學號：2008310861指導教師林立軍副教授年級2008級2011年11月25日矩陣初等變換及其應用高等代數(shù)有很大幫助。本文對初等變換的應用做了總結(jié)，使讀者能夠系統(tǒng)地了解初等變換在不同地方的應用。方便讀者日后學習中使用初等變換解題。很多復雜、繁瑣的問題經(jīng)過初等變換都可以化為簡單、易于解決的問題。所以對于矩陣的初等變換的研究具有非常重要的意義。課題研究的主要內(nèi)容和方法，研究過程中的主要問題和解決辦起止時間：2011年11月25日至2012年4月251、2011年11月25日定題2、2011年11月26-12月1日擬定大綱3、2011年12月2日-12月31日資料查詢，寫好開題報告。4、2012年1月1日-2月1日理論分析。5、2012年2月2日到4月1日形成初稿，并修改論6、2012年4月2日到4月25日定稿及準備答辯。外出調(diào)研主要單位，訪問學者姓名：無指導教師審查意見：指導教師(簽字) 教研室(研究室)主任(簽字)院(系)審查意見： 院(系)主任(簽字)哈爾濱師范大學2012年5月數(shù)學歸納法及其應用一、數(shù)學歸納法的基礎(chǔ)意大利數(shù)學家皮亞諾(Peano,Giuseppe,1858-1932)于1②每一個確定的自然數(shù)a,都有一個確定的后繼數(shù)a',a'也是自然數(shù)(一個數(shù)的后繼數(shù)就是緊接在這個數(shù)后面的數(shù)，例如，1的后繼數(shù)是2,2的后繼數(shù)是3等等);二、數(shù)學歸納法的原理N*={1,2,3,…}.數(shù)a∈S,對于任意c∈S都有a≤c.定理1(數(shù)學歸納法原理)設(shè)有一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題.立.由(ii)有n=h時命題也成立，因此h∈S,導致矛盾.三、數(shù)學歸納法的類型解：8=5+3,9=3×3,10=2×5,11=2×3+5.故問題的實質(zhì)是要證明對于N≥8②N=3k+1(k≥3),這時要證明3k+1=3m+5n.m=k-3,n=2就可以.③N=3k-1,這時要證3k-1=3m+5n.因為-1=-6+5,所以3k-1=3k-6+5=3m+5n,取m=k-2,n=1.6=3+3,8=5+3,10=7+3,12=7+5,14=11+3,16=1VEFVE4647867八面體6886通過進一步的實驗，我們又可發(fā)現(xiàn)這一關(guān)系式對任何一個(凸)多面體來說都是成立的.但是到了16世紀中葉，歐拉發(fā)現(xiàn)：第五個費馬數(shù)并不是質(zhì)數(shù)，而是641與6700417的乘積.(2)因果關(guān)系歸納法(科學歸納法)因果關(guān)系歸納法是指以某類事物的部分對象的因果關(guān)系作為前提，而得出一般性結(jié)論a?=2cosθsin20-sinθ=si這個結(jié)果就是用因果關(guān)系歸納法得出來的.由于因果關(guān)系歸納體現(xiàn)了所研究的這類事物性大.四、使用數(shù)學歸納法的步驟下面我們通過例題來闡述利用數(shù)學歸納法解題的步驟并總結(jié)一些經(jīng)例4.證明等式,n∈N*成立.證明：①當n=1時，左邊等于1,右邊等于1,左邊等于右邊，等式成立.②假設(shè)當n=k時等式成立，即成立.則當n=k+1時綜上所述，等式對任意n∈N成立的與正數(shù)有關(guān)的命題都能用數(shù)學歸納法證明，也不能保證對其他的數(shù)都正確，這就需要第二步遞推.假設(shè)n=k時命題成立，證明當n=k+1時也成立，證明了這一步，就獲得了遞推的依據(jù).奠定了基礎(chǔ).第二個“成立”是假設(shè)成立，是對遞推邏輯關(guān)其中一個“也”字，說明了前后兩個命題之間的邏輯關(guān)系和依存關(guān)系.“都成立”是在概括靈魂.數(shù)學歸納法的證明過程是指上是證明前后兩個命題的邏輯關(guān)系和依存關(guān)系的正確性.也可以說數(shù)學歸納法實質(zhì)上是歸納推理和演繹推理的巧妙結(jié)合.五、應用數(shù)學歸納法時應注意的問題第一，如何保證結(jié)論的正確性.所說的關(guān)于“穩(wěn)定性(即能否由已研究過得特例“穩(wěn)定掉任何一個特例.要的問題就在于如何證明結(jié)論的“穩(wěn)定性”.但是，如果就證明的全部過程而言，我們又必掉任何一個特例.六、數(shù)學歸納法的應用1、數(shù)學歸納法證明整除性問題(ii)假設(shè)n=k≥1時命題成立，即那么,當時將(*)轉(zhuǎn)換為帶入(**),有所以即當n=k+1時命題也成立綜上所述能被64整除②假設(shè)n=k≥1時命題成立，即因為所以即當n=k+1時，命題也成立例7.計算下面的行列式：a0000(i)當n=1時，有結(jié)論成立.(ii)假定當n=k時結(jié)論成立，即結(jié)論成立.故對任何正整數(shù)n,結(jié)論成立例8.證明：證明：①當n=1時，左邊等于1,右邊等于2,不等式成立；那么,當n=k+1時綜上所述，當n∈N*時恒成立例9.已知n∈N*,求證：則當n=k+1時等式成立5.利用數(shù)學歸納法求數(shù)列中的問題求數(shù)列的通項公式.同理可得由此猜想下面用數(shù)學歸納法證明：①當n=1時猜想成立；故即n=k+1時，猜想成立例11.F數(shù)列是斐波那契(Fibonaci)在1202年提出的：假定一對大兔每月生一對一雌對小兔子(剛出生的),問一年后兔房里有多少對兔子?稍加分析后，便可得出兔子每月的對數(shù)的數(shù)列的根，此方程稱為線性遞歸數(shù)列的特征方程，其根稱為特征根.F數(shù)列的遞推公式其中p=1,q=r=-1,它的特征方程為解之得：令于是令.公比則所以證明：這個命題對于n=1,2來說是沒有意義的.我們從n=3開始用數(shù)學歸納法.平面.272個部分.在解決了上述問題以后，就可以進一步研究平面分割空間的問題.個部分.這也就是說，在增加了第n個分割平面以后，分割所得出的部分空間的數(shù)量增加了從而，依據(jù)“生成”的考慮，我們就可得出，n個處于一般位置的平面把空間分割成了個部分.7.利用數(shù)學歸納法證明集合中的問題例14.證明，含有n個元素的集合的一切子集的個數(shù)等于2”.證明：設(shè)A為含有n個元素的集合.8.利用數(shù)學歸納法證明二項式定理例15.證明二項式定理：是n個元素中取r個的組合數(shù).于是命題成立，故命題對一切正整數(shù)n成立.行歸納證明，當n=m時，易見命題成立，若m≤n<N時，命題成立，現(xiàn)需證的充要條件是命題得證.10.利用數(shù)學歸納法求n個自然數(shù)的立方和問題I3+23+33+…+n3=1+(3+5)+(7+9+11)其中第n組中第一個奇數(shù)為假設(shè)當n=k時上述猜想成立，即假設(shè)成立.故可見，實踐和歸納同樣是數(shù)學家尋找真理和發(fā)現(xiàn)真理的主要手式、前n個自然數(shù)的立方和公式、二項展開式等，無一不是觀察、實驗和歸納的結(jié)果.歐拉發(fā)現(xiàn)的，證明只是一個補行的手續(xù).[1]張禾瑞、郝鑭新：《高等代數(shù)》,高等教育出版社，1999年5月第4版.[2]張雄、李得虎：《數(shù)學方法論與解題研究》,高等教育出版社，2003年8月第1版.[3]鄭毓信：《數(shù)學方法論入門》,浙江教育出版社，2006年3月第1版.[4]呂孝亮：《關(guān)于數(shù)學歸納法的基礎(chǔ)研究》,學術(shù)論壇，2008年12月號.Abstract:Thisarticlemainlyfromthemathematicalinduction,theprincipleofthemathematicalinductiontype,usemathematicalinductionstep,theapplicationofmathematicalinductionandseveralaspects,thispapethemathematicalinductioninsolvingproblems,thesequencepinequalityproofofdivisionandtheapplicationsofproof,thepurposeisthroughtheapplicationofmathematicalinductionproblemsolving,Keywords:mathematicalinduction;recursive;inequality;division該論文對矩陣初等變換進行了詳細的解釋，并對其題方法簡單、有效、易行，理論依據(jù)闡述清晰。并通過例子將矩陣初等變換在求矩陣的秩、判斷矩陣是否可逆組的一般解及基礎(chǔ)解系、證向量的線性相關(guān)性及求向量的極大無關(guān)組、求向量空間兩個基的過渡矩陣、化二次型為標準形這七個方面的應用做出示范。該論文對矩陣初等變換的定義和它在高等代數(shù)中的應用做了充分的說明和分類，并結(jié)合了相關(guān)內(nèi)容，用具體實例演示了用法。該論文文字條理清晰、書寫工整，說明論述充理論證明全實，文字通順，符合技術(shù)用語要求，符號統(tǒng)一，編號齊全。林立軍該同學能在老師的嚴格要求下順利完成整個畢業(yè)論獻材料收集詳實，綜合運用了所學知識解決問題，所用方法合理，結(jié)論正確，有創(chuàng)新見解。另外文章篇幅完全符合學院規(guī)定，格式正確，書寫規(guī)范，內(nèi)容完整，層次結(jié)構(gòu)安排科學，主要觀點突出，邏輯關(guān)系清楚，條理清晰，語言流暢。文題完全相符，論點突出，論述緊扣主題。本科畢業(yè)論文(設(shè)計)答辯過程記錄院系數(shù)學科學學院數(shù)學系專業(yè)數(shù)學與應用數(shù)學年級2006級答辯人姓名焦陽學號20畢業(yè)論文(設(shè)計)題目矩陣初等變換及其應用畢業(yè)論文(設(shè)計)答辯過程記錄：2、全文的基本框架是怎么安排的?答辯是否通過：通過()未通過()記錄員答辯小組組長簽字 本科畢業(yè)