PAGE課時素養評價八最大值與最小值(25分鐘·60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.函數f(x)=3x-4x3,x∈[0,1]的最大值等于 ()A.0B.-1C.QUOTED.1【解析】選D.因為f′(x)=3-12x2,令f′(x)=0,得x=±QUOTE,當x∈QUOTE時,f′(x)>0,f(x)單調遞增;當x∈QUOTE時,f′(x)<0,f(x)單調遞減.所以函數f(x)在x=QUOTE處取得極大值,也是函數f(x)在[0,1]上的最大值,故f(x)max=fQUOTE=1.【補償訓練】函數y=x3+x2-x+1在區間[-2,1]上的最小值為____________.

【解析】y′=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1).令y′=0,解得x=QUOTE或x=-1.當x∈[-2,-1]時,y′>0,函數單調遞增;當x∈QUOTE時,y′<0,函數單調遞減;當x∈QUOTE時,y′>0,函數單調遞增.當x=-2時,y=-1;當x=-1時,y=2;當x=QUOTE時,y=QUOTE;當x=1時,y=2.所以函數的最小值為-1.答案:-12.函數f(x)=lnx-x在(0,e]上的最大值為 ()A.-1 B.0 C.1 【解析】選A.因為f′(x)=QUOTE-1=QUOTE,令f′(x)>0得0<x<1,令f′(x)<0得x>1,所以f(x)在(0,1]上是增函數,在(1,e]上是減函數.所以當x=1時,f(x)有最大值f(1)=-1.3.已知f(x)=2x3-6x2+m(m是常數)在[-2,2]上有最大值3,那么此函數在[-2,2]上的最小值為 ()A.-37 B.-3 C.3 【解題指南】利用函數在[-2,2]上有最大值3,求出m的值,再利用導數求函數的最小值.【解析】選A.因為f′(x)=6x2-12x=6(x2-2x)=6x(x-2).令f′(x)=0,解得x=0或x=2.所以f(x)在[-2,0]上單調遞增,在[0,2]上單調遞減.因為f(0)=m,f(2)=-8+m,f(-2)=-40+m,所以f(0)>f(2)>f(-2),所以f(0)=3,解得m=3,所以最小值為f(-2)=-37.4.若對隨意的x>0,恒有lnx≤px-1(p>0),則p的取值范圍是 ()A.(0,1] B.(1,+∞)C.(0,1) D.[1,+∞)【解析】選D.原不等式可化為lnx-px+1≤0,令f(x)=lnx-px+1,故只需f(x)max≤0,由f′(x)=QUOTE-p知f(x)在QUOTE上單調遞增;在QUOTE上單調遞減.故f(x)max=fQUOTE=-lnp,即-lnp≤0,解得p≥1.5.若函數f(x)=x3-3x在區間(a,6-a2)上有最小值,則實數a的取值范圍是 ()A.(-QUOTE,1) B.[-QUOTE,1)C.[-2,1) D.(-QUOTE,-2]【解析】選C.由于函數f(x)在開區間(a,6-a2)上有最小值,則函數f(x)的微小值點在(a,6-a2)內,且在(a,6-a2)上的單調性是先減再增.f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),當-1<x<1時,f′(x)<0,當x>1時,f′(x)>0,所以函數f(x)的微小值為f(1).又函數f(x)=x3-3x在區間(a,6-a2)上有最小值,所以f(a)≥f(1),由QUOTE解得-2≤a<1.二、填空題(每小題3分,共15分)6.設函數f(x)=ax3+3bx(a,b為實數,a<0,b>0),當x∈[0,1]時,有f(x)∈[0,1],則b的最大值是____________.

【解析】因為f′(x)=3ax2+3b,所以令f′(x)=3ax2+3b=0,可得x=±QUOTE,①QUOTE≥1時,f(x)的最大值為f(1)=1,所以b∈QUOTE,②0<QUOTE<1,f(x)的最大值為fQUOTE=1,f(1)≥0,所以b∈QUOTE,所以b的最大值是QUOTE.答案:QUOTE7.設0<a≤1,函數f(x)=x+QUOTE,g(x)=x-lnx,若對隨意的x1,x2∈[1,e]都有f(x1)≥g(x2)成立,則實數a的取值范圍是____________.

【解析】因為對隨意的x1,x2∈[1,e],都有f(x1)≥g(x2)成立,所以f(x)min≥g(x)max對?x∈[1,e]恒成立.因為f(x)=x+QUOTE(0<a≤1)在[1,e]上單調遞增,所以f(x)min=f(1)=1+a2.因為g(x)=x-lnx,所以g′(x)=1-QUOTE=QUOTE,所以當x∈[1,e]時g′(x)≥0恒成立.故g(x)在[1,e]上單調遞增,當x=e時,g(x)max=g(e)=e-lne=e-1.令1+a2≥e-1,得a2≥e-2,又0<a≤1故QUOTE≤a≤1.答案:[QUOTE,1]8.已知函數f(x)=(x2-2x)ex,下列說法中正確的有_______________.(填序號)

①f(x)在R上有兩個極值點;②f(x)在x=QUOTE處取得最大值;③f(x)在x=QUOTE處取得最小值;④f(x)在x=QUOTE處取得微小值;⑤函數f(x)在R上有兩個不同的零點.【解析】因為f′(x)=ex(x2-2),令f′(x)=0,得x=±QUOTE,當x<-QUOTE時,f′(x)>0,當-QUOTE<x<QUOTE時,f′(x)<0,當x>QUOTE時,f′(x)>0,故函數在x=QUOTE處取得微小值,在x=-QUOTE處取得極大值,又f(-QUOTE)=(2+2QUOTE)QUOTE>0,f(QUOTE)=(2-2QUOTE)·QUOTE<0,所以函數在R上有兩個不同的零點.答案:①④⑤三、解答題(每小題10分,共20分)9.求函數f(x)=xsinx+cosx(0≤x≤π)的值域.【解析】f′(x)=sinx+x·cosx-sinx=xcosx,令f′(x)=0得x=0或x=QUOTE,x0πf′(x)0+0--πf(x)1↗↘-1由上表可知,函數值域為QUOTE.10.(2024·北京高考)已知函數f(x)=12-x2.(1)求曲線y=f(x)的斜率等于-2的切線方程;(2)設曲線y=f(x)在(t,f(t))處的切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為S(t),求S(t)的最小值.【命題意圖】考查導數幾何意義,求切線方程,最值等.【解析】(1)f(x)定義域為R,f′(x)=-2x,設切點為P(x0,y0),則k=f′(x0)=-2x0=-2,即x0=1,所以y0=f(x0)=f(1)=11,切點為(1,11),所以所求切線方程為y-11=-2(x-1),即2x+y-13=0.(2)切線方程為y-12+t2=-2t(x-t),令x=0得y=t2+12,令y=0得x=QUOTE+QUOTE,所以S(t)=QUOTE(t2+12)|QUOTE+QUOTE|,t≠0,易知S(t)為偶函數,當t>0時,S(t)=QUOTEt3+6t+QUOTE,S′(t)=QUOTE×QUOTE,令S′(t)=0得t=2,-2(舍),t(0,2)2(2,+∞)S′(t)-0+S(t)↘微小值↗所以S(t)有微小值也是最小值S(2)=32,又S(t)為偶函數,所以當t=±2時,S(t)有最小值32.(20分鐘·40分)1.(5分)函數f(x)=QUOTEex(sinx+cosx)在區間QUOTE上的值域為 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.因為x∈QUOTE,所以f′(x)=excosx≥0,函數f(x)在QUOTE上單調遞增,所以f(0)≤f(x)≤fQUOTE.即QUOTE≤f(x)≤QUOTE.【補償訓練】函數f(x)=2x+log2(x+1)在區間[0,1]上的最大值和最小值之和為____________.

【解析】因為f(x)=2x+log2(x+1),所以f′(x)=2xln2+QUOTE.因為x∈[0,1],所以2xln2+QUOTE>0.所以f(x)=2x+log2(x+1)在[0,1]上是增函數.所以最大值和最小值之和為:20+log2(0+1)+21+log2(1+1)=4.答案:42.(5分)已知函數f(x)=aQUOTE-2lnx(a∈R),g(x)=-QUOTE,若至少存在一個x0∈[1,e],使f(x0)>g(x0)成立,則實數a的取值范圍為 ()A.QUOTE B.(0,+∞)C.[0,+∞) D.QUOTE【解析】選B.由題意得f(x)-g(x)>0在[1,e]上有解,即ax-2lnx>0在[1,e]上有解,所以a>QUOTE.設y=QUOTE,則y′=QUOTE≥0,所以ymin=0,故得a>0.3.(5分)設QUOTE<a<1,函數f(x)=x3-QUOTEax2+b(-1≤x≤1)的最大值為1,最小值為-QUOTE,則a=____________,b=.

【解析】f′(x)=3x2-3ax=3x(x-a),令f′(x)=0,得x1=0,x2=a.依據x1,x2列表,分析f′(x)的符號和函數f(x)的單調性:x-1(-1,0)0(0,a)a(a,1)1f′(x)+0-0+f(x)b-1-QUOTEa↗b↘b-QUOTE↗1-QUOTEa+b從上表可知f(x)的極大值為f(0)=b,微小值為f(a)=b-QUOTE.因為f(0)>f(a),f(-1)<f(1),又f(0)-f(1)=QUOTEa-1>0,所以f(x)的最大值為f(0)=b=1.因為f(-1)-f(a)=QUOTE(a3-3a-2)=QUOTE(a+1)2(a-2)<0,所以f(x)的最小值為f(-1)=b-1-QUOTEa=-QUOTEa=-QUOTE,所以a=QUOTE.綜上知,a=QUOTE,b=1.答案:QUOTE1【補償訓練】設函數f(x)=x3-12x+12在區間[0,3]上的最大值為M,最小值為m,則M+m的值為____________.

【解析】f′(x)=3x2-12=3(x2-4)=3(x+2)(x-2)=0,解得x=-2或x=2,得f(x)在[0,2]上單調遞減,在[2,3]上單調遞增.又f(0)=12,f(2)=-4,f(3)=3,所以M=12,m=-4,M+m=8.答案:84.(5分)設直線x=t與函數f(x)=x2,g(x)=lnx的圖象分別交于點M,N,則當|MN|達到最小值時t等于____________.

【解題指南】由題意,|MN|可轉化為函數值的差,通過構造函數來求解.【解析】因為f(x)的圖象始終在g(x)的上方,所以|MN|=f(x)-g(x)=x2-lnx,設h(x)=x2-lnx,則h′(x)=2x-QUOTE=QUOTE,令h′(x)=QUOTE=0,得x=QUOTE(x=-QUOTE舍去),所以h(x)在QUOTE上單調遞減,在QUOTE上單調遞增,所以當x=QUOTE時有最小值,故t=QUOTE.答案:QUOTE5.(10分)已知函數f(x)=QUOTE,g(x)=lnx,其中e為自然對數的底數.(1)求函數y=f(x)g(x)在x=1處的切線方程.(2)若存在x1,x2(x1≠x2),使得g(x1)-g(x2)=λ[f(x2)-f(x1)]成立,其中λ為常數,求證:λ>e.【解析】(1)因為y=f(x)g(x)=QUOTE,所以y′=QUOTE=QUOTE,故y′|x=1=QUOTE.所以函數y=f(x)g(x)在x=1處的切線方程為y=QUOTE(x-1),即x-ey-1=0.(2)由已知等式g(x1)-g(x2)=λ[f(x2)-f(x1)]得g(x1)+λf(x1)=g(x2)+λf(x2).記p(x)=g(x)+λf(x)=lnx+QUOTE,則p′(x)=QUOTE.假設λ≤e.①若λ≤0,則p′(x)>0,所以p(x)在(0,+∞)上為單調增函數.又p(x1)=p(x2),所以x1=x2,與x1≠x2沖突.②若0<λ≤e,記r(x)=ex-λx,則r′(x)=ex-λ.令r′(x)=0,解得x0=lnλ.當x>x0時,r′(x)>0,r(x)在(x0,+∞)上為單調增函數;當0<x<x0時,r′(x)<0,r(x)在(0,x0)上為單調減函數.所以r(x)≥r(x0)=λ(1-lnλ)≥0,所以p′(x)≥0,所以p(x)在(0,+∞)上為單調增函數.又p(x1)=p(x2),所以x1=x2,與x1≠x2沖突.綜合①②,假設不成立,所以λ>e.【補償訓練】已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c,曲線y=f(x)在點x=1處的切線為l:3x-y+1=0,若x=QUOTE時,y=f(x)有極值.(1)求a,b,c的值.(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.【解析】(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f′(x)=3x2+2ax+b,當x=1時,切線l的斜率為3,可得2a+b=0.①當x=QUOTE時,y=f(x)有極值,則f′QUOTE=0.可得4a+3b+4=0.②由①②解得a=2,b=-4.因為切點的橫坐標為x=1,代入3x-y+1=0得切點坐標(1,4),所以f(1)=4.所以1+a+b+c=4,所以c=5.(2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5,所以f′(x)=3x2+4x-4,令f′(x)=0,得x=-2或x=QUOTE.當x∈[-3,-2),QUOTE時f′(x)>0,函數是增函數;當x∈QUOTE時f′(x)<0,函數是減函數,所以f(x)在x=-2處取得極大值f(-2)=13.在x=QUOTE處取得微小值fQUOTE=QUOTE.又f(-3)=8,f(1)=4.所以y=f(x)在[-3,1]上的最大值為13,最小值為QUOTE.6.(10分)(1)探討函數f(x)=QUOTEex的單調性,并證明當x>0時,(x-2)ex+x+2>0.(2)證明:當a∈[0,1)時,函數g(x)=QUOTE(x>0)有最小值.設g(x)的最小值為h(a),求函數h(a)的值域.【解題指南】(1)先求函數f(x)的導數,推斷f′(x)的正負,確定函數的單調性,函數的解析式和不等式的左側有聯系,利用這種關聯進行證明.(2)求g′(x)并變形,找尋和f(x)的聯系,利用(1)進行求解.【解析】(1)f(x)=QUOTEex,f′(x)=exQUOTE=QUOTE,因為當x∈(-∞,-2)∪(-2,+∞)時,f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,-2)和(-2,+∞)上單調遞增,所以x>0時,QUOTEex>f(0)=-1,所以(x-2)ex+x+2>0.(2)g′(x)=QUOTE=QUOTE=QUOTE,a∈[0,1).由(1)知,當x>0時,f(x)=QUOTE·ex的值域為(-1,+∞),只有一解,使得QUOTE·et=-a,t∈(0,2].當x∈(0,t)時g′(x)<0,g(x)單調遞減;當x∈(t,+∞)時g′(x)>0,g(x)單調遞增.h(a)=QUOTE=QUOTE=QUOTE,記k(t)=QUOTE,在t∈(0,2]時,k′(t)=QUOTE>0,所以k(t)單調遞增,所以h(a)=k(t)∈QUOTE.【補償訓練】設函數f(x)=e2x-alnx.(1)探討f(x)的導函數f′(x)的零點的個數.(2)證明:當a>0時,