第4課時余弦定理、正弦定理應用舉例課后訓練鞏固提升一、A組1.已知輪船A和輪船B在中午12時離開海港C,兩艘輪船航行方向的夾角為120°,輪船A的航行速度是25nmile/h,輪船B的航行速度是15nmile/h,下午2時兩船之間的距離是()A.35nmile B.352nmileC.353nmile D.70nmile解析:畫出示意圖,如圖所示,由題意可知∠C=120°,AC=50,BC=30,由余弦定理,得AB2=302+5022×50×30×-12=4900,得AB=答案:D2.如圖,設A,B兩點在河的兩岸,要測量兩點之間的距離,測量者在A的同側的河岸邊選定一點C,測出AC的距離為m,∠BAC=α,∠ACB=β,則A,B兩點間的距離為()A.msinC.msin解析:在△ABC中,AC=m,∠BAC=α,∠BCA=β.則∠ABC=παβ.即sin∠ABC=sin(παβ)=sin(α+β).由正弦定理,得ACsin∠ABC答案:C3.某人在點C測得某塔底B在南偏西80°方向,塔頂A的仰角為45°,此人沿南偏東40°方向前進10m到D,測得塔頂A的仰角為30°,則塔高為()A.15m B.5m C.10m D.12m解析:如圖,設塔高為hm,則AB=h,BC=h,BD=3h,∠BCD=120°,CD=10,由余弦定理,得BD2=BC2+CD22BC·CDcos120°,解得h=10.答案:C4.如圖,從熱氣球A上測得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75°,30°,此時熱氣球的高是60m,則河流的寬度BC等于()A.30(3+1)m B.120(31)mC.180(21)m D.240(31)m解析:由題意可知,BC=60tan60°60tan(90°75°)=60(3-3-11+3)=60(3答案:B5.如圖,為測得河對岸塔AB的高,先在河岸上選一點C,使點C在塔底B的正東方向上,測得點A的仰角為60°,再由點C沿北偏東15°方向走10m到位置D,測得∠BDC=45°,則塔AB的高度為()A.10m B.102m C.103m D.106m解析:依題意,在△BCD中,CD=10m,∠BCD=105°,∠BDC=45°,則∠DBC=180°45°105°=30°,由正弦定理,得BCsin∠BDC=CDsin∠DBC在Rt△ABC中,∠BCA=60°,即AB=BCtan∠BCA=102×3=106故塔AB的高度為106m.答案:D6.某觀測站C與兩燈塔A,B的距離分別為300m和500m,測得燈塔A在觀測站C北偏東30°方向,燈塔B在觀測站C南偏東30°方向,則兩燈塔A,B之間的距離為.

解析:如圖所示,在△ABC中,AC=300m,BC=500m,∠ACB=120°.由余弦定理,得AB=AC2+BC答案:700m7.如圖,山頂上有一座電視塔,在塔頂B處測得地面上一點A的俯角α=60°,在塔底C處測得點A的俯角β=45°.已知塔高為60m,則山高CD為.

解析:在△ABC中,BC=60m,∠BAC=15°,∠ABC=30°.由正弦定理,得AC=60sin30°sin15°=即CD=ACsin45°=30(3+1)(m).答案:30(3+1)m8.如圖所示,在坡度一定的山坡A處測得山頂上一座建筑物CD的頂端C對于山坡的坡度為15°,向山頂前進100m到達B處,測得點C對于山坡的坡度為45°,假設建筑物CD的高為50m,設山坡對于地平面的坡度為θ,則cosθ=.

解析:在△ABC中,AB=100,∠CAB=15°,∠ACB=45°15°=30°.由正弦定理,得100sin30°=BC在△DBC中,CD=50,∠CBD=45°,∠CDB=90°+θ.由正弦定理,得50sin45故cosθ=31.答案:319.海上某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75°方向,距離為126nmile;在A處看燈塔C,在貨輪的北偏西30°方向,距離為83nmile;貨輪向正北由A處航行到D處時看燈塔B的方位角為120°,求:(1)A處與D處之間的距離;(2)燈塔C與D處之間的距離.解:由題意畫出示意圖.(1)在△ABD中,由已知得∠ADB=60°,B=45°,AB=126nmile.由正弦定理,得AD=ABsin45°sin60(2)在△ADC中,由余弦定理,得CD2=AD2+AC22AD·ACcos30°=242+(83)22×24×83×32=192,故CD=8二、B組1.有一長為10m的斜坡,傾斜角為75°,在不改變坡高和坡頂的前提下,通過加長坡面的方法將它的傾斜角改為30°,則坡底要延長()A.5m B.10mC.102m D.103m解析:如圖,設將坡底加長到B'時,傾斜角為30°,在△ABB'中,∠B'=30°,∠BAB'=75°30°=45°,AB=10m.在△ABB'中,由正弦定理,得BB'=ABsin45°sin30°=故坡底延長102m時,斜坡的傾斜角將變為30°.答案:C2.如圖,某炮兵陣地位于點A,兩個觀察所分別位于C,D兩點.已知△ACD為等邊三角形,且DC=3km,當目標出現在點B時,測得∠CDB=45°,∠BCD=75°,則炮兵陣地與目標的距離約是()A.1.1km B.2.2kmC.2.9km D.3.5km解析:∠CBD=180°∠BCD∠CDB=60°.在△BCD中,由正弦定理,得BD=CD在△ABD中,∠ADB=45°+60°=105°.由余弦定理,得AB2=AD2+BD22AD·BDcos105°=3+(6+2)24+2則AB=5+23≈2.故炮兵陣地與目標的距離約是2.9km.答案:C3.(多選題)如圖,在海岸上有兩個觀測點C,D,C在D的正西方向,距離為2km,在某天10:00觀察到某航船在A處,此時測得∠ADC=30°,5分鐘后該船行駛至B處,此時測得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,則()A.當天10:00時,該船位于觀測點C的北偏西15°方向B.當天10:00時,該船距離觀測點C2kmC.當船行駛至B處時,該船距觀測點C2kmD.該船在由A行駛至B的這5min內行駛了6km解析:A項中,∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°,因為C在D的正西方向,所以A在C的北偏西15°方向,故A正確.B項中,在△ACD中,∠ACD=105°,∠ADC=30°,則∠CAD=45°.由正弦定理,得AC=CDsin故B正確.C項中,在△BCD中,∠BCD=45°,∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°,即∠CBD=45°,則BD=CD=2,于是BC=22,故C不正確.D項中,在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC22AC·BCcos∠ACB=2+82×2×22即AB=6km,故D正確.答案:ABD4.如圖,在山腳測得山頂仰角∠CAB=45°,沿傾斜角為30°的斜坡走1000m至點S,又測得山頂仰角∠DSB=75°,則山高BC為m.

解析:由題意得∠SAB=45°30°=15°,∠ABS=45°(90°∠DSB)=30°,又AS=1000,由正弦定理,可得BSsin15即BS=2000sin15°,則BD=BSsin75°=2000sin15°cos15°=1000sin30°=500(m),且DC=1000sin30°=500(m).從而BC=DC+BD=1000(m).答案:10005.如圖,位于A處的海上觀測站獲悉,在其正東方向相距40nmile的B處有一艘漁船遇險,并在原地等待營救,在A處南偏西30°且相距20nmile的C處有一艘救援船,該船接到觀測站通告后立即前往B處援助,則sin∠ACB=.

解析:在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°.由余弦定理,得BC2=AB2+AC22AB·AC·cos120°=2800,得BC=207由正弦定理,得sin∠ACB=AB答案:216.如圖,一艘海輪從A出發,沿北偏東75°的方向航行20(6-2)nmile后到達海島B,然后從B出發,沿北偏東15°的方向航行402nmile后到達海島C.如果下次航行直接從A出發到達解:在△ABC中,AB=20(6-BC=402,∠ABC=180°75°+15°=120°.由余弦定理可得AC=AB2+BC由正弦定理,得BCsinsin∠BAC=BC即∠BAC=45°,75°∠BAC=30°.故此船應沿北偏東30°方向航行,需要航行403nmile.7.如圖,某觀測站C在城A的南偏西20°的方向,從城A出發有一條走向為南偏東40°的公路,在C處觀測到距離C處31km的公路上的B處有一輛汽車正沿公路