等，比較底邊即可判斷D選項.

【詳解】解：?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

AAD//BC,AD=BC,AB=CD,

:?AAEFS&CBF,ZAEB=ZCBE,

.BFBCCF

??而一直一耘’

TE是AZ＞的中點，

???AE=DE=-AD=-BC,

22

BFBCCF

***=——=~■—=2,即卸三Z￡F,CF=2AF,故A選項錯誤，C選項正確；

EFEAAF

BE平方NABC,

；?ZABE=NCBE,

JZABE=ZAEB,

/.AB=AE,

：.CD=DE,故B選項正確；

;在和AAEF中，底邊防和肝上的高相等，BF=2EF

SABF=2SAEF,故D選項正確;

故選：A.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的性質與判定，角平分線的性質，等腰三角形的性質

與判定，平行線的性質等知識點，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵.

4.如圖，把菱形ABCD沿著它的對角線AC方向平移1cm,得到菱形EFG",若AC=4cm,則圖中陰影部

分的面積與四邊形的面積之比為（）

A.14:9B.3:2C.4:3D.17:9

【答案】A

【分析】此題主要考查了菱形的性質以及相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決

MFS9

問題，屬于中考常考題型.首先得出△MFCs△以c,則笠=等，進而得出產”=之,即可得出答

ACAD16

案.

【詳解】ME//AD,

:.Z\MEC^/\DAC,

.ECME

,AC-An，

，菱形ABCD的對角線AC=4cm,把菱形ABCD沿著它的對角線AC方向平移1cm,得到菱形印GH,

EC3

/.AE=1cm,EC=3cm,/.-----=一,

AC4

.°qACME_Qy

SfDC16

???圖中陰影部分圖形的面積與四邊形EMCN的面積之比為：::=/=￡.

9+9189

故選：A.

5.如圖，在ABCD中，對角線AC,BD交于點0,E為AD三等分點且他＞DE,連接CE交3D于點尸,

若.DEF的面積為1,則ABCD的面積為（）

【答案】C

【分析】證明△國4CFB,由相似三角形的性質得出品=器，A=（器＞=:，得出沁=]

求出三角形3。的面積，則可得出答案.

【詳解】:四邊形A5CD是平行四邊形，

AD//BC,AD=BC,OB=OD,

：.ZDEF=/BCF,ZEDF=ZFBC,

:?4EFDACFB,

.EDDF

**BC-BF?

,/E為AD三等分點且

.EDDF_1

**BC-BF-3?

???BF=3DF,

,SEFD_（W_J_

SCFB-BF-9'

,-qCFD_1

:J）EF的面積為1,JS^BCF=9,

,?,uqCFD~-）3，

?**SBCD=SCFD+SCFB=3+9=12，

*e?SABCD=25BCD=2x12=24.故選：C.

【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質以及平行四邊形的性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質

是解本題的關鍵.

6.如圖，直線。〃）〃c〃d〃e,每相鄰兩條直線之間的距離均相等，點A,B,。分別在直線〃，c,e上，

A5交萬于點。，BC交d于點E,C4分別交直線兒。于點G,F.若四邊形D￡FG的面積為2,貝UVABC

的面積為（）

b

ft

【答案】C

【分析】根據。〃以及每相鄰兩條直線之間的距離均相等，得到DE,尸分別為各邊中點，G

為AF中點，即可證明△BDESABAC,可得沁=；,同理得到#=：,沁=：,再推出

%BACq,△CBA4^^ABF今

S/\ADG=T^/XABF=G^AABC，可*禾U用^AABC=^ABDE+^AC￡F+^AADG+^DEFG得到方程，解之可得S.ABC?

4o

【詳解】解：a//b//c//d//e,每相鄰兩條直線之間的距離均相等，

:.D,E,尸分別為各邊中點，G為AF中點，

DE//AC,

/\BDE^Z\BAC,

.Sa/B叫1

,?S&BACUsJ4'

同理：.CEFs.CBA,△ADGS^ABF,

SCF

■^EF.fYJS._1

'SACBAUcJ4'S△.一［AB)-“

?,^AABF=S&CBF=5，

**SAADG=S^BF=g^^ABC，

?,^/XABC=S八BDE+S/\cEF+/\ADG+^DEFG

=WS/\ABC+W8AAec+g8AAec+SDEFG=W^AABC+2

故選：C.

【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理,解題關鍵是分析出平行于三角形一邊的直線截其他兩

邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例.

7.如圖，在梯形ABC3中，AD//BC,ZBAD=9(）,AD=1,BC=2,對角線AC、BD交于點E.當邊

4B的長度發生變化時，下列說法中正確的是（）

A.點E到邊4B的距離不變B.點E到邊BC的距離不變

C.點E到邊CD的距離不變D.點E1到邊D4的距離不變

【答案】A

【分析】先證△EWsAECB得EC=2E4,EB=2ED,貝UAC=3AE,DB=3DE,過點E1作EF_LAB于點

F,過點E作EH/BC,HE的延長線交AD于K,EP_LCD于P,過點。作。。，以？于。，證明

22

△BEFs^BAD得EF=],由此可對選項A進行判斷；證明一。石"s,C4B得EH=§A3,由此可對選項3進

行判斷；根據KH=AB，得EK=：AB,由止匕可對選項。進行判斷；設=貝1」￡"=等，EK",

貝|JZ)Q=AB=Q,CQ=1,進而得CD=+1，根據SE4B+S+SEBC+S,EC0=S梯形LCD可得"=2"；+1,由

3/+3

此可對選項。進行判斷.

【詳解】解：,?四邊形ABCD為梯形，AD//BC,AD=l,BC=2,

EAD^ECB,

EA:EC=DE:EB=AD:BC=1:2,

:.EC=2EA,EB=2ED,

:.AC=EA+EC=3AE,DB=ED+EB=3DE,

過點Er作EF_LAB于點F,過點E作班1的延長線交A。于K,￡P_LCD于P,過點。作

:.ABEF^ABAD,

EF:AD=EB:DB,

即EF:1=2ED:3DE.

.,?點E到邊A3的距離不變，

故選項A正確，符合題意；

QZBAD=90°,AD//BC,

:.ZABC=90°,

又QEHBC,HE1的延長線交AD于K,

四邊形為矩形，

:.HK〃AB,HK=AB,

CEH^CAB,

:.EH:AB=EC:AC,

即EH:AB=2EA:3AE,

:.EH=-AB,

3

.,?當邊AB的長度發生變化時，E"隨A3的變化而變化，

故選項B不正確，不符合題意；

2

KH=AB,EH=-AB,

.-.EK=HK-EH=AB--AB=-AB,

33

???當邊AB的長度發生變化時，EK隨AB的變化而變化，

故選項D不正確，不符合題意；

設=則即=彳，EK=%,

ZBAD=ZABC=90°,DQLBC,

二四邊形A3QD為矩形，

/.BQ=AD=1,DQ=AB=a,

.\CQ=BC-BQ=2-1=1,

在Rt^OQC中，由勾股定理得：0=7^+CQ2=7771,

SEAB+SEAD+SEBC+SECD=S梯形"8，

：.-ABEF+-ADEK+-BCEH+-CDEP=-(AD+BC)AB,

22222

:.ABEF+ADEK+BCEH+CDEP=(AD+BC)AB,

BP<7X-1+1X-|-+2X-^-+EP-\ja2+1=(1+2)a,

當邊AB的長度發生變化時，EP隨AB的變化而變化，

故選項C不正確，不符合題意.

故選：A.

【點睛】此題主要考查了梯形的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，矩形的判定與性質，點到直

線的距離，熟練掌握梯形的性質，相似三角形的判定和性質是解決問題的關鍵.

8.如圖，在矩形ABCD中，點E在A。上，若4EC=45。且AE=2,ED=1,則AB的長為（）

【答案】A

【分析】分別以A3,為直角邊作等腰RtABF和等腰RtADCG,判定,BEF~ECG,即可得到A3的

長.

【詳解】解：如圖，分別以A3，8為直角邊作等腰Rt/供和等腰RtADCG,

依題意得/b=NG=ZBEC=45°,

NFBE+NBEF=NCEG+NBEF=135°,

:.NFBE=NCEG,

BEFs、ECG,

FB_GE

,,近一女’

NNCABI+AB

即-------=~f=

AB+242AB

解得：人3=2±姮

（負值舍去）,

2

故選：A.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質以及等腰直角三角形的性質的運用，作輔助線構造等腰

直角三角形以及相似三角形是解決問題的關鍵.

第團卷（非選擇題，共68分）

二'填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分，答案寫在答題卡上）

9.如圖，在口ABC。中，對角線AC,2D相交于點。，在8A的延長線上取一點E,連接OE交于點R若

CD=5,8c=8,AE=2,貝!|AF=

【答案】y

【分析】過。點作求出AM和M。的長，利用得到關于A尸的比例式，求出

A尸的長即可.

【詳解】解：過。點作0M

:四邊形ABCO是平行四邊形，。8=。。,

???0河是4A5O的中位線，

151

AM=BM=-AB=-,OM=-BC=4.

222

'：AF/7OM,

：.AAEF^AMEO,

.AE_AF

??昂一而‘

2_AF

A2+-4，

2

故答案為：號.

【點睛】本題考查矩形的性質、三角形的中位線定理、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是學

會添加常用輔助線，學會用方程的思想思考問題.

10.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,以點A為圓心、AC長為半徑畫弧，交于

點、D,再分別以2、。為圓心，大于二8。的長為半徑畫弧，兩弧交于N,作直線MN,分別交A3、BC

于點E、F,則線段E尸的長為—.

3

【答案】

【分析】依據勾股定理以及線段垂直平分線的的性質，即可得到BE的長，再根據△ABCsaFBE,即可得

至I」EF的長.

【詳解】解：:RtZXABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,

...由勾股定理得，42=后+8?=10,

由題可得，AD=AC—6,

.?.80=10-6=4,

由題可得，垂直平分

：.BE=2,ZBEF=ZACB=9Q°,

又,：

：.△ABCs^FBE,

.EFBE

"~CA~~BC'

2

解得EF

2

3

故答案為：—

【點睛】題主要考查了勾股定理和相似三角形解的判定與性質，在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖

形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用.

11.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點、O,OECD交BC于點、E,連接AE交3D于點孔

【分析】設OE=a,證明0E是△■BCD的中位線，得8=AB=2OE=2A,再證明ABFs-EOF得BF=2OF,

BF

進而得08=8尸+OF=3OF,BD=2OB=6OF,由此可得——的值.

BD

【詳解】解：設OE=a,

:四邊形ABC。為矩形，對角線AC、BD交于點0,

：.AB=CD,AB//CD,OB^OD=OC=OA=-BD,NDCB=90°,

2

；OECD,則OE_L3C,

BE=CE,則OE是ABCD的中位線，

CD=AB=2OE=2a,

VAB//CD,OECD,

AB//OE,

：..ABFSBEOF,

BF:OF=AB:OE=2a:a=2,

JBF=2OF,

：.OB=BF+OF=3OF,

：.BD=2OB=6OF,

.BF2OF_1

**BD-6OF-3*

故答案為：g.

【點睛】此題主要考查了矩形的性質，三角形的中位線定理，三線合一，相似三角形的判定和性質，理解

矩形的性質，熟練掌握三角形的中位線定理，相似三角形的判定和性質是解決問題的關鍵.

12.如圖，在VABC中，平分/ABC,AFLBF于點F,。為A3的中點，連接叱延長交AC于點E.若

AB=8,BC=10,則線段族的長為.

【答案】1

【分析】根據直角三角形斜邊中線性質得到AD=BD=DF=^AB=4,結合角平分線推出ZDFB=ZCBF,

得到￡>E〃3C,進而證得DE是VA3C的中位線，求出。E=ggC=5即可.

【詳解】解：尸平分,ABC,

/.ZABF=ZCBF,

；AF_L^'于點尸，。為AB的中點，

/.AD=BD=DF=~AB=4,

2

ZABF=ZDFB,

：.ZDFB=ZCBF,

：.DE//BC,：.AADE^AABC,

.ADAE

.?--=--=1A,

BDCE

???DE是VABC的中位線，

DE=-BC=5

2f

：.EF=DE-DF=5-4=1f

故答案為：1.

【點睛】此題考查了直角三角形斜邊中線的性質，相似三角形的判定與性質，三角形中位線的應用，正確

理解直角三角形斜邊中線的性質及三角形中位線性質定理是解題的關鍵.

13.如圖，NACB=90。,AC=JBC,A。，C瓦JBE，CE垂足分別是Z),瓦AB與EC交于點H,A。=3,8E=l,則

EH的長為.

【答案】；

【分析】先證明△ACDtACBE,得到CE=AD=3,CD=BE=1,求出DE=2,再證明△ADHs/VBEH,利用

DHAD…?

——=—=3求出EH.

EHBE

【詳解】??,NAa=90。,

ZACD+ZBCE=90°,

?.,AD上CE,BE上CE,

：.NADC=NE=90。，

???ZDAC+ZACD=90°,

:.ZDAC=ZBCE,

VAC=BC,

AAACD^ACBE,

???CE=AD=3,CD=BE=1,

：.DE=2,

VAD±CE,BE.LCEf.,.AD〃BE,

.,.△ADH^ABEH,

.DHAD

??宙一瓦—’

??.EH=L

2

故答案為：

2

【點睛】此題考查全等三角形的性質及判定定理，相似三角形的判定及性質定理，正確理解題意，證得

△ACD^ACBE,求出DE=2是解題的關鍵.

三、解答題（本大題共5個小題，共48分，解答過程寫在答題卡上）

14.由邊長相等的小正方形組成的網格，以下各圖中點A、B、C,。都在格點上.

B

:C:D::::4

圖1圖2圖3

(1)在圖1中，PC:PB=；

(2)利用網格和無刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法.

①如圖2,在4B上找點P,使得AP:PB=1:3；

②如圖3,在8C上找點P,使得一

【答案】(1)1:2

⑵①見解析；②見解析

【分析】本題考查了作圖-應用與設計，相似三角形的判定，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵

是理解題意，學會利用數形結合的思想思考問題，屬于中考常考題型.

(1)根據網格性質可得AB〃CD,進而可得“APBsDPC,即得PC:P3=AB:CD；

(2)①仿照(1)的圖形構造相似比為1:3的相似三角形即可；

②利用對稱，即可圖形轉化為(1)的形式.

【詳解】(1)解：；AB//CD,

:._APBs.DPC,

：.PC:PB=CD:AB,

'：AB=2CD,

：.PC:PB=1:2.

(2)①如圖中，點P即為所求；

②如圖中，點P即為所求;

15.如圖，在銳角三角形ABC中，CENAB于點E,點。在邊AC上，連接8。交CE于點八且

EFFC^FBDF.

⑴求證：BDLAC-,

(2)求證：AEC^FEB-

⑶連接AF,已知EF:3E=3:5,求AG3c.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

(3)3:5

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形對應邊成比例是解題關鍵.

(1)證明△BEFsaCDF,得到B￡F=NCDP=90。，即可證明結論；

(2)由可得，即可證明相似；

AFEF

(3)根據相似三角形的性質，證明△的s△曲，得至ij=即可求解.

BCBE

【詳解】(1)證明：EFFC=FBDF,

.EF_BF

?,而一衣'

/EFB=NDFC,

,△BEFs/\CDF,

:.BEF=/CDF,

CE1AB,

??./BEF=9伊,

.\ZCDF=90°,

:.BD±AC

（2）證明：由（1）得△BEFs'DF,

:./EBF=ZDCF,

又ZBEF=ZAEC=90°,

AECs/EB；

（3）解：由（2）得/AECsFEB,

.AEEC

,?商一前’

.AEEF

'~CE~~BE'

ZAEF=ZCEB=90°,

:.AAEFSMEB,

.AFEF

EF:BE=3:5

AF:BC=3:5.

16.如圖①，大風閣是西安漢城湖的標志性建筑，取意于漢高祖劉邦的《大風歌》"大風起兮云飛揚，威加

海內兮歸故鄉，安得猛士兮守四方”的意境.小華和曉麗在一個陽光明媚的周末去測量大風閣的高度A5,

如圖②，首先，在C處放置一面平面鏡，小華沿著BC的方向后退，到點E處恰好在平面鏡中看到大風閣頂

端A的像，小華的眼睛到地面的距離OE=1.6米，CE=1.2米；然后，同一時刻大風閣在陽光下的影子頂端

在〃處，同時，曉麗測得小華身高的影長EG=Q9米，小華的身高麻=1.8米，MC=15.8米，已知

ABLBG,EF1BG,點、B、M、C、E、G在同一水平直線上，點、E、D、尸在一條直線上，請求出大風閣A3

的高度.（平面鏡大小、厚度忽略不計）

【答案】大風閣的高度A3為23.7米.

【分析】本題考查相似三角形的判定與性質的實際應用及分析問題、解決問題的能力.利用數學知識解決

實際問題是中學數學的重要內容.解決此問題的關鍵在于正確理解題意的基礎上建立數學模型，把實際問

題轉化為數學問題.根據題意得到：ZABC=NFEC=NFEG=90。,ZAMB=NFGE,ZACB=ZDCE,由

此推知AABC^ADEC,所以由相似三角形對應邊成比例求得線段A3的長度即可.

【詳解】解：由題可得：ZABC=ZFEC=ZFEG=90°,ZAMB=ZFGE,ZACB=ZDCE,

ABMs-FEG,AABC^ADEC.

.ABBMABBC

"~EF^~EG'

,AB_BMAB_BM+15.S

"TS~~0^9'L6-L2--

解得AB=23.7.

大風閣的高度AB為23.7米.

17.在平面直角坐標系中，已知。4=10cm,03=5cm,點尸從點。開始沿Q4邊向點A以2cm/s的速度移動；

點。從點2開始沿80邊向點。以lcm/s的速度移動.如果尸、。同時出發，用《S)表示移動的時間(0MY5),

⑴用含/的代數式表示：線段PO=_cm；0Q=cm.

(2)當f為何值時△P。。的面積為6cm2?

(3)當△尸。。與VAO8相似時，求出f的值.

【答案】⑴2M5-。

⑵當f=2或3時，三角形P。。的面積為6cm2

⑶當f=1或1時，△尸。。與VAQB相似

【分析】本題主要考查三角形的面積公式，相似三角形的性質，

（1）由運動知，0P=2/cm,OQ=（5—r）cm,得出結論；

（2）根據△尸。。的面積為6cmt建立方程6=gx2/x（5T）,解方程即可求出答案；

（3）分△POQS^AOB或兩種情況，得出比例式，建立方程求解，即可求出答案.

【詳解】（1）由運動知，OP=2rcm,OQ=（5-Z）cm,

故答案為：2M5一）；

（2）由（1）知，OP=2rcm,OQ=（5-r）cm,

POQ的面積為6cm2，

6=ex2/x（5-1）,

.二，=2或3,

.??當％=2或3時，三角形尸。。的面積為6cm2.

（3）POQ與NAOB相似，ZPOQ=ZAOB=90°,

POQsAOB或APOQS^BOA,

OPOQ—OPOQ

,OAOBOBOA

當”=①，則且==

OAOB105

5

t=一,

2

當濠胃時，嗚*，

當f=』或1時，△POQ與VAO3相似.

2

18.如圖所示，在矩形ABCD中，將矩形ABCD沿砂折疊，使點D落在A3邊上的點G處，點C落在點X

處，GH交BC于點、K,連接DG交取于點O,DG=2EF.

H

⑴求證：DEDA^DODG；

(2)探索A3與BC的數量關系，并說明理由.

【答案】(1)見解析

(2)BC=2AB,理由見解析

【分析】本題考查了相似綜合題，綜合運用了相似三角形的判定和性質，矩形的性質等知識點，熟練掌握

相似三角形的判定和性質是解題的關鍵.

(1)根據矩形的性質和折疊的性質得出角相等，進而利用相似三角形的判定和性質解答即可；

(2)根據相似三角形的判定和性質和矩形的判定和性質解答即可.

【詳解】(1)證明：：四邊形ABCD是矩形，

/.ZDAG=90°,

由折疊性質得：DGLEF,

：.ZDAG=ZEOD=90°,

,/ZGDA^ZEDO,

,.DADG

??AAADG00△AODE，??-----=------，

DODE

:.DEDA=DODG；

(2)解：BC=2AB,理由如下：

過點E1作RV_L3c于N,

H

由折疊性質得：DG±EF,

：.ZEOG=ZENF=ZDAG=90°,

???NOEN+NDEO=90°,NDEO+/EDO=90。,

:?NOEN=/EDO,即NNEF=/EDO,

*.ADGA^AEFN,

DADGc

-----=------=2則AD=2EN,

ENEF

??ZAEN=ZA=ZABC=90°,

??四邊形ABA石是矩形,

??EN=AB,

AD=2AB,

：BC=AD,

,?BC=2AB.

B卷（共50分）

一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分，答案寫在答題卡上）

19.如圖垂足分別為BQ,42=2,8=4,30=3.若在直線MN上存在點尸,能使與"CD

相似，貝UPB=

【答案】3或1或1±典

2

【分析】分三種情形①延長CA交MN于Pi,此時△PiABs/\PiCD.②當點P2在BD上時.③當點P3在

BD的延長線時,分別列出方程即可即可.

【詳解】如圖，

AB1MN,CD1MN,

AB〃CD

△PiAB^APiCD,

PXBAB

而一而一萬，

???PiB=BD=3.

②當點P2在BD上時，設P2B=X,若^ABP2s4CDP2則有而二請，

.2_x

??一，

43-x

x=l,

AP2B=1,

Y2

若ZkABP2s△PzDC,則有：=—,方程無解.

43-x

③當點P3在BD的延長線時，?.,△P3AB^ACP3D,

.P3BAB

.尤_2

,々一尤-3'

，x=史巫或主巫（舍棄）

22

；.P3B=3+屈,

2

綜上所述，滿足條件的PB的長為3或1或巴亙.

2

【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質、一元一次方程、一元二次方程等知識，解題的關鍵是學會用

分類討論的思想思考問題，把問題轉化為方程解決，屬于中考常考題型.

20.如圖，在正方形ABCD中，E是邊2C的中點，連接AE,過點8作防，AE于點延長跖交0c于

點G,連接則DF勺的值為.

【分析】此題主要考查了正方形得到性質，直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的

判定和性質，理解正方形得到性質，直角三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質，相似三角形

的判定和性質是解決問題的關鍵.延長BG與的延長線交于點證4的￡和，3。6全等得跖=。6,

再根據點E是邊BC的中點得CG=DG,由此可證A3CG和△WDG全等，^\\BC=DH=AD,進而得

DF=AD=DH,設BF=a,再證&ABE和△AFB相似得AB:A尸=BEV據此得AF=2a,在RtABF中由

DF

勾股定理得小則小=3島，由此可得壽值.

【詳解】解：延長8G與的延長線交于點如圖所示:

四邊形A5CD為正方形,

.\AB=BC=CD=AD,ZABC=ZC=ZCDA=90°,

.-.Z2+Z3=90°,

BF±AE,

/.Zl+Z3=90°,

「.N1=N2,

在后和i3CG中,

21=Z2

<AB=BC,

ZABC=ZC=90°

/.ABE^BCG(ASA),

:.BE=CG,

石是邊5C的中點，

BE=-BC=—CD,AB=2BE,

22

/.CG=-CD,

2

:.CG=DG,

在/5CG和△HDG中，

ZC=ZHDG=90°

<CG=DG,

NBGC=ZHGD

BCG沿HDG(ASA),

:.BC=DH=AD,

即點。為AH的中點，

BF^AE,

.\DF=AD=DH，

設5尸=〃，

ZABE=ZAFB=90°,Z1=Z1,

:.AABE^AAFB.

:.AB:AF=BE:BFf

2BE:AF=BE:a,

:.AF=2a,

在RtABF中，AF=2a,BF=a,

由勾股定理得：AB=^AF2+BF2=y[5a

DF=AD=y/5a,

.DF島非

一~AF~~2a~~2'

故答案為：4-

2

21.如圖，在矩形ABC。中，AD=10,A3=8,將A3沿AE翻折，使點2落在&處，AE為折痕，再將EC

沿EF翻折，使點C恰好落在線段E9上的點C處，跖為折痕，連接AC,若CF=3,則ZAEF=度，

AC'=.

【分析】根據翻折的性質即可求出N/回=90。，再證.AB'E~/ECF(AA),可求出CE的長，利用勾股定理即

可求出AC'的長.

【詳解】解：由翻折性質可得：ZAEB=ZAEB,ZCEF=ZCEF,

'：ZAEB+ZAEB+ZCEF+ZCEF=180°,

，ZAEB+ZCEF=90°,

即NAEF=90°；

ZCFE+ZCEF=90°,

ZAEB=ZCFE,

,A5Z~N￡CW（AA）,

,ABBE

??-；—-—；-f

CECF

：.^CE=x,

???4）=10,AB=8,四邊形ABC。是矩形，

???BC=10,

：.BE=10-x,

由翻折性質得：BE=BE=10-x,CE=CE=x,AB=AB=8^CF=3,

.8_10—x

■"x-

解得：x=6或4,

BC=BE-C'E=W-2x,

??.B'C'=2或一2（舍），

在RtAS'C'中，由勾股定理得：AB+BC'=AC,

AC=2^fn,

故答案為：90,2而

【點睛】本題主要考查了翻折性質、相似三角形的判定與性質及勾股定理，靈活運用所學知識是解題關鍵.

22.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4.點E是2C邊上一動點，連接AE.將./睡沿AE翻折得到

AAFE,延長跖與直線AD相交于點G.當點A,F,C三點共線時，線段AG的長為.

【答案】v

4

【分析】本題考查矩形的性質、勾股定理、翻折的性質、相似三角形的性質和判定，本題利用勾股定理算

出AC,利用翻折得到NAFG="=9O。，證明AbGs,仞。，利用相似三角形的性質建立等式求解，即

可解題.熟練掌握相關性質定理并靈活運用，即可解題.

【詳解】解：當點A,F,C三點共線時，如圖，

AGD

四邊形ABC。是矩形,

/.ZB=ZD=90°,AD=BC,

在RtZWBC中,

AB=3,BC=4,

???由勾股定理，AC=YIAB2+BC2=5,

「將.ABE沿AE翻折得到AAFE,

AF=AB=3,ZAFE=ZB=90°,

ZAFG=ZD=90°,

又'ZFAG=ZDAC,

.AFG^ADC,

AGAFAG3

——=——，即Rn——=一,

ACAD54

解得AG=f,

4

故答案為：—.

4

23.如圖矩形ABCD中，BC=6,點、E,歹分別在AB,BC邊上，且=BF=CF,連

ED,EC,AF.AF與ED,EC分別交于點G,H.則AG:GH:HF=.

【答案】42:24:11

31

【分析】作E/〃BC,得到多個相似三角形，由尸得出A/=[AE"=[AF,再由一￡7Gs_ZMG得

出AG=^AF,最后由,ETHSOH得出=

所以可計算出AG:GH:HF=^AF:^AF:^AF=42:24:11.

【詳解】解：作口〃3c交A/于點/,則.AE/S.AB尸,

BFC

???四邊形ABC。是矩形，

ADA=BC=6,DABC,

：.EI//DA,

BF=CF=-BC=-x6=3,

*.*AE=3BE,

：.AB^AE+BE=3BE+BE=4BE,

.AI_EIAE_3

**AF-BF-AB-4，

33931

EI=-BF=-x3=-,AI=-AF,FI=-AF,

44444

V..EIG^DAG,

9

??.IG=E/J=3,

AG~DA~6~8

AG=——AI=—

?.?EI//CF,

EIH^CFH,

9

.,?勢=旦=a=3

HF~CF~3~4

：.GH=AF--AF--AF=-AF,

6777

，AG:GH:HF=-AF:—AF:-AF=42-.24:U,

11777

故答案為：42:24:11.

【點睛】本題考查了矩形的性質、相似三角形的性質，解題的關鍵是利用相似三角形的性質將線段

AG.GH、都用AF表示出來，從而求解.

二、解答題(本大題共3個小題，共30分，解答過程寫在答題卡上)

24.如圖，VA5c是一塊銳角三角形余料，iiBC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成矩形零件尸QMN,

使一邊在2C上，其余兩個頂點分別在邊4B、AC上，尸。交ZD于H點.

(2)若矩形PNMQ的周長為220mm,求出PN的長度.

【答案】⑴60

(2)20mm

【分析】本題考查了相似三角形的應用，主要利用了相似三角形對應高之比等于相似比；

(1)由-APQS..ABC,得到坐=空=代入即可求解，

BCAB2

(2)根據尸。〃3C,得到APQ^ABC,得到對應高之比等于相似比，絲=坐，從而得到PN的長,

ADDC

【詳解】(1)解：??,［為AB中點,

.AP_1

??=一,

AB2

??,在矩形PQMN中，PQ//BC,

：.ZAPQ=ZABC,ZAQP=ZACB,

：.^APQ^^ABC,

.P2=

??茄一花—2'

PQ=gBC=60mm.

故答案為：60.

(2)解：,?,四邊形尸NMQ為矩形，

???PQ//BC,

,:ADJ.BC,

：.PQLAD,

：.PN=DH

AHAD-DH^80-PN.

?.四邊形尸NMQ為矩形，

PQ=MN,DH=PN,

.?矩形PNMQ的周長為220mm

?.PQ=U0-PN,

：PQ//BC,

\APQ^ABC,

,AHPQ

‘益一疏’

.80-PN11。—PN

--80---120-'

\PN=20（mm）.

25.已知正方形ABC。與正方形AEFG,正方形AEFG繞點A旋轉一周.

圖I

圖3備用圖

DE

⑴如圖1,連接3G、DE,很明顯△ABG/,從而我們可以得出笑的值為

DCJ

求北的值;

(2)如圖2,連接3G、CF,

(3)當正方形用G旋轉至圖3位置時，連接CF、BE,分別取CF、3E的中點M、N,連接MN,試探究:

與BE的關系，并說明理由;

(4)連接3區BF,分別取BE、B尸的中點MQ,連接QN,AE=6,請直接寫出線段QN掃過的面積.

【答案】(DAADE，1

⑵0

G)BE=2MN,MN1BE

(4)9JI

【分析】(1)利用正方形的性質、旋轉的性質可得AB=AD,AE=AG,ZBAG=ZDAE,可得AABG^AADE,

根據全等三角形的性質可得皆=獎=1.

CFl

(2)通過證明CAF^,BAG,可得。=a.

BG

(3)連接ME,過C點作CF/〃EF,交直線ME于點連接3”,設CF與AD交于點P,CP與AG交

于點R,證明，,CMH段,.FME,得CH=EF.HM=EM,AE=CH,根據CW〃EF〃AG得NHCF=NCRA,

證明ZBCH=ZBCF+ZHCF=ZAPR+,根據ZDAG+ZAPR+ZARC=180°,ZBAE+ZDAG=180°得

ZBAE=NBCH,利用3C=,證明△3C”也△&!￡1,可得BH=BE,NCBH=NABE,

ZHBE=ZCBA=90°,根據MH=ME1，點N是BE的中點可得8"=2MN,MN〃8”，最終可得

BE=2MN,MN±BE.

(4)取AB中點。，連接ON,OQ,A/"根據A￡=6,三角形中位線定理可得AF=60,。。=30,ON=3,

點。在以點。為圓心，3正為半徑的圓上運動，點N在以。為圓心，3為半徑的圓上運動，可得線段。N掃

過的面積為兀x(3忘A-兀x(3y=9兀.

【詳解】(1)解：根據正方形的性質、旋轉的性質可得AB=AD,AE=AG,ZBAG=ZDAE

AABG當AADE

DEAB,

.BGAD

(2)解：如圖，連接AF、AC

四邊形ASCD和四邊形AEFG都是正方形

:.AC=?AB,AF=?AG，^CAB=ZGAF=45°,ABAD=90°

ArAF

ZCAF=ZBAG,—二

AB~AG

:.ACAF^ABAG

;.史=生=及

BGAB

(3)解：如圖，連接“石，過。點作CH/EF,交直線M石于點H,連接5”,設C尸與AD交于點P,CF

與AG交于點R，

CH//EF

:.ZFCH=ZCFE

「點M是。尸的中點

:.CM=MF

又?ZCMH=ZFME

:△CMHBAFME(ASA)

:.CH=EF,ME=HM

:.AE=CH

CH//EF,AG//EF

:.CH//AG

:.ZHCF=ZCRA

AD\BC

:.ZBCF=ZAPR

/.ZBCH=ZBCF+ZHCF=ZAPR+ZARC

/DAG+ZAPR+ZARC=180°,/BAE+ZDAG=180°

:.ZBAE=ZBCH

又.BC=AB,CH=AE

/.△BCH^ABAE(SAS)

/.BH=BE,ZCBH=ZABE

.\ZHBE=ZCBA=90°

=1，點N是班的中點

:.BH=2MN,MN//BH

;.BE=2MN,MN【BE

(4)解：如圖，取A5中點。，連接ON,OQ,A/

AE=6

AF=6^2

，點N是跖的中點，點。是正的中點，點。是AB的中點

:.OQ=；AF=3?QN=*AE=3

點。在以點。為圓心，30為半徑的圓上運動，點N在以。為圓心，3為半徑的圓上運動

2

二線段QN掃過的面積=TIX（3后）-7tx3=9K

【點睛】此題考查了全等三角形、相似三角形、三角形中位線定理、正方形的性質等，熟練掌握相關知識

點，利用數形結合的思想是解題的關鍵.

26.【問題初探】

⑴在數學活動課上，王老師給出如下問題：如圖1,正方形ABCD中，點E是線段BC上