第四章數列要點一：數列的通項公式數列的通項公式一個數列的第n項與項數n之間的函數關系，如果可以用一個公式來表示，我們就把這個公式叫做這個數列的通項公式.要點詮釋：①不是每個數列都能寫出它的通項公式.如數列1，2，3，―1，4，―2，就寫不出通項公式；②有的數列雖然有通項公式，但在形式上又不一定是唯一的.如：數列―1，1，―1，1，…的通項公式可以寫成，也可以寫成；③僅僅知道一個數列的前面的有限項，無其他說明，數列是不能確定的.通項與前n項和的關系：任意數列的前n項和；要點詮釋：由前n項和求數列通項時，要分三步進行：（1）求，（2）求出當n≥2時的，（3）如果令n≥2時得出的中的n=1時有成立，則最后的通項公式可以統一寫成一個形式，否則就只能寫成分段的形式.數列的遞推式：如果已知數列的第一項或前若干項，且任一項與它的前一項或前若干項間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式，簡稱遞推式.要點詮釋：利用遞推關系表示數列時，需要有相應個數的初始值，可用湊配法、換元法等.要點二：等差數列判定一個數列為等差數列的常用方法①定義法：（常數）是等差數列；②中項公式法：是等差數列；③通項公式法：（p，q為常數）是等差數列；④前n項和公式法：（A，B為常數）是等差數列.要點詮釋：對于探索性較強的問題，則應注意從特例入手，歸納猜想一般特性.等差數列的有關性質：（1）通項公式的推廣：（2）若，則；特別，若，則（3）等差數列中，若.（4）公差為d的等差數列中，連續k項和，…組成新的等差數列.（5）等差數列，前n項和為①當n為奇數時，；；；②當n為偶數時，；；.（6）等差數列，前n項和為，則（m、n∈N*，且m≠n）.（7）等差數列中，若m+n=p+q（m、n、p、q∈N*，且m≠n，p≠q），則.（8）等差數列中，公差d，依次每k項和：，，成等差數列，新公差.等差數列前n項和的最值問題：等差數列中=1\*GB3①若a1＞0，d＜0，有最大值，可由不等式組來確定n；=2\*GB3②若a1＜0，d＞0，有最小值，可由不等式組來確定n，也可由前n項和公式來確定n.要點詮釋：等差數列的求和中的函數思想是解決最值問題的基本方法.要點三：等比數列判定一個數列是等比數列的常用方法（1）定義法：（q是不為0的常數，n∈N*）是等比數列；（2）通項公式法：（c、q均是不為0的常數n∈N*）是等比數列；（3）中項公式法：（，）是等比數列.等比數列的主要性質：（1）通項公式的推廣：（2）若，則.特別，若，則（3）等比數列中，若.（4）公比為q的等比數列中，連續k項和，…組成新的等比數列.（5）等比數列，前n項和為，當n為偶數時，.（6）等比數列中，公比為q，依次每k項和：，，…成公比為qk的等比數列.（7）若為正項等比數列，則（a＞0且a≠1）為等差數列；反之，若為等差數列，則（a＞0且a≠1）為等比數列.（8）等比數列前n項積為，則等比數列的通項公式與函數：①方程觀點：知二求一；②函數觀點：時，是關于n的指數型函數；時，是常數函數；要點詮釋：當時，若，等比數列是遞增數列；若，等比數列是遞減數列；當時，若，等比數列是遞減數列；若，等比數列是遞增數列；當時，等比數列是擺動數列；當時，等比數列是非零常數列.要點四：常見的數列求和方法公式法：如果一個數列是等差數列或者等比數列，直接用其前n項和公式求和.分組求和法：將通項拆開成等差數列和等比數列相加或相減的形式，然后分別對等差數列和等比數列求和.如：an=2n+3n.裂項相消求和法：把數列的通項拆成兩項之差，正負相消，剩下首尾若干項的方法.一般通項的分子為非零常數，分母為非常數列的等差數列的兩項積的形式.若，分子為非零常數，分母為非常數列的等差數列的兩項積的形式,則，如an=錯位相減求和法：通項為非常數列的等差數列與等比數列的對應項的積的形式：,其中是公差d≠0等差數列，是公比q≠1等比數列，如an=(2n1)2n.一般步驟：，則所以有要點詮釋：求和中觀察數列的類型，選擇合適的變形手段，注意錯位相減中變形的要點.要點五：數列應用問題數列應用問題是中學數學教學與研究的一個重要內容,解答數學應用問題的核心是建立數學模型,有關平均增長率、利率（復利）以及等值增減等實際問題，需利用數列知識建立數學模型.建立數學模型的一般方法步驟.①認真審題，準確理解題意，達到如下要求：⑴明確問題屬于哪類應用問題；⑵弄清題目中的主要已知事項；⑶明確所求的結論是什么.②抓住數量關系，聯想數學知識和數學方法，恰當引入參數變量或適當建立坐標系，將文字語言翻譯成數學語言，將數量關系用數學式子表達.③將實際問題抽象為數學問題，將已知與所求聯系起來，據題意列出滿足題意的數學關系式（如函數關系、方程、不等式）.要點詮釋：數列的建模過程是解決數列應用題的重點，要正確理解題意，恰當設出數列的基本量.要點六數學歸納法一般地，證明一個與正整數有關的命題，可按下列步驟進行：（1）歸納奠基：證明當取第一個值時命題成立；（2）歸納遞推：假設當時命題成立，證明當時命題也成立．只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從開始的所有正整數都成立．上述證明方法叫做數學歸納法，數學歸納法的框圖表示如下：歸納奠基歸納奠基歸納遞推驗證當時命題成立若當時命題成立，證明當時命題也成立命題對從開始的所有正整數都成立要點詮釋一般地，對于一些可以遞推的與正整數有關的命題，都可以用數學歸納法來證明．其常見應用類型有：（1）證明恒等式；（2）證明不等式；（3）整除性的證明；（4）探求平面幾何中的問題；（5）探求數列的通項．專題一求數列的通項公式數列的通項公式是數列的核心內容之一,它如同函數中的解析式一樣，有了解析式就可以研究函數的性質，而有了數列的通項公式便可以求出數列中的任何一項．所以求數列的通項公式往往是解題的關鍵點和突破口，常用的求數列通項公式的方法有：（1）觀察法：就是觀察數列的特征，找出各項共同的構成規律，歸納出通項公式．（2）遞推公式法：就是根據數列的遞推公式，采用迭代、疊加、累乘、轉化等方法產生與（或）的關系，得出通項公式．（3）前項和公式法：就是利用，求通項公式，這里應當注意檢驗是否符合時的形式．1．利用觀察法求通項公式例1將乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有1層，就一個球；第2,3,4，…堆最底層（第一層）分別按人頭所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第堆第層就放一個乒乓球．以表示第堆的乒乓球總數，則；（答案用表示）．解析：方法1：表示第3堆的乒乓球總數，則．設第堆的最底層有個乒乓球，則．所以．方法2．易知．由題意，知比多最底層，有個，比多最底層，有個，比多最底層，有個，……,比多最底層，有個，所以．所以由累加法可得．答案：解后反思：利用觀察法求通項公式，體現了由特殊到一般的認識事物的規律．解決這類問題一定要注意觀察項與項數的關系和相鄰項間的關系．2．公式法求通項公式等差數列與等比數列是兩種常見且重要的數列，所謂公式法就是先分析后項與前項的差或比是否符合等差數列、等比數列的定義．求通項時，只需先求出與或與，再代入等差數列通項公式或等比數列通項公式中即可．例2已知等差數列滿足：，且成等比數列．（1）求數列的通項公式；（2）記為數列的前項和，是否存在正整數，使得？若存在，求的最小值；若不存在，說明理由．分析：（1）設等差數列的公差為，利用等比數列的性質得到，并利用表示來求解公差，進而求出通項；（2）首先利用（1）的結論與等差數列的前項和公式求解，然后根據列不等式求解．解：設等差數列的公差為，依題意，知成等比數列，故，化簡，得，解得或．當時，；當時，，故數列的通項公式為或．（2）當時，，顯然，此時不存在正整數，使得成立．當時，．令，即，解得或（舍去），此時存在正整數，使得成立，的最小值為．綜上，當時，不存在滿足題意的；當時，存在滿足題意的，其最小值為．解后反思：運用公式法求數列的通項公式的關鍵是在已知數列是等差數列還是等比數列的前提下，先求出首相和公差或公比，再代入求出相應的通項公式．3．利用與的關系求通項公式如果給出條件中是與的關系式，可利用，先求出，若計算出的中，當時，也有,則可合并為一個通項公式，否則要分段表述．例3設各項均為正數的數列的前項和為，且滿足．（1）求的值；（2）求數列的通項公式．分析（1）有與的關系直接求出的值；（2）利用前項和與第項的關系求解．解：（1）當時，，所以，解得（負值舍去）．（2）由，得．又已知各項均為正數，故．當時，，當時，也滿足上式，所以．解后反思：前項和的關系式有兩種形式：一種是與的關系式，記為，可由公式直接求出，但要注意與兩種情況能否統一；另一種是與的關系式，記為，可由它求通項．4．利用累加法求通項公式對于形如形的遞推公式求通項公式，（1）當為常數時，為等差數列，則；（2）當為的函數時，用累加法，方法如下：由，得當時，，……以上個等式累加，得，所以．為了書寫方便，也可以這樣寫：因為當時，（3）已知，，其中可以是關于的一次函數、二次函數、指數函數、分式函數，求．①若是關于的一次函數，累加后可轉化為等差數列求和；②若是關于的二次函數，累加后可分組求和；③若是關于的指數函數，累加后可轉化為等比數列求和；④若是關于的分式函數，累加后可裂項求和．例4已知在數列中，，且，求數列的通項公式．分析：由于給出了數列中連續兩項的差，故可考慮用累加法求解．解：由,得，，……，．當時，以上個等式兩邊分別相加，得．即．又因為，所以．因為當時，也適合上式，所以數列的通項公式為（）．解后反思：累加法是從開始，累加到，此時，所以求出的只滿足的所有項，容易漏掉這一項的檢驗．在學習過程中，要勇氣重視以減少不必要的失分．5．利用累乘法求通項公式對于由形如型的遞推公式求通項公式．（1）當為常數時，即（其中是不為的常數），此時數列為等比數列，；（2）當為的函數時，用累乘法．由，得當時，，所以．例5如圖所示，互不相同的點和分別在角的兩條邊上，所有相互平行，且所有梯形的面積均相等．設，若，則數列的通項公式是．分析：利用梯形面積之間的關系探究出與之間的關系，累乘后即可得出通項公式．解析：令，因為所有相互平行且，所以．當時，，，，，……，，以上各式，因為，所以．答案：．解后反思：，當為常數時，則數列為等比數列，可用公式法求通項公式；當為關于的表達式時，則用累乘法求通項公式．6．利用構造法求通項公式形如轉化為（為待定系數）的形式，比較與的系數，得，所以．所以有，因此數列是首項為,公比為的等比數列，于是，所以．例6在數列中，，求的通項公式．分析：構造以為公比的等比數列求解．解：方法1：因為,①所以②①②，得令，則．所以為等比數列，公比為，首項．所以．即③由①③兩式，得．方法2：令（為常數），則，把該式與已知對應得，即．令，則數列是首相為，公比為的等比數列．所以．所以．所以．解后反思：方法1是解數列問題經常采用的方法；方法2中利用待定系數法確定常數，構造新的等比數列，進而求通項公式，該方法也是常用的解法．專題二數列前項和的求法求數列的前項和是數列運算的重要內容之一，也是歷年高考考查的熱點．對于等差數列、等比數列，可以直接利用求和公式計算，對于一些具有特殊結構的運算數列，常用倒序相加法、裂項相消法、錯位相減法等求和．1．公式法如果一個數列的每一項是由幾個獨立的項組合而成，并且各獨立項也可組成等差數列或等比數列，則該數列的前項和可考慮拆項后利用公式求解．例7已知數列的通項公式，求由其奇數項所組成的數列的前項和．分析：由，知是等比數列，所以其奇數項也成等比數列，確定其首項和公比，直接利用等比數列的前項公式求和即可．解：由，得．又因為，所以是等比數列，其公比，首項．所以的奇數項也成等比數列，公比為，首項為，所以．解后反思：若已知是等差數列或等比數列，則直接利用相應的前項和公式求解．2．倒序相加法這是推導等差數列的前項和公式時所用的方法，也就是將一個數列倒過來排列（反序），當它與原數列相加時，若有公因式可提，并且剩余項的和易于求得，則這樣的舒蕾可用倒序相加法求和．例8已知，其中，求．分析：觀察首項和末項的真數的積與第二項和倒數第二項的真數的積相同，可用倒序相加法求和．解：將和式中各項倒序排列，得將此式與原式兩邊對應相加，得．因為，所以．解后反思：對某些前后具有對稱性的數列，可以運用倒序相加法求其前項和．3．錯位相減法若數列為等差數列，數列為等比數列，由這兩個數列的對應項乘積組成的新數列為，當求該新數列的前項的和時，常常采用將的各項乘以公比，并向后錯位一項與的同次項對應相減，即可轉化為特殊數列的求和，所以這種數列求和的方法稱為錯位相減法．例9數列的前項和為，，，．（1）求；（2）求數列的前項和．分析：（1）先利用與的關系求出，再分類討論得出；（2）利用錯位相減法求前項和．解：（1）因為,所以，所以．又因為．所以是首項為1，公比為3的等比數列．所以．當時，且，所以．（2），當時，；當時，，①所以，②①②，得,所以．又因為也滿足上式，所以．解后反思：利用錯位相減法求和時，一定要注意作差后項的符號及項的變化．4．拆項（分組）求和法如果一個數列中連續分段的和具有一定的規律性，那么可考慮分組求和．分組求和實際上就是首先通過“拆”和“組”的手段把問題劃歸為等差數列或等比數列，然后由等差數列、等比數列求和公式求解．解題時要根據各組的特點，對的取值進行討論．例10設為數列的前項和，，，則（1）；（2）．分析：（1）根據建立關于的關系式，并由的關系式歸納尋找其規律后求解；（2）將遞推關系應用到中，將和式分組后求和．解析：（1）因為，所以．當為偶數時，，當為奇數時，，所以當時，．（2）當為偶數時，，當為奇數時，，可得當為奇數時，，故．答案：（1）（2）解后反思：數列求和應從通項公式入手，若無通項公式，則先求其通項公式，再通過對通項公式的變形，轉化為求等差數列或等比數列的前項和．5．并項求和法一個數列的前項和中，若可兩兩結合求解，則稱之為并項求和．形如的類型，可采用兩項合并求解．例如，．例11數列的通項公式為，求：（1）數列的前項和；（2）數列的前項和．分析：形如，運用并項求和法，先判斷相鄰兩項和的關系．，所以，即可以兩兩合并進行求解．由于的奇偶性未知，應分為奇數和為偶數兩種情況討論．解：（1）．（2）當為偶數時，．因為成等差數列，共項，所以．當為奇數時，．故．解后反思：在并項求和時，要先判斷項數的多少，由于是兩兩合并，就要知道最后一項是奇數項還是偶數項，若不確定，則需分類討論．6．裂項相消法對于裂項后明顯有能夠相消的項的一類數列，在求和時常用“裂項法”，分式的求和多利用此法．可用待定系數法對通項公式進行裂項，相消時應注意消去項的規律，即消去哪些項，保留哪些項．常見的裂項公式有：①；②若為等差數列，公差為，則；③等．例12求數列的前項和．分析：先求出通項公式，對通項公式化簡后，再分成兩項的差，使用裂項相消法求和．解：數列的通項公式，則．解后反思：（1）裂項原則：直到發現被消去項的規律為止；（2）消項規律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊剩倒數第幾項．專題三數列的綜合應用數列（特別是等差數列與等比數列）涉及的內容多、聯系多、綜合性強，在處理與數列有關的綜合問題是，一定要靈活應用數列的基本知識與方法．數列始終處在知識的交匯點上，常與函數、方程、不等式等其他知識交匯進行命題．例13以數列的任意相鄰兩項為橫坐標、縱坐標的點均在一次函數的圖像上，數列．（1）求證：數列是等比數列；（2）設數列的前項和分別為，若，求的值．分析：本題考查等比數列與函數的知識．先由在一次函數上，結合，求出與的關系，再求出及其關系，最后利用求出的值．（1）證明：由題意，知，所以，所以