學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精課堂導學三點剖析一、向量數量積的交換律和分配律【例1】已知平面上三個向量a、b、c的模均為1,它們相互之間的夾角為120°，求證：(a—b)⊥c。證法一:∵|a｜=|b|=|c｜=1且a、b、c之間夾角均為120°，∴（a—b）·c=a·c-b·c=｜a|｜c|cos120°-｜b|｜c｜cos120°=0。∴(a—b）⊥c.證法二：如右圖,設=a,=b,=c，連結AB、AC、BC的三條線段圍成正三角形ABC,O為△ABC的中心,∴OC⊥AB。又∵=a-b,∴(a—b)⊥c。各個擊破類題演練1若a、b、c為任意向量,m∈R,則下列等式不一定成立的是（）A.（a+b)+c=a+（b+c）B.m(a+b)=ma+mbC.（a+b)·c=a·c+b·cD。(a·b)c=a（b·c)解析：A項是向量加法結合律。B項是向量數乘分配律。C項是向量數量積分配律。故A、B、C項均正確.D項中，(a·b）c表示與c共線的向量，a（b·c）表示與a共線的向量，而c與a一般不共線,∴（a·b）c≠a（b·c).故選D.答案：D變式提升1（2006湖南高考,理5）已知｜a|=2|b｜≠0，且關于x的方程x2+|a|x+a·b=0有實根,則a與b的夾角的取值范圍是（)A。［0，]B.[，π］C。［，］D.[,π］解析：據題意，x2+|a|x+a·b=0有實根，∴Δ=｜a|2-4a·b∴｜a｜2≥4a·b。cosθ==。∴θ∈[,π］。答案:B二、向量的數量積的應用【例2】(本例是一組應用本節知識的題目）1.(2006重慶高考,理7）與向量a=(，），b=(,）的夾角相等,且模為1的向量是（)A。（）B。(）或(）C.（)D.（)或（)解析:由題意知a與b垂直,設所求向量為m，則m與a或b所成角為45°或135°,排除A、C.驗證B或D中任一個值即可迅速得解。答案：B2。（2006重慶高考,文8）已知三點A(2，3),B（—1，—1),C（6，k），其中k為常數。若|｜=｜｜，則與的夾角為()A。arccos（）B。或arccosC.arccosD.或π—arccos解析:由｜|=｜｜，得k=0或6。∴=（-3,-4），=（4，—3)或=（4,3）。∴||=|｜=5.又∵cos〈,〉=，代入坐標,∴與的夾角為或π-arccos。答案：D3.已知向量a、b的夾角為60°,且｜a｜=4，|b｜=2,求（1)|3a-4b｜;(2）（a—b)·（a+2b解：(1)因為｜3a—4b｜2=9|a|2—24a·b+16|=9×16—24×4×2×cos60°+16×4=16×7，所以｜3a—4b｜=.(2)(a-b)·(a+2b）=a2+a·b—2b2=16+4×2×-2×4=12。類題演練2已知｜a｜=｜b|=1，a與b的夾角為，求｜a+b|、｜a—b|的值.思路分析:求向量的模的問題往往轉化為求模的平方,這樣絕對值號就去掉了,也與向量的模及數量積聯系起來了。解:因為a·b=｜a｜|b|cosθ=1×1×cos=,所以｜a+b｜=。同理，可得｜a—b｜==1.變式提升2若非零向量α、β滿足｜α+β｜=｜α—β｜，則α與β的夾角為_________.解析一：如圖所示，以α、β為鄰邊作出OACB,則=α+β,=α-β，又|α+β｜=｜α—β｜,即平行四邊形OACB的對角線長相等,所以OACB為矩形,所以α⊥β,即它們的夾角為90°.解析二:因為|α+β｜=｜α—β|，所以α2+2α·β+β2=α2-2α·β+β2，即α