第=page22頁，共=sectionpages22頁專題17相似三角形中的四心問題專練（一）班級：___________姓名：___________得分：___________一、選擇題已知直角三角形的兩條直角邊長分別為3，4，則該三角形的重心與外心的距離為(????)A.12 B.52 C.53【答案】D【分析】

本題考查了勾股定理、直角三角形斜邊上的中線性質、重心的性質；熟練掌握勾股定理和重心定理，熟記直角三角形的外心是斜邊的中點是解題的關鍵．

根據勾股定理求出斜邊的長度，根據斜邊中線長為斜邊長的一半求出斜邊的中線CD，由重心定理即可得出GD的長．

【解答】

解：如圖所示：設D為AB的中點，連接CD，

∵∠ACB=90°，

∴斜邊AB=32+42=5，

∴斜邊AB的中線CD=12×5=52，

∵直角三角形的外心就為直角三角形斜邊上的中點，

∴D為Rt△ABC的外心，

∵重心是三角形中線的交點，故重心G如圖，點E為△ABC的內心，過點E作MN?//?BC交AB于點M，交AC于點N.若AB=7，AC=5，BC=6，則MN的長為(

)A.3.5 B.4 C.5 D.5.5【答案】B【分析】連接EB、EC，如圖，利用三角形內心的性質得到∠1=∠2，利用平行線的性質得∠2=∠3，所以∠1=∠3，則BM=ME，同理可得NC=NE，接著證明△AMN∽△ABC，所以MN6=7?BM7，則BM=7?76MN①，同理可得CN=5?56MN②，把兩式相加得到MN的方程，然后解方程即可．

本題考查了三角形的內切圓與內心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內心就是三角形三個內角角平分線的交點．也考查了相似三角形的判定與性質．

【解答】解：連接EB、EC，如圖，

∵點E為△ABC的內心，

∴EB平分∠ABC，EC平分∠ACB，

∴∠1=∠2，

∵MN//BC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴BM=ME，

同理可得NC=NE，

∵MN//BC，

∴△AMN∽△ABC，

∴MNBC=AMAB，即MN6=7?BM在△ABC中，AC=6，AB=14，BC=16，點D是△ABC的內心，過D作DE//AC交BC于E，則DE的長為(????)

A.169 B.163 C.83 【答案】C【分析】過點B作BH//AC，交AD的延長線于點H，由內心的性質可證AB=BH=14，DE=EC，通過證明△ACF∽△HBF，可求CF的長，通過證明△DEF∽△ACF，可求DE的長．

本題考查了相似三角形的判定和性質，三角形的內心的性質，利用相似三角形的性質求出CF的長是本題的關鍵．

【解答】解：如圖，過點B作BH//AC，交AD的延長線于點H，

∵點D是△ABC的內心，

∴∠BAD=∠CAD，∠ACD=∠DCB，

∵DE//AC，BH//AC，

∴∠H=∠DAC，∠EDC=∠ACD，

∴∠H=∠BAD，∠EDC=∠ECD，

∴AB=BH=14，DE=EC，

∵BH//AC，

∴△ACF∽△HBF，

∴ACBH=CFBF，

∴614=CF16?CF

∴CF=245，

∵DE//AC，

∴△DEF∽△ACF，如圖，已知點B，D在AC的兩側，E，F分別是△ACD與△ABC的重心，且EF=?2，則BD的長度是(????)

A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【分析】

本題考查三角形的重心的性質，相似三角形的判定和性質；解題的關鍵是作輔助線，靈活運用三角形重心的性質及相似三角形的判定與性質來解題，

連接DE并延長，交AC于點O，連接BO.根據重心的性質得出FB=2FO，ED=2EO，再證明△EOF∽△DOB，根據相似三角形對應邊成比例求出BD=3EF.

【解答】

解：如圖，連接DE并延長，交AC于點O，連接BO．

∵點E為△ADC的重心，

∴點O為AC的中點，FB=2FO；

又∵點F為△ABC的重心，

∴點F在線段BO上，ED=2EO；

∴OFOB=OEOD=13，

又∵∠EOF=∠DOB，

∴△EOF∽△DOB，

∴如圖，在△ABC中，點O為重心，則S△DOE：S△DCE=(????)

A.1：4

B.1：3

C.1：2

D.2：3

【答案】B【分析】

本題考查的是相似三角形的判定與性質，先根據題意得出DE是△ABC的中位線是解答此題的關鍵．利用三角形重心的定義得出D是AB的中點，E是AC的中點，根據題意判斷出DE是△ABC的中位線，故可得出△ODE∽△OCB，由此可得出ODOC【解答】

解：由三角形重心的定義得出D是AB的中點，E是AC的中點，

∵在△ABC中，兩條中線BE，CD相交于點O，

∴DE是△ABC的中位線，

∴△ODE∽△OCB，

∴ODOC=12，

∴ODCD=13，

∵△DOE與△DCE等高，

如圖，點G是△ABC的重心，GD//BC，則S△ADG:S△ABC等于(????)．A.2:3 B.4:9 C.2:9 D.無法確定【答案】C【分析】

此題主要考查了相似三角形的判定與性質和三角形重心的性質等知識，根據已知得出SADG：S△ANC=(23)2是解題關鍵．根據重心的性質得出AGGN=21，以及AGAN=23，即可得出SADG：S△ANC的比值，再利用三角形中線的性質得出S△ANC=S△ABN，進而得出答案．

【解答】

解：延長AG到BC于點N，

∵點G是△ABC的重心，GD//BC，

∴AGGN=21，

∴AGAN=2二、填空題如圖，G是△ABC的重心，AG⊥GC，AC=4，則BG的長為__________．【答案】4【分析】

本題考查了三角形重心，直角三角形斜邊上的中線的性質，掌握三角形重心的定義是關鍵，延長BG交AC于D點，G是△ABC的重心，故BD為△ABC的中線；又AG⊥GC，故GD為Rt△AGC斜邊上的中線，根據直角三角形斜邊上中線的性質可知GD=12AC，即可得到BG=2GD=AC．

【解答】

解：如圖，延長BG交AC于D點，

∵G是△ABC的重心，

∴BD為△ABC的中線，

又∵AG⊥GC，

∴GD為Rt△AGC斜邊上的中線，

∴GD=12AC，

∵G是△ABC如圖，點E是△ABC的內心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點D.AD與BC相交于點F，連結BE，DC，已知EF=2，CD=5，則AD=_____________．【答案】25【分析】

本題考查的是三角形的內接圓與內心、外接圓與外心，掌握三角形的內心的定義、圓周角定理、相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．

根據三角形的內心的定義得到BD=CD，△BDF∽△ADB，根據相似三角形的性質列出比例式，代入計算即可．

【解答】解：∵點E是△ABC的內心，

∴∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，

∴BD=CD，∴BD=CD=5，

由圓周角定理得，∠CAD=∠CBD，

∵∠DBE=∠CBD+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE，

∴∠DBE=∠DEB.∴DE=DB=5，

∴DF=DE?EF=3，

∵∠DBC=∠BAD，∠BDF=∠ADB，

∴△BDF∽△ADB，∴DF

如圖，△ABC中，AB=AC=310，BC=6，且若CD經過△ABC的外心O交AB于D，則CD=______．

【答案】90【分析】延長AO交BC于F，作DE⊥BC于E，如圖，證明AF垂直平分BC得到∠AFC=90°，BF=CF=3，再利用勾股定理計算出AF=9，設⊙O的半徑為r，則OC=OA=r，OF=9?r，根據勾股定理得到(9?r)2+32=r2，則可解得r=5，設DE=x，EF=y，根據平行線分線段成比例定理，由DE//AF得到DEAF=BEBF，則x=3(3?y)，由OF//DE得4x=33+y，再利用代入消元求出y=1513，然后根據平行線分線段成比例定理，利用OF//DE可求出CD．

本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例．也考查了三角形外心和等腰三角形的性質．

【解答】解：延長AO交BC于F，作DE⊥BC于E，如圖，

∵AB=AC，OB=OC，

∴AF垂直平分BC，

∴∠AFC=90°，BF=CF=12BC=3，

在Rt△ACF中，AF=(310)2?32=9，

設⊙O的半徑為r，則OC=OA=r，OF=9?r，

在Rt△OCF中，(9?r)2+32=r2，解得r=5，

∴OF=4，

設DE=x，EF=y，如圖，點G是△ABC的重心，GE//BC，如果BC=12，那么線段GE的長為

．

【答案】4【分析】

本題考查三角形的重心，屬于基礎題．

先根據三角形重心性質得到AG=2GD，再證明△AGE～△ADC，根據相似三角形的性質即可計算GE的長．

【解答】

解：因為點G是△ABC的重心，

所以AG=2GD，BD=DC=12BC=6，

因為GE?//BC，

所以△AGE～△ADC，

所以AGAD=GEDC，即GE如圖，點G是△ABC的重心，GH⊥BC，垂足為點H，若GH=6，則點A到BC的距離為______

【答案】18【分析】

本題考查的是相似三角形的判定與性質，三角形的重心有關知識，根據題意作圖，利用重心的性質AD：GD=3：1，同時還可以求出△ADE∽△GDH，從而得出AD：GD=AE：GH=3：1，根據GH=6即可得出答案．

【解答】

解：設BC的中線是AD，BC的高是AE，

由重心性質可知：

AD：GD=3：1，

∵GH⊥BC，

∴△ADE∽△GDH，

∴AD：GD=AE：GH=3：1，

∴AE=3GH=3×6=18，

三、解答題如圖，在4×4的方格中，點A，B，C為格點．

(1)利用無刻度的直尺在圖1中畫△ABC的中線BE和重心G；

(2)在圖2中標注△ABC的外心O并畫出外接圓及切線CP．

【分析】(1)根據中線的概念作圖；

(2)根據線段垂直平分線的定義作圖．

本題主要考查作圖?應用與設計作圖，解題的關鍵是掌握三角形的高線、中線以及角平分線的定義．

【解答】解：(1)如圖所示，BE和點G即為所求；

(2)如圖所示，⊙O和PC即為所求．已知：如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于點D，∠CAB的三等分線AE、AF分別與CD交于點E、F，連結BE并延長與AC交于點M，連結MF并延長與BC交于點N．

(1)求∠ABE的度數；

(2)求證：點F是△BCM的內心；

(3)如圖2，若AB=4，點Q為線段BC上一動點，點P是平面內一點，且∠PDQ=90°，DPDQ=12，當點Q從點C運動到點【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，掌握住相似三角形的判定與性質是解答的關鍵．

(1)根據已知∠ACB=90°，AC=BC，得出CD是△ABC的對稱軸，從而找出∠CAB的三等分線，求出∠ABE的度數；

(2)依據三線合一得出∠CAB的三等分線，由對稱的性質得出BF是∠MBC的平分線，從而得出結論；

(3)由點H是BD的中點得出BD=CD，然后依據比值得出DHCD=DPDQ，再找出∠CDQ=∠HDP，從而得出△HDP∽△CDQ，然后依據相似三角形的性質逐步解答即可．

【解答】解：(1)∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠CAB=∠CBA=45°，

∵CD⊥AB于點D，

∴直線CD是△ABC的對稱軸，

∴∠ABE=∠BAE，

∴AE、AF是∠CAB的三等分線，

∴∠BAE=15°，

∴∠ABE=15°；

(2)連結BF，

由三線合一可知CD是∠ACB的角平分線，

∴AE、AF是∠CAB的三等分線，

∴AF是△AEC的角平分線，

根據軸對稱的性質可得：BF是∠MBC的平分線，

∴點F是△BCM的內心；

(3)取BD的中點H，連接HP，

∵點H是BD的中點，BD=CD，

∴DHCD=12，

∴DPDQ=12，

∴DHCD=DPDQ，

∵CD⊥AB，∠PDQ=90°，

∴∠CDQ+∠QDB=90°，∠QDB+∠HDP=90°，

∴∠CDQ=∠HDP，

∴△HDP∽△CDQ，

∴∠DHP=∠DCQ=45°，HPCQ=12如圖，在△ABC中，AD為邊BC上的中線，且AD平分∠BAC.嘉淇同學先是以A為圓心，任意長為半徑畫弧，交AD于點P，交AC于點Q，然后以點C為圓心，AP長為半徑畫弧，交AC于點M，再以M為圓心，PQ長為半徑畫弧，交前弧于點N，作射線CN，交BA的延長線于點E．

(1)通過嘉淇的作圖方法判斷AD與CE的位置關系是______，數量關系是______；

(2)求證：AB=AC；

(3)若BC=24，CE=10，求△ABC的內心到BC的距離．【答案】(1)AD//CE；

EC=2AD

；

(2)證明：∵AD//CE，

∴∠BAD=∠E，∠DAC=∠ACE，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠DAC，

∴∠ACE=∠E，

∴AC=AE，

由(1)知△ABD∽△EBC，

∴ABEB=BDBC=12，

∴EB=2AB，即AB=AE，

∴AB=AC．

(3)解：∵BC=24，CE=10，

∴BD=12，AD=5，

∵AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BD，

設△ABC內心到BC距離為r，

∴ABBD=5?rr，【分析】(1)由作圖方法可知∠DAC=∠ACE，則AD//CE，根據BC=2BD，可證CE=2AD；

(2)由(1)知△ABD∽△EBC，證出BE=2AB，得AB=AE，又AC=AE，則AB=AC；

(3)設△ABC內心到BC距離為r，可得ABBD=5?rr，即可求出r．

本題是圓的綜合題目，考查了內心的定義、等腰三角形的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理等知識．

【解答】解：(1)∵嘉淇的作圖方法可知∠DAC=∠ACE，

∴AD//CE，

∴△ABD∽△EBC，

∴BDBC=ADCE，

∵AD為邊BC上的中線，

∴BC=2BD，

∴CE=2AD，

故答案為：AD//CE，EC=2AD；

(2)證明：∵AD//CE，

∴∠BAD=∠E，∠DAC=∠ACE，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠DAC，

∴∠ACE=∠E，

∴AC=AE，

由(1)知△ABD∽△EBC，

∴ABEB=BDBC=12，

∴EB=2AB，即AB=AE，

∴AB=AC．

(3)解：∵BC=24，CE=10，

∴BD=12，AD=5，

∵AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BD，

設△ABC內心到BC距離為r，如圖：AB是⊙O的直徑，AC交⊙O于G，E是AG上一點，D為△BCE內心，BE交AD于F，且∠DBE=∠BAD．

(1)求證：BC是⊙O的切線；

(2)求證：DF=DG；

(3)若∠ADG=45°，DF=1，則有兩個結論：①AD?BD的值不變；②AD?BD的值不變，其中有且只有一個結論正確，請選擇正確的結論，證明并求其值．【分析】(1)先證∠DBC=∠BAD，再證∠DBC+∠ABD=90°，即∠ABC=90°，可得出結論；

(2)如圖1，連接DE，分別證∠BFD=∠ABD，∠BFD=∠DGC，則∠DFE=∠DGE，因為D為△BCE內心，所以∠DEG=∠DEB，可得△DEF≌△DEG，即可得出結論；

(3)先判斷AD?BD的值不變，如圖2，在AD上截取DH=BD，連接BH、BG，先證AB=2BG，BD=DH，再證△ABH∽△GBD，求出AH的長，即可證明AD?BD=2．

本題考查了圓的有關概念及性質，切線的判定定理，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質等，綜合性質較強，解題關鍵是能夠熟練掌握各方面的知識，并能夠靈活運用圓的有概念及性質和相似三角形的判定與性質等．

【解答】(1)證明：∵D為△BCE內心，

∴∠DBC=∠DBE，

∵∠DBE=∠BAD．

∴∠DBC=∠BAD，

∵AB是⊙O

的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠DBC+∠ABD=90°，即∠ABC=90°，

∴AB⊥BC，

∴BC是⊙O

的切線；

(2)證明：如圖1，連接DE，

∵∠DBC=∠BAD，∠DBC=∠DBE，

∴∠DBE=∠BAD，

∴∠ABF+∠BAD=∠ABF+∠DBE，

∴∠BFD=∠ABD，

∵∠DGC=∠ABD，

∴∠BFD=∠DGC，

∴∠DFE=∠DGE，

∵D為△BCE內心，

∴∠DEG=∠DEB，

在△DEF和△DEG中∠DFE=∠DGE∠DEG=∠DEFDE=DE，

∴△DEF≌△DEG(AAS)，

∴DF=DG；

(3)解：AD?BD的值不變；

如圖2，在AD上截取DH=BD，連接BH、BG，

∵AB是直徑，

∴∠ADB=∠AGB=90°，

∵∠ADG=45°，

∴∠ABG=∠ADG=45°，

∴AB=2BG，

∵∠BDH=90°，BD=DH，

∴∠BHD=45°，

∴∠AHB=180°?45°=135°，

∵∠BDG=∠ADB+∠ADG=90°+45°=135°，

∴∠AHB=∠BDG，

∵∠BAD=∠BGD，

∴△ABH∽△GBD，

∴AHDG=ABBG=2，

如圖1，P為△ABC內一點，連接PA，PB，PC，在△PAB，△PBC和△PAC中，如果存在一個三角形與△ABC相似，那么就稱P為△ABC的自相似點．

(1)如圖2，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC>∠A，CD是AB上的中線，過點B作BE⊥CD，垂足為E.試說明E是△ABC的自相似點；(2)在△ABC中，∠A<∠B<∠C．

(i)如圖3，利用尺規作出△ABC的自相似點P(寫出作法并保留作圖痕跡)；

(ii)若△ABC的內心P是該三角形的自相似點，求該三角形三個內角的度數．(內心是三角形三個內角的角平分線交點)【分析】此題主要考查了相似三角形的判定以及三角形的內心作法和作一角等于已知角，此題綜合性較強，注意從已知分析獲取正確的信息是解決問題的關鍵．

(1)根據已知條件得出∠BEC=∠ACB，以及∠BCE=∠ABC，得出△BCE∽△ABC，即可得出結論；

(2)(i)根據作一角等于已知角即可得出△ABC的自相似點；

(ii)根據∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=∠2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A，即可得出各內角的度數．

【解答】解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的中線，

∴CD=12AB，

∴CD=BD，

∴∠BCE=∠ABC，

∵BE⊥CD，∴∠BEC=90°，

∴∠BEC=∠ACB，

∴△BCE∽△ABC，

∴E是△ABC的自相似點；

作法：①在∠ABC內，作∠CBD=∠A，②在∠ACB內，作∠BCE=∠ABC，BD交CE于點P，

則P為△ABC的自相似點；(ii)∵P是△ABC的內心，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，

∵△ABC的內心P是該三角形的自相似點，

∴∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A，

∴∠A+2∠A+4∠A=180°，

∴∠A=180°7，

我們知道：三角形三條角平分線