2024-2025學(xué)年甘肅省高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.直線(xiàn)緘+百夕+5=°的傾斜角為（）

717T2兀3兀

A.6B.4c.TD.4

2.已知尸（/）=°6,尸（8）=0.3P(/2)=0.2,則P(/U8)=

()

A.0.5B.0.6C.0.8D.1

3.過(guò)點(diǎn)（2/），且法向量為成=（2,3）的直線(xiàn)方程為（）

A2x+3>-7=0B2x+3y+l=0

C3x—2〉—8=0D3x—2〉—4=0

4.2020年1月，教有部出臺(tái)《關(guān)于在部分高校開(kāi)展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作的意見(jiàn)》

（簡(jiǎn)稱(chēng)“強(qiáng)基計(jì)劃），明確從2020年起強(qiáng)基計(jì)劃取代原高校自主招生方式，如果甲、

74

乙、兩人通過(guò)強(qiáng)基計(jì)劃的概率分別為10,5,那么甲、乙兩人中恰有1人通過(guò)的概率為

（）

1967J_

A.50B.25C.50D.2

5.若直線(xiàn)4：關(guān)+皎+6=0與4：（a_2）x+3y+2a=0平行，則4與4間的距離為（）

8^/2

A.V2B.3

873

C.百D.3

6.《周髀算經(jīng)》是我國(guó)古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，其書(shū)中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，

每個(gè)節(jié)氣署長(zhǎng)損益相同（號(hào)是按照日影測(cè)定時(shí)刻的儀器，號(hào)長(zhǎng)即為所測(cè)影子的長(zhǎng)度），

夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降是連續(xù)的九個(gè)節(jié)氣，其號(hào)長(zhǎng)依次成等

差數(shù)列，經(jīng)記錄測(cè)算，這九個(gè)節(jié)氣的所有密長(zhǎng)之和為49.5尺，夏至、大暑、處暑三個(gè)節(jié)

氣辱長(zhǎng)之和為10.5尺，則秋分的號(hào)長(zhǎng)為（）

A.4.5尺B.5.5尺C.6.5尺D.7.5尺

1111

----1------1------1----

+a+a+aa

7,已知等比數(shù)列｛""｝滿(mǎn)足：a246s=20,?2-a8=8；貝!j%%66的值為

5

A.20B.10C.5D.2

8.設(shè)直線(xiàn)4：x+3y-7=°與直線(xiàn)/，：x-y+l=0的交點(diǎn)為尸，則P到直線(xiàn)

八無(wú)+即+2-〃=°的距離最大值為

A.而B(niǎo).4C.3亞D.Vn

二、多選題（本大題共3小題）

9.今年“國(guó)慶"假期期間，各大商業(yè)綜合體、超市等紛紛抓住節(jié)日商機(jī)，積極開(kāi)展各類(lèi)

促銷(xiāo)活動(dòng).在某超市購(gòu)買(mǎi)80元以上商品的顧客可以參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，若顧客小王中獎(jiǎng)

的概率為0.4,顧客小張中獎(jiǎng)的概率為0.2,且兩人能否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立，則（）

A.小王和小張都中獎(jiǎng)的概率為0.1

B.小王和小張都沒(méi)有中獎(jiǎng)的概率為0.48

C.小王和小張中只有一個(gè)人中獎(jiǎng)的概率為0.44

D.小王和小張中至少有一個(gè)人中獎(jiǎng)的概率為0.52

10.下列說(shuō)法正確的是（）

A.@是直線(xiàn)x+y-3=o的一個(gè)方向向量；

B.經(jīng)過(guò)點(diǎn)0』）且在X軸和y軸上的截距都相等的直線(xiàn)方程為x+y-2=0；

c.點(diǎn)電2）關(guān)于直線(xiàn)片—1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為°』）；

D.已知兩點(diǎn),（20），8（-2,-1）,若直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)0（I，-2）且與線(xiàn)段有公共點(diǎn)，則

（一u[5,+?）

后的取值范圍是

11.已知數(shù)列m｝的前〃項(xiàng)和為S",且4=1,%+】+""=2"貝1H）

Q〃為奇數(shù)

A$6=18R一1,"為偶數(shù)

（n—

I=〃+----

C.數(shù)列如〃）為等差數(shù)列D.〃為奇數(shù)時(shí)，2

三、填空題（本大題共3小題）

12.己知等差數(shù)列｛"/的前〃項(xiàng)和為S“，公差"=-1,且%，%，生成等比數(shù)列，貝U品

2￡

13.已知心°力>°,直線(xiàn)(”1卜+匕「°和x+2勿+1=0垂直，則丁石的最小值為

14.已知數(shù)列也｝滿(mǎn)足%=2,%=6,且?！?2-2%+]+。"=2,若目]表示不超過(guò)x的最大

整數(shù)(例如[L6]=l，[-L6]=-2),記"[a?]，則數(shù)列也J的前2024項(xiàng)和為

四、解答題(本大題共5小題)

15.VA8C的三個(gè)頂點(diǎn)是“(4,0)，B(6,7),C(0,3),求:

(1)邊上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程；

(2)邊/C上的垂直平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程.

3

16.甲、乙、丙三人進(jìn)行投球練習(xí)，每人投球一次.已知甲命中的概率是4,甲、丙

1j_

都未命中的概率是12,乙、丙都命中的概率是4.若每人是否命中互不影響，

(1)求乙、丙兩人各自命中的概率；

(2)求甲、乙、丙三人中不少于2人命中的概率.

17.設(shè)函數(shù)“"-2工+3,數(shù)列｛"0｝滿(mǎn)足％=1,且。"N*.

W

(1)求證：數(shù)列14"是等差數(shù)列；

m-2015

⑵令6"=%。(”22)，4=3同=4+4+…+牝若”<2對(duì)一切“eN*成立，求

最小正整數(shù)〃，的值.

18.已知直線(xiàn)/：丘一y+1+2左=0.

(1)求/經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)P;

(2)若直線(xiàn)/交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A,交y軸正半軸于點(diǎn)B.

①A/OB的面積為S,求S的最小值和此時(shí)直線(xiàn)/的方程；

PA+-PB

②當(dāng)2取最小值時(shí)，求直線(xiàn)/的方程.

19.已知S"為數(shù)列包｝的前“項(xiàng)和，且”一2,數(shù)列也｝前”項(xiàng)和為(，且4=2,

加=1+2

(1)求｛""｝和色｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)C"=(T)"4,設(shè)數(shù)列匕的前"項(xiàng)和為‘，，求鳥(niǎo)"；

(3)證明."20T即2

答案

1.【正確答案】c

【詳解】由3x+底+5=°得：尸一”一亍，設(shè)其傾斜角為a,ae[O,兀）,

_271

所以斜率無(wú)=-K=tana,故傾斜角為“一丁，

故選：C

2.【正確答案】B

【分析】

依題意根據(jù)P（"U8）=P⑷+尸?-尸（的計(jì)算可得;

【詳解】

解：因?yàn)槭?）=8,尸⑻=0.3,P^AB）=0.2

則P（"）WP（/）P（8）,所以事件A與事件B不相互獨(dú)立,

P（AU5）=P（A）+P（B）~P（AB）=0.5+0.3-0.2=0.6

故選：B

3.【正確答案】A

【詳解】由題意得，因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)（21），

所以將（2/）代入各選項(xiàng)可得，

B,C選項(xiàng)直線(xiàn)不過(guò)（2」），故排除B,C,

對(duì)于選項(xiàng)A,取直線(xiàn)上兩點(diǎn)"0'丁，F(xiàn)（2,0）,

可得直線(xiàn)2x+3y-7=°的一個(gè)方向向量為=%一?,

EF-m=2x—+3x（--）=0—-

由于23,所以EF1玩，

故而是直線(xiàn)2x+3y-7=°的法向量，故正確

4

N（一,0）

對(duì)于選項(xiàng)D,取直線(xiàn)上兩點(diǎn)M0,-2）,3,,

可得直線(xiàn)--2了-4=（）的一個(gè)法向量為S,

MN-m=2x-+3x2^—^0—.

由于33,"N與比不垂直，

所以玩不是直線(xiàn)3x-2y-4=°的法向量，故錯(cuò)誤.

故選：A.

4.【正確答案】A

【詳解】由題意，甲乙兩人通過(guò)強(qiáng)基計(jì)劃的事件是相互獨(dú)立的,

那么甲乙兩人中恰有一人通過(guò)的概率為

故選：A.

5.【正確答案】B

【分析】由兩直線(xiàn)平行的判定有3-。（。-2）=O且2/_i8w°求參數(shù)°,應(yīng)用平行線(xiàn)距離

公式求4與4間的距離.

【詳解】...直線(xiàn)4：*+即+6=°與/2：(^~2)x+3y+2a=°平行,

2

c/八ou='—3x+3y—2=0,x—yH—=0

...3-q(a-2)=0且2/_i8w0,解得2，3

6--

-38行r

直線(xiàn)4與4間的距離#+㈠）23.

故選：B.

6.【正確答案】D

【詳解】設(shè)夏至，小暑，大暑，立秋，處暑，白露，秋分，寒露，霜降其辱長(zhǎng)分別為

%,出，。3，。4，%，&，。7，。8，。9,且｛4｝是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,

^■^■x9=（%+4辦9=49.5

依題章有為+%+%=3%+6d=10.5,

p=l

角星得［%=1.5則。7=%+6d=1.5+6=7.5

故選：D.

7.【正確答案】D

【詳解】在等比數(shù)列｛""｝中，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得-4?/=%9=8

1111_a2+as%+。6_2+%+。6+。8_20_5

-------1----------1----------1-------=------------------1-----------------=-----------------------------------=————

所以％%?64a2asa4a6a2a882.

故選：D

8.【正確答案】A

【分析】先求出尸的坐標(biāo)，再求出直線(xiàn)/所過(guò)的定點(diǎn)°,則所求距離的最大值就是

尸。的長(zhǎng)度.

Jx+3y-7=0卜=1

【詳解】由1x7+1=0可以得到1"=2,故尸（L2）,

直線(xiàn)/的方程可整理為：x+2+"&T）=0,故直線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn)（々I）,

因?yàn)槭街本€(xiàn)/的距離"qP@,當(dāng)且僅當(dāng)/,PQ時(shí)等號(hào)成立，

故人=&1+2）2+（2-1）2=血,

故選A.

一般地，若直線(xiàn)4：4X+8J+CI=0和直線(xiàn)4：4》+打了+。2=0相交，那么動(dòng)直線(xiàn)

4x+4y+G+2⑷+"C2）=0（&&）必過(guò)定點(diǎn)（該定點(diǎn)為44的交點(diǎn)）.

9.【正確答案】BCD

【詳解】記事件A：顧客小王中獎(jiǎng)，事件B：顧客小張中獎(jiǎng)，則小王、小張未中獎(jiǎng)可記

為48；

易知「（二）=0.4,尸（5）=0.2,尸G）=°6尸,）=0.8

由題意可知A與3相互獨(dú)立，所以7與5，A與豆，3與N均相互獨(dú)立；

所以小王和小張都中獎(jiǎng)的概率為尸（"）=尸⑷尸（8）=0.4x02=0.08,即人錯(cuò)誤;

小王和小張都沒(méi)有中獎(jiǎng)的概率為尸@）=尸（0^）=°"-8=0.48,可得B正確；

小王和小張中只有-個(gè)人中獎(jiǎng)的概率為尸@>P?B）=0-6X°.2+°.4X°.8=0.44,即?

正確；

小王和小張中至少有一個(gè)人中獎(jiǎng)的概率為1-尸@）=1-。48=°-52,即口正確.

故選：BCD

10.【正確答案】ACD

【詳解】A選項(xiàng)，x+y-3=0的斜率為T(mén),

故直線(xiàn)x+N-3=°的一個(gè)方向向量為“=人正確；

B選項(xiàng)，當(dāng)直線(xiàn)的截距為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為歹=丘，將（U）代入得，左=1,

故此時(shí)直線(xiàn)方程為夕:》,

。=1

當(dāng)直線(xiàn)的截距不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為。。，

將點(diǎn)°」）代入得。。一,解得。=2,故直線(xiàn)方程為》+卜-2=0,

綜上，直線(xiàn)方程為^二》或x+V-2=°,B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)（。，2）關(guān)于直線(xiàn)>=x+l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為（私〃），

n—2

<m

〃+2_加+]

則〔22，解得加=〃=1,故對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為°』)，c正確;

D選項(xiàng)，畫(huà)出圖形如下:

直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)尸-2)且與線(xiàn)段45有公共點(diǎn)，則或％<%,

(1]「<\

——U[5,+8)

則人的取值范圍是I3」，D正確.

故選：ACD

11.【正確答案】ABD

【分析】利用并項(xiàng)求和法可判斷AD選項(xiàng)；利用等差數(shù)列的定義可判斷BC選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，及=3+%)+(%+。4)+(%+%)=2*(1+3+5)=18,人對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)閝+的=2,則。2=2-q=1,

對(duì)任意的〃eN*,由％+a“=2n可得an+2+an+l=2(〃+1),

上述兩個(gè)等式作差可得”"+2一%=2,

所以，數(shù)列"J中的奇數(shù)項(xiàng)成以1為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，

數(shù)列｛%｝中的偶數(shù)項(xiàng)成以1為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，

當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，設(shè)〃=2"l(fceN),則a“=6+2(左T)=2"l="，

當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，設(shè)"=24[eN*),則a“=4+2(%-1)=2"1="-1,

Q〃為奇數(shù)

綜上所述，"i"T"為偶數(shù)，B對(duì)；

對(duì)于C選項(xiàng)，％=1*與一%,故數(shù)列｛g｝不是等差數(shù)列，c錯(cuò);

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，設(shè)"=24-1/eN*),則-F,

Sn=S2k-a2k=(4+)+(%+)+...+(a2k-i+a2k)~生

則2k

=2口+3+.—+(2/_1)]_(2/_1)=2/(1+；/_1)_(2/_1)=2/2_2/+1

一(〃+l)+l=^-+g="+

D對(duì).

故選：ABD.

12.【正確答案】0

【詳解】因?yàn)楣頳=T,且和"Ms成等比數(shù)列，

所以即(4-3)2=(%-1)(%-4),解得%=5,

c-11x107-u11x10/1、_

S=1H---------d=11x5H----------x(―1)=0

所以n22

故0

13.【正確答案】8.

【詳解】由題意得，因?yàn)橹本€(xiàn)Q-l）x+〉T=°和x+2制+1=°垂直,

則（。-1）x1+1x26=0,即°+26=1,

212(a+2b)a+2b4ba.

—+-=----------+--------=——+—+4

所以ababab

4b八a八

AjA—>0—〉0

因?yàn)閍>°,方所以a,b

所以根據(jù)基本不等式,

214ba..

—+-=—+—+424+4=8o

所以abab,

_2_|__1—4b——a\a—2o?！猒1

所以a6的最小值為8,當(dāng)且僅當(dāng)。一6--2時(shí)等號(hào)成立,

故答案為8.

14.【正確答案】2025

【詳解】因?yàn)?+2-2a“+i+%=2,所以@+2-%+1)-(％+i-%)=2,

因?yàn)椋?2,%=6,所以%-%=4,

所以數(shù)列｛。m-a“｝是以首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列，

故%糧一=4+(〃-1)2=2〃+2,

由累加法可知當(dāng)“22時(shí)，

/、/\\(〃-1)(4+2及)/\/\

(%-%)+-an-2)+…+(。2一。1)=Z=(〃+2)(〃-1)

所以％="6+1）,n>2,又4=2也符合該式，所以+

(〃+1)2(〃+1)?n+\1I

----------=-:--------=-------=1H—

所以a-+1)nn

b.=1+-=2

又〃=1時(shí),1

-3<l+1i<23=1+-1=1

又〃W2時(shí),2〃，此時(shí)L"」

所以｛"｝的前2024項(xiàng)和為bi+b2+'"+^2024=2+l+l+---+l=2+lx2023=2025

故2025.

15.［正確答案］⑴x70y+30=0

⑵8%-6〉-7=0

【詳解】（1）點(diǎn)'（4°）凈（6,7）的中點(diǎn)

直線(xiàn)。。的斜率為5-010,

.1

y—3=—X

所以邊上的中線(xiàn)C。所在直線(xiàn)的方程為10

即％—10y+30=0.

￡2,|

⑵點(diǎn)”（4,0）,C（0,3）的中點(diǎn)坐標(biāo)為

h,—_3_-_03

C

直線(xiàn)/C的斜率為"-0-44,

7k_-_1_—4_

則邊NC上的垂直平分線(xiàn)的斜率為kAC3

y——=—（x-2）

所以邊NC上的垂直平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為-23V

即8x_6y_7=0

23

16.【正確答案】（1）乙、丙兩人各自命中的概率分別為1、8

21

⑵記

【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式運(yùn)算求解；

（2）分甲、乙、丙三人中2人命中和甲、乙、丙三人中都命中兩種情況，結(jié)合獨(dú)立事

件的概率乘法公式運(yùn)算求解.

【詳解】（1）記“甲投球命中”為事件/,“乙投球命中”為事件8,“丙投球命中”為事

件C,

則尸⑷T尸西）川-尸（娟口-尸（。）卜白-尸（。）]舊，解得尸（。）鼻

21A

P（BC）=P⑻P?=尸匕尸⑻=|

Jr，用牛付°>

23

所以乙、丙兩人各自命中的概率分別為3、8

（2）甲、乙、丙三人中2人命中的概率

q=pGP（8）P（C）+P（/）PGP（C）+P（"）尸（8）20

2+—

48348348332,

??，a

P?=P（A}P（B}P（C）=—x—x—=——

甲、乙、丙三人中都命中的概率48316,

p=p+[6="+2=2

所以甲、乙、丙三人中不少于2人命中的概率一321632.

17.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析；

（2）2024.

【詳解】（1）結(jié)合題意可知2%+3,

-L=2=2+_L,〃eN*,-匚2,〃eN*

兩邊取倒數(shù)可得：％+I3a,3an，即an+la.3.

/Il1=12

所以數(shù)列是以首項(xiàng)為,公差為3的等差數(shù)列.

hl1=12

（2）由上問(wèn)可知數(shù)列10/是以首項(xiàng)％,公差為3的等差數(shù)列，

二1+（〃2=四°=_±_

所以％33,所以"2?+1,

33911

a-------x--------，（北2）

b〃=n-\

所以2?+12〃-1212〃-12〃+1

b=斗」______O,

又4=3,也滿(mǎn)足上式，所以"2（2"-12n+lJ"eN*

由S"=4+&+…+0可得:

1111

-+-—F…+

3352〃一3乙+2?13r出事一與

所以因?yàn)榇鐚?duì)-切心*成立,

777-2015>9

所以一2——2，解得m>2024.

最小正整數(shù)加的值為2024.

18.【正確答案】（1）（一2』）；（2）①S的最小值為4,x-2y+4=0；②

%->+3=0

【分析】

（1）整理已知方程，使得上的系數(shù)等于°即可求解；

（2）①求出點(diǎn)A,&的坐標(biāo)，利用上表示的面積為S,利用基本不等式求最值，

由等號(hào)成立的條件可得上的值，進(jìn)而可得直線(xiàn)/的方程；②設(shè)直線(xiàn)/的傾斜角為則

0<a<-PA=—^—PB=—^—PA+-PB=

2,可得sine,cost/,再利用三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算2

11

-----1-----

sinacosa的最小值，以及此時(shí)a的值，進(jìn)而可得上的值以及直線(xiàn)/的方程.

【詳解】

（1）由丘7+1+2左=0可得：46+2）+1-》=0,

jx+2=0（x=—2

由1-尸?？傻肔=1,所以/經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)「（々I）；

（2）直線(xiàn)乙kx-y+l+2k=0>

%-1—-2_A__-___

令x=o可得了=1+2左；令丁=o,可得k

A

B（0,1+2k）

所以

k

由1+2人>0可得：k>0,

~l~2k\\+2k\=--[-+2]（l+2k^--（4+-+4k

的面積2k2\k）2l左

1

>--4+2j--4k-(4+2x2)=4

2k

1

-=4kk

當(dāng)且僅當(dāng)k即2時(shí)等號(hào)成立，S的最小值為4,

_x_JV+2=0

此時(shí)直線(xiàn)/的方程為：2即x-2"4=0；

c兀

0<a<一PA=—^—PB=-^—

②設(shè)直線(xiàn)/的傾斜角為a,則2,可得sina,cosa,

11sina+cosa

PA+-PB=------+-------

所以2sinacosasinacosa,

71

%=sina+cosaA/2sinla+二

令4

八兀71713兀^<smL+^71<l

0<a<一—<a+—<—

因?yàn)?,可得444,24

t=V2sin

將f=sina+cosa兩邊平方可得：產(chǎn)=(sina+cosa)2=l+2sin?-cosa

t2-l

sinacosa--------

所以2

sina+cosa2t2

PA+-PB=

2si.nacosat2-I1—t2-I11

所以2

1

y=

因?yàn)?在*7」上單調(diào)遞增，所以t2

2]>2V2

t=V2sin=也

,所以,此時(shí)

71711

（X=—A7?=tanof=tan—=l

可得4,所以4

所以直線(xiàn)的方程為=°

19.【正確答案】（1）0"=",〃=2"

⑵=2/+〃

（3）詳見(jiàn)解析.

"+i

2

a=n

【分析】（1）根據(jù)。"與S”的關(guān)系即可得到",根據(jù)鼠=看+2得到b,,即可

得到b"=2"

(2)首先根據(jù)g=(-l)"=(T)'"2得到C2“T+C2”=4”1,再計(jì)算段即可;

a；+l_/+[n2+*l

(3)首先根據(jù)題意得到⑷T)*i(〃2一1尸"("T)2,再