第5章一元函數的導數及其應用章末測試（提升）一、單選題（每題只有一個選項為正確答案。每題5分，8題共40分）1．（2021·河南駐馬店）已知函數，則曲線在點處的切線方程為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵的導數為，∴．∵，∴曲線在點處的切線方程為，即．故選：C．2．（2021·河南）若函數存在遞減區間，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題設，，由存在遞減區間，即存在使，∴，可得或.故選：B3．（2021·河南）若函數在區間內有極值點，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：因為，所以，因為函數在區間內有極值點等價于導函數的圖象在區間上有變號零點，結合，所以解得.故選：B4．（2021·河南）已知定義在[0，+∞）的函數f（x），若滿足對任意兩個不相等的實數x1，x2都有<2，則稱函數f（x）為“H函數”.則以下函數符合上述條件的有（）①y=x2；②y=ex；③y=ln（x+1）A．② B．③ C．①③ D．②③【答案】B【解析】因為可化為，即，所以函數在上為減函數.對于①：有，其對稱軸方程為，不符合條件；對于②：有，有，令；令則函數在上為減函數，在上為增函數，不符合條件；對于③：有，有，當，則函數在上為減函數，符合條件.綜合可知，只有函數③符合條件故選：B5．（2021·河南許昌）設，，，則，，的大小順序為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，，構造函數，則，，，，在上遞增，在上遞減.則有最大，即，.若有兩個解，則，所以所以即,令，則，故在上單增,所以，即在上，.若，則有，即.故，所以.當時，有，故所以.綜上所述：.故選：A6．（2021·河南許昌）已知函數，其中是自然對數的底數，若，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵∴又，∴函數為奇函數，又，且僅時，∴函數在R上為增函數，∴函數為R上的增函數，不等式可化為，∴∴∴或，∴實數的取值范圍是，故選：D.7．（2021·四川省南充市白塔中學）已知定義在上的奇函數的導函數為，當時，，且，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】構造函數當時,，則函數在上單調遞減，由于為奇函數，故所以為偶函數，故函數在上單調遞增且畫出函數草圖如圖所示，當時，若，；當時，若，；故使得成立的的取值范圍是.故選：B8．（2021·廣西南寧）已知函數若方程有三個不同的解，則a取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，函數，作出函數圖象，如圖所示，當時，顯然不符合題意；當時，根據圖象，當與相切時，即有唯一解，即有唯一解，設，可得，令，可得，因此函數在單調遞增，單調遞減，根據函數圖象性質，可得.所以符合題意的a取值范圍為.故選：A．二、多選題（每題不止一個選項為正確答案，每題5分，4題共20分）9．（2021·廣東）已知函數，若區間的最小值為且最大值為1，則的值可以是（）A．0 B．4 C． D．【答案】AB【解析】，令，解得或.①當時，可知在上單調遞增，所以在區間的最小值為，最大值為.此時，滿足題設條件當且僅當，，即，.故A正確.②當時，可知在上單調遞減，所以在區間的最大值為，最小值為.此時，滿足題設條件當且僅當，，即，.故B正確.③當時，可知在的最小值為，最大值為b或或，，則，與矛盾.若，，則或或，與矛盾.故C?D錯誤.故選：AB10．（2021·全國高二課時練習）（多選）對于函數，以下選項正確的是（）A．有2個極大值 B．有2個極小值 C．1是極大值點 D．1是極小值點【答案】BC【解析】由題得．令，解得；令，解得即，遞增，，遞減.于是是極小值點，是極大值點，則有2個極小值，1是極大值點．故選：BC.11．（2021·全國高二課時練習）下列函數中，既是奇函數又在區間上單調遞增的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】對于選項A，定義域為關于原點對稱，且，故為奇函數，又，所以在上單調遞增，故滿足；對于選項B，定義域為關于原點對稱，，故為奇函數，又，且不恒為0，所以在上單調遞增，故滿足；對于選項C，定義域為關于原點對稱，，故為偶函數，不滿足；對于選項D，定義域為關于原點對稱，，為奇函數，又，所以在上單調遞增，故滿足．故選：ABD．12．（2021·南岸·重慶第二外國語學校高二月考）已知函數，若曲線存在兩條過點的切線，則a的值可以是（）A． B． C．0 D．2【答案】AD【解析】由題得，設切點坐標為，則切線方程為，又切線過點，可得，整理得，因為曲線存在兩條切線，故方程有兩個不等實根，即滿足，解得或．故選：AD三、填空題（每題5分，4題共20分）13．（2021·陜西新城·西安中學）已知函數，則在區間上的最大值是________.【答案】【解析】，當時，，所以函數在上遞增，所以.故答案為：.14．（2021·吉林長春十一高）已知函數在區間上存在極值，則實數的取值范圍是_________．【答案】【解析】因為，則.當時，，當時，.所以，函數存在唯一的極大值點.由題意可得，解得.故答案為：.15．（2021·福建師大附中）已知定義在R上的奇函數的導為數為，若，則實數t的取值范圍為_________．【答案】【解析】因為，所以在R上單調遞增.又是奇函數，由，得，所以，解得或，所以實數的取值范圍為.故答案為：.16．（2021·遼寧）已知函數在上恰有個極大值點，的取值范圍是__________【答案】【解析】，因為，所以，因為在內恰有兩個極大值點，則，解得．故答案為：.四、解答題（17題10分，其余每題12分，共6題70分）17．（2021·新蔡縣第一高級中學）已知函數，（1）若在上為單調減函數，求實數取值范圍；（2）若，求在上的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）最大值為，最小值為．【解析】（1）因為，則．依題意得在恒成立，在恒成立．因為當時，，所以．（2）當時，，，令得，，所以當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，又，，．在上最大值為，最小值為．18．（2021·西城·北京十五中）已知函數.（1）求曲線在處的切線方程；（2）求函數的極值點以及極值；（3）求函數的值域.【答案】(1)；(2)極值點為，極小值為，極大值為；(3)【解析】由函數，知的定義域為R，得，(1)曲線在處的切線斜率為，又，所以曲線在處的切線方程為：；(2)令，得，即函數的極值點為，當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，所以函數在時取得極小值，在時取得極大值；(3)由(2)知在和單調遞減，在單調遞增，又時，；時，，所以函數的值域為.19．（2021·西藏拉薩中學）已知函數，函數的圖象在處的切線方程為．（1）當時，求函數在上的最小值與最大值;（2）若函數有兩個零點，求a的值．【答案】（1）最小值為，最大值為；（2）．【解析】（1）由題可知，則函數的圖象在處的切線方程為，即，由已知條件可得，當時，在上，，函數在上單調遞增，從而函數在上最小值為，最大值為．（2）由（1）知，由得，令，則，或時，，時，，所以在和上遞增，在上遞減．的極小值為，時，，時，，所以要有兩解，則．所以時，函數有兩個零點．20．（2021·四川巴中）已知，.（1）當時，證明：在上恒成立；（2）討論函數的零點個數.【答案】（1）證明見解析；（2）答案見解析.【解析】（1）證明：當時，即，亦即設，，則，故，在上是增函數，又，時，故單減；時，，故單增，，即在恒成立（2）等價于，即：設，則當時，，單調增；當時，，單調減，又當時，，且時，；當時，且時，當，或時，在上有唯一零點當時，在上無零點當時，在上有兩個零點21．（2021·全國高二單元測試）已知函數．（1）若對任意恒成立，求實數a的取值范圍；（2）是否存在整數，使得函數在區間上存在極小值?若存在，求出所有整數的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）不存在，理由見解析．【解析】（1）當時，由，得，設，則．當時，，在上是減函數，在上的最大值為．對任意恒成立，即對任意恒成立，，即實數的取值范圍為．（2），．①當時，，在上單調遞增，無極值．②當時，若或，則；若，則．∴當時，有極小值．在上有極小值，．③當時，若或，則；若，則．當時，有極小值．在上有極小值，，得．由①②③得，不存在整數a，使得函數在區間上存在極小值．22．（2021·江蘇省前黃高級中學）已知函數（1）討論函數的單調性；（2）當時，求使在區間上恒成立的的所有值.【答案】（1）答案不唯一，見解析；（2）.【解析】（1）