PAGE§6正態分布學問點一連續型隨機變量[填一填]在頻率分布直方圖中，為了了解得更多，圖中的區間會分得更細，假如將區間無限細分，最終得到一條曲線，這條曲線稱為隨機變量X的分布密度曲線，這條曲線對應的函數稱為X的分布密度函數，記為f(x)．正態分布的密度函數為f(x)＝－∞<x<＋∞.它有兩個重要的參數：均值μ和方差σ2(σ>0)，通常用X～N(μ，σ2)表示X聽從參數為μ和σ2的正態分布．[答一答]1．正態分布的密度函數曲線，當μ肯定時，σ改變與曲線的影響怎樣？提示：曲線的形態由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．學問點二正態分布密度函數的性質[填一填](1)函數圖像關于直線x＝μ對稱；(2)σ(σ>0)的大小確定函數圖像的“胖”“瘦”；(3)P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.3%，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝95.4%，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝99.7%.[答一答]2．若X～N(μ，σ2)，則P(μ－a<X<μ＋a)的幾何意義是什么？提示：表示X取值的概率等于正態曲線與X＝μ－a，X＝μ＋a以及X軸所圍成的圖形的面積．1．對正態分布的理解(1)參數μ是反映隨機變量取值的平均水平的特征數，可以用樣本均值去估計．它在正態曲線中的作用是確定了其對稱軸的位置，并且正態曲線在x＝μ處達到峰值(即最大值)．(2)參數σ是衡量隨機變量總體波動大小的特征數，可以用樣本標準差去估計．它在正態曲線中的作用是當μ肯定時，曲線的形態由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．2．如何理解正態曲線？正態曲線指的是一個函數的圖像，這個函數就是總體的概率密度函數，其解析式是，對于這個函數解析式，要留意以下幾點：(1)函數的自變量是x，定義域是R；(2)解析式中含有兩個常數：π和e，這是兩個無理數，其中π是圓周率，e是自然對數；(3)解析式中含有兩個參數：μ和σ，其中μ可取隨意實數，σ>0，在不同的正態分布中，μ，σ的取值是不同的，這是正態分布的兩個特征數．(4)解析式中前面有一個系數eq\f(1,σ\r(2π))，后面是一個以e為底數的指數函數的形式，冪指數為－eq\f(x－μ2,2σ2)，其中σ這個參數在解析式中的兩個位置上出現，留意兩者的一樣性．3．求一個聽從正態分布的隨機變量在某個區間的概率應考慮的內容(1)曲線位于x軸上方，且與x軸之間的面積為1；(2)曲線關于直線x＝μ對稱；(3)P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.3%，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝95.4%，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝99.7%.題型一正態分布密度曲線及其性質[例1]關于正態曲線性質有下列敘述：(1)曲線關于直線x＝μ對稱，這條曲線在x軸的上方；(2)曲線關于直線x＝0對稱，這條曲線只有當x∈(－3σ，3σ)時，才在x軸的上方；(3)曲線關于y軸對稱，因為曲線對應的正態密度函數是一個偶函數；(4)曲線在x＝μ時位于最高點，由這一點向左、右兩邊延長時，曲線漸漸降低；(5)曲線的對稱軸由μ確定，曲線的形態由σ確定；(6)當μ肯定時，σ越大，曲線越“矮胖”，σ越小，曲線越“高瘦”．上述說法正確的是()A．只有(1)(4)(5)(6)B．只有(2)(4)(5)C．只有(3)(4)(5)(6)D．只有(1)(5)(6)[思路探究]正態曲線是一條關于直線x＝μ對稱，在x＝μ時處于最高點并由該點向左、右兩邊無限延長時，漸漸降低的曲線，該曲線總是位于x軸的上方，曲線的形態由σ確定，而且當μ肯定時，比較若干不同的σ對應的正態曲線，可以發覺σ越大，曲線越“矮胖”，σ越小，曲線越“高瘦”．[答案]A右圖是一個正態曲線．試依據該圖像寫出其正態分布的密度函數的解析式，求出總體隨機變量的期望和方差．解：從給出的正態分布密度曲線可知，該曲線關于直線x＝20對稱，最大值是eq\f(1,2\r(π))，∴μ＝20，eq\f(1,\r(2π)·σ)＝eq\f(1,2\r(π))，得σ＝eq\r(2).∴正態分布的分布密度函數的解析式為均值μ＝20，方差σ2＝(eq\r(2))2＝2.題型二正態變量在三個常用區間上的概率的應用[例2]在某次數學考試中，考生的成果X聽從一個正態分布，即X～N(90,100)．(1)試求考試成果X位于區間(70,110)內的概率是多少？(2)若這次考試共有2000名考生，試估計考試成果在(80,100)之間的考生大約有多少人？[思路探究]eq\x(正態分布)→eq\x(\a\al(確定μ，σ,的值))→eq\x(\a\al(正態分布在三個特,殊區間上的概率))→eq\x(\a\al(求,解))[解]∵X～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝eq\r(100)＝10.(1)P(70<X<110)＝P(90－2×10<X<90＋2×10)＝0.954，即成果X位于區間(70,110)內的概率為0.954.(2)P(80<X<100)＝P(90－10<X<90＋10)＝0.683，∴2000×0.683＝1366(人)．即考試成果在(80,100)之間的考生大約有1366人．規律方法解答此類問題的關鍵有兩個：(1)熟記隨機變量的取值位于區間(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)內的概率值；(2)依據已知條件確定問題所在的區間，并結合三個特別區間上的概率值求解．某年級的一次信息技術測驗成果近似聽從正態分布N(70,102)，假如規定低于60分為不及格，求：(1)成果不及格的學生占多少？(2)成果在80～90之間的學生占多少？解：(1)設學生的得分為隨機變量X，X～N(70,102)，如圖所示，則μ＝70，σ＝10，P(70－10<X<70＋10)＝0.683，∴不及格的學生的比為eq\f(1,2)×(1－0.683)＝0.1585，即成果不及格的學生占15.85%.(2)成果在80～90之間的學生的比為eq\f(1,2)[P(50<X<90)－P(60<X<80)]＝eq\f(1,2)×(0.954－0.683)＝0.1355，即成果在80～90之間的學生占13.55%.題型三正態分布的實際應用[例3]設在一次數學考試中，某班學生的分數X～N(110,202)，且知滿分是150分，這個班的學生共54人．求這個班在這次數學考試中及格(不小于90分)的人數和130分以上的人數．[思路探究]要求及格的人數，需求出P(90≤X≤150)，而求此概率需將問題化為正態變量幾種特別值的概率形式，然后利用對稱性求解．[解]因為X～N(110,202)，所以μ＝110，σ＝20，P(110－20≤X≤110＋20)＝0.6826.于是X>130的概率為eq\f(1,2)×(1－0.6826)＝0.1587，X≥90的概率為0.6826＋0.1587＝0.8413.故及格的人數為54×0.8413≈45(人)，130分以上的人數為54×0.1587≈9(人)．規律方法本題是利用正態曲線的對稱性結合三個特別概率的值求概率，要體會應用方法．一個工廠制造的某機械零件尺寸X聽從正態分布N(4，eq\f(1,9))，問在一次正常的試驗中，取1000個零件時，不屬于區間(3,5)這個尺寸范圍的零件大約有多少個？解：∵X～N(4，eq\f(1,9))，∴μ＝4，σ＝eq\f(1,3).∴不屬于區間(3,5)的概率為P(X≤3)＋P(X≥5)＝1－P(3<X<5)＝1－P(4－1<X<4＋1)＝1－P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝1－0.997＝0.003，∴1000×0.003＝3(個)，即不屬于區間(3,5)這個尺寸范圍的零件大約有3個．——誤區警示系列——錯用正態曲線的對稱性[例4]若隨機變量X聽從正態分布N(0,1)，且P(X≤1)＝0.8413，求P(－1<X≤0)．[解]因為P(X≤1)＝0.8413，所以P(X>1)＝1－0.8413＝0.1587，所以P(X≤－1)＝0.1587，所以P(－1<X≤0)＝0.5－0.1587＝0.3413.[易錯警示](1)求解時，錯解為P(－1<X≤0)＝1－P(X≤1)＝0.1587.(2)針對μ＝0的正態分布，求某區間上的取值概率時常利用如下兩個公式：①P(X<－x0)＝1－P(X≤x0)；②P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)．如圖是當σ取三個不同值σ1、σ2、σ3時的三種正態曲線N(0，σ2)的圖像，那么σ1、σ2、σ3的大小關系是(D)A．σ1>1>σ2>σ3>0B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0D．0<σ1<σ2＝1<σ3解析：當μ＝0，σ＝1時，正態分布密度函數f(x)＝在x＝0時取最大值eq\f(1,\r(2π))，故σ2＝1.由正態曲線的性質，當μ肯定時，曲線的形態由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，反之曲線越“矮胖”，故選D.1．對于正態分布N(0,1)的分布密度函數f(x)＝，下列說法不正確的是(D)A．f(x)為偶函數B．f(x)的最大值是eq\f(1,\r(2π))C．f(x)在x>0時是減函數，在x<0時是增函數D．f(x)是關于x＝1對稱的解析：f(x)的對稱軸是x＝μ＝0，不是x＝1.2．正態分布密度函數f(x)＝，x∈R，其中μ<0的圖像是(A)解析：直線x＝μ是函數圖像的對稱軸，又圖像總在x軸上方，∴選A.3．設隨機變量ξ聽從正態分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，則c等于(B)A．1 B．2C．3 D．4解析：由正態分布密度曲線的對稱性，知2＝eq\f(c＋1＋c－1,2)，∴c＝2.4．已知隨機變量ξ聽從正態分布N(3，σ2)，則P(ξ<3)＝1,2.解析：由正態分布圖像知，μ＝3為該圖像的對稱軸，P(ξ<3)＝P(ξ>3)＝eq\f(1,2).5．若隨機變量ξ聽從正態分布N(μ，σ2)，則下列命題正確的是①③(寫出全部正確命題的序號)．①正態分布密度曲線關于直