習題課指數型函數、對數型函數的性質的綜合問1：你能熟練說出指數、對數函數的圖象和性質嗎？問2：你能求指數型、對數型函數的單調性和值域嗎？問3：你會判斷指數型、對數型函數的單調性嗎？一指數型函數的單調性問題

例

1

延伸探究

2.若本例不變,求f(x)的值域.

(1)求指數型函數的單調區間,首先求出函數的定義域,然后把函數分解成y=f(u),u=φ(x),通過考察f(u)和φ(x)的單調性,利用同增異減原則,求出y=f(φ(x))的單調性.(2)關于指數型函數y=af(x)(a>0,且a≠1)的單調性由兩點決定,一是底數a>1還是0<a<1;二是f(x)的單調性,它由兩個函數y=au,u=f(x)復合而成.

反思感悟

跟蹤訓練

1

√二對數型函數的單調性問題

例

2

(2)求函數y=(log0.4x)2-2log0.4x+2的單調區間.令t=log0.4x,則它在(0,+∞)上單調遞減.y=t2-2t+2=(t-1)2+1在(1,+∞)上單調遞增,在(-∞,1)上單調遞減.由t=log0.4x>1得0<x<0.4;由t=log0.4x<1得x>0.4,故所求函數的單調遞增區間為(0.4,+∞),單調遞減區間為(0,0.4).

反思感悟函數單調性的判定方法與策略(1)定義法:一般步驟:設元→作差→變形→判斷符號→得出結論.(2)圖象法:如果函數f(x)是以圖象形式給出或函數f(x)的圖象易作出,結合圖象可求得函數的單調區間.(3)y=f(g(x))型函數:先將函數y=f(g(x))分解為y=f(t)和t=g(x),再討論這兩個函數的單調性,最后根據復合函數“同增異減”的規則進行判定.

跟蹤訓練

2

三函數的綜合應用

例

3

若把本例改為y=4x-2x+1-3.求函數的值域和單調區間.延伸探究函數y=4x-2x+1-3的定義域為R,設t=2x,則t>0.因為y=4x-2x+1-3=(2x)2-2×2x-3=t2-2t-3=(t-1)2-4≥-4,所以函數y=4x-2x+1-3的值域為[-4,+∞).因為y=t2-2t-3在(-∞,1]上單調遞減,此時由t≤1得x≤0.又指數函數t=2x在(-∞,0]上單調遞增,所以函數y=4x-2x+1-3的單調遞減區間為(-∞,0].同理,因為y=t2-2t-3在[1,+∞)上單調遞增,此時由t≥1得x≥0.又指數函數t=2x在[0,+∞)上單調遞增,所以函數y=4x-2x+1-3的單調遞增區間為[0,+∞).

反思感悟對于形如y=logaf(x)(a>0，且a≠1)的復合函數，其值域的求解步驟如下：(1)分解成y=logau,u=f(x)兩個函數；(2)求f(x)的定義域；(3)求u的取值范圍；(4)利用y=logau的單調性求解.

求下列函數的值域:(1)f(x)=log2(3x+1);跟蹤訓練

3f(x)的定義域為R.∵3x>0,∴3x+1>1.∵y=log2x在(0,+∞)上單調遞增,∴log2(3x+1)>log21=0,∴f(x)的值域為(0,+∞).

1.知識清單:(1)指數型函數的單調性.(2)對數型函數的單調性.(3)函數的綜合應用.2.方法歸納:換元法.3.常見誤區:求對數型函數的單調性易忽視定義域.隨堂演練四1.函數f(x)=loga|x-1|在(0,1)上單調遞減,那么f(x)在(1,+∞)上A.單調遞增且無最大值 B.單調遞減且無最小值C.單調遞增且有最大值 D.單調遞減且有最小值設u=|x-1|,∵u在(0,1)上單調遞減,且函數f(x)=loga|x-1|在(0,1)上單調遞減,則a>1,∵u在(1,+∞)上單調遞增,∴f(x)在(1,+∞)上單調遞增且無最大值.√1234