2020-2024年五年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題14導數（真題3個考點精準練+精選模擬練）5年考情考題示例考點分析2024年秋考21題基本不等式、極值、最值、導數的應用2023春考21題導數的綜合應用2022秋考18題2022春考12題抽象函數的性質應用極限及其運算一．極限及其運算（共1小題）1．（2022?上海）已知函數為定義域為的奇函數，其圖像關于對稱，且當，時，，若將方程的正實數根從小到大依次記為，，，，，則．二．利用導數研究函數的單調性（共1小題）2．（2024?上海）對于一個函數和一個點，定義，若存在，，使是的最小值，則稱點是函數到點的“最近點”．（1）對于，求證：對于點，存在點，使得點是到點的“最近點”；（2）對于，，請判斷是否存在一個點，它是到點的“最近點”，且直線與在點處的切線垂直；（3）已知存在導函數，函數恒大于零，對于點，，點，，若對任意，存在點同時是到點與點的“最近點”，試判斷的單調性．三．利用導數研究函數的最值（共1小題）3．（2023?上海）已知函數，（其中，，，若任意，均有，則稱函數是函數的“控制函數”，且對所有滿足條件的函數在處取得的最小值記為．（1）若，，試判斷函數是否為函數的“控制函數”，并說明理由；（2）若，曲線在處的切線為直線，證明：函數為函數的“控制函數”，并求的值；（3）若曲線在，處的切線過點，且，，證明：當且僅當或時，（c）（c）．一．選擇題（共9小題）1．（2024?徐匯區校級模擬）現有一球形氣球，在吹氣球時，氣球的體積（單位：與直徑（單位：的關系式為，當時，氣球體積的瞬時變化率為A． B． C． D．2．（2024?浦東新區校級模擬）已知函數和在區間，上的圖象如圖所示，那么下列說法正確的是A．在到之間的平均變化率大于在到之間的平均變化率 B．在到之間的平均變化率小于在到之間的平均變化率 C．對于任意，函數在處的瞬時變化率總大于函數在處的瞬時變化率 D．存在，使得函數在處的瞬時變化率小于函數在處的瞬時變化率3．（2024?閔行區校級三模）計算：A．0 B． C． D．4．（2024?浦東新區校級四模）下列各式中正確的是A． B． C． D．5．（2024?青浦區二模）如圖，已知直線與函數，的圖像相切于兩點，則函數有A．2個極大值點，1個極小值點 B．3個極大值點，2個極小值點 C．2個極大值點，無極小值點 D．3個極大值點，無極小值點6．（2024?金山區二模）設，有如下兩個命題：①函數的圖像與圓有且只有兩個公共點；②存在唯一的正方形，其四個頂點都在函數的圖像上．則下列說法正確的是A．①正確，②正確 B．①正確，②不正確 C．①不正確，②正確 D．①不正確，②不正確7．（2024?閔行區校級模擬）已知函數的定義域為，則下列條件中，能推出1一定不是的極小值點的為A．存在無窮多個，滿足（1） B．對任意有理數，，，均有（1） C．函數在區間上為嚴格減函數，在區間上為嚴格增函數 D．函數在區間上為嚴格增函數，在區間上為嚴格減函數8．（2024?閔行區校級三模）已知函數的圖像在，，，兩個不同點處的切線相互平行，則下面等式可能成立的是A． B． C． D．9．（2024?閔行區校級二模）已知是上的單調遞增函數，，不等式恒成立，則的取值范圍是A． B． C． D．二．填空題（共22小題）10．（2024?嘉定區二模）已知曲線上有一點，則過點的切線的斜率為11．（2024?靜安區二模）已知物體的位移（單位：與時間（單位：滿足函數關系，則在時間段內，物體的瞬時速度為的時刻（單位：．12．（2024?浦東新區校級模擬）某酒杯上半部分的形狀為倒立的圓錐，杯深，上口寬，若以的勻速往杯中注水，當時間為時，酒杯中水升高的瞬時變化率是．13．（2024?青浦區二模）如圖，某酒杯上半部分的形狀為倒立的圓錐，杯深，上口寬，若以的勻速往杯中注水，當水深為時，酒杯中水升高的瞬時變化率．14．（2024?徐匯區校級模擬）已知函數，則（1）．15．（2024?寶山區三模）若直線與曲線相切，則實數的值為．16．（2024?普陀區校級三模）曲線在點，處的切線方程是．17．（2024?浦東新區校級三模）設曲線和曲線在它們的公共點處有相同的切線，則的值為．18．（2024?黃浦區校級三模）（文曲線在點處的切線傾斜角為．19．（2024?金山區二模）設，若為奇函數，則曲線在點處的切線方程為．20．（2024?虹口區二模）已知關于的不等式對任意均成立，則實數的取值范圍為．21．（2024?閔行區校級三模）中國古代建筑的主要受力構件是梁，其截面的基本形式是矩形．如圖，將一根截面為圓形的木材加工制成截面為矩形的梁，設與承載重力的方向垂直的寬度為，與承載重力的方向平行的高度為，記矩形截面抵抗矩．根據力學原理，截面抵抗矩越大，梁的抗彎曲能力越強，則寬與高的最佳之比應為．22．（2024?徐匯區模擬）如圖，兩條足夠長且互相垂直的軌道、相交于點，一根長度為8的直桿的兩端點、分別在、上滑動、兩點不與點重合，軌道與直桿的寬度等因素均可忽略不計），直桿上的點滿足，則面積的取值范圍是．23．（2024?黃浦區校級三模）函數的表達式為，如果（a）（b）（c）且，則的取值范圍為．24．（2024?徐匯區模擬）已知函數在處有極值0，則．25．（2024?閔行區校級二模）已知函數，，如果對任意的，都有成立，則實數的取值范圍是．26．（2024?楊浦區校級三模）若函數在上存在最小值，則實數的取值范圍是．27．（2024?浦東新區校級三模）已知函數在上無極值，則的取值范圍是．28．（2024?黃浦區校級三模）已知，，若（a）（b），且的最小值為3，則實數的值為．29．（2024?黃浦區校級模擬）設函數，若對任意，皆有成立，則實數的取值范圍是．30．（2024?浦東新區校級模擬）設函數，，若有且僅有兩個整數滿足，則實數的取值范圍為．31．（2024?浦東新區校級模擬）若函數的圖象上存在不同的兩點，使得函數的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱函數具有性質．若函數具有性質，其中，，為實數，且滿足，則實數的取值范圍是．三．解答題（共25小題）32．（2024?閔行區三模）已知函數．（其中為常數）．（1）若，求曲線在點，（2）處的切線方程；（2）當時，求函數的最小值；（3）當時，試討論函數的零點個數，并說明理由．33．（2024?靜安區二模）已知，記且．（1）當是自然對數的底）時，試討論函數的單調性和最值；（2）試討論函數的奇偶性；（3）拓展與探究：①當在什么范圍取值時，函數的圖像在軸上存在對稱中心？請說明理由；②請提出函數的一個新性質，并用數學符號語言表達出來．（不必證明）34．（2024?嘉定區二模）已知常數，設．（1）若，求函數的最小值；（2）是否存在，且、、依次成等比數列，使得、、依次成等差數列？請說明理由．（3）求證：“”是“對任意，，，都有”的充要條件．35．（2024?奉賢區三模）若定義在上的函數和分別存在導函數和．且對任意均有，則稱函數是函數的“導控函數”．我們將滿足方程的稱為“導控點”．（1）試問函數是否為函數的“導控函數”？（2）若函數是函數的“導控函數”，且函數是函數的“導控函數”，求出所有的“導控點”；（3）若，函數為偶函數，函數是函數的“導控函數”，求證：“”的充要條件是“存在常數使得恒成立”．36．（2024?崇明區二模）已知．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數存在兩個不同的極值點，，求證：；（3）若，，數列滿足，．求證：當時，．37．（2024?黃浦區校級三模）已知，，是自然對數的底數．（1）當時，求函數的極值；（2）若關于的方程有兩個不等實根，求的取值范圍；（3）當時，若滿足，求證：．38．（2024?浦東新區校級四模）已知函數．（1）當時，求函數的單調區間；（2）若恒成立，求的取值范圍；（3）求證：．39．（2024?浦東新區校級模擬）已知，其中．（1）若曲線在點，（2）處的切線與直線垂直，求的值；（2）設，函數在時取到最小值，求關于的表達式，并求的最大值；（3）當時，設，數列滿足，且，證明：．40．（2024?閔行區校級二模）已知函數．（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）當時，證明：有且只有一個零點；（3）求函數在，上的最小值．41．（2024?徐匯區校級模擬）已知函數，，令．（1）當時，求函數在處的切線方程；（2）當為正數且時，，求的最小值；（3）若對一切都成立，求的取值范圍．42．（2024?寶山區三模）定義：若函數圖象上恰好存在相異的兩點，滿足曲線在和處的切線重合，則稱，為曲線的“雙重切點”，直線為曲線的“雙重切線”．（1）直線是否為曲線的“雙重切線”，請說明理由；（2）已知函數求曲線的“雙重切線”的方程；（3）已知函數，直線為曲線的“雙重切線”，記直線的斜率所有可能的取值為，，，若，4，5，，，證明：．43．（2024?黃浦區二模）若函數的圖像上的兩個不同點處的切線互相重合，則稱該切線為函數的圖像的“自公切線”，稱這兩點為函數的圖像的一對“同切點”．（1）分別判斷函數與的圖像是否存在“自公切線”，并說明理由；（2）若，求證：函數有唯一零點且該函數的圖像不存在“自公切線”；（3）設，的零點為，，求證：“存在，使得點與是函數的圖像的一對‘同切點’”的充要條件是“是數列中的項”．44．（2024?浦東新區校級模擬）設函數的定義域為開區間，若存在，使得在處的切線與的圖像只有唯一的公共點，則稱為“函數”，切線為一條“切線”．（1）判斷是否是函數的一條“切線”，并說明理由；（2）設，求證：存在無窮多條“切線”；（3）設，求證：對任意實數和正數，都是“函數”．45．（2024?黃浦區校級三模）設是坐標平面上的一點，曲線是函數的圖像．若過點恰能作曲線的條切線，則稱是函數的“度點”．（1）判斷點與點是否為函數的1度點，不需要說明理由；（2）已知，．證明：點是的0度點；（3）求函數的全體2度點構成的集合．46．（2024?閔行區校級三模）已知函數，．（1）判斷函數的奇偶性；（2）若函數在處有極值，且關于的方程有3個不同的實根，求實數的取值范圍；（3）記是自然對數的底數）．若對任意、，且時，均有成立，求實數的取值范圍．47．（2024?黃浦區校級三模）已知函數，，．（1）（1），（1），求實數，的值；（2）若，，且不等式對任意恒成立，求的取值范圍；（3）設，試利用結論，證明：若，，，，其中，，則．48．（2024?青浦區校級模擬）已知函數，其中為實數．（1）若是定義域上的單調函數，求實數的取值范圍；（2）若函數有兩個不同的零點，求實數的取值范圍；（3）記，若，為的兩個駐點，當在區間上變化時，求的取值范圍．49．（2024?松江區校級模擬）已知函數的圖像在處的切線與直線平行．（1）求實數的值；（2）若關于的方程在，上有兩個不相等的實數根，求實數的取值范圍．（3）是否存在正整數，使得滿足，的無窮數列是存在的，如果存在，求出所有的正整數的值，如果不存在，說明理由．50．（2024?浦東新區校級模擬）設函數，．（1）當時，求函數的單調區間；（2）當時，曲線與有兩條公切線，求實數的取值范圍；（3）若對，恒成立，求實數的取值范圍．51．（2024?浦東新區校級模擬）設定義域為的函數在上可導，導函數為．若區間及實數滿足：對任意成立，則稱函數為上的“函數”．（1）判斷是否為上的（1）函數，說明理由；（2）若實數滿足：為上的函數，求的取值范圍；（3）已知函數存在最大值．對于：：對任意，與恒成立，：對任意正整數，都是上的函數，問：是否為的充分條件？是否為的必要條件？證明你的結論．52．（2024?楊浦區校級三模）設函數（其中為非零常數，是自然對數的底），記．（1）求對任意實數，都有成立的最小整數的值；（2）設函數，若對任意，，存在極值點，求證：點在一定直線上，并求該定直線方程；（3）是否存在正整數和實數，使，且對任意的正整數，至多有一個極值點，若存在，求出所有滿足條件的和，若不存在，說明理由．53．（2024?普陀區模擬）對于函數，和，，設，若，，且，皆有成立，則稱函數與“具有性質”．（1）判斷函數，，與是否“具有性質（2）”，并說明理由；（2）若函數，，與“具有性質”，求的取值范圍；（3）若函數與“具有性質（1）”，且函數在區間上存在兩個零點，，求證．54．（2024?松江區二模）已知函數為常數），記．（1）若函數在處的切線過原點，求實數的值；（2）對于正實數，求證：；（3