專項03常考輔助圓模型模型一定點定長1.(2020山東泰安中考)如圖，點A，B的坐標分別為A(2，0)，B(0，2)，點C為坐標平面內一點，BC=1，點M為線段AC的中點，連接OM，則OM的最大長度為()A.2+1 B.2+12 C.22+1 D.22-模型二直角對直徑2.(2021湖北鄂州中考)如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=23，BC=3.點P為△ABC內一點，且滿足PA2+PC2=AC2.當PB的長度最小時，△ACP的面積是()A.3 B.33 C.334 第2題圖 第3題圖3.(2023山東菏澤中考)如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=5，AD=4，AD<BC，點E在線段BC上運動，點F在線段AE上，∠ADF=∠BAE，則線段BF長度的最小值為.

4.如圖，網格中的每個小正方形的邊長都是1，點M，N，O均為格點，點N在☉O上，若過點M作☉O的一條切線MK，切點為K，則MK=.

5.輔助線是幾何解題中條件與結論的橋梁.在眾多類型的輔助線中，輔助圓作為一條曲線型輔助線，顯得獨特而隱蔽.性質：如圖①，若∠ACB=∠ADB=90°，則點D在經過A，B，C三點的圓上.運用上述材料中的信息解決以下問題：(1)如圖②，已知DA=DB=DC.求證：∠ADB=2∠ACB.(2)如圖③，點A，B位于直線l兩側.用尺規在直線l上作出點C，使得∠ACB=90°.(要求：要有畫圖痕跡，不用寫畫法)(3)如圖④，在四邊形ABCD中，∠CAD=90°，CB⊥DB，點F在CA的延長線上，連接DF，∠ADF=∠ABD.求證：DF是△ACD外接圓的切線.模型三點圓最值6.(2023山東泰安泰山期末)如圖，點P(3，4)，☉P的半徑為2，A(2.5，0)，B(5，0)，點M是☉P上的動點，點C是MB的中點，則AC長的最大值是()A.32 B.52 C.72模型四線圓最值7.(2023四川樂山中考)如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=-x-2與x軸，y軸分別交于A，B兩點，C，D是半徑為1的☉O上兩動點，且CD=2，P為弦CD的中點.當C，D兩點在圓上運動時，△PAB面積的最大值是()A.8 B.6 C.4 D.3 第7題圖 第8題圖8.(2020山東東營中考)如圖，在Rt△AOB中，OB=23，∠A=30°，☉O的半徑為1，點P是AB邊上的動點，過點P作☉O的一條切線PQ(其中點Q為切點)，則線段PQ長度的最小值為.

模型五定弦定角9.(2023北京昌平二模)船航行的海岸附近有暗礁，為了使船不觸上暗礁，可以在暗礁的兩側建立兩座燈塔.只要留心從船上到兩座燈塔間的角度不超過一定的大小，就不用擔心觸礁.如圖所示的網格是正方形網格，點A，B，C，D，P，M，N是網格線交點，當船航行到點P的位置時，P與兩座燈塔M，N間的角度(∠MPN的大小)一定無觸礁危險.那么，對于A，B，C，D四個位置，船處于時，一定無觸礁危險.()

A.位置A B.位置B C.位置C D.位置D10.(2021廣東中考)在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=3.點D為平面上一個動點，∠ADB=45°，則線段CD長度的最小值為.

11.(2023四川自貢中考改編)如圖，分別經過原點O和點A(4，0)的動直線a，b的夾角∠OBA=30°，點M是OB的中點，連接AM，則當sin∠OAM取最大值時，AM=.

專項03常考輔助圓模型答案全解全析1.B∵點C為坐標平面內一點，BC=1，∴點C在半徑為1的☉B上.在x軸負半軸上取OD=OA=2，連接BD，如圖，∵AM=CM，OA=DO，∴OM=12∴當CD長的值最大時，OM長的值最大.∴當C在DB的延長線上時，OM長的值最大.∵OB=OD=2，∠BOD=90°，∴BD=22.∴CD長的最大值=22+1.∴OM長的最大值=12CD=2+12.D∵PA2+PC2=AC2，∴∠APC=90°.∴點P在以AC為直徑的圓上運動.添加輔助圓(圓O)，連接OP，如圖所示.當點P在線段BO上時，PB長有最小值，此時PO=AO=CO=12AC=12×23=∵tan∠BOC=BCOC=33=3過P作PH⊥AC于H，∴△ACP的面積=12AC·PH=12AC·OP·sin∠BOC=12×23×3×33.答案29-2解析如圖，設AD的中點為O，以AD為直徑畫圓，連接OB交☉O于F'.∵∠ABC+∠BAD=90°+90°=180°，∴AD∥BC.∴∠DAE=∠AEB.∵∠ADF=∠BAE，∴∠DFA=∠ABE=90°.∴點F在以AD為直徑的半圓上運動，當點F運動到OB與☉O的交點(F')處時，線段BF的長度取最小值.∵AD=4，∴AO=OF'=12∴BO=52+2∴線段BF的長度的最小值為29-2.經典模型直角對直徑模型在解決一類單或雙動點求最值的問題時，若存在某動點為直角的頂點，則往往根據直角對直徑構造輔助圓，將該動點轉化為半圓上的動點，從而將最值問題轉化為點圓的最值問題解決.4.答案25解析如圖所示，以OM為直徑作圓，與☉O的交點即為切點K，連接OK，ON.則OK⊥MK.由網格特點及勾股定理可得MO=5，OK=ON=5，∴MK=52-(55.解析(1)證明：如圖，由DA=DB=DC可知，點A，B，C在以D為圓心，DA的長為半徑的圓上，∴∠ADB=2∠ACB.(2)如圖，點C1，C2就是所要求作的點.(3)證明：如圖，以CD的中點O為圓心，CD為直徑作☉O，∵∠DAC=∠DBC=90°，∴點A，B在☉O上，即☉O是△ACD的外接圓.∴∠ACD=∠ABD.∵∠ADF=∠ABD，∴∠ACD=∠ADF.∵∠ACD+∠ADC=90°，∴∠ADF+∠ADC=90°.∴∠CDF=90°.∴CD⊥DF.∴DF是△ACD外接圓的切線.6.C如圖，作射線OP，交☉P于M1，M2，連接OM.由勾股定理得OP=32∵A(2.5，0)，B(5，0)，∴OA=AB，又CM=CB，∴AC=12∴當OM長最大時，AC長最大.當M運動到M2時，OM最大，∴AC長的最大值=12OM2=12(OP+PM2)=12×(5+2)=7.D如圖，作OQ⊥AB于點Q，連接OP，OD，OC，∵CD=2，OC=OD=1，∴OC2+OD2=CD2.∴△OCD為等腰直角三角形.由y=-x-2得，點A(-2，0)，B(0，-2)，∴OA=OB=2.∴△OAB為等腰直角三角形.∴AB=22，OQ=2.∵P為CD的中點，∴OP=22點P的運動軌跡是以O為圓心，以22當P，O，Q共線，且P，Q在點O兩側時，S△ABP最大，此時PQ=OP+OQ=322，∴S△ABP=8.答案22解析如圖，連接OQ，OP.∵PQ是☉O的切線，∴∠OQP=90°.∴PQ=OP2-O∴當線段OP的長度最小時，線段PQ的長度最小，當OP⊥AB時，線段OP的長度最小，此時OP=OB·sinB.∵在Rt△AOB中，∠B=90°-∠A=90°-30°=60°，∴線段OP長度的最小值=23×32∴線段PQ長度的最小值=32-1=29.B如圖，由網格特點可知，點O是MN和MP的垂直平分線的交點，即點O是△MNP的外接圓的圓心.由畫圖知點B在△MNP的外接圓上.連接BM，BN，則∠MPN=∠MBN.∴船處于位置B時，一定無觸礁危險，故選B.10.答案5-2解析如圖所示，作△ABD的外接圓☉O，連接OA，OB，OC，設OC與☉O交于點D'，則CD'的長度即為CD長度的最小值.∵∠ADB=45°，∴∠AOB=90°.∵OA=OB，∴△AOB為等腰直角三角形.∴AO=BO=AB·sin45°=2，∴OD'=2.∵∠OBA=45°，∠ABC=90°，∴∠OBC=45°.作OE⊥BC于點E，則△OBE為等腰直角三角形.∴OE=BE=OB·sin45°=1，∴CE=BC-BE=3-1=2.在Rt△OCE中，OC=OE2+CE2∴CD'=OC-OD'=5-2.∴線段CD長度的最小值為5-2.11.答案22解析如圖，作△AOB的外接圓☉T，連接OT，TA，TB，取OT的中點K，連接KM，AK.∵∠ATO=2∠ABO，∴∠ATO=60°，∵TO=TA，∴△OAT是等邊三角形.∵A(4，0)，∴TO=TA=TB=4.∵OK=KT，OM=MB，∴KM=12∴點M在以K為圓心，2為半徑的圓上運動.當AM與☉K相切時