PAGE3.4生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例[A組學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]1．煉油廠(chǎng)某分廠(chǎng)將原油精煉為汽油，需對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱，假如第x小時(shí)，原油溫度(單位：℃)為f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油溫度的瞬時(shí)改變率的最小值是()A．8 B.eq\f(20,3)C．－1 D．－8解析：原油溫度的瞬時(shí)改變率為f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以當(dāng)x＝1時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)改變率取得最小值－1.答案：C2．設(shè)底為等邊三角形的直三棱柱的體積為V，那么其表面積最小時(shí)底面邊長(zhǎng)為()A.eq\r(3,V) B.eq\r(3,2V)C.eq\r(3,4V) D．2eq\r(3,V)解析：設(shè)底面邊長(zhǎng)為x，則表面積S＝eq\f(\r(3),2)x2＋eq\f(4\r(3),x)V(x>0)．∴S′＝eq\f(\r(3),x2)(x3－4V)．令S′＝0，得x＝eq\r(3,4V).答案：C3．已知某生產(chǎn)廠(chǎng)家的年利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(單位：萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠(chǎng)家獲得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為()A．13萬(wàn)件 B．11萬(wàn)件C．9萬(wàn)件 D．7萬(wàn)件解析：因?yàn)閥′＝－x2＋81，所以當(dāng)x>9時(shí)，y′<0；當(dāng)x∈(0,9)時(shí)，y′>0.所以函數(shù)y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234在(9，＋∞)上單調(diào)遞減，在(0,9)上單調(diào)遞增．所以x＝9是函數(shù)的極大值點(diǎn)．又因?yàn)楹瘮?shù)在(0，＋∞)上只有一個(gè)極大值點(diǎn)，所以函數(shù)在x＝9處取得最大值．答案：C4．做一個(gè)容積為256m3A．6m B．8mC．4m D．2m解析：設(shè)底面邊長(zhǎng)為xm，高為hm，則有x2h＝256，所以h＝eq\f(256,x2).所用材料的面積設(shè)為Sm2，則有S＝4x·h＋x2＝4x·eq\f(256,x2)＋x2＝eq\f(256×4,x)＋x2.S′＝2x－eq\f(256×4,x2)，令S′＝0，得x＝8，因此h＝eq\f(256,64)＝4(m)．答案：C5．某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠(chǎng)家以每件20元購(gòu)進(jìn)一批商品，若該商品零售價(jià)定為p元，銷(xiāo)售量為Q件，則銷(xiāo)售量Q與零售價(jià)p有如下關(guān)系：Q＝8300－170p－p2.則最大毛利潤(rùn)為(毛利潤(rùn)＝銷(xiāo)售收入－進(jìn)貨支出)()A．30元 B．60元C．28000元 D．23000元解析：設(shè)毛利潤(rùn)為L(zhǎng)(p)，由題意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以L(fǎng)′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．此時(shí)，L(30)＝23000.因?yàn)樵趐＝30旁邊的左側(cè)L′(p)>0，右側(cè)L′(p)<0，所以L(fǎng)(30)是極大值，依據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義知，L(30)是最大值，即零售價(jià)定為每件30元時(shí)，最大毛利潤(rùn)為23000元．答案：D6．某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物2000噸，每次都購(gòu)買(mǎi)x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)為eq\f(1,2)x2萬(wàn)元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x＝________.解析：設(shè)該公司一年內(nèi)總共購(gòu)買(mǎi)n次貨物，則n＝eq\f(2000,x)，總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)之和f(x)＝4n＋eq\f(1,2)x2＝eq\f(8000,x)＋eq\f(1,2)x2，令f′(x)＝x－eq\f(8000,x2)＝0，解得x＝20.且當(dāng)0<x<20時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x>20時(shí)f′(x)>0，故x＝20時(shí)，f(x)最小．答案：207．用總長(zhǎng)為14.8m的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，若該容器的底面一邊比高長(zhǎng)出0.5m，則當(dāng)高為_(kāi)_______m時(shí)，容器的容積最大．解析：設(shè)高為xm，則V＝x(x＋0.5)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(14.8,4)－0.5－2x))＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，x∈(0，1.6)，所以V′＝－6x2＋4.4x＋1.6.令V′＝0，解得x＝1或x＝－eq\f(4,15)(舍去)．當(dāng)0<x<1時(shí)，V′>0，當(dāng)1<x<1.6時(shí)，V′<0，所以當(dāng)x＝1時(shí)，容器的容積取得最大值．答案：18.在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長(zhǎng)x為_(kāi)_______m.解析：設(shè)內(nèi)接矩形另一邊長(zhǎng)為y，則由相像三角形性質(zhì)可得eq\f(x,40)＝eq\f(40－y,40)，解得y＝40－x，所以面積S＝x(40－x)＝－x2＋40x(0<x<40)，S′＝－2x＋40.當(dāng)0<x<20時(shí)，S′>0；當(dāng)20<x<40時(shí)，S′<0；當(dāng)x＝20時(shí)，S′＝0.所以當(dāng)x＝20時(shí)，Smax＝400.答案：209．經(jīng)過(guò)多年的運(yùn)作，“雙十一”搶購(gòu)活動(dòng)已經(jīng)演化成為整個(gè)電商行業(yè)的大型集體促銷(xiāo)盛宴．為迎接2024年“雙十一”網(wǎng)購(gòu)狂歡節(jié)，某廠(chǎng)家擬投入適當(dāng)?shù)馁M(fèi)用，對(duì)網(wǎng)上所售產(chǎn)品進(jìn)行促銷(xiāo)．經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該促銷(xiāo)產(chǎn)品在“雙十一”期間的銷(xiāo)售量p萬(wàn)件與促銷(xiāo)費(fèi)用x(0≤x≤a，a為正整數(shù))萬(wàn)元滿(mǎn)意p＝3－eq\f(2,x＋1).已知生產(chǎn)該批產(chǎn)品p萬(wàn)件需投入成本(10＋2p)萬(wàn)元(不含促銷(xiāo)費(fèi)用)，產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(20,p)))元/件，假定廠(chǎng)家的生產(chǎn)實(shí)力完全能滿(mǎn)意市場(chǎng)的銷(xiāo)售需求．(1)將該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為促銷(xiāo)費(fèi)用x萬(wàn)元的函數(shù)；(2)投入促銷(xiāo)費(fèi)用多少萬(wàn)元時(shí)，廠(chǎng)家獲得的利潤(rùn)最大？解析：(1)由題意知，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(20,p)))p－x－(10＋2p)＝2p－x＋10，將p＝3－eq\f(2,x＋1)代入化簡(jiǎn)，得y＝16－eq\f(4,x＋1)－x(0≤x≤a)．(2)y′＝－1－eq\f(－4,x＋12)＝eq\f(－x＋12＋4,x＋12)＝－eq\f(x2＋2x－3,x＋12)＝－eq\f(x＋3x－1,x＋12)，若λ>1，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，y′>0，所以函數(shù)y＝16－x－eq\f(4,x＋1)在(0,1)上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1，a)時(shí)，y′<0，所以函數(shù)y＝16－x－eq\f(4,x＋1)在(1，a)上單調(diào)遞減．所以當(dāng)x＝1時(shí)，y取得極大值，也是最大值．即投入促銷(xiāo)費(fèi)用1萬(wàn)元時(shí)，廠(chǎng)家獲得利潤(rùn)最大．當(dāng)a≤1時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)y＝16－x－eq\f(4,x＋1)在(0,1)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)y＝16－x－eq\f(4,x＋1)在[0，a]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝a時(shí)，函數(shù)有最大值，即投入促銷(xiāo)費(fèi)用a萬(wàn)元時(shí)，廠(chǎng)家獲得的利潤(rùn)最大．綜上，當(dāng)a>1時(shí)，投入促銷(xiāo)費(fèi)用1萬(wàn)元時(shí)，廠(chǎng)家獲得利潤(rùn)最大；當(dāng)a≤1時(shí)，投入促銷(xiāo)費(fèi)用a萬(wàn)元時(shí)，廠(chǎng)家獲得利潤(rùn)最大．10．將一段長(zhǎng)為100cm的鐵絲截成兩段，一段彎成正方形，一段彎成圓，問(wèn)如何截才能使正方形與圓的面積之和最小？解析：設(shè)彎成圓的一段長(zhǎng)為xcm，則另一段長(zhǎng)為(100－x)cm，記正方形與圓的面積之和為S(x)cm2，則S(x)＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2π)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(100－x,4)))2(0<x<100)，S′(x)＝eq\f(x,2π)－eq\f(1,8)(100－x)．令S′(x)＝0，得x＝eq\f(100π,π＋4).當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(100π,π＋4)))時(shí)，S′(x)<0；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(100π,π＋4)，100))時(shí)，S′(x)>0.所以函數(shù)S(x)在x＝eq\f(100π,π＋4)處取得微小值，這個(gè)微小值也是函數(shù)S(x)的最小值．故當(dāng)彎成圓的一段長(zhǎng)為eq\f(100π,π＋4)cm時(shí)，正方形與圓的面積之和最小．[B組實(shí)力提升]11．某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元，已知總收益r與年產(chǎn)量x的關(guān)系是r＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2，0≤x≤400，,80000，x>400，))則總利潤(rùn)最大時(shí)，年產(chǎn)量是()A．100 B．150C．200 D．300解析：設(shè)年產(chǎn)量為x時(shí)，總利潤(rùn)為y，依題意，得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2－20000－100x，0≤x≤400，,80000－20000－100x，x>400，))即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300x－\f(1,2)x2－20000，0≤x≤400，,60000－100x，x>400，))所以y′＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300－x，0≤x≤400，,－100，x>400，))由y′＝0，得x＝300.閱歷證，當(dāng)x＝300時(shí)，總利潤(rùn)最大．答案：D12．橫梁的強(qiáng)度和它的矩形橫斷面的高的平方與寬的乘積成正比，要將直徑為d的圓木鋸成強(qiáng)度最大的橫梁，則矩形橫斷面的高和寬分別為()A.eq\r(3)d，eq\f(\r(3),3)d B.eq\f(\r(3),3)d，eq\f(\r(6),3)dC.eq\f(\r(6),3)d，eq\f(\r(3),3)d D.eq\f(\r(6),3)d，eq\r(3)d解析：如圖所示，設(shè)矩形橫斷面的寬為x，高為y，由題意知，當(dāng)xy2取最大值時(shí)，橫梁的強(qiáng)度最大．∵y2＝d2－x2，∴xy2＝x(d2－x2)(0<x<d)．令f(x)＝x(d2－x2)(0<x<d)，則f′(x)＝d2－3x2.令f′(x)＝0，解得x＝eq\f(\r(3),3)d或x＝－eq\f(\r(3),3)d(舍去)．當(dāng)0<x<eq\f(\r(3),3)d時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)eq\f(\r(3),3)d<x<d時(shí)，f′(x)<0.∴當(dāng)x＝eq\f(\r(3),3)d時(shí)，f(x)取得極大值，也是最大值．∴當(dāng)矩形橫斷面的高為eq\f(\r(6),3)d，寬為eq\f(\r(3),3)d時(shí)，橫梁的強(qiáng)度最大．答案：C13．要做一個(gè)圓錐形的漏斗，其母線(xiàn)長(zhǎng)為20cm，要使其體積最大，則高為_(kāi)_______cm.解析：設(shè)高為h，則底面半徑r＝eq\r(400－h(huán)2)，0<h<20，V＝eq\f(1,3)π·r2·h＝eq\f(1,3)π·(400－h(huán)2)·h＝eq\f(400,3)πh－eq\f(π,3)h3.由V′＝eq\f(400,3)π－πh2＝0得h2＝eq\f(400,3)，h＝eq\f(20\r(3),3)或h＝－eq\f(20\r(3),3)(舍去)，因?yàn)楫?dāng)0<h<eq\f(20\r(3),3)時(shí)，V′>0，當(dāng)h>eq\f(20\r(3),3)時(shí)，V′<0，所以當(dāng)h＝eq\f(20\r(3),3)時(shí)，V最大．答案：eq\f(20\r(3),3)14.如圖，內(nèi)接于拋物線(xiàn)y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，C，D在x軸上運(yùn)動(dòng)，則此矩形的面積的最大值是________．解析：設(shè)CD＝x，則點(diǎn)C坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，0))，點(diǎn)B坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2))，∴矩形ACBD的面積S＝f(x)＝x·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2))＝－eq\f(x3,4)＋x，x∈(0,2)．由f′(x)＝－eq\f(3,4)x2＋1＝0，得x1＝－eq\f(2\r(3),3)(舍)，x2＝eq\f(2\r(3),3)，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)))時(shí)，f′(x)>0，f(x)是遞增的，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，2))時(shí)，f′(x)<0，f(x)是遞減的，∴當(dāng)x＝eq\f(2\r(3),3)時(shí)，f(x)取最大值eq\f(4\r(3),9).答案：eq\f(4\r(3),9)15．某工廠(chǎng)共有10臺(tái)機(jī)器，生產(chǎn)一種儀器元件，由于受生產(chǎn)實(shí)力和技術(shù)水同等因素限制，會(huì)產(chǎn)生肯定數(shù)量的次品．依據(jù)閱歷知道，每臺(tái)機(jī)器產(chǎn)生的次品數(shù)P(萬(wàn)件)與每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量x(萬(wàn)件)(4≤x≤12)之間滿(mǎn)意關(guān)系：P＝0.1x2－3.2lnx＋3.已知每生產(chǎn)1萬(wàn)件合格的元件可以盈利2萬(wàn)元，但每生產(chǎn)1萬(wàn)件次品將虧損1萬(wàn)元．(利潤(rùn)＝盈利－虧損)(1)試將該工廠(chǎng)每天生產(chǎn)這種元件所獲得的利潤(rùn)y(萬(wàn)元)表示為x的函數(shù)；(2)當(dāng)每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量x(萬(wàn)件)為多少時(shí)，所獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？解析：(1)由題意得，所獲得的利潤(rùn)為y＝10[2(x－P)－P]＝20x－3x2＋96lnx－90(4≤x≤12)．(2)由(1)知，y′＝eq\f(－6x2＋20x＋96,x)＝eq\f(－23x＋8x－6,x).當(dāng)4≤x<6時(shí)，y′>0，函數(shù)在[4,6)上為增函數(shù)；當(dāng)6<x≤12時(shí)，y′<0，函數(shù)在(6,12]上為減函數(shù)，所以當(dāng)x＝6時(shí)，函數(shù)取得極大值，且為最大值，最大利潤(rùn)為y＝20×6－3×62＋96ln6－90＝96ln6－78(萬(wàn)元)．故當(dāng)每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量為6萬(wàn)件時(shí)所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為(96ln6－78)萬(wàn)元．16.某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線(xiàn)型馬路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，安排修建一條連接兩條馬路的山區(qū)邊界的直線(xiàn)型馬路，記兩條相互垂直的馬路為l1，l2，山區(qū)邊界曲線(xiàn)為C，安排修建的馬路為l，如圖所示，M，N為C的兩個(gè)端點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點(diǎn)N到l1，l2的距離分別為20千米和2.5千米，以l1，l2所在的直線(xiàn)分別為y軸，x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，假設(shè)曲線(xiàn)C符合函數(shù)y＝eq\f(a,x2＋b)(其中a，b為常數(shù))模型．(1)求a，b的值；(2)設(shè)馬路l與曲線(xiàn)C相切于P點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為t.①請(qǐng)寫(xiě)出馬路l長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f(t)，并寫(xiě)出其定義域；②當(dāng)t為何值時(shí)，馬路l的長(zhǎng)度最短？求出最短長(zhǎng)度．解析：(1)由題意知，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,40)，N點(diǎn)的坐標(biāo)為(20,2.5)，代入曲線(xiàn)C的方程y＝eq\f(a,x2＋b)，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(40＝\f(a,52＋b)，,2.5＝\f(a,202＋b).))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1000，,b＝0.))(2)①由(1)知曲線(xiàn)C的方程為y＝eq\f(1000,x2)(5≤x≤20)，y′＝－eq\f(2000,x3)，所以y′|x＝t＝－eq\f(2000,t3)即為l的斜率．又當(dāng)x＝t時(shí)，y＝eq\f(1000,t2)，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(1000,t2)))，所以l的方程為y－eq\f(1000,t2)＝－eq\f(2000,t3)