熱點61等差數列的通項及前n項和8大題型主要考查等差數列的基本量計算和基本性質、等差數列的中項性質、判定與證明，這是高考熱點；等差數列的求和及綜合應用是高考考查的重點。這部分內容難度以中、低檔題為主，結合等比數列一般設置一道選擇題和一道解答題。一、判斷等差數列的方法1、定義法：（常數）是等差數列；2、等差中項法：是等差數列；3、通項公式法：（，為常數）是等差數列。4、前n項和法：（，為常數）是等差數列。其中前兩種方法適用于解答題中的證明問題；后來兩種方法適用于選擇填空的判斷問題。二、等差數列的前n項和常用的性質1、設等差數列的公差為，為其前n項和，等差數列的依次項之和，，，…組成公差為的等差數列；2、數列是等差數列?(a，b為常數)?數列為等差數列，公差為；3、若S奇表示奇數項的和，表示偶數項的和，公差為d；①當項數為偶數時，，，；②當項數為奇數時，，，.4、在等差數列，中，它們的前項和分別記為則三、求等差數列的前n項和的最值的方法1、二次函數法：將配方，若，則從二次函數的角度看：當時，有最小值；當時，有最大值；當n取最接近對稱軸的正整數時，取到最值．2、鄰項變號法：當，時，滿足的項數n使取最大值；當，時，滿足的項數n使取最小值。3、不等式組法：借助當最大時，有，解此不等式組確定的范圍，進而確定的值和對應的值（即最大值），類似可求的最小值。【題型1等差數列的基本量計算】【例1】（2023·四川南充·四川省南充高級中學校考模擬預測）已知等差數列的前項和為，若且，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設等差數列的公差為，由等差數列的求和公式可得，所以，，所以，，解得，因此，.故選：D.【變式11】（2023春·江蘇南通·高三校考開學考試）已知等差數列的前n項和為，若數列滿足：對任意的，都有，且，則（）A．20B．39C．63D．81【答案】B【解析】設等差數列的首項為，公差為，則，因為，所以，因為，所以，則，解得：，所以，那么.故選：B【變式12】（2023秋·上海閔行·高三上海市七寶中學校考期末）已知公差小于零的等差數列的前項和為，且，則使成立的最大正整數為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設等差數列的首項為，公差為，則由，得，解得，所以等差數列的前項和為，因為，，所以，解得，又，所以使成立的最大正整數為.故選：D.【變式13】（2023·四川南充·四川省南部中學校考模擬預測）設為等差數列的前項和，，則（）A．B．C．D．2【答案】C【解析】設等差數列的公差為，由，得，解得，所以.故選：C.【變式14】（2023·河南鄭州·統考一模）設等差數列的前項和為，，，則公差的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】方法1：∵為等差數列，，∴，；方法2：∵為等差數列，，∴，∴.故選：A.【題型2等差中項及應用應用】【例2】（2023·全國·校聯考模擬預測）記等差數列的前項和為，若，則（）A．4B．8C．12D．16【答案】C【解析】根據數列為等差數列，則，所以，所以，故選：C.【變式21】（2022秋·北京·高三北京交通大學附屬中學校考階段練習）已知數列滿足，則等于（）A．6B．7C．8D．9【答案】B【解析】∵，∴是等差數列．由等差數列的性質可得，，∴，，∴．故選：B．【變式22】（2023·四川南充·四川省南充高級中學校考模擬預測）已知等差數列的前項和為，若且，則（）A．25B．45C．55D．65【答案】D【解析】由等差數列的前項和為，所以為等差數列，設其公差為，由，知，所以，所以，所以，故選：D．【變式23】（2022·四川遂寧·射洪中學校考模擬預測）設數列是等差數列，是數列的前n項和，，，則等于（）A．10B．15C．20D．25【答案】B【解析】因數列是等差數列，由等差數列的性質知：，而，則，等差數列公差，首項，則.故選：B.【變式24】（2022秋·江西宜春·高三江西省豐城中學校聯考階段練習）已知是等差數列的前項和，若，則（）A．2B．3C．4D．6【答案】B【解析】由題意，，解得，設等差數列的公差為，則.故選：B.【變式25】（2022秋·山東濟寧·高三統考期末）等差數列的前項和為，若，則__________.【答案】【解析】由題設，則，，則，若公差為，則，故，故.故答案為：【題型3等差數列的判定與證明】【例3】（2023·廣東深圳·統考一模）記，為數列的前n項和，已知，．（1）求，并證明是等差數列；（2）求．【答案】（1），證明見解析；（2）【解析】（1）已知，當時，，；當時，，，所以．因為①，所以②．②－①得，，整理得，，所以（常數），，所以是首項為6，公差為4的等差數列．（2）由（1）知，，，．當n為偶數時，；當n為奇數時，．綜上所述，.【變式31】（2023秋·河北邢臺·高三統考期末）已知數列{}滿足，.（1）記，證明{}為等差數列，并求{}的通項公式；（2）求{}的前2n項和.【答案】（1）證明見解析，；（2）3n2【解析】（1）由題知則所以，即故{}為等差數列又，所以（2）因為…….....所以=3n2【變式32】（2023秋·江蘇揚州·高三校聯考期末）已知數列的首項，且滿足．（1）求證：數列為等差數列；（2）若，求數列前n項和．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）為常數∴是以為公差的等差數列．（2）∵，∴由（1）得，∴，∴，∴.【變式33】（2022秋·福建寧德·高三校考期末）已知為數列的前項積，且.（1）證明：數列是等差數列；（2）記，求數列的前項和.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）為數列的前項積，當時，，，等式兩邊同時乘以可得，即，又當時，，得，所以數列是以為首項，為公差的等差數列；（2）由（1）得，，．【題型4由Sn與an關系求通項】【例4】（2023秋·安徽合肥·高三校考期末）已知數列的前n項和為，，，則（）A．414B．406C．403D．393【答案】B【解析】由，兩式相減得，即.再由，兩式相減得，由，得，故為以14為首項，8為公差的等差數列，故，故.故選：B【變式41】（2022秋·江西撫州·高三金溪一中校考階段練習）已知數列的前n項和為，且成等差數列，若，則使得，同時成立的k的值為_______．【答案】7【解析】，即，又成等差數列，即，故數列是公差為1的等差數列，則，解得，．故答案為：7.【變式42】（2022秋·內蒙古呼和浩特·高三呼市二中校考階段練習）若是等差數列，首項，則使前項和成立的最大正整數是__________.【答案】4035【解析】是等差數列，首項，，公差，,而，則使前項和成立的最大整數是4035故答案為：4035.【變式43】（2023·全國·高三專題練習）已知數列的前項和為，且，數列滿足，且.求數列和的通項公式；【答案】，；【解析】當時，，當時，，因為符合，所以.因為,所以,又，所以，所以，所以數列是首項為3，公比為3的等比數列.所以.所以.【變式44】（2022·全國·高三專題練習）已知數列的前項和為，若，（1）求數列的通項公式；（2）證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）當時，相減得當時，符合上式所以.當時，當時，符合上式.故（2）由（1）知：所以【題型5等差數列前n項和的性質】【例5】（2022秋·北京·高三中關村中學校考階段練習）記為等差數列的前項和，若，，則（）A．36B．45C．63D．75【答案】B【解析】因為為等差數列的前項和，所以成等差數列，即成等差數列，所以，解得，故選：B.【變式51】（2023·全國·高三專題練習）已知Sn是等差數列{an}的前n項和，若a1＝﹣2018，，則S2020等于（）A．﹣4040B．﹣2020C．2020D．4040【答案】C【解析】∵Sn是等差數列{an}的前n項和，∴數列{}是等差數列．∵a1＝﹣2018，，∴數列{}的公差d，首項為﹣2018，∴2018+2019×1＝1，∴S2020＝2020．故選：C．【變式52】（2022·河南新鄉·統考一模）設等差數列，的前項和分別為，，若，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，為等差數列，所以，，所以，故選：D【變式53】（2023·全國·高三專題練習）設等差數列的項數為奇數，則其奇數項之和與偶數項之和的比為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題知，奇數項有項，偶數項有項，奇數項之和為，偶數項之和為，所以奇數項之和與偶數項之和的比為，故選：D【變式54】（2022·全國·高三專題練習）一個等差數列共有2n項，奇數項的和與偶數項的和分別為24和30，且末項比首項大10.5，則該數列的項數是（）A．4B．8C．12D．20【答案】B【解析】根據等差數列的性質得：，，解得：，故該數列的項數為.故選：B【題型6等差數列前n項和的函數特征】【例6】（2023·全國·高三專題練習）設等差數列的前項和為，且，，則當（）時，最大.A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，所以，即，因為，所以，即，根據等差數列性質，因為，即，又因為，即；所以得且，所以等差數列為遞減的數列，所以當時，最大.故選：B.【變式61】（2023·江西撫州·高三金溪一中校考開學考試）已知數列是等差數列，且滿足，則數列的前項和的最大值為（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】設等差數列的公差為d，由，得，解得，所以，當時，，當時，，所以當或4時，數列的前項和有最大值，最大值為，故選：C.【變式62】（2022·全國·校聯考模擬預測）設為等差數列的前項和，且，都有.若，則（）A．的最小值是B．的最小值是C．的最大值是D．的最大值是【答案】A【解析】由得：，即，數列為遞增的等差數列，，，，當且時，；當且時，；有最小值，最小值為.故選：A.【變式63】（2023·全國·高三專題練習）（多選）數列的通項為，它的前項和為，前項積為，則下列說法正確的是（）A．數列是遞減數列B．當或者時，有最大值C．當或者時，有最大值D．和都沒有最小值【答案】ABC【解析】因為數列的通項為，則，所以數列是以為首項，以為公差的等差數列，因為公差，所以數列是遞減數列，故選項正確；因為，當時，；當時，，因為，所以當或者時，有最大值，故選項正確；由可知：，，，所以當或者時，有最大值，故選項正確；根據數列前30項為正數，從第31項開始為負數可知：無最小值，因為，當時，，但零乘任何數仍得零，所以有最小值，故選項錯誤，故選：.【變式64】（2023秋·江蘇南通·高三統考期末）（多選）已知等差數列中，當且僅當時，僅得最大值.記數列的前k項和為，（）A．若，則當且僅當時，取得最大值B．若，則當且僅當時，取得最大值C．若，則當且僅當時，取得最大值D．若，，則當或14時，取得最大值【答案】BD【解析】由等差數列前n項和有最大值，所以數列為遞減數列，對于A，且時取最大值，設，則，當時，；時，；時，，所以或14時，前k項和取最大值，A項錯誤；對于B，當且僅當時取最大值，則時，，時，.，則，，，，前14項和最大，B項正確；對于C，，則，同理，，前13項和最大，C項錯誤；對于D，，，得，由題等差數列在時，，時，，所以，，所以或14時，前k項和取最大值，D項正確；故選：BD.【題型7含絕對值的等差數列前n項和】【例7】（2022秋·山西·高三校聯考階段練習）已知數列的前項和為，且.（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足，設，求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，得，兩式相減，得，所以，即.又因為時，，所以，因為，所以數列是首項為，公比為的等比數列.所以.（2）由（1）得，.當時，，當時，綜上，【變式71】（2022·四川遂寧·統考一模）已知等差數列滿足．（1）求的通項公式；（2）求數列的前n項和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）設等差數列的公差為d，由題意可得，解得，故．（2）設數列的前n項和為，則．當時，；當時，，則．綜上，.【變式72】（2022秋·廣東中山·高三小欖中學校考階段練習）已知等差數列的前項和為，，.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前20項和.【答案】（1）；（2）456【解析】（1）設等差數列的公差為，∴，解得，∴.（2）由（1）知：，則，得，又，∴時，，而，，∴數列的前項和，而，，∴，故，即456.【變式73】（2023秋·重慶·高三統考階段練習）已知等差數列的前n項和為，公差，且滿足成等比數列．（1）求；（2）求數列的前30項和．【答案】（1）；（2）1362【解析】（1）由題意可得：，解得或（舍）故.（2）由（1）可知：，設數列的前項和為，易知當時，，，所以，當時，，，，所以.【變式74】（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，所以當時，；當時，，故，則；經檢驗：滿足，所以.（2）由（1）知，令，得，故當時，，；當時，，易知，，，，所以；綜上：.【題型8等差數列的簡單應用】【例8】（2023·新疆烏魯木齊·統考一模）中國古代數學名著《算法統宗》中有一道題：“今有七人差等均錢，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，問乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚這七個人，所分到的錢數成等差數列，甲、乙兩人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，問乙、丁兩人各分到多少文錢？則下列說法正確的是（）A．乙分到37文，丁分到31文B．乙分到40文，丁分到34文C．乙分到31文，丁分到37文D．乙分到34文，丁分到40文【答案】A【解析】依題意，設甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢數分別為，，，，，，，則，解得，所以乙分得（文），丁分得（文），故選：A.【變式81】（2023·四川綿陽·綿陽中學校考模擬預測）《張丘建算經》是我國南北朝時期的一部重要數學著作，書中系統地介紹了等差數列，同類結果在三百年后在印度才首次出現，卷中記載“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月日織九匹三丈”，其意思為：“現有一善于織布的女子，從第二天開始，每天比前一天多織相同量的布，第一天織了5尺布，現在一個月（30天）共織390尺布”，假如該女子1號開始織布，則這個月中旬（第11天到第20天）的織布量為（）A．26B．130C．D．156【答案】B【解析】設第天的織布量為,根據題意得：該女子每天的織布量構成等差數列,該等差數列的前30項和為390，首項，設公差為d，所以，解得，所以．所以這個月中旬（第11天到第20天）的織布量為130.故選:B【變式82】（2023秋·山東濰坊·高三統考期末）宋代制酒業很發達，為了存儲方便，酒缸是要一層一層堆起來的，形成堆垛，用簡便的方法算出堆垛中酒缸的總數，古代稱之為堆垛術.有這么一道關于“堆垛”求和的問題：將半徑相等的圓球堆成一個三角垛，底層是每邊為個圓球的三角形，向上逐層每邊減少一個圓球，頂層為一個圓球，我們發現，當，2，3，4時，圓球總個數分別為1，4，10，20，則時，圓球總個數為（）A．30B．35C．40D．45【答案】B【解析】當，2，3，4時，圓球總個數分別為1，4，10，20，所以當4時，每層圓球的個數分別為1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，可得，時，底層有，故一共有個球.故選：B【變式83】（2023·全國·高三專題練習）1934年，東印度（今孟加拉國）學者森德拉姆（Sundaram）發現了“正方形篩子如下圖，則其第10行第11列的數為（）A．220B．241C．262D．264【答案】B【解析】記為第行第列所代表的數字，則，.故選：B.【變式84】（2023·全國·高三專題練習）一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時期的實心塔群，共分十二階梯式平臺，自上而下一共12層，每層的塔數均不少于上一層的塔數，總計108座．已知其中10層的塔數成公差不為零的等差數列，剩下兩層的塔數之和為8，則第11層的塔數為（）A．17B．18C．19D．20【答案】A【解析】設成為等差數列的其中10層的塔數為：，由已知得，該等差數列為遞增數列，因為剩下兩層的塔數之和為8，故剩下兩層中的任一層，都不可能是第十二層，所以，第十二層塔數必為；故，①；又由②，，且，所以，①+②得，，得，由知，又因為觀察答案，當且僅當時，滿足條件，所以，；組成等差數列的塔數為：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19；剩下兩層的塔數之和為8，只能為2，6.所以，十二層的塔數，從上到下，可以如下排列：1，2，3，5，6，7，9，11，13，15，17，19；其中第二層的2和第五層的6不組成等差數列，滿足題意，則第11層的塔數為17.故答案選：A【變式85】（2022秋·江蘇南通·高三統考期中）（多選）在我國古代著名的數學專著《九章算術》里有一段敘述：今有良馬與駑馬發長安至齊，齊去長安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復還迎駑馬，二馬相逢.則（）A．駑馬第七日行九十四里B．第七日良馬先至齊C．第八日二馬相逢D．二馬相逢時良馬行一千三百九十五里【答案】AD【解析】由題意可知，兩馬日行里數都成等差數列;記數列為良馬的日行里數，其中首項公差所以數列的通項公式為記數列為駑馬的日行里數，其中首項公差所以數列的通項公式為因此，對于A，駑馬第七日行里數為，即駑馬第七日行九十四里；故A正確；第七日良馬行走總里程為，而齊去長安一千一百二十五里，因為，所以第七日良馬未至齊；所以B錯誤；設第日兩馬相逢，由題意可知兩馬行走的總里數是齊去長安距離的兩倍，即，解得或（舍），即第九日二馬相逢；故C錯誤；由C可知，第九日二馬相逢，此時良馬共行走了，所以，二馬相逢時良馬行一千三百九十五里，所以D正確；故選：AD.（建議用時：60分鐘）1．（2023春·北京海淀·高三人大附中校考開學考試）已知為等差數列，其前項和為，若，，，則（）A．6B．7C．8D．9【答案】C【解析】∵，，∴，∵，解得：.故選：.2．（2023·山西臨汾·統考一模）1682年，英國天文學家哈雷發現一顆大彗星的運行曲線和1531年?1607年的彗星驚人地相似.他大膽斷定，這是同一天體的三次出現，并預?它將于76年后再度回歸.這就是著名的哈雷彗星，它的回歸周期大約是76年.請你預測它在本世紀回歸的年份（）A．2042B．2062C．2082D．2092【答案】B【解析】由題意，可將哈雷彗星的回歸時間構造成一個首項是1682，公差為76的等差數列，則等差數列的通項公式為，∴，.∴可預測哈雷彗星在本世紀回歸的年份為2062年.故選：B.3．（2023春·江蘇揚州·高三統考開學考試）已知數列滿足則其前9項和等于（）A．150B．180C．300D．360【答案】B【解析】因為所以所以其前9項和等于，故選:B.4．（2022秋·上海靜安·高三上海市回民中學校考期中）已知數列中，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】數列中，前項和，時，，時，，時，也滿足，∴，則有，∴數列中是首項為1公差為4的等差數列，則數列中是首項為1公差為8的等差數列，其前項和.5．（2023·全國·高三專題練習）已知兩個等差數列和的前n項和分別為Sn和Tn，且=，則的值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為=，所以可設，，，所以，，所以，故選：A.6．（2022·全國·高三專題練習）已知等差數列的公差為4，項數為偶數，所有奇數項的和為15，所有偶數項的和為55，則這個數列的項數為A．10B．20C．30D．40【答案】B【解析】設等差數列的公差為，項數為，前項和為，則，即這個數列的項數為20，故選擇B.7．（2022·全國·高三專題練習）已知等差數列的前項和為，且，，則（）A．15B．23C．28D．30【答案】D【解析】由等差數列片段和的性質：成等差數列，∴，可得，同理可得，∴，可得.故選：D8．（2022秋·河北唐山·高三開灤第二中學校考期中）已知等差數列的前項和為，若，則下列結論正確的是（）A．B．C．數列是遞增數列D．【答案】B【解析】因為，所以，故A錯誤；由等差數列，可得，所以，即，故B正確；因為，所以，所以等差數列的公差，所以數列是遞減數列，故C錯誤；因為，所以，故D錯誤.故選：B.9．（2023秋·山東濟南·高三統考期中）（多選）已知等差數列，前項和為，則下列結論正確的是（）A．B．的最大值為C．的最小值為D．【答案】ACD【解析】對于A,數列為等差數列，，數列為遞減的等差數列，故A正確，對于B,數列為遞減的等差數列，的最大值為，故B錯，對于C,由得的最小值為,即，故C正確，對于D,