第12講橢圓【題型歸納目錄】題型一：橢圓的定義題型二：求橢圓的標準方程題型三：橢圓的綜合問題題型四：軌跡方程題型五：橢圓的簡單幾何性質題型六：求橢圓的離心率題型七：求橢圓離心率的取值范圍題型八：由橢圓離心率求參數的取值范圍題型九：橢圓中的范圍與最值問題題型十：焦點三角形【知識點梳理】知識點一：橢圓的定義平面內一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數()，這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距.知識點詮釋：若，則動點的軌跡為線段；若，則動點的軌跡無圖形.知識點二：橢圓的標準方程1、當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；2、當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；知識點詮釋：（1）這里的“標準”指的是中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸建立直角坐標系時，才能得到橢圓的標準方程；（2）在橢圓的兩種標準方程中，都有和；（3）橢圓的焦點總在長軸上.當焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標為，；當焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標為，；（4）在兩種標準方程中，∵a2＞b2，∴可以根據分母的大小來判定焦點在哪一個坐標軸上.知識點三：求橢圓的標準方程求橢圓的標準方程主要用到以下幾種方法：（1）待定系數法：①若能夠根據題目中條件確定焦點位置，可先設出標準方程，再由題設確定方程中的參數a，b，即：“先定型，再定量”.②由題目中條件不能確定焦點位置，一般需分類討論；有時也可設其方程的一般式：.（2）定義法：先分析題設條件，判斷出動點的軌跡，然后根據橢圓的定義確定方程，即“先定型，再定量”。利用該方法求標準方程時，要注意是否需先建立平面直角坐標系再解題.知識點四：橢圓的簡單幾何性質我們根據橢圓來研究橢圓的簡單幾何性質橢圓的范圍橢圓上所有的點都位于直線x=±a和y=±b所圍成的矩形內，所以橢圓上點的坐標滿足|x|≤a，|y|≤b.橢圓的對稱性對于橢圓標準方程，把x換成x，或把y換成y，或把x、y同時換成x、y，方程都不變，所以橢圓是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。橢圓的頂點①橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。②橢圓（a＞b＞0）與坐標軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標分別為A1（a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，b）。③線段A1A2，B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。橢圓的離心率①橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作.②因為a＞c＞0，所以e的取值范圍是0＜e＜1。e越接近1，則c就越接近a，從而越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，從而b越接近于a，這時橢圓就越接近于圓。當且僅當a=b時，c=0，這時兩個焦點重合，圖形變為圓，方程為x2+y2=a2。知識點五：橢圓標準方程中的三個量a、b、c的幾何意義橢圓標準方程中，a、b、c三個量的大小與坐標系無關，是由橢圓本身的形狀大小所確定的，分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數，且三個量的大小關系為：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。可借助下圖幫助記憶：a、b、c恰構成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。和a、b、c有關的橢圓問題常與與焦點三角形有關，這樣的問題考慮到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結合的方法進行計算與解題，將有關線段、、，有關角()結合起來，建立、之間的關系.知識點六：橢圓兩個標準方程幾何性質的比較標準方程圖形性質焦點，，焦距范圍，，對稱性關于x軸、y軸和原點對稱頂點，，軸長軸長=，短軸長=離心率知識點詮釋：橢圓，（a＞b＞0）的相同點為形狀、大小都相同，參數間的關系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同點為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點坐標也不相同；橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標軸上。【典例例題】題型一：橢圓的定義【例1】（2023·四川南充·高二四川省南充高級中學校考期末）設定點，，動點P滿足條件，則點P的軌跡是（

）A．橢圓 B．線段 C．不存在 D．橢圓或線段【答案】A【解析】因為，，所以，所以，所以點P的軌跡是以，為焦點的橢圓.故選：A.【對點訓練1】（2023·高二課時練習）設分別為橢圓的左右焦點，過的直線交橢圓于A、B兩點，則的周長為（

）A．12 B．24 C． D．【答案】D【解析】由題意可得，對于橢圓有長半軸長，又過的直線交橢圓于A、B兩點，故的周長，故選：D【對點訓練2】（2023·高二課時練習）已知，動點C滿足，則點C的軌跡是（）A．橢圓 B．直線C．線段 D．點【答案】C【解析】因為，所以，知點C的軌跡是線段AB．故選：C.【對點訓練3】（2023·上海靜安·高二校考期中）設是橢圓上的動點，則到該橢圓的兩個焦點距離之和為（

）A． B． C．4 D．【答案】D【解析】橢圓，則，所以，因為是橢圓上的動點，則到該橢圓的兩個焦點距離之和為.故選：D題型二：求橢圓的標準方程【例2】（2023·甘肅武威·高二校考開學考試）（1）已知橢圓的焦點為，，點是橢圓上的一個點，求橢圓的標準方程；（2）已知橢圓中，且，求橢圓的標準方程．【解析】（1）顯然橢圓的焦點在y軸上，設橢圓的方程為，則，解得：，橢圓方程為：（2）因為，，解得：，又因為，所以，橢圓的標準方程為或.【對點訓練4】（2023·高二課時練習）求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)，，焦點在x軸上；(2)，，焦點在y軸上；(3)，．【解析】（1）∵，，橢圓焦點在x軸上，∴其標準方程為：；（2）∵，，∴，∵橢圓焦點在y軸上，∴其標準方程為：；（3）∵，，∴，因為橢圓焦點位置不確定，其標準方程為：或.【對點訓練5】（2023·四川資陽·高二四川省資陽中學校考期中）求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)一個焦點坐標為（2，0），短軸長為2；(2)經過點和點．【解析】（1）因為橢圓的一個焦點坐標為（2，0），短軸長為2；所以橢圓的焦點在軸上，設其方程為，所以，所以，所以橢圓的標準方程為，（2）設橢圓的方程為，因為橢圓經過點和點，所以，解得，所以橢圓的標準方程為.【對點訓練6】（2023·廣東梅州·高二校考階段練習）求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)焦點在軸上，長軸長為4，焦距為2；(2)經過兩點.(3)經過點，且與橢圓有共同的焦點；【解析】（1）∵橢圓的焦點在x軸上，∴設橢圓的方程為（），∵長軸長為4，焦距為2，∴，，∴，，∴，∴橢圓的方程為；（2）設所求橢圓的方程，將代入上式得，解得，所以所求橢圓的標準方程為；（3）橢圓，即，故，焦點為，，設所求橢圓的標準方程，所以，解得，所以所求橢圓的標準方程為.題型三：橢圓的綜合問題【例3】（多選題）（2023·河南·高二校聯考階段練習）已知橢圓的兩個焦點為是橢圓上的動點，且的面積最大值是，則下列結論中正確的是（

）A．橢圓的離心率是B．若是左，右端點，則的最大值為C．若點坐標是，則過的的切線方程是D．若過原點的直線交于兩點，則【答案】BD【解析】的面積最大值是，則，橢圓方程.，橢圓離心率，A選項錯誤；若是橢圓的左，右端點，則，以為焦點作新橢圓，P為兩個橢圓的交點，當新橢圓短軸最長時最大，所以當P為橢圓的上頂點或下頂點時，有最大值為，B選項正確；點在橢圓上，過點的的切線斜率顯然存在，設切線方程為，代入橢圓方程消去y得，由，解得，則切線方程為，即，故C選項錯誤；設，都在橢圓上，有和，兩式相減得，，，，D選項正確.故選:BD.【對點訓練7】（多選題）（2023·云南楚雄·高二統考期末）已知橢圓：的焦點分別為，，為上的動點，則（

）A．的周長為 B．的最大值為C．的長軸長為 D．的離心率為【答案】CD【解析】對A，因為，，所以，，.因為焦點在軸上，所以的周長為，故A選項錯誤；對B，根據結論知的最大值為，故B選項錯誤；對C，長軸長為，故C選項正確；對D，離心率為，故D正確.故選：CD【對點訓練8】（多選題）（2023·吉林長春·高二校考期末）設橢圓的左右焦點為，，P是C上的動點，則下列結論正確的是（

）．A．B．P到最小的距離是2C．面積的最大值為6D．點P到直線的最小距離是【答案】AD【解析】由橢圓方程可得：，則，對A：根據橢圓的定義可得，A正確；對B：根據橢圓性質可知當P是橢圓的左頂點時，P到的距離最小，最小值為，B錯誤；對C：根據橢圓性質可知當P是橢圓的上頂點時，的面積最大，最大值為，C錯誤；對D：設，則P到直線的距離，其中，當且僅當時等號成立，D正確.故選：AD.【對點訓練9】（多選題）（2023·福建·高二福建師大附中校考期中）已知點F1，F2分別是橢圓的左、右焦點，點P是橢圓上的一點（異于左、右頂點），若存在以為半徑的圓內切于，則該橢圓的離心率可能為（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】由橢圓性質可得：的面積滿足，又存在以c為半徑的圓內切于，∴，∴a+c≤b，∴（a+c）2≤2b2＝2（a2－c2），∴3c2+2ac－a2≤0，∴3e2+2e－1≤0，又，解得，故選：CD.【對點訓練10】（2023·廣西·高二校聯考期中）已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，且橢圓C經過點．(1)求橢圓C的方程；(2)設O為坐標原點，過右焦點F的直線l與橢圓C交于A，B兩點．求使面積最大時直線l的方程．【解析】（1）因為長軸長是短軸長的倍，則，所以橢圓C的方程為，把點的坐標代入上式，得，可得，所以，故橢圓C的方程為．（2）易知右焦點F的坐標為，若直線l的斜率為0，則O，A，B三點不能構成三角形，

所以直線l的斜率不為0，設直線l的方程為，聯立方程組，消去x，得，判別式，設，則，，

．令，則，當且僅當時，等號成立，即，解得，所以此時直線l的方程為或．【對點訓練11】（2023·高二課時練習）在橢圓內有一點，過點A的直線l的斜率為－1，且與橢圓交于B，C兩點，線段BC的中點恰好是A，試求橢圓的方程．【解析】設過A點的直線l與橢圓交于，，如圖所示．所以,

兩式相減得,∴.∵A為的中點,∴,，即.由題意:,所以,即.∴所求橢圓方程為.【對點訓練12】（2023·廣東江門·高二臺山市華僑中學校考期中）已知橢圓的長軸長是，焦點坐標分別是，.(1)求這個橢圓的標準方程及離心率；(2)如果直線與這個橢圓交于兩不同的點，求的取值范圍.【解析】（1）由題意可得，，所以，，所以橢圓的方程為：；；（2）由，可得，因為直線與這個橢圓交于兩不同的點，所以，解得，所以的取值范圍為.【對點訓練13】（2023·浙江寧波·高二校考期中）已知橢圓的焦點在軸上，長軸長為4，離心率.(1)求橢圓的標準方程；(2)直線：與橢圓有兩個交點，求實數的取值范圍.【解析】（1）由題意可知，，解得，故橢圓標準方程為.（2）由，消去，得，因為直線與橢圓有兩個交點，所以，即，解得，所以實數的取值范圍為.【對點訓練14】（2023·全國·高二專題練習）已知點P在橢圓上，為橢圓的兩個焦點，求的取值范圍．【解析】由題可知，，因為，∴時，有最大值，或時，有最小值，即的取值范圍為.題型四：軌跡方程【例4】（2023·高二課時練習）已知的三邊a，b，c成等差數列，且，A、C兩點的坐標分別為，則頂點B的軌跡方程為__________．【答案】【解析】因為的三邊a，b，c成等差數列，A、C兩點的坐標分別為，所以，即，所以點B的軌跡滿足橢圓的定義，此橢圓是以A、C為焦點，長軸長為4的橢圓，故橢圓方程為，因為，所以，所以，又因為B、A、C三點構成，所以B、A、C三點不能在一條直線上，所以，所以頂點B的軌跡方程為.故答案為：【對點訓練15】（2023·高二課時練習）的兩個頂點坐標分別是和，邊，所在直線的斜率的乘積是，則頂點A的軌跡方程是________．【答案】【解析】設頂點A的坐標為，由題意得，化簡整理，得，又是的三個頂點，所以三點不共線，因此y≠±6，所以頂點A的軌跡方程為．故答案為：【對點訓練16】（2023·上海靜安·高二校考期中）已知為橢圓上一動點，記原點為，若，則點的軌跡方程為______．【答案】【解析】設點，由得點，而點為橢圓上的任意一點，所以，整理得，所以點的軌跡方程是.故答案為：【對點訓練17】（2023·福建泉州·高二統考期末）已知P是圓上任一點，，線段PA的垂直平分線l和半徑CP交于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡方程為___________.【答案】【解析】圓的圓心，半徑，點Q在線段PA的中垂線l上，如圖，有，則，因此點Q的軌跡是以A，C為焦點，實軸長的橢圓，則虛半軸長，所以點Q的軌跡方程為.故答案為：【對點訓練18】（2023·青海西寧·高二期末）一個動圓與圓外切，與圓內切，則這個動圓圓心的軌跡方程為__________．【答案】【解析】設動圓圓心為，半徑為，根據題意知：，，所以，所以圓心的軌跡為橢圓.其中，，故，因為焦點在軸上，故圓心軌跡方程為：.故答案為：.【對點訓練19】（2023·高二課時練習）到直線x＋3y＝0和x－3y＝0的距離的平方和為18的動點P的軌跡方程為______.【答案】【解析】設動點的坐標為，因為點到直線x＋3y＝0和x－3y＝0的距離的平方和為18，所以，所以，即.故答案為：.【對點訓練20】（2023·上海·高二專題練習）一動圓與圓外切，同時與圓內切，則動圓圓心的軌跡方程為______．【答案】【解析】圓，即，圓心為，，圓，即，圓心為，，設動圓的圓心為，半徑為，由題意得，，則，所以動圓的圓心為的軌跡是以為焦點的橢圓，可設方程為，則，，所以，，所以動圓圓心的軌跡方程為.故答案為：.【對點訓練21】（2023·遼寧大連·高二大連八中校考期中）在平面直角坐標系中，若動點始終滿足關系式，則動點的軌跡方程為__________.【答案】.【解析】由平面上兩點間的距離公式可知，到與的距離之和為8，又與兩點間的距離為4，且，所以軌跡是以，為焦點的橢圓，其中，所以.故點的軌跡方程為.故答案為：.題型五：橢圓的簡單幾何性質【例5】（2023·上海虹口·高二上海市復興高級中學校考期中）橢圓的焦距為______.【答案】【解析】因為橢圓，即，所以，即，所以焦距為.故答案為：【對點訓練22】（2023·廣東梅州·高二統考期末）已知橢圓的左、右焦點分別為點、，若橢圓上頂點為點，且為等腰直角三角形，則______.【答案】8【解析】橢圓，故，為等腰直角三角形，故，故，即，.故答案為：【對點訓練23】（2023·天津寧河·高二校考階段練習）橢圓的一個焦點是，則實數的值為________.【答案】2【解析】變形得到，因為橢圓的一個焦點是，在軸上，故，解得：.故答案為：2【對點訓練24】（2023·河北石家莊·高二正定中學校考階段練習）若橢圓的離心率為，則橢圓的長軸長為___________.【答案】或【解析】因為橢圓的離心率為，易知，當時，橢圓焦點在軸上，，，所以，解得，則，所以橢圓的長軸長為.當時，橢圓焦點在軸上，，，所以，得，滿足題意，此時，所以橢圓的長軸長為.故答案為：或.【對點訓練25】（2023·高二課時練習）橢圓的內接正方形的周長為__________．【答案】/19.2【解析】根據橢圓和正方形的對稱性，不妨設橢圓的內接正方形在第一象限的一個頂點為，則，所以周長為，故答案為：

【對點訓練26】（2023·高二課時練習）已知點(m,n)在橢圓8x2＋3y2＝24上，則m的取值范圍是________．【答案】【解析】因為點(m,n)在橢圓8x2＋3y2＝24上，即在橢圓上，所以點(m,n)滿足橢圓的范圍，因此，即．故答案為：.題型六：求橢圓的離心率【例6】（2023·陜西西安·高二長安一中校考期末）已知過橢圓的左焦點的直線與橢圓交于不同的兩點，，與軸交于點，若點，是線段的三等分點，則該橢圓的離心率為_______.【答案】【解析】由已知可知，點，是線段的三等分點，則為的中點，右焦點為，所以,所以x軸，由橢圓方程得A點的坐標為,,關于對稱，易知B點坐標將其代入橢圓方程得得，所以離心率為.故答案為：.【對點訓練27】（2023·江蘇南京·高二南京市第一中學校考階段練習）設，是橢圓E：的左、右焦點，過點且傾斜角為的直線l與直線相交于點P，若為等腰三角形，則橢圓E的離心率e的值是______.【答案】/【解析】由題可得直線l的方程為，由，解得，則，由于為等腰三角形，所以，所以，可得，，.故答案為：.【對點訓練28】（2023·上海浦東新·高二統考期中）如圖所示，為完成一項探月工程，某月球探測器飛行到月球附近時，首先在以月球球心F為圓心的圓形軌道Ⅰ上繞月球飛行，然后在P點處變軌進入以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月球飛行，最后在Q點處變軌進入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月球飛行，設圓形軌道Ⅰ的半徑為R，圓形軌道Ⅲ的半徑為r，則橢圓軌道Ⅱ的離心率為_________.（用R、r表示）【答案】【解析】由F為橢圓軌道Ⅱ的焦點，若分別為長軸長、焦距，則，故，所以橢圓軌道Ⅱ的離心率為.故答案為：【對點訓練29】（2023·福建廈門·高二廈門一中校考階段練習）直線不與軸重合，經過點，橢圓上存在兩點、關于對稱，中點的橫坐標為.若，則橢圓的離心率為_________.【答案】/【解析】設，，，則，兩式相減得，即，所以，因為是垂直平分線，有，所以，即，化簡得，∵，∴.故答案為：【對點訓練30】（2023·浙江·高二浙江省開化中學校聯考期中）已知橢圓的左右頂點為，，點為直線上一點，若的外接圓的面積的最小值為，則該橢圓的離心率為______.【答案】/【解析】若為外接圓的圓心，半徑為，則，故，由外接圓圓心為各邊中垂線的交點知：必在軸上（不妨令其在軸上方），所以，故，則.故答案為：【對點訓練31】（2023·河南洛陽·高二校考階段練習）已知橢圓，是它的右焦點，是它的左頂點，為直線上一點，是底角為的等腰三角形，則的離心率為________．【答案】/0.5【解析】由題意可知：，，∴，∴，∴，∴，.故答案為：.題型七：求橢圓離心率的取值范圍【例7】（2023·廣東深圳·高二統考期末）已知O為坐標原點，直線與橢圓交于A，B兩點，P為的中點，直線的斜率為，若，則橢圓的離心率的取值范圍為_____________．【答案】．【解析】設，，則，所以，得.將A、B兩點坐標代入橢圓方程，得，兩式相減，得，有，所以，由，得，即，由，得，即，解得，所以橢圓的離心率的取值范圍為.故答案為：.【對點訓練32】（2023·福建龍巖·高二校聯考期中）橢圓上有且僅有4個不同的點滿足，其中，則橢圓C的離心率的取值范圍為________．【答案】【解析】設點,由得,化簡得,依題意得圓與橢圓有四個交點，所以，即，即，所以，所以.故答案為:.【對點訓練33】（2023·全國·高二專題練習）已知，是橢圓的左、右焦點，若橢圓上存在點，使，則橢圓的離心率的取值范圍是______【答案】【解析】由橢圓性質知：當為橢圓上下頂點時最大，所以橢圓上存在點使，只需最大的情況下，有，又橢圓離心率，故.故答案為：【對點訓練34】（2023·高二課時練習）已知橢圓C：（），點A，B為長軸的兩個端點，若在橢圓上存在點P，使，則橢圓的離心率的取值范圍是______．【答案】【解析】由題可知，，設，由點P在橢圓上，得，所以，可得，所以．故答案為：.【對點訓練35】（2023·全國·高二專題練習）已知，是橢圓的兩個焦點，為橢圓上一點，，則橢圓離心率的取值范圍為____．【答案】【解析】設，由橢圓的定義得:,由余弦定理，得:．又，當且僅當時，取最大值，于是，所以且，．故答案為:.【對點訓練36】（2023·江蘇淮安·高二統考期末）已知橢圓的兩個焦點是,滿足的點總在橢圓的內部，則橢圓的離心率的取值范圍是_______________.【答案】【解析】因為，所以以為直徑的圓始終在橢圓內部，即橢圓的短軸兩個端點在圓外部，可得，即，即，可得.故答案為：.【對點訓練37】（2023·河南·高二校聯考期末）已知橢圓的半焦距為，且滿足，則該橢圓的離心率的取值范圍是__________．【答案】【解析】由，得，，兩邊除以得，又，解得.故答案為：【對點訓練38】（2023·北京海淀·高二統考期末）橢圓的左、右頂點分別為、，若橢圓上存在點，使，則橢圓的離心率的取值范圍為__________．【答案】【解析】如圖，當在橢圓上頂點時，最大，此時，即可，則，得，即，所以，即，得，所以，即橢圓的離心率．故答案為：題型八：由橢圓離心率求參數的取值范圍【例8】（2023·廣東陽江·高二校考期末）已知焦點在軸上的橢圓的離心率為，則的值為______.【答案】【解析】由已知可得，，可得，，所以，，解得.故答案為：.【對點訓練39】（2023·四川樂山·高二校考期中）已知焦點在y軸上的橢圓，其離心率為，則實數m的值是___________.【答案】/0.25【解析】因為焦點在y軸上的橢圓，故，又，所以.故答案為：【對點訓練40】（2023·全國·高二專題練習）已知橢圓C的離心率為，則橢圓C的長軸長與短軸長的比值為______．【答案】/【解析】由題設，解得，所以長軸長與短軸長的比值為.故答案為：【對點訓練41】（2023·全國·高二專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，，右頂點為，且離心率為，求短軸長為______.【答案】【解析】由題意，橢圓的右頂點為，可得，又由橢圓的離心率為，即，可得，所以，所以，即橢圓的短軸長為.故答案為：.題型九：橢圓中的范圍與最值問題【例9】（2023·上海寶山·高二上海市行知中學校考期中）橢圓的焦點為，點為其上的動點，當為銳角時，點橫坐標的取值范圍為_______.【答案】【解析】當為銳角時，則向量數量積大于零，由橢圓方程可得，，設，則①，又②，①②聯立化簡得，解得或，所以，故答案為：【對點訓練42】（2023·四川內江·高二四川省內江市第六中學校考階段練習）已知橢圓C：，，為橢圓的左右焦點．若點P是橢圓上的一個動點，點A的坐標為（2，1），則的范圍為_____．【答案】【解析】由橢圓標準方程可知，又點P在橢圓上，根據橢圓定義可得，所以所以易知，當且僅當三點共線時等號成立；又，所以；即的范圍為.故答案為：【對點訓練43】（2023·全國·高二專題練習）已知分別是橢圓的左、右焦點，點是圓上的一個動點，則的取值范圍是_________.【答案】[3，5]【解析】橢圓方程橢圓的焦點由在圓上，設，?的取值范圍[3，5].故答案為：[3,5].【對點訓練44】（2023·全國·高二專題練習）已知為橢圓的左焦點，P為橢圓上一點，則的取值范圍為_________．【答案】[1,3]【解析】由題意，，設，則，所以，因為，所以的范圍是.故答案為：.【對點訓練45】（2023·上海浦東新·高二上海南匯中學校考期中）設P是橢圓上任意一點，F為C的右焦點，的最小值為，則橢圓C的長軸長為______．【答案】【解析】的最小值為，即，解得，長軸長為.故答案為：【對點訓練46】（2023·河南周口·高二校聯考階段練習）已知橢圓的右頂點為A，上頂點為B，則橢圓上的一動點M到直線AB距離的最大值為______．【答案】【解析】由橢圓，可得，故直線AB的方程為，與AB平行且與橢圓相切的直線可設為，代入橢圓方程整理，得，則，解得，當時，與之間的距離為；當時，與間的距離為，故橢圓上的一動點M到直線AB距離的最大值為，故答案為：【對點訓練47】（2023·貴州遵義·高二習水縣第五中學校聯考期末）已知點是橢圓上一動點，是圓上一動點，點，則的最大值為__________.【答案】8【解析】如圖,由，得，則，則圓的圓心是橢圓的左焦點，橢圓的右焦點為，由橢圓的定義得，所以，又，所以，，故答案為：8【對點訓練48】（2023·陜西寶雞·高二校聯考階段練習）已知點在橢圓上運動，點在圓上運動，則的最大值為______【答案】6【解析】圓的方程為，圓心，半徑，設，則，，到圓心的距離，又當時，取得最大值，的最大值為：，故答案為：．【對點訓練49】（2023·四川遂寧·高二遂寧中學校考階段練習）已知F是橢圓的左焦點，P為橢圓上的動點，橢圓內部一點M的坐標是，則的最大值是______．【答案】21【解析】由橢圓得，則橢圓右焦點為，點M在橢圓內部，如圖所示，則故答案為：21．題型十：焦點三角形【例10】（2023·高二課時練習）已知橢圓的兩個焦點是、，M是此橢圓上一點，且，則的面積為______．【答案】【解析】由題知，，，因為點在橢圓上，所以，所以，又因為，所以，所以，從而．故答案為：【對點訓練50】（2023·上海黃浦·高二上海市大同中學校考期中）設和為橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，且滿足，則的面積是__________.【答案】/【解析】橢圓，即，所以，，，因為，所以點為短軸頂點，所以.故答案為：【對點訓練51】（2023·廣西南寧·高二統考開學考試）已知點是橢圓上的一點，且位于第一象限內，以點及焦點、為頂點的三角形的面積等于1，則點的坐標為______.【答案】【解析】橢圓的焦點，，設點，依題意，，又，于是，所以點的坐標為.故答案為：【對點訓練52】（2023·河南開封·高二校考階段練習）設，是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上的點，且，則的面積為________.【答案】24【解析】由橢圓的方程可得：，，，，，且根據橢圓的定義可得：，，，則在中，，，故答案為：24.【對點訓練53】（2023·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學校考期中）設，是橢圓：的兩個焦點，為橢圓上的點，當時，的面積為_______.【答案】4【解析】∵，；∴，因為，所以，設，，則①，②，由①2﹣②得，∴．故答案為：4．【對點訓練54】（2023·北京海淀·高二北京市十一學校校考期中）設是橢圓的左，右焦點，點在上，為坐標原點，且，則的面積為___________.【答案】7【解析】由題意得，，，，∴在以線段為直徑的圓上，∴，∴①，由橢圓的定義知，②，由①②，解得，.故答案為：7.【對點訓練55】（2023·廣東深圳·高二深圳中學校考期末）已知橢圓的兩個焦點分別為，，為橢圓上一點，且，則的值為__．【答案】2【解析】，；，，設，，為橢圓上一點，①，，②，由①②得，．故答案為：2．【對點訓練56】（2023·高二單元測試）橢圓的焦點為點在橢圓上，若則的大小為___．【答案】【解析】，．在中，，．故答案為：.【對點訓練57】（2023·高二單元測試）橢圓的兩個焦點為?，點P在橢圓C上，且，，，則橢圓C的方程為___________.【答案】【解析】∵，，，∴，又，∴，，∴，∴，∴橢圓C的方程為.故答案為：.【對點訓練58】（2023·廣東佛山·高二佛山市南海區桂城中學校考階段練習）橢圓（為非零常數）的焦點分別為，點在橢圓上.如果線段的中點在軸上，那么等于_________．【答案】【解析】由，可知，，所以，∵線段PF1的中點M在y軸上，且原點為線段的中點，所以，所以軸，，由橢圓的定義知，則∴.故答案為：7【過關測試】一、單選題1．（2023·四川宜賓·高二宜賓市敘州區第一中學校校考期末）設為橢圓的兩個焦點，點在上，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【解析】方法一：因為，所以，從而，所以．故選：B.方法二：因為，所以，由橢圓方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故選：B.2．（2023·重慶長壽·高二統考期末）下列橢圓中最接近于圓的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為橢圓的離心率為，對于橢圓而言，若橢圓的離心率越接近于零，則該橢圓越接近于圓.對于A選項，橢圓的離心率為，對于B選項，橢圓的離心率為，對于C選項，橢圓的離心率為，對于D選項，橢圓的離心率為，因為，故D選項中的橢圓越接近于圓.故選：D.3．（2023·江蘇揚州·高二統考開學考試）若將一個橢圓繞其中心旋轉90°，所得橢圓短軸兩頂點恰好是旋轉前橢圓的兩焦點，這樣的橢圓稱為“對偶橢圓”．下列橢圓中是“對偶橢圓”的是（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】因為所得橢圓短軸兩頂點恰好是旋轉前橢圓的兩焦點，所以，即，A．，則，故錯誤；B．，則，故錯誤；C．，則，故正確；D．，則，故錯誤；故選：C4．（2023·高二課時練習）橢圓與橢圓的關系為（

）A．有相同的長軸長與短軸長 B．有相同的焦距C．有相同的焦點 D．有相同的離心率【答案】B【解析】對于橢圓，則，且焦點在x軸上，所以長軸長為10，短軸長為6，焦距為8，焦點為，離心率為，對于橢圓，因為，則，可得，且焦點在y軸上，所以長軸長為，短軸長為，焦距為8，焦點為，離心率為，所以A、C、D錯誤，B正確.故選：B.5．（2023·高二課時練習）若橢圓的中心為原點，對稱軸為坐標軸，短軸的一個端點與兩焦點構成個正三角形，焦點到橢圓上點的最短距離為，則這個橢圓的方程為（

）A． B．或C． D．以上都不對【答案】B【解析】

由題意，當橢圓焦點在軸上，設橢圓方程為：，由題意，，所以，，，，所以橢圓方程為：，當橢圓焦點在軸上時，同理可得：，故選：B6．（2023·貴州遵義·高二統考期中）已知是橢圓的右焦點，直線與橢圓交于，兩點，若，則該橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據對稱性不妨設在第二象限，在第一象限，聯立，可解得，，，又，，，又，，，，，，，又，該橢圓的離心率．故選：C．7．（2023·四川廣安·四川省廣安友誼中學校考模擬預測）油紙傘是中國傳統工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統工藝，廣安市文化宮于春分時節開展油紙傘文化藝術節．活動中將油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個半徑為3的圓，圓心到傘柄底端距離為3，陽光照射油紙傘在地面形成了一個橢圓形影子（春分時，廣安的陽光與地面夾角為），若傘柄底端正好位于該橢圓的焦點位置，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，傘的傘沿與地面接觸點B是橢圓長軸的一個端點，傘沿在地面上最遠的投影點A是橢圓長軸的另一個端點，對應的傘沿為C，O為傘的圓心，F為傘柄底端，即橢圓的左焦點，設橢圓的長半軸長為，半焦距為，

由，得，，在中，，則，，由正弦定理得，，解得，則，所以該橢圓的離心率.故選：C.8．（2023·高二課時練習）若點在橢圓上，則的最小值為（）A．1 B．C． D．以上都不對【答案】C【解析】的幾何意義是橢圓上的點與定點連線的斜率，橢圓化為標準方程為，由圖可知，直線與橢圓相切時取得最值，設直線，代入橢圓方程消去得，令，解得，所以，即的最小值為.

故選：C.二、多選題9．（2023·高二課時練習）若方程表示焦點在軸上的橢圓，則的可能取值為（）A．1 B． C．2 D．3【答案】ABC【解析】方程可化為，依題意，解得.故選：ABC．10．（2023·江西宜春·高二上高二中校考階段練習）已知方程表示橢圓，下列說法正確的是（

）A．m的取值范圍為 B．若該橢圓的焦點在y軸上，則C．若，則該橢圓的焦距為4 D．若，則該橢圓經過點【答案】BC【解析】A：因為方程表示橢圓，所以，解得，且，故A錯誤；B：因為橢圓的焦點在y軸上，所以，解得，故B正確；C：若，則橢圓方程為，所以，從而，故C正確；D：若，則橢圓方程為，點的坐標不滿足方程，即該橢圓不經過點，故D錯誤.故選：BC.11．（2023·江蘇連云港·高二校考階段練習）設橢圓的左、右焦點分別為，，是橢圓上的動點，則下列結論正確的是（

）A．以線段為直徑的圓與直線相切B．△面積的最大值為C．D．離心率【答案】ACD【解析】由橢圓可得，，所以線段為直徑的圓的方程為，圓心為，半徑為1，所以線段為直徑的圓到直線的距離為，故A正確；由題可得△面積的最大值為，故B錯誤；所以，故C正確；橢圓的離心率為，故D正確.故選：ACD.12．（2023·浙江衢州·高二統考期末）已知橢圓的左，右焦點分別為，，長軸長為4，點在橢圓外，點在橢圓上，則（

）A．當橢圓的離心率的取值范圍是B．當橢圓的離心率為時，的取值范圍是C．對任意點都有D．的最小值為2【答案】AB【解析】由題意得，又點在橢圓外，則，解得，所以橢圓的離心率，即橢圓的離心率的取值范圍是，故A正確；當時，，，所以的取值范圍是，即，故B正確；設橢圓的上頂點為，，，由于，所以存在點使得，故C錯誤；，當且僅當時，等號成立，又，所以，故D錯誤．故選：