第1頁（共1頁）2024-2025學年福建省廈門一中八年級（上）期中數學試卷一、選擇題（本大題有10小題，每小題4分，共40分）1．（4分）在以下綠色食品、回收、節能、節水四個標志中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（4分）計算（2m2）3的結果為（）A．8m6 B．6m2 C．2m2 D．4m23．（4分）如圖，直角三角形被擋住了一部分，小明根據所學知識很快就另外畫出了一個與原來完全一樣的三角形（）A．SAS B．ASA C．AAS D．HL4．（4分）一副三角板按如圖所示方式疊放在一起，則圖中∠α的度數是（）A．55° B．60° C．65° D．75°5．（4分）一個多邊形的每一個外角都等于120°，則這個多邊形的邊數為（）A．3 B．4 C．5 D．66．（4分）如圖，有A，B，C三個居民小區的位置成三角形，使超市到三個小區的距離相等，則超市應建在（）A．在邊AC，BC兩條高的交點處 B．在邊AC，BC兩條中線的交點處 C．在邊AC，BC兩條垂直平分線的交點處 D．在∠ABC，∠ACB兩條角平分線的交點處7．（4分）根據下列已知條件，能唯一畫出△ABC的是（）A．∠A＝36°，∠B＝45°，AB＝4 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C．CA＝8，BC＝4，AB＝3 D．AB＝6，∠C＝90°8．（4分）若2a+1＝16，則a等于（）A．7 B．4 C．3 D．29．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D，P分別是圖中所作直線和射線與AB，以下結論錯誤的是（）A．∠ABP＝∠A B．AD＝CD C．∠PBC＝∠ACD D．∠BPC＝118°10．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝21cm，∠A＝60°，點P從點B出發以每秒3cm的速度向點A運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，當△APQ為直角三角形時，t的值為（）A．2.5秒 B．3秒 C．2.5或3秒 D．3或秒二、填空題（本大題共6小題，每題4分，共24分）11．（4分）計算：（a3）2＝．12．（4分）若點P（2，﹣3）與點Q關于y軸對稱，則點Q的坐標是．13．（4分）已知等腰三角形的兩邊長為7和5，則周長可能為．14．（4分）“三等分角”大約是在公元前五世紀由古希臘人提出來的，借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角．這個三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成，C點固定，OC＝CD＝DE，則∠CDE的度數是．15．（4分）如圖，△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AB＝10cm，BO是兩內角平分線，OD⊥AB于Dcm．16．（4分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，E、F兩動點分別在線段AD、AB上運動，若∠BAC＝40°，∠BEF的度數為．三、解答題（本大題共9小題，共86分）17．（10分）計算：（1）a3?a3+（a2）4+（2a4）2；（2）（﹣2x2）3+x2?x4﹣（﹣3x3）2．18．（7分）如圖，AB＝AC，AD＝AE19．（8分）如圖，將Rt△ABC沿某條直線折疊，使斜邊的兩個端點A與B重合（1）如果AC＝7cm，BC＝9cm，試求△ACD的周長；（2）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，求∠B的度數．20．（9分）如圖，解答下列問題：（1）寫出A，B，C三點的坐標．（2）若△ABC各頂點的縱坐標不變，橫坐標都乘﹣1，請你在同一坐標系中描出對應的點A′，C′，并依次連接這三個點（3）找一點P，使得點P到A，B兩點距離相等且直線AP垂直于BC．21．（10分）如圖，已知點D、E為△ABC的邊BC上兩點．AD＝AE，BD＝CE，請你填空完成下面的推理過程，并在空白括號內注明推理的依據．解：過點A作AH⊥BC，垂足為H．∵在△ADE中，AD＝AE（已知）AH⊥BC（所作），∴＝（等腰三角形底邊上的高也是底邊上的中線）．又∵BD＝CE（已知），∴BD+＝CE+（）．即：BH＝．又∵AH⊥BC，垂足為H（所作），∴AH為線段的垂直平分線．∴AB＝AC（）．∴∠B＝∠C（）．22．（10分）如圖，小明在制作手工時，想把一塊直角三角形的卡紙均勻分成大小、形狀都相同的三個三角形，∠B＝30°，小明利用直尺（無刻度），請你幫小明完成下面的尺規作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）．（1）作∠BAC的平分線AD，交BC與點D；（2）過點D作線段的垂線DE（填空并完成作圖）；（3）根據以上信息請判斷：這樣畫出的圖形滿足要求嗎？證明你的判斷．23．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點E、F分別在線段AB、AC上，且EF平分∠AEC（1）當∠BAC＝30°、△EFC是等腰三角形時，求∠FCE的大小；（2）當∠BAC＝60°，BE＝EG，求∠FCE的大小．24．（10分）小明在學習等腰三角形的相關知識時，發現其性質定理“等邊對等角”與判定定理“等角對等邊”存在互逆關系．由此，愛動腦筋的小明進行了如下思考：“等腰三角形三線合一”的性質可以分解為多個不同的真命題（1）等腰三角形頂角的平分線也是底邊上的高線；（2）等腰三角形底邊上的中線也是底邊上的高線；（3）……由這些真命題，小明得到“互逆”之后的新命題，即：Ⅰ．如果一個三角形一個角的平分線也是這個角對邊上的高線，那么這個三角形是等腰三角形；Ⅱ．……（1）請你根據前面的命題（2）寫出小明猜想的命題Ⅱ：；（2）小明認為如果這些命題是真命題，那么就可以作為等腰三角形的判定方法，于是小明對命題進行證明，求證：命題Ⅰ：在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC；命題Ⅱ：；①請你寫出命題Ⅱ的幾何語言；②命題Ⅰ、Ⅱ是否都是真命題，如果不是，請說明理由．如果是25．（12分）平面直角坐標系中，點A，C分別是x軸和y軸上的動點，AC＝BC．（1）如圖1，若A（6，0），C（0，﹣3），求點B的坐標；（2）如圖2，設BC交x軸于點D，若AD平分∠BAC，求點B的縱坐標；（3）如圖3，當點C運動到原點O時，∠BAO的平分線交y軸于點M，N（n，0），將△MON沿MN翻折，NO的對應邊的延長線交AB于點P，且MN＝MQ．請你補全圖形（不需要尺規作圖），并求NP+QP的值．（用含n的式子表示）

2024-2025學年福建省廈門一中八年級（上）期中數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題有10小題，每小題4分，共40分）1．（4分）在以下綠色食品、回收、節能、節水四個標志中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：選項A、B、C不能找到這樣的一條直線，直線兩旁的部分能夠互相重合，選項D能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，所以是軸對稱圖形，故選：D．2．（4分）計算（2m2）3的結果為（）A．8m6 B．6m2 C．2m2 D．4m2【解答】解：（2m2）7＝23m3×3＝8m5．故選：A．3．（4分）如圖，直角三角形被擋住了一部分，小明根據所學知識很快就另外畫出了一個與原來完全一樣的三角形（）A．SAS B．ASA C．AAS D．HL【解答】解：∵由圖形可知三角形的兩角和夾邊，∴兩個三角形全等的依據是ASA．故選：B．4．（4分）一副三角板按如圖所示方式疊放在一起，則圖中∠α的度數是（）A．55° B．60° C．65° D．75°【解答】解：由題意得：∠1＝90°﹣60°＝30°，則∠α＝45°+30°＝75°，故選：D．5．（4分）一個多邊形的每一個外角都等于120°，則這個多邊形的邊數為（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：邊數＝360°÷120°＝3．故選：A．6．（4分）如圖，有A，B，C三個居民小區的位置成三角形，使超市到三個小區的距離相等，則超市應建在（）A．在邊AC，BC兩條高的交點處 B．在邊AC，BC兩條中線的交點處 C．在邊AC，BC兩條垂直平分線的交點處 D．在∠ABC，∠ACB兩條角平分線的交點處【解答】解：根據線段的垂直平分線的性質：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．則超市應建在AC，BC兩邊垂直平分線的交點處．故選：C．7．（4分）根據下列已知條件，能唯一畫出△ABC的是（）A．∠A＝36°，∠B＝45°，AB＝4 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C．CA＝8，BC＝4，AB＝3 D．AB＝6，∠C＝90°【解答】解：A、由ASA，故A符合題意；B、屬于SSA情況，故B不符合題意；C、不滿足三角形三邊之間的關系，故C不符合題意；D、只有兩個條件，故D不符合題意．故選：A．8．（4分）若2a+1＝16，則a等于（）A．7 B．4 C．3 D．2【解答】解：∵2a+1＝16，∴64＝16，∴a＝3，故選：C．9．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D，P分別是圖中所作直線和射線與AB，以下結論錯誤的是（）A．∠ABP＝∠A B．AD＝CD C．∠PBC＝∠ACD D．∠BPC＝118°【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝×（180°﹣36°）＝72°，∴∠PBC＝∠ABC＝36°，由作圖痕跡得到BP平分∠ABC，D點為AC的垂直平分線與AB的交點，∴∠ABP＝∠CBP＝36°，所以A選項不符合題意；∴DA＝DC，所以B選項不符合題意；∵DA＝DC，∴∠ACD＝∠A＝36°，∴∠PBC＝∠ACD＝36°，所以C選項不符合題意；∵∠PBC＝36°，∠ACD＝36°，∴∠PCB＝36°，∴∠BPC＝180°﹣36°﹣36°＝108°，∴D選項符合題意．故選：D．10．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝21cm，∠A＝60°，點P從點B出發以每秒3cm的速度向點A運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，當△APQ為直角三角形時，t的值為（）A．2.5秒 B．3秒 C．2.5或3秒 D．3或秒【解答】解：根據題意得：AP＝AB﹣BP＝21﹣3t，AQ＝2t，∵△APQ為直角三角形，∠A＝60°，∴當∠AQP＝90°，∠APQ＝30°時，則，∴，解得：t＝7，當∠APQ＝90°，∠AQP＝30°時，則，∴，解得：，綜上，當t的值為3秒或，△APQ為直角三角形，故選：D．二、填空題（本大題共6小題，每題4分，共24分）11．（4分）計算：（a3）2＝a6．【解答】解：（a3）2＝a4．故答案為：a6．12．（4分）若點P（2，﹣3）與點Q關于y軸對稱，則點Q的坐標是（﹣2，﹣3）．【解答】解：∵點P（2，﹣3）與點Q關于y軸對稱，∴點Q的坐標是（﹣5，﹣3）．故答案為：（﹣2，﹣4）．13．（4分）已知等腰三角形的兩邊長為7和5，則周長可能為17或19．【解答】解：當5是腰時，則5+3＞7，周長為7+6+5＝17，當7是腰時，能構成三角形，故答案為：17或19．14．（4分）“三等分角”大約是在公元前五世紀由古希臘人提出來的，借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角．這個三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成，C點固定，OC＝CD＝DE，則∠CDE的度數是80°．【解答】解：∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，∵∠DCE＝∠O+∠CDO＝2∠O，∴∠DEC＝2∠O，∴∠BDE＝∠O+∠DEC＝6∠O＝75°，∴∠O＝25°，∴∠DCE＝∠DEC＝50°，∴∠CDE＝80°，故答案為：80°．15．（4分）如圖，△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AB＝10cm，BO是兩內角平分線，OD⊥AB于D2cm．【解答】解：連接OC，過點O作OE⊥AC于E，如圖所示：設OD＝a，∵AO，BO是∠CAB，OD⊥AB，∴OE＝OD＝a，OF＝OD＝a，∵AC＝6cm，BC＝8cm，∴S△AOC＝AC?OE＝3a（cm4），S△COB＝BC?OF＝3a（cm2），S△AOB＝AB?OD＝5a（cm2），又∵∠C＝90°，∴S△ABC＝AC?BC＝24（cm2），∵S△AOC+S△COB+S△AOB＝S△ABC，∴6a+4a+5a＝24，解得：a＝5，∴OD＝2cm．故答案為：2．16．（4分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，E、F兩動點分別在線段AD、AB上運動，若∠BAC＝40°，∠BEF的度數為40°．【解答】解：如圖所示，連接CE，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∠ADC＝∠ADB＝90°，又∵DE＝DE，∴△CDE≌△BDE（SAS），∴CE＝BE，∴BE+EF＝CE+EF，∴當C、E、F三點共線且CF⊥AB時CE+EF最小，∵∠BAC＝40°，∴∠BAD＝∠BAC＝20°，同理可得CE′＝BE′，則∠CBE′＝∠BCE′＝20°，∴∠BE′F′＝∠CBE′+∠BCE′＝40°，∴當BE+EF取得最小值時，∠BEF的度數為40°，故答案為：40°．三、解答題（本大題共9小題，共86分）17．（10分）計算：（1）a3?a3+（a2）4+（2a4）2；（2）（﹣2x2）3+x2?x4﹣（﹣3x3）2．【解答】解：（1）原式＝a6+a8+7a8＝a6+2a8；（2）原式＝﹣8x4+x6﹣9x3＝﹣16x6．18．（7分）如圖，AB＝AC，AD＝AE【解答】解：△ABE≌△ACD，理由如下：由題意可知，∠A是△ABE和△ACD的公共角，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS）．19．（8分）如圖，將Rt△ABC沿某條直線折疊，使斜邊的兩個端點A與B重合（1）如果AC＝7cm，BC＝9cm，試求△ACD的周長；（2）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，求∠B的度數．【解答】解：（1）∵將Rt△ABC沿某條直線折疊，∴DE垂直平分線段AB，∴DA＝DB，∵AC＝7cm，BC＝9cm，∴△ACD的周長＝DA+DC+AC＝DB+DC+AC＝BC+AC＝16cm；（2）設∠CAD＝x，則∠BAD＝3x，∵DA＝DB，∴∠BAD＝∠B＝2x，在Rt△ABC中，∠B+∠BAC＝90°，即：2x+5x+x＝90°，∴x＝18°，∴∠B＝2x＝36°．20．（9分）如圖，解答下列問題：（1）寫出A，B，C三點的坐標．（2）若△ABC各頂點的縱坐標不變，橫坐標都乘﹣1，請你在同一坐標系中描出對應的點A′，C′，并依次連接這三個點（3）找一點P，使得點P到A，B兩點距離相等且直線AP垂直于BC．【解答】解：（1）根據題意可知：A（3，4），8），1）；（2）∵△ABC各頂點的縱坐標不變，橫坐標都乘﹣1，6），2），1），∴A′（﹣5，4），2），3），∴將點坐標在平面直角坐標系中畫圖，如圖所示：通過觀察得知△A′B′C′與△ABC關于y軸對稱；（3）∵點P到A，B兩點距離相等，∴點P在AB線段的垂直平分線上，又∵直線AP垂直于BC，∴過點A做AP垂直于BC，∴點P即為AB線段的垂直平分線與AP線的交點．21．（10分）如圖，已知點D、E為△ABC的邊BC上兩點．AD＝AE，BD＝CE，請你填空完成下面的推理過程，并在空白括號內注明推理的依據．解：過點A作AH⊥BC，垂足為H．∵在△ADE中，AD＝AE（已知）AH⊥BC（所作），∴DH＝EH（等腰三角形底邊上的高也是底邊上的中線）．又∵BD＝CE（已知），∴BD+DH＝CE+EH（等式的性質）．即：BH＝CH．又∵AH⊥BC，垂足為H（所作），∴AH為線段BC的垂直平分線．∴AB＝AC（線段垂直平分線的性質）．∴∠B＝∠C（等邊對等角）．【解答】解：過點A作AH⊥BC，垂足為H．∵在△ADE中，AD＝AE（已知），∴DH＝EH，（等腰三角形底邊上的高也是底邊上的中線）．又∵BD＝CE（已知），∴BD+DH＝CE+EH（等式的性質）．即：BH＝CH．又∵AH⊥BC，垂足為H（所作），∴AH為線段BC的垂直平分線．∴AB＝AC（線段垂直平分線的性質）．∴∠B＝∠C（等邊對等角）．故答案為：DH；EH；EH；CH；線段垂直平分線的性質．22．（10分）如圖，小明在制作手工時，想把一塊直角三角形的卡紙均勻分成大小、形狀都相同的三個三角形，∠B＝30°，小明利用直尺（無刻度），請你幫小明完成下面的尺規作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）．（1）作∠BAC的平分線AD，交BC與點D；（2）過點D作線段AB的垂線DE（填空并完成作圖）；（3）根據以上信息請判斷：這樣畫出的圖形滿足要求嗎？證明你的判斷．【解答】解：（1）如圖，射線AD即為所求；（2）如圖，線段直線DE即為所求；故答案為：AB；（3）符合要求．理由：∵AD平分∠CAB，∴∠DAC＝∠DAE＝30°，∵∠C＝∠AED＝90°，AD＝AD，∴△ADC≌△ADE（AAS），∵∠B＝∠DAE＝30°，DE＝DE，∴△DEA≌△DEB（ASA）．故符合題意．23．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點E、F分別在線段AB、AC上，且EF平分∠AEC（1）當∠BAC＝30°、△EFC是等腰三角形時，求∠FCE的大小；（2）當∠BAC＝60°，BE＝EG，求∠FCE的大小．【解答】解：（1）設∠FCE＝α，∵EF平分∠AEC，∴∠AEF＝∠CEF，∠AEC＝2∠CEF，∵∠EFC是△AEF的一個外角，∴∠EFC＞∠AEF，∴∠EFC＞∠CEF，∴當△EFC是等腰三角形時，有以下兩種情況：①當EF＝CF時，則∠CEF＝∠FCE＝α，∴∠AEC＝2∠CEF＝4α，在△AEC中，∠AEC+∠FCE+∠BAC＝180°，∵∠BAC＝30°，∴2α+α+30°＝180°∴α＝50°，即∠FCE＝α＝50°；②當EF＝CE時，則∠EFC＝∠FCE＝α，∴∠CEF＝180°﹣（∠EFC+∠FCE）＝180°﹣2α，∴∠AEC＝8∠CEF＝360°﹣4α，在△AEC中，∠AEC+∠FCE+∠BAC＝180°，∴360°﹣4α+α+30°＝180°，∴α＝70°，即∠FCE＝α＝70°，綜上所述：∠FCE的度數是50°或70°；（2）設∠FCE＝α，在△ABC中，AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，在△BAG和△CAG中，，∴△BAG≌△CAG（SAS），∴∠EBG＝∠FCE＝α，∵BE＝EG，∴∠EBG＝EGB＝α，∠AEC＝∠EBG+EGB＝2α，在△ABC中，∠AEC+∠FCE+∠BAC＝180°，∠BAC＝60°，∴2α+α+60°＝180°，∴α＝40°，即∠FCE＝α＝40°．24．（10分）小明在學習等腰三角形的相關知識時，發現其性質定理“等邊對等角”與判定定理“等角對等邊”存在互逆關系．由此，愛動腦筋的小明進行了如下思考：“等腰三角形三線合一”的性質可以分解為多個不同的真命題（1）等腰三角形頂角的平分線也是底邊上的高線；（2）等腰三角形底邊上的中線也是底邊上的高線；（3）……由這些真命題，小明得到“互逆”之后的新命題，即：Ⅰ．如果一個三角形一個角的平分線也是這個角對邊上的高線，那么這個三角形是等腰三角形；Ⅱ．……（1）請你根據前面的命題（2）寫出小明猜想的命題Ⅱ：如果一個三角形一邊的中線也是這條邊上的高線，那么這個三角形是等腰三角形；（2）小明認為如果這些命題是真命題，那么就可以作為等腰三角形的判定方法，于是小明對命題進行證明，求證：命題Ⅰ：在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC；命題Ⅱ：在△ABC中，AD是中線，AD⊥BC，求證：△ABC是等腰三角形．；①請你寫出命題Ⅱ的幾何語言；②命題Ⅰ、Ⅱ是否都是真命題，如果不是，請說明理由．如果是【解答】解：（1）如果一個三角形一邊的中線也是這條邊上的高線，那么這個三角形是等腰三角形．故答案為：如果一個三角形一邊的中線也是這條邊上的高線，那么這個三角形是等腰三角形；（2）①命題Ⅱ：在△ABC中，AD是中線，求證：△ABC是等腰三角