第02講平面向量的數量積及其應用（模擬精練+真題演練）1．（2023·湖南長沙·長沙市實驗中學校考三模）已知向量SKIPIF1<0（2，1），SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，3），則向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因為向量SKIPIF1<0（2，1），SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，3），所以向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量為SKIPIF1<0，故選：C2．（2023·北京·統考模擬預測）若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角等于SKIPIF1<0.故選：D3．（2023·湖南長沙·雅禮中學校考模擬預測）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．5 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：D4．（2023·廣東深圳·統考模擬預測）若等邊SKIPIF1<0的邊長為2，平面內一點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：C.5．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四中學校校考模擬預測）如圖，已知SKIPIF1<0的半徑為2，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）

A．1 B．-2 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由題知，SKIPIF1<0為正三角形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C6．（2023·新疆喀什·校考模擬預測）在SKIPIF1<0當中SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊的中點，則SKIPIF1<0（

）.A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因為SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊的中點，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D7．（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學校考三模）已知向量SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量為SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：C8．（2023·上海嘉定·上海市嘉定區第一中學校考三模）如圖直線l以及三個不同的點A，SKIPIF1<0，O，其中SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線l的一個方向向量的單位向量是SKIPIF1<0，下列關于向量運算的方程甲：SKIPIF1<0，乙：SKIPIF1<0，其中是否可以作為A，SKIPIF1<0關于直線l對稱的充要條件的方程（組），下列說法正確的是（

）

A．甲乙都可以 B．甲可以，乙不可以C．甲不可以，乙可以 D．甲乙都不可以【答案】A【解析】對于方程甲：因為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影，可得SKIPIF1<0表示點A，SKIPIF1<0到直線l的距離相等，則點A，SKIPIF1<0分別在關于直線l對稱的平行線SKIPIF1<0上，

因為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以A，SKIPIF1<0關于直線l對稱，反之也成立，故甲滿足；對于乙：在SKIPIF1<0中，因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0的中線所在的直線，且點A在直線SKIPIF1<0上的投影為SKIPIF1<0的中點，所以A，SKIPIF1<0關于直線l對稱，反之也成立，故乙滿足；故選：A.9．（2023·安徽亳州·蒙城第一中學校聯考模擬預測）已知非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.則向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角（

）A．45° B．60° C．135° D．150°【答案】C【解析】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0反向,則SKIPIF1<0.故選：C.10．（2023·重慶沙坪壩·重慶一中校考模擬預測）在SKIPIF1<0中，點D，E滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的可能值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】依題意，作圖如下，

由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，也即SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時取得等號，所以SKIPIF1<0，所以結合選項SKIPIF1<0的可能值為SKIPIF1<0，故選：D.11．（多選題）（2023·廣東梅州·大埔縣虎山中學校考模擬預測）已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量為SKIPIF1<0C．與SKIPIF1<0垂直的單位向量的坐標為SKIPIF1<0D．若向量SKIPIF1<0與非零向量SKIPIF1<0共線，則SKIPIF1<0【答案】AD【解析】由題意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因此A正確；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量為SKIPIF1<0，因此B錯誤；與SKIPIF1<0垂直的單位向量的坐標為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因此C錯誤；因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若向量SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0共線，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此D正確.故選：AD.12．（多選題）（2023·廣東珠海·珠海市第一中學校考模擬預測）已知SKIPIF1<0，下列結論正確的是（

）A．與向量SKIPIF1<0垂直且模長是2的向量是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0B．與向量SKIPIF1<0反向共線的單位向量是SKIPIF1<0C．向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量是SKIPIF1<0D．向量SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0所成的角是銳角，則SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0【答案】BC【解析】對于A，向量的模SKIPIF1<0不符合，故A不正確.對于B，向量SKIPIF1<0的相反向量為SKIPIF1<0，與相反向量同向的單位向量是SKIPIF1<0，故B正確.對于C，向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影為SKIPIF1<0，與向量SKIPIF1<0同向的單位向量SKIPIF1<0，所以向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量是SKIPIF1<0，故C正確.對于D，SKIPIF1<0時，向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0同向共線，夾角為0，不是銳角，故D不正確.故選：BC.13．（多選題）（2023·遼寧·朝陽市第一高級中學校聯考三模）△ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列結論正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【解析】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，A錯誤；因為△ABC是邊長為2的等邊三角形，所以SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，B正確；SKIPIF1<0，C正確，D錯誤；故選:BC.14．（多選題）（2023·廣東汕頭·統考二模）在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點P，下列結論正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】連接PC，并延長交AB于Q，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，選項A:SKIPIF1<0SKIPIF1<0.判斷正確；選項B:SKIPIF1<0SKIPIF1<0.判斷正確；選項C:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.判斷錯誤；選項D:SKIPIF1<0.判斷正確.故選：ABD15．（多選題）（2023·安徽·合肥一中校聯考模擬預測）如圖，已知正六邊形ABCDEF的邊長為1，記SKIPIF1<0，則（

）

A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量為SKIPIF1<0【答案】BC【解析】SKIPIF1<0，故A錯誤；因為SKIPIF1<0，故B正確；SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C正確；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量為SKIPIF1<0，故D錯誤.故選：SKIPIF1<0.16．（2023·陜西西安·統考模擬預測）若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共線，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0________.【答案】SKIPIF1<0【解析】因為向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共線，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.17．（2023·重慶萬州·重慶市萬州第三中學校考模擬預測）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量的模長為___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】因為向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得:SKIPIF1<0,向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量的模長為:SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.18．（2023·河南·襄城高中校聯考三模）已知正六邊形SKIPIF1<0的邊長為1，SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0為正六邊形的中心，則SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0【解析】根據題意得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<019．（2023·河南鄭州·統考模擬預測）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0＝______．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以向量SKIPIF1<0的起點為原點，向量SKIPIF1<0的方向為SKIPIF1<0軸正方向，建立如圖所示的坐標系，不妨設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0

∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．1．（2023?乙卷（文））正方形SKIPIF1<0的邊長是2，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．5【答案】SKIPIF1<0【解析】正方形SKIPIF1<0的邊長是2，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．2．（2023?甲卷（文））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【解析】根據題意，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．3．（2023?甲卷（理））向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【解析】因為向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．4．（2022?乙卷（文））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．2【答案】SKIPIF1<0【解析】因為向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，兩邊平方得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選：SKIPIF1<0．5．（2023?天津）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，若設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0可用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示為；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為．【答案】SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．【解析】在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理可得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時取等號，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．6．（2023?上海）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】4．【解析】SKIPIF1<0向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案為：4．7．（2023?新高考Ⅱ）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．8．（2022?天津）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0，試用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0為，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為．【答案】SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．【解析】SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0，如圖：SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立，故SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．9．（2022?上海）若平面向量SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0