第3章勾股定理全章復習與測試1.掌握勾股定理的內容及證明方法，能夠熟練地運用勾股定理由已知直角三角形中的兩條邊長求出第三條邊長．2.掌握勾股定理，能夠運用勾股定理解決簡單的實際問題，會運用方程思想解決問題．3.熟練應用勾股定理解決直角三角形中的問題，進一步運用方程思想解決問題．4.掌握勾股定理的逆定理及其應用．理解原命題與其逆命題，原定理與其逆定理的概念及它們之間的關系．5.能利用勾股定理的逆定理，由三邊之長判斷一個三角形是否是直角三角形.6.能夠理解勾股定理及逆定理的區別與聯系，掌握它們的應用范圍.一．直角三角形的性質（1）有一個角為90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質外，具有一些特殊的性質：性質1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）．性質2：在直角三角形中，兩個銳角互余．性質3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）性質4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．性質5：在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°．二．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．三．勾股定理的證明（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．（2）證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理．四．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．說明：①勾股定理的逆定理驗證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數轉化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運用勾股定理的逆定理解決問題的實質就是判斷一個角是不是直角．然后進一步結合其他已知條件來解決問題．注意：要判斷一個角是不是直角，先要構造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．五．勾股數勾股數：滿足a2+b2＝c2的三個正整數，稱為勾股數．說明：①三個數必須是正整數，例如：2.5、6、6.5滿足a2+b2＝c2，但是它們不是正整數，所以它們不是夠勾股數．②一組勾股數擴大相同的整數倍得到三個數仍是一組勾股數．③記住常用的勾股數再做題可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…六．勾股定理的應用（1）在不規則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意圖．領會數形結合的思想的應用．（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關線段的長度．②由勾股定理演變的結論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．③勾股定理在實際問題中的應用：運用勾股定理的數學模型解決現實世界的實際問題．④勾股定理在數軸上表示無理數的應用：利用勾股定理把一個無理數表示成直角邊是兩個正整數的直角三角形的斜邊．一．直角三角形的性質（共1小題）1．（2020秋?蘇州期中）在△ABC中，有下列條件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝2∠B＝3∠C；④∠A＝∠B＝∠C．其中能確定△ABC是直角三角形的條件有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二．勾股定理（共10小題）2．（2022秋?南京期末）如圖，已知點P是射線OM上一動點（P不與O重合），∠AOM＝45°，OA＝2，當OP＝時，△OAP是等腰三角形．3．（2021秋?新吳區校級期中）已知一直角三角形的兩條直角邊長分別為5和12，則第三邊的長為．4．（2022秋?句容市期末）如圖，點C是線段AB上的一點，分別以AC、BC為邊向兩側作正方形．設AB＝6，兩個正方形的面積和S1+S2＝20，則圖中△BCD的面積為．5．（2022秋?邳州市期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AD＝13cm，AC＝12cm，那么點D到直線AB的距離是cm．6．（2022秋?海陵區校級期末）我國三國時期數學家趙爽為了證明勾股定理，繪制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，如圖所示．在圖2中，若正方形ABCD的邊長為14，正方形IJKL的邊長為2，且IJ∥AB，則正方形EFGH的邊長為．7．（2023?盱眙縣模擬）在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，連接AC，點E為AC的中點，連接BE，DE．若，BC＝12，則△ABE的周長為．8．（2022秋?廣陵區校級期末）直角三角形紙片ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的角平分線，則BD＝．9．（2022秋?廣陵區校級期末）已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC邊上的高AD＝8．則邊BC的長為．10．（2022秋?太倉市期末）已知直角三角形的兩條直角邊長分別為1，2，則這個直角三角形的斜邊的長為．11．（2022秋?亭湖區期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則點C到AB的距離是．三．勾股定理的證明（共1小題）12．（2022秋?阜寧縣期中）勾股定理是數學史上非常重要的一個定理，古今中外已有幾百種證明方法．2002年世界數學家大會在中國北京舉行，大會的會標選用驗證勾股定理的“弦圖”，它標志著我國古代數學的成就．“弦圖”由4個全等的直角三角形拼成大正方形（如下圖示）設直角三角形的兩直角邊分別為a、b（a＜b），斜邊為c，請你利用“弦圖”驗證勾股定理．四．勾股定理的逆定理（共15小題）13．（2022秋?工業園區校級期中）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，下列所給數據中，不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝90° B．∠A：∠B：∠C＝5：12：13 C．a2+b2＝c2 D．a：b：c＝3：4：514．（2022秋?溧陽市期中）如圖，在由單位正方形組成的網格圖中標有AB、CD、EF、GH四條線段，其中能構成一個直角三角形三邊的線段是（）A．AB，CD，EF B．AB，CD，GH C．AB，EF，GH D．CD，EF，GH15．（2022秋?東臺市期中）在△ABC的三邊分別是a、b、c，且a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，判斷△ABC的形狀，證明你的結論．16．（2022秋?徐州期中）如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，點D是AB的中點，連接CD．（1）若∠B＝50°，求∠DCA度數；（2）若點E是AB上的一個動點，則線段CE的最小值為．17．（2022秋?興化市期中）如圖，在7×7網格中，每個小正方形的邊長都為1．（1）求△ABC的面積；（2）△ABC是直角三角形嗎？請說明理由．18．（2022秋?無錫期末）下列長度的三條線段能組成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．5，7，9 C．6，8，10 D．7，8，919．（2022秋?建湖縣期中）以下四組代數式作為△ABC的三邊：①3n，4n，5n（n為正整數）；②n，n+1，n+2（n為正整數）；③n2﹣1，2n，n2+1（n≥2，n為正整數）；④m2﹣n2，2mn，m2+n2（m＞n，m，n為正整數）．其中能使△ABC為直角三角形的有（）A．0組 B．1組 C．2組 D．3組20．（2022秋?邗江區期中）如圖，五根小木棒，其長度分別為5，9，12，13，15，現將它們擺成兩個直角三角形，其中正確的是（）A． B． C． D．21．（2022秋?高新區校級月考）如圖，四邊形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．（1）判斷∠D是否是直角，并說明理由．（2）求四邊形ABCD的面積．22．（2021秋?沭陽縣期末）如圖，在四邊形ABCD地塊中，AB＝6，AD＝8，BC＝26，CD＝24，∠A＝90°，求該四邊形ABCD地塊的面積．23．（2022秋?邗江區期中）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所對邊長分別為a、b、c，請解決下列問題．（1）若∠C＝90°，，求b；（2）若a、b、c三邊滿足|a﹣9|+|b﹣12|+|c﹣15|＝0，試判斷△ABC的形狀．24．（2022秋?建湖縣期中）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB，AC及BC的延長線于點D，E，F，且CB2＝AE2﹣CE2．（1）求證：∠ACB＝90°；（2）若AC＝12，BC＝9，求CE的長．25．（2022秋?南京期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝20，AD＝15，CD＝7，BC＝24，∠A＝90°．求證：∠C＝90°．26．（2022秋?邗江區校級月考）如圖，在三角形ABC中，AB＝10，BC＝12，AD為BC邊上的中線，且AD＝8，過點D作DE⊥AC于點E．請求出線段DE的長．27．（2022秋?濱海縣期中）如圖所示的一塊土地，測量得AB＝3m，BC＝4m，CD＝13m，AD＝12m，∠ABC＝90°，求這塊土地的面積．五．勾股數（共1小題）28．（2022秋?江都區期末）下面各組數中，勾股數是（）A．0.3，0.4，0.5 B．1，1， C．5，12，13 D．1，，2六．勾股定理的應用（共7小題）29．（2021秋?洪澤區校級期中）如圖，有兩棵樹，一棵高8米，另一棵高2米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則它至少要飛行（）米．A．7 B．8 C．9 D．1030．（2022秋?邗江區校級月考）如圖，將長為8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定兩端A和B，然后把中點C垂直向上拉升3cm至點D，則橡皮筋被拉長了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm31．（2022秋?金湖縣期中）將一根24cm的筷子置于底面直徑為12cm，高為5cm的圓柱形水杯中，如圖，設筷子露在杯子外面的長度為hcm，則h的取值范圍是（）A．h≤19 B．11≤h≤19 C．12≤h≤19 D．13≤h≤1932．（2022秋?工業園區校級月考）放學以后，小紅和小穎從學校分手，分別沿東南方向和西南方向回家，若小紅和小穎行走的速度都是100米/分，小紅用3分鐘到家，小穎4分鐘到家，則小紅和小穎家的直線距離為（）A．300米 B．400米 C．500米 D．700米33．（2022秋?惠山區期中）《九章算術》是中國傳統數學最重要的著作，奠定了中國傳統數學的基本框架．在《九章算術》中的勾股卷中有這樣一道題：今有竹高一丈，末折抵底，去本三尺．問折者高幾何？意思為：一根竹子，原高一丈，蟲傷有病，一陣風將竹子折斷，其竹稍恰好抵地，抵地處B離遠處竹子C的距離BC為3尺，則折斷后的竹子AC＝尺．（注：1丈＝10尺．）34．（2022秋?江陰市期中）如圖1，蕩秋千是中國古代北方少數民族創造的一種運動．有一天，小明在公園里游玩，如圖2，他發現秋千靜止時，踏板離地的垂直高度DE＝1m，將它往前推送6m（水平距離BC＝6m）時，秋千的踏板離地的垂直高度BF＝CE＝3m，秋千的繩索始終拉得很直，求繩索AD的長度？35．（2022秋?錫山區期中）新冠疫情期間，為了提高人民群眾防疫意識，很多地方的宣講車開起來了，大喇叭響起來了，宣傳橫幅掛起來了，電子屏亮起來了，電視、廣播、微信、短信齊上陣，防疫標語、宣傳金句頻出，這傳遞著打贏疫情防控阻擊戰的堅定決心．如圖，在一條筆直公路MN的一側點A處有一村莊，村莊A到公路MN的距離AB為800米，若宣講車周圍1000米以內能聽到廣播宣傳，宣講車在公路MN上沿MN方向行駛．（1）請問村莊A能否聽到宣傳？請說明理由；（2）如果能聽到，已知宣講車的速度是300米/分鐘，那么村莊A總共能聽到多長時間的宣傳？一．選擇題（共7小題，滿分21分，每小題3分）1．（3分）如圖所示的2×4的正方形網格中，△ABC的頂點都在小正方形的格點上，這樣的三角形稱為格點三角形，則點A到BC的距離等于（）A． B．2 C． D．2．（3分）下列四組線段中，可以構成直角三角形的是（）A．6，7，8 B．1，，5 C．6，8，10 D．，2，3．（3分）若三角形三條邊的長分別是7，24，25，則這個三角形的最大內角是（）A．30° B．45° C．60° D．90°4．（3分）下列各組數中，不是勾股數的是（）A．3，4，5 B．6，8，10 C．7，24，25 D．4，5，65．（3分）下列各組數中，可以構成勾股數的是（）A．13，16，19 B．5，13，15 C．18，24，30 D．12，20，376．（3分）邊長為a的正六邊形的內切圓的半徑為（）A．a B．a C．2a D．a7．（3分）我國古代偉大的數學家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，得到一個恒等式．后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖所示的矩形由兩個這樣的圖形拼成，若a＝3，b＝4，則該矩形的面積為（）A．20 B．24 C． D．二．填空題（共9小題，滿分27分，每小題3分）8．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD＝3，AD＝2，BC＝，∠ABD+∠BDC＝60°，則四邊形ABCD的面積是．9．（3分）若△ABC的三邊長分別是1、、，則最長邊上的中線長為．10．（3分）有一組勾股數，最大的一個是37，最小的一個是12，則另一個是．11．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABD＝45°，BD＝13，CD＝5，則AD的長度為．12．（3分）若三角形的兩邊長為6和8，要使其成為直角三角形，則第三邊的長為．13．（3分）附加題：觀察以下幾組勾股數，并尋找規律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…請你寫出有以上規律的第⑤組勾股數：