第06講三角恒等變換（六種題型）【熱點、重難點題型】題型一：已知角求三角函數(shù)值一、單選題1．（2022秋·江蘇揚州·高三?？茧A段練習）（

）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】利用同角三角函數(shù)基本關系式，誘導公式和輔助角公式直接求解.【詳解】.故選：D.2．（2023·全國·高三專題練習）利用誘導公式可以將任意角的三角函數(shù)值轉化為之間角的三角函數(shù)值，而這個范圍內(nèi)的三角函數(shù)值又可以通過查三角函數(shù)表得到.下表為部分銳角的正弦值，則的值為（

）（小數(shù)點后保留2位有效數(shù)字）0.17360.34200.50000.64270.76600.86600.93970.9848A． B． C．0.36 D．0.42【答案】B【分析】利用誘導公式化簡得原式即得解.【詳解】解：故選：B3．（2023春·江蘇南京·高三南京市寧海中學校考階段練習）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二倍角的正弦公式以及兩角差的正弦公式化簡可得結果.【詳解】.故選：A.4．（2022·全國·高三專題練習）中，，（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出，再運用三角函數(shù)積化和差公式，得到角為等差數(shù)列的余弦和，即可求解．【詳解】中,,則，又上述各式相加得，故，故原式.故選：B．【點睛】本題考查了三角恒等變換求值，對角為等差數(shù)列的余弦和一般乘以角的正弦累加即可，對于積化和差公式，一定要做到熟練運用．5．（2022·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知，，，且計算可知．有下述四個結論：①，

②，

③，

④．其中所有正確結論的編號是（

）A．①③ B．①④ C．②④ D．①②③【答案】D【分析】根據(jù)余弦的二倍角公式和誘導公式推導出，，，從而得到，，利用正弦二倍角公式推導出，在此基礎上，推導出.【詳解】，所以；，，所以，；；，，所以，所以①②③正確，故選：D．二、多選題6．（2023·全國·高三專題練習）下列四個等式正確的是（

）A．B．C．D．【答案】AD【分析】根據(jù)兩角和的正切可判斷A的正誤，根據(jù)同角的三角函數(shù)基本關系式及誘導公式可判斷B的正誤，根據(jù)倍角公式可判斷C的正誤，根據(jù)輔助角公式可判斷D的正誤.【詳解】∵，∴，所以A正確；∵設，則，而，故即，故B錯誤.，所以C錯誤，，所以D正確，故選：AD．7．（2023·湖南株洲·統(tǒng)考一模）已知是函數(shù)的零點，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】設，由可得，再根據(jù)選項依次判斷正誤即可.【詳解】設，，，，即，所以要使為系數(shù)都是整數(shù)的整式方程的根，則方程必須包含因式.由中的最高次數(shù)為4，是它的一個零點，因此，即.對選項，，是正確的；對選項，，是正確的；對選項，，是正確的；對選項，，當時，最小值為，當時，無最小值，因此選項是錯誤的.故選：.【點睛】關鍵點睛：本題解題關鍵在于將含有無理數(shù)的平方根式通過兩次平方化成有理數(shù)，得到含有無理數(shù)解的有理數(shù)整式方程，從而得解.題型二：已知三角函數(shù)值求角一、單選題1．（2023秋·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習）若，則（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】將用替換后，解方程解出即可.【詳解】因為，可得，可得，解得，因為，所以，所以，所以.故選：C.2．（2022·全國·高三專題練習）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用三角函數(shù)的符號確定角、、的范圍，再利用兩角差的正弦公式、同角三角函數(shù)基本關系的商數(shù)關系得到關于和的方程組，再利用兩角和的正弦公式求出，進而結合角的范圍進行求解.【詳解】因為，，所以或；若，則，此時（舍）；若，則，此時（符合題意），所以，即；因為且，所以且，解得，，則，所以.故選：C.3．（2022秋·廣東梅州·高三五華縣水寨中學?？茧A段練習）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，易得，，從而可求出，即可得出答案.【詳解】解：因為，所以，即，所以，即，所以，所以或，所以或，，當時，，不合題意，舍去，當時，，所以.故選：C.二、填空題4．（2022秋·天津西青·高三統(tǒng)考期末）在等腰直角三角形中，，點在三角形內(nèi)，滿足，則______.【答案】【分析】延長、、，與對邊分別交于點、、，利用條件可得，，進而可得，延長至點，使得，利用兩角和的正切公式可得，進而得，即求.【詳解】如圖，延長、、，與對邊分別交于點、、.，，即，∴，同理∴，又在等腰直角三角形中，，延長至點，使得.則.記，.則，四點共圓，，.故答案為：三、解答題5．（2022秋·河北保定·高一保定市第三中學校考期末）已知，，，.(1)求的值；(2)求的值：(3)求的值.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）同角三角函數(shù)平方關系求得，，再由及差角余弦公式求值即可.（2）由誘導公式、二倍角余弦公式可得，即可求值.（3）由（1）及和角正余弦公式求、，由（2）及平方關系求，最后應用差角余弦公式求，結合角的范圍求.【詳解】（1）由題設，，，∴，，又.（2）.（3）由，則，由，則，∴，，又，，則，∴，而，故.6．（2022·山東日照·統(tǒng)考一模）已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，.(1)求角A；(2)若，求△ABC的面積.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)正弦定理可得，再由三角恒等變換即可求得A；（2）根據(jù)題意和正弦定理可得，利用余弦定理可求得，結合三角形面積公式計算即可．(1)因為sinA+asinB＝，由正弦定理，得，所以，得，又，所以；(2)由(1)知，，，由正弦定理，得，由余弦定理，得，即，整理，得，由得，此時，則，所以S△ABC＝bcsinA＝．7．（2022·四川瀘州·四川省瀘縣第四中學校考模擬預測）已知函數(shù)，在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求C；（2）點D為邊中點，且．給出以下條件：①；②．從①②中僅選取一個條件，求b的值．【答案】（1）；（2）①;②.【分析】（1）利用二倍角公式，和差角公式將式子進行整理化簡，得出最簡形式，以及，求出；（2）選①，利用D為AB邊的中點，向量加法的平行四邊形法則，平方后得到關于b的方程，求出b=4；選②，則用余弦定理得到，由（1）得，解出，以及或.【詳解】解：（1）∵∴∵∴∴，（2）若選①∵∴兩邊平方得：∴；解得或（舍去）∴；若選②由得：由（1）得解得：解得：或由，得（若同時選①②的不給分）【點睛】（1）二倍角公式，和差角公式要熟練掌握，特別注意的范圍;（2）選擇①或者②，就要根據(jù)條件的特點來列方程解決問題,注意條件信息的準確應用.8．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，向量，．(1)若，求的值；(2)當時，若向量，的夾角為，求．【答案】(1)1(2)或1【分析】（1）利用向量平行的坐標表示求得，再利用倍角公式與輔助角公式化簡，最后將代入即可求得的值；（2）由推得或，分類討論兩種情況得到與的值，進而利用向量的數(shù)積量運算求得，的夾角的余弦值，從而求得.【詳解】（1）∵，，，∴，即，∴，即，由題意，得，∴．（2）由（1）知，令，得，即，故或，即或，①當時，當為偶數(shù)時，，；當為奇數(shù)時，，；此時，故；②當時，當為偶數(shù)時，，；當為奇數(shù)時，，；此時，故；綜上：的值為或1．9．（2021·全國·高三專題練習）解方程：.【答案】，，.【分析】因為本題是要解方程，而不是估值，所以思路比較靈活.首先，通過放縮法可以得到時，，時，即，進而可以判斷，然后設，解出方程即可.【詳解】先對x進行估值：當時，，從而當時，，即.故有，令，則有.因為，所以，所以，，..而它是一個周期函數(shù)，n只要取0、1、2即可.因此原方程的解為：，，.【點睛】本題思路比較特殊，如果僅僅針對高考，不建議過度深挖；但是，本題的想法非常新穎，如果作為拓展題，應當是非常好的.題型三：已知三角函數(shù)值求函數(shù)值一、單選題1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關系配方化簡，然后增添分母()，進行齊次化處理，化為正切的表達式，代入即可得到結果．【詳解】將式子進行齊次化處理得：．故選：C．【點睛】易錯點睛：本題如果利用，求出的值，可能還需要分象限討論其正負，通過齊次化處理，可以避開了這一討論．2．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將所給的三角函數(shù)式展開變形，然后再逆用兩角和的正弦公式即可求得三角函數(shù)式的值.【詳解】由題意可得：，則：，，從而有：，即.故選：B.【點睛】本題主要考查兩角和與差的正余弦公式及其應用，屬于中等題.3．（2022·全國·高三專題練習）若，，則的值為（

）A． B． C．0 D．【答案】D【分析】結合二倍角公式化簡可求，再結合萬能公式可求.【詳解】因為，，所以且，解得，所以.故選：D4．（2022·全國·高三專題練習）已知，，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】易知，利用角的范圍和同角三角函數(shù)關系可求得和，分別在和兩種情況下，利用兩角和差正弦公式求得，結合的范圍可確定最終結果.【詳解】且，，.又，，.當時，，，，不合題意，舍去；當，同理可求得，符合題意.綜上所述：.故選：.【點睛】易錯點睛：本題中求解時，易忽略的值所確定的的更小的范圍，從而誤認為的取值也有兩種不同的可能性，造成求解錯誤.5．（2023·全國·高三專題練習）已知，函數(shù)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知條件，結合三角函數(shù)的性質(zhì)可得，，從而利用即可求解.【詳解】解：令，，則或，令，，則，又，，所以，，，，因為，，所以，，所以，故選：B.二、填空題6．（2022·全國·高三專題練習）已知點是軸上到距離和最小的點，且，則的值為______(用數(shù)據(jù)作答)．【答案】##0.5【分析】求出點A關于y軸的對稱點，求出直線與y的交點即得m值，再利用誘導公式及二倍角公式計算作答.【詳解】依題意，點A關于y軸的對稱點，則經(jīng)過點，B的直線斜率，直線的方程為，于是得點，此時有，由兩點之間線段最短知，點是軸上到距離和最小的點，因此，，，則，所以的值為.故答案為：【點睛】關鍵點睛：給值求值問題，將所求值的角用已知值的角表示，再借助三角變換公式求解．7．（2023·山東·日照一中校考模擬預測）已知函數(shù)，若對任意實數(shù)，恒有，則____．【答案】【分析】對進行化簡得到，根據(jù)正弦函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性得到，進而確定，，，利用兩角差的余弦公式得到．【詳解】對任意實數(shù)，恒有則即，【點睛】本題的關鍵在于“變角”將變?yōu)榻Y合誘導公式，從而變成正弦的二倍角公式．三、雙空題8．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．若，則___________；若的定義域為，則零點的個數(shù)為_________．【答案】

1【分析】利用誘導公式及二倍角的正切公式化簡函數(shù)，再代入求解；由已知得，構造函數(shù)，，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性結合函數(shù)的零點存在性定理即可求解.【詳解】，若．則．令，，整理得．設，若，則．則，，求導，當時，．又，，，故在上存在唯一的零點，又在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上零點的個數(shù)為1．故答案為：，1四、解答題9．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）在中，角所對的邊分別為．已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理運算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先計算出進一步求出，再利用兩角和的正弦公式計算即可.【詳解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得，又因為，所以；（Ⅱ）在中，由，及正弦定理，可得；（Ⅲ）由知角為銳角，由，可得，進而，所以.【點晴】本題主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等變換在解三角形中的應用，考查學生的數(shù)學運算能力，是一道容易題.10．（2023春·江西宜春·高三江西省豐城中學校考開學考試）已知的部分圖象如下圖，且.(1)求的解析式.(2)令，若，求.【答案】(1)；(2).【分析】（1）先由最大值得到，再由周期與的范圍求得，再代入點求得，由此得到的解析式.（2）利用三角恒等變換化簡，再利用整體代換法，結合正弦函數(shù)的和差公式求得，從而求得.【詳解】（1）由圖像可知，的最大值為，又，所以，因為，所以，又由圖像可知，則，所以，得，又，故，所以，將點代入，得，即，因為，則，所以，則，所以.（2）因為，因為，所以，則，因為，所以，故，所以，所以，所以.題型四：利用三角恒等變換解決三角函數(shù)性質(zhì)問題一、單選題1．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞增C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增【答案】C【分析】化簡得出，利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性逐項判斷可得出合適的選項.【詳解】因為.對于A選項，當時，，則在上單調(diào)遞增，A錯；對于B選項，當時，，則在上不單調(diào)，B錯；對于C選項，當時，，則在上單調(diào)遞減，C對；對于D選項，當時，，則在上不單調(diào)，D錯.故選：C.2．（2022·全國·高三專題練習）已知把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標縮小到原來一半，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，若，若，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先化簡函數(shù)，然后根據(jù)圖像的變換得函數(shù)的解析式，通過判斷得，同時令取得最大值或最小值時，，再結合函數(shù)的圖像，即可求得的最大值.【詳解】．將圖象向右平移至個單位長度，再把橫坐標縮小到原來一半，縱坐標不變，得到函數(shù)，可得，所以，，∴，同時令取得最大值或最小值時，．當，時，，根據(jù)函數(shù)的圖象可知的最大值為個周期的長度，即故選：C.【點睛】關于三角函數(shù)解析式的化簡，一般先利用誘導公式或者和差公式展開將解析式化為同角，然后利用降冪公式對函數(shù)進行降次處理，最后利用輔助角公式代入化簡，最終將解析式化為的形式.3．（2022秋·北京·高三北京八中?？茧A段練習）在中，，點在所在平面內(nèi)，對任意，都有恒成立，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用以及化簡得到，從而得到在下方時最大，設，通過勾股定理表示出，結合倍角公式以及輔助角公式即可求得最大值.【詳解】如圖，因為，由可得，即，兩邊平方得，化簡得，又，令，可得，即，整理得對任意恒成立，故，整理得，即，即，故，要使最大，顯然在下方，如圖2所示，設，過作的垂線交的延長線于，由可得，又，故，又，可得當，即時，有最大值，最大值為，故的最大值為.故選：A.【點睛】本題關鍵點在于先利用以及化簡得到，結合恒成立求得，進而設出，表示出，利用二倍角公式及輔助角公式求最值即可.二、多選題4．（2022·山東·山東師范大學附中校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，下列關于此函數(shù)的論述正確的是（

）A．為函數(shù)的一個周期 B．函數(shù)的值域為C．函數(shù)在上單調(diào)遞減 D．函數(shù)在內(nèi)有4個零點【答案】CD【分析】A選項，舉出反例即可；BD選項，從函數(shù)奇偶性和得到周期性入手，得到函數(shù)的圖象性質(zhì)，得到零點和值域；C選項，代入檢驗得到函數(shù)單調(diào)性，判斷C選項.【詳解】選項A：因為，所以A錯誤；選項B、D：函數(shù)定義域為R，并且，所以函數(shù)為偶函數(shù)；因為，為周期函數(shù)，故僅需研究函數(shù)在區(qū)間上的值域及零點個數(shù)即可，因為時，；時，；當時，令，則，可得且僅一個零點；當時，令，則，可得且僅一個零點；所以函數(shù)的值域為且在上有4個零點．故選項B錯誤，選項D正確．選項C：函數(shù)在上，有，所以，則得函數(shù)在該區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)．故選項C正確．故選：CD．5．（2022·全國·高三專題練習）由倍角公式，可知可以表示為的二次多項式．一般地，存在一個（）次多項式（），使得，這些多項式稱為切比雪夫（P．L．Tschebyscheff)多項式．運用探究切比雪夫多項式的方法可得（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】通過求，來判斷出正確選項.【詳解】，所以，A錯誤.，所以，B正確..所以，由于，所以，由于，所以，所以由解得，所以，C正確.，所以D錯誤.故選：BC【點睛】三角函數(shù)化簡求值問題，關鍵是根據(jù)題意，利用三角恒等變換的公式進行化簡.三、解答題6．（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（I）求角B的大??；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．【答案】（I）；（II）【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理邊化角，然后結合特殊角的三角函數(shù)值即可確定角B的大??；（II）方法二：結合(Ⅰ)的結論將含有三個角的三角函數(shù)式化簡為只含有角A的三角函數(shù)式，然后由三角形為銳角三角形確定角A的取值范圍，最后結合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得的取值范圍.【詳解】（I）[方法一]：余弦定理由，得，即.結合余弦定，∴，即，即，即，即，∵為銳角三角形，∴，∴，所以，又B為的一個內(nèi)角，故.[方法二]【最優(yōu)解】：正弦定理邊化角由，結合正弦定理可得：為銳角三角形，故.（II）[方法一]：余弦定理基本不等式因為，并利用余弦定理整理得，即.結合，得.由臨界狀態(tài)（不妨取）可知.而為銳角三角形，所以.由余弦定理得，，代入化簡得故的取值范圍是.[方法二]【最優(yōu)解】：恒等變換三角函數(shù)性質(zhì)結合(1)的結論有：.由可得：，，則，.即的取值范圍是.【整體點評】（I）的方法一，根據(jù)已知條件，利用余弦定理經(jīng)過較復雜的代數(shù)恒等變形求得，運算能力要求較高；方法二則利用正弦定理邊化角，運算簡潔，是常用的方法，確定為最優(yōu)解；（II）的三種方法中，方法一涉及到較為復雜的余弦定理代入化簡，運算較為麻煩，方法二直接使用三角恒等變形，簡潔明快，確定為最優(yōu)解.7．（2022·四川瀘州·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù).（1）求的最小正周期和的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）當時，求函數(shù)的最小值及取得最小值時x的值.【答案】（1）π；；（2）當時，函數(shù)取得最小值，最小值為．【分析】（1）利用二倍角降冪公式、輔助角公式可得出，利用周期公式可計算出函數(shù)的最小正周期，解方程可得出函數(shù)的對稱中心坐標；解不等式，可得出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由，計算出的取值范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得出該函數(shù)的最小值以及對應的的值.【詳解】（1），所以，函數(shù)的最小正周期為.由，可得，函數(shù)的對稱中心為；解不等式，解得.因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）當時，，當時，即當時，函數(shù)取得最小值，最小值為．【點睛】本題考查正弦型函數(shù)周期、對稱中心、單調(diào)區(qū)間以及最值的求解，解題的關鍵就是要將三角函數(shù)解析式化簡，借助正弦函數(shù)的基本性質(zhì)求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.8．（2022秋·山東濟寧·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)在區(qū)間上恰有個零點，（i）求實數(shù)的取值范圍；（ii）求的值.【答案】(1)(2)（i）；（ii）.【分析】（1）利用誘導公式、二倍角公式和輔助角公式可化簡得到；根據(jù)正弦型函數(shù)單調(diào)性的求法可求得單調(diào)遞增區(qū)間；（2）（i）令，將問題轉化為與在上恰有個不同的交點，利用數(shù)形結合的方式即可求得的取值范圍；（ii）由（i）中圖像可確定，，由此可得，整理可得，由兩角和差正弦公式可求得的值，即為所求結果.【詳解】（1）；令，解得：，的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）（i）由（1）得：，當時，，設，則在區(qū)間上恰有個零點等價于與在上恰有個不同的交點；作出在上的圖像如下圖所示，由圖像可知：當時，與恰有個不同的交點，實數(shù)的取值范圍為；（ii）設與的個不同的交點分別為，則，，，即，整理可得：，，.9．（2022秋·湖南常德·高三湖南省桃源縣第一中學?？茧A段練習）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為.(1)求的解析式與單調(diào)遞減區(qū)間；(2)已知在時，求方程的所有根的和.【答案】(1)，，(2)【分析】（1）將函數(shù)變形為，由函數(shù)的周期及奇偶性可求解；（2）解方程得或，即或，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求解.（1）圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為，的最小正周期為，即可得，又為奇函數(shù)，則，，又，，故的解析式為，令，得函數(shù)的遞減區(qū)間為，.（2），，，方程可化為，解得或，即或當時，或或解得或或當時，，所以綜上知，在時，方程的所有根的和為10．（2023秋·天津南開·高三南開中學校考階段練習）已知函數(shù).（1）求的最小正周期及在區(qū)間上的最大值（2）在銳角中，f（）=，且a=，求b+c取值范圍.【答案】（1）最小正周期為，最大值；（2）.【分析】（1）先利用三角恒等變換對函數(shù)進行化簡，進而通過三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)的應用得到答案；（2）利用正弦定理進行邊化角，然后借助三角恒等變換進行化簡，最后通過三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)的應用求出結果.【詳解】（1），所以的最小正周期為.因為，所以于是，當，即時，取得最大值（2）在中，，，，.由正弦定理，，，，，.題型五：三角恒等變換與平面向量結合問題一、單選題1．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意建立平面直角坐標系，設，表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標系，則，，，因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動，設，，所以，，所以，其中，，因為，所以，即；故選：D

2．（2022·全國·高三專題練習）奔馳定理：已知點O是內(nèi)的一點，若的面積分別記為，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．如圖，已知O是的垂心，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】延長交于點P，則利用垂心的性質(zhì)結合三角形面積的求法可得，再利用和可得，不妨設，利用可求出的值，從而可求出的值.【詳解】延長交于點P，是的垂心，，．同理可得，．又，．又，．不妨設，其中．，，解得．當時，此時，則A，B，C都是鈍角，不合題意，舍掉．故，則，故C為銳角，∴，解得，故選：B．【點睛】關鍵點點睛：此題考查向量的線性運算，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應用，解題的關鍵是利用垂心的性質(zhì)得，再結合已知條件得，設，再利用兩角和的正切公式可得，從而可求得結果，考查計算能力和轉化思想，屬于較難題.3．（2023·全國·高三專題練習）奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，若、、的面積分別記為、、，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知是的垂心，且，則(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】由O是垂心，可得，結合可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和為π，結合正切的和差角公式即可求解.【詳解】∵是的垂心，延長交與點，∴，同理可得，∴：，又，∴，又，∴，不妨設，其中，∵，∴，解得或，當時，此時，則都是鈍角，則，矛盾.故，則，∴是銳角，，于是，解得.故選：A.二、多選題4．（2023秋·福建廈門·高三廈門外國語學校校考期末）正方形ABCD的邊長為2，E是BC中點，如圖，點P是以AB為直徑的半圓上任意點，，則（

）A．最大值為 B．最大值為1C．最大值是2 D．最大值是【答案】BCD【分析】以AB中點O為原點建立平面直角坐標系，利用坐標表示向量，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷各選項.【詳解】以AB中點O為原點建立平面直角坐標系，，，，設，則，，，由，得且，，故A錯；時，故B正確；，故C正確；，故D正確．故選：BCD.三、填空題5．（2022·全國·高三專題練習）已知非零平面向量滿足，則的最大值為__________．【答案】【分析】設且且，根據(jù)已知得到軌跡為，由圓的對稱性研究其上半部分，畫出示意圖并令，，，利用求坐標，進而得到坐標，最后應用兩點距離公式、三角換元、輔助角公式得到，即可得最大值.【詳解】不妨設且且，則且，即研究在圓的上半部分，如上圖，若，，則(注意D在第二象限或y軸上)，又，若軸于，軸于，則，所以，且，，則，，故，由，則，又，令，則且，當時，，故答案為：【點睛】關鍵點點睛：首選確定向量終點的軌跡為圓，再由圓的對稱性研究在圓上半部分對應向量終點坐標，最后應用兩點距離公式、三角換元、輔助角公式及正弦函數(shù)性質(zhì)求最值.四、解答題6．（2022·四川綿陽·鹽亭中學校考模擬預測）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知向量，滿足，，且．(1)求角A；(2)若是銳角三角形，且，求的取值范圍．【答案】(1)或(2)【分析】（1）由可得，由正弦定理可得，即可結合角的范圍求出角A；（2）是銳角三角形，，，結合正弦定理得，由三角恒等變換得，根據(jù)B的范圍討論值域即可（1）因為，，且，所以，即．在中，由正弦定理得，而，所以，又，所以或．（2）因為是銳角三角形，所以，所以，又，且，所以．由及正弦定理得，則，，所以，而，則，故，所以的取值范圍．7．（2022·四川德陽·統(tǒng)考三模）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為，且滿足(1)求角B的大?。?2)若，求ABC面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積定義，結合正弦定理將邊化為角，即可求得B的大小.（2）由已知得到，結合余弦定理和基本不等式求得的最大值，進而由三角形面積公式求得的面積的最大值.(1)，由平面向量數(shù)量積定義可得，，，，，，(2)由余弦定理得，∴，當且僅當時取“等號”，∴的最大值為4，的最大值為.8．（2022秋·江西宜春·高三江西省豐城中學?？茧A段練習）設A，B，C是△ABC的三個內(nèi)角，△ABC的面積S滿足，且，．(1)若向量，，求的取值范圍；(2)求函數(shù)的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的運算結合面積公式可得，再計算可得，結合正弦函數(shù)的范圍求解即可；（2）化簡，再令，結合三角函數(shù)的范圍與二次函數(shù)的最值求解即可.【詳解】（1）由可得，又，故，即.又是△ABC的三個內(nèi)角，故.易得，.故，因為，故，，故，故的取值范圍為（2）.設，則則.又，故當時，取最大值.9．（2022秋·江蘇鹽城·高三鹽城市伍佑中學校考階段練習）如圖，扇形AOB的圓心角為，半徑為1．點P是上任一點，設．(1)記，求的表達式；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）建立平面直角坐標系，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，再根據(jù)題意求得，進而根據(jù)輔助角公式得到的表達式即可；（2）根據(jù)題意可得，進而化簡得到，再代入可得，，進而結合三角函數(shù)的范圍求解即可【詳解】（1）由題意，以為坐標原點，為軸正向建立如圖平面直角坐標系，則，.故，所以，即（2）由（1），，即，故，解得，其中，故，即，，故，所以，故，即的取值范圍為題型六：三角恒等變換與解三角形結合問題一、填空題1．（2023·福建泉州·高三統(tǒng)考階段練習）在中，，，，D是邊上的一動點，沿將翻折至，使二面角為直二面角，且四面體的四個頂點都在球O的球面上．當線段的長度最小時，球O的表面積為___________．【答案】##【分析】根據(jù)條件作出圖形，過點作于點，連接，結合面面垂直的性質(zhì)得到是直角三角形，又在中，設（），得到，，，再根據(jù)余弦定理和勾股定理用表示，結合三角恒等變換和正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到時，線段的長度最小，利用球的截面圓性質(zhì)找到四面體的外接球球心也是的外接圓圓心，最后結合正弦定理和球的表面積公式即可求解.【詳解】由題意，作出，如圖1所示，沿將翻折至，使二而角為直二面角，得到四面體，如圖2所示.如圖2，過點作于點，連接，因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，由圖形翻折的性質(zhì)，在圖1中，作出點，連接和，可得，又，，，則，，，設（），則，，，在中，由余弦定理得：，即，在圖2中，，即，又，則，所以當，即時，取得最小值，此時線段的長度最小，則，，如圖3，在四面體中，作的中點，并連接，則是的外接圓圓心，又過點作平面的垂線，由球的截面圓性質(zhì)知四面體的外接球球心必定在該垂線上，也在平面上，即的外接圓圓心，設該球的半徑為，則有，在中，由正弦定理得：，則，所以球O的表面積為，故答案為：.【點睛】關鍵點睛：解決與球有關的內(nèi)切或外接的問題時，解題的關鍵是確定球心的位置.對于外切的問題要注意球心到各個面的距離相等且都為球半徑；對于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個頂點的距離相等，解題時要構造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑.二、解答題2．（2022秋·湖南岳陽·高三?？茧A段練習）已知△的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求角A的大??；(2)若點D在邊BC上，且，，求△的面積.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由正弦定理的邊角關系、三角形內(nèi)角的性質(zhì)可得，再應用二倍角正弦公式化簡可得，即可求A的大小.（2）由題設可得，法一：由正弦定理及可得，再由余弦定理得到，最后根據(jù)三角形面積公式求△面積；法二：根據(jù)三角形面積公式有，由△的邊BD與△的邊DC上的高相等及已知條件可得，再由余弦定理得到，最后根據(jù)三角形面積公式求△面積；【詳解】（1）由已知及正弦定理得：，又，∴，又，∴，則，而，∴，則，故，得.（2）由，，則.法一：在△中，，①在△中，，②∵，∴，③由①②③得：，又，得，∴，不妨設，，在△中，由余弦定理可得，，得，所以.法二：.∵△的邊BD與△的邊DC上的高相等，∴，由此得：，即，不妨設，，在△中，由余弦定理可得，，得，所以.3．（2022秋·浙江杭州·高三學軍中學校考期中）在中，角的對邊分別，.(1)求；(2)若的周長為4，面積為，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用、和誘導公式、兩角和差的余弦公式進行化簡，再結合角的范圍進行求解；（2）利用余弦定理、三角形的面積公式、周長公式得到關于的方程組進行求解.【詳解】（1）解：因為，所以，即，所以，因為，所以,所以又，故，所以，即；（2）解：由余弦定理，得，即，又，所以，即整理得，由面積為，即，所以，.4．（2022·全國·高三專題練習）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.已知在四邊形ABCD中，，，且______.(1)證明：；(2)若，求四邊形ABCD的面積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）選擇①，由正弦定理及角度關系推出及，結合兩角和的正弦公式及誘導公式，進行證明；選擇②，利用正弦定理推導出，直接利用兩角和的正弦公式及誘導公式即可推出結論；選擇③，由正弦定理，面積公式及面積的倍數(shù)關系得到，，使用兩角和的正弦公式及誘導公式進行證明；（2）在證明出第一問的基礎上，設出邊長，利用余弦定理求出的長及角的正弦值，進而利用面積公式進行求解.（1）方案一：選條件①.在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，因為，所以，因為，所以，因為，所以，因為，所以.因為，，所以，即，所以，所以.方案二：選條件②.在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，因為，所以，因為，所以.因為，所以.因為，，，所以，即，所以，所以.方案三：選條件③.因為，，且，，所以在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，因為，所以，因為，所以，因為，所以.因為，，所以，即，所以，所以.（2）選擇①②③，答案均相同，由（1）可設，則，在中，由余弦定理得，，在中，由余弦定理得，，因為，所以，解得或（舍去），所以，所以，所以四邊形ABCD的面積.5．（2023·全國·高三專題練習）在銳角中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，已知．(1)求角B的值；(2)若，求的周長的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理得到，再利用余弦定理求出；（2）根據(jù)正弦定理得到，從而得到，求出，得到，，從而求出周長的取值范圍.【詳解】（1），由正弦定理得：，即，由余弦定理得：，因為，所以；（2）銳角中，，，由正弦定理得：，故，則，因為銳角中，，則，，解得：，故，，則，故，所以三角形周長的取值范圍是.【點睛】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關的范圍問題，與面積有關的范圍問題，或與角度有關的范圍問題，常用處理思路：①余弦定理結合基本不等式構造不等關系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進而轉化為正弦或余弦函數(shù)求出最值6．（2022·四川綿陽·四川省綿陽江油中學?？寄M預測）如圖，在梯形中，，，，．(1)若，求梯形的面積；(2)若，求．【答案】(1)；(2)．【分析】(1)中，利用含的余弦定理表達式建立BC的方程，求出BC而得面積，再利用面積關系求的面積得解；(2)由題設中角的信息用表