PAGE課時分層作業(四十三)刻畫空間點、線、面位置關系的公理(二)(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．已知空間兩個角α，β，α與β的兩邊對應平行，且α＝60°，則β等于()A．60° B．120°C．30° D．60°或120°D[由等角定理，知β與α相等或互補，故β＝60°或120°.]2．分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關系是()A．肯定平行 B．肯定相交C．肯定異面 D．相交或異面D[可能相交也可能異面，但肯定不平行(否則與條件沖突)．]3．一條直線與兩條平行線中的一條成為異面直線，則它與另一條()A．相交 B．異面C．相交或異面 D．平行C[如圖所示的正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線AA1與直線B1C1是異面直線，與B1C1平行的直線有A1D1，AD，BC，明顯直線AA1與A1D14．空間四邊形的對角線相互垂直且相等，順次連接這個四邊形各邊中點，所組成的四邊形是()A．梯形 B．矩形C．平行四邊形 D．正方形D[如圖，因為BD⊥AC，且BD＝AC，又因為E，F，G，H分別為對應邊的中點，所以FG
EHeq\f(1,2)BD，HGEF
eq\f(1,2)AC．所以FG⊥HG，且FG＝HG.所以四邊形EFGH為正方形．]5．異面直線a，b，有a?α，b?β且α∩β＝c，則直線c與a，b的關系是()A．c與a，b都相交B．c與a，b都不相交C．c至多與a，b中的一條相交D．c至少與a，b中的一條相交D[若c與a，b都不相交，∵c與a都在α內，∴a∥c.又c與b都在β內，∴b∥c.由基本領實4，可知a∥b，與已知條件沖突．如圖，只有以下三種狀況．]二、填空題6．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，AC與BC160°[連接AD1，則AD1∥BC1.∴∠CAD1(或其補角)就是AC與BC1所成的角，連接CD1，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，∴∠CAD1＝60°，即AC與BC1所成的角為60°.]7．一個正方體紙盒綻開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結論：①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60°；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD．以上結論正確的為________．(填序號)①③[把正方體的平面綻開圖還原成原來的正方體可知，AB⊥EF，EF與MN是異面直線，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正確．]8．在如圖所示的正方體中，M，N分別為棱BC和CC1的中點，則異面直線AC和MN所成的角為________．60°[連接BC1，AD1(圖略)，∵MN∥BC1∥AD1，∴∠D1AC或其補角是異面直線AC和MN所成的角，連接CD1∵△ACD1是等邊三角形，∴∠D1AC三、解答題9．如圖所示，E，F分別是長方體A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中點．求證：四邊形B[證明]設Q是DD1的中點，連接EQ，QC1.∵E是AA1的中點，∴EQ
A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1B1C1∴EQ
B1C1(基本領實4)．∴四邊形EQC1B1為平行四邊形．∴B1E
C1Q.又∵Q，F是DD1，C1C兩邊的中點，∴QD
C1F∴四邊形QDFC1為平行四邊形．∴C1Q
DF.∴B1E
DF.∴四邊形B1EDF為平行四邊形．10．如圖所示，在長方體ABCD－EFGH中，AB＝AD＝2eq\r(3)，AE＝2.(1)求直線BC和EG所成的角；(2)求直線AE和BG所成的角．[解](1)連接AC(圖略)．∵EG∥AC，∴∠ACB即是BC和EG所成的角．∵在長方體ABCD－EFGH中，AB＝AD＝2eq\r(3)，AE＝2，∴tan∠ACB＝1，∴∠ACB＝45°，∴直線BC和EG所成的角是45°.(2)∵AE∥BF，∴∠FBG即是AE和BG所成的角．易知tan∠FBG＝eq\r(3)，∴∠FBG＝60°，∴直線AE和BG所成的角是60°.11．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是線段BC，C1D的中點，則直線A1B與直線EFA．相交 B．異面C．平行 D．垂直A[如圖所示，連接BD1，CD1，CD1與C1D交于點F，由題意可得四邊形A1BCD1是平行四邊形，在平行四邊形A1BCD1中，E，F分別是線段BC，CD1的中點，所以EF∥BD1，所以直線A1B與直線EF相交，故選A．]12．在三棱錐A－BCD中，AC⊥BD，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，則四邊形EFGH是()A．菱形 B．矩形C．梯形 D．正方形B[如圖，在△ABD中，點H，E分別為邊AD，AB的中點，所以HEeq\f(1,2)BD，同理GF
BD，所以HE
GF，所以四邊形EFGH為平行四邊形．又AC⊥BD，所以HG⊥HE，所以四邊形EFGH是矩形，故選B．]13．如圖，空間四邊形ABCD的對角線AC＝8，BD＝6，M，N分別為AB，CD的中點，并且異面直線AC與BD所成的角為90°，則MN等于________．5[取AD的中點P，連接PM，PN，則BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即異面直線AC與BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝eq\f(1,2)AC＝4，PM＝eq\f(1,2)BD＝3，∴MN＝5.]14．如圖所示，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________(填序號)．②④[①中，∵G，M是中點，∴AG
BM，∴GM
AB
HN，∴GH∥MN，即G，H，M，N四點共面；②中，∵H，G，N三點共面，且都在平面HGN內，而點M明顯不在平面HGN內，∴H，G，M，N四點不共面，即GH與MN異面；③中，∵G，M是中點，∴GM
eq\f(1,2)CD，∴GM
eq\f(1,2)HN，∴H，G，M，N四點共面；④中，同②，G，H，M，N四點不共面，即GH與MN異面．]15．在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1與AC，AB所成的角均為60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，求異面直線A1B與AC1[解]如圖所示，把三棱柱補為四棱柱ABDC－A1B1D1C1，連接BD1，A1D1，AD，由四棱柱的性質知BD1∥AC1，則∠A1BD1就是異面直線A1B與AC1所成的角．設AB＝a，∵AA1與AC，AB所成的角均為60°，且AB＝AC＝AA1，∴A1B＝a，BD1＝AC1＝2AA1·cos30°＝eq\r(3)a.又∠BAC＝90°，∴在矩形ABDC中，AD＝eq