2020-2024年五年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題08計數原理、概率及統計考點五年考情（2020-2024）命題趨勢考點1計數原理（5年幾考）2024：二項式定理指定項系數；2023：二項式定理指定項系數；2022：奇數項與偶數項系數和；2021：二項式定理指定項系數；2020：二項式定理指定項系數；該部分內容主要以探索創新情境與生活實踐情境為載體，重在考查考生的邏輯思維能力及對事件進行分析、分解和轉化的能力;該部分考查的必備知識在選擇題和填空題中常常考查排列組合、二項式定理、抽樣方法、古典概型、用樣本估計總體等,解答題則以利用排列組合考查離散型隨機變量的分布列、均值、方差、二項分布和正態分布等問題為主,注重概率和其他知識的綜合考查.重點考查知識的應用性與基礎性,考查的關鍵能力主要是邏輯思維能力、數學建模能力、創新能力;考查的學科素養主要為理性思維、數學應用和數學探索。考點2概率（5年幾考）2024：用頻率估計概率；離散型隨機變量的均值；2023：古典概型的概率；獨立事件的乘法公式；2022：頻率分布表解決概率；離散型隨機變量的均值；2021：二項分布求分布列；2020：離散型隨機變量分布列及均值；考點3統計（5年幾考）2022：折線統計圖考點01計數原理1．（2023·北京·高考真題）在的展開式中，x的系數為（

）A． B．40 C． D．802．（2024·北京·高考真題）在的展開式中，的系數為（

）A． B． C． D．3．（2022·北京·高考真題）若，則（

）A．40 B．41 C． D．4．（2020·北京·高考真題）在的展開式中，的系數為（

）．A． B．5 C． D．105．（2021·北京·高考真題）在的展開式中，常數項為．考點02概率6．（2024·北京·高考真題）某保險公司為了了解該公司某種保險產品的索賠情況，從合同險期限屆滿的保單中隨機抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數據如下表：賠償次數01234單數假設：一份保單的保費為0.4萬元；前3次索賠時，保險公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時，保險公司賠償0.6萬元.假設不同保單的索賠次數相互獨立.用頻率估計概率.(1)估計一份保單索賠次數不少于2的概率；(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差.（i）記為一份保單的毛利潤，估計的數學期望；（ⅱ）如果無索賠的保單的保費減少，有索賠的保單的保費增加，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數學期望估計值與（i）中估計值的大小．（結論不要求證明）7．（2023·北京·高考真題）為研究某種農產品價格變化的規律，收集得到了該農產品連續40天的價格變化數據，如下表所示．在描述價格變化時，用“+”表示“上漲”，即當天價格比前一天價格高；用“-”表示“下跌”，即當天價格比前一天價格低；用“0”表示“不變”，即當天價格與前一天價格相同．時段價格變化第1天到第20天-++0++0+0--+-+00+第21天到第40天0++0++0+0++0-+用頻率估計概率．(1)試估計該農產品價格“上漲”的概率；(2)假設該農產品每天的價格變化是相互獨立的．在未來的日子里任取4天，試估計該農產品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；(3)假設該農產品每天的價格變化只受前一天價格變化的影響．判斷第41天該農產品價格“上漲”“下跌”和“不變”的概率估計值哪個最大．（結論不要求證明）8．（2022·北京·高考真題）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到以上（含）的同學將獲得優秀獎．為預測獲得優秀獎的人數及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數據（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的概率；(2)設X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的總人數，估計X的數學期望E（X）；(3)在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結論不要求證明）9．（2020·北京·高考真題）某校為舉辦甲、乙兩項不同活動，分別設計了相應的活動方案：方案一、方案二．為了解該校學生對活動方案是否支持，對學生進行簡單隨機抽樣，獲得數據如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設所有學生對活動方案是否支持相互獨立．（Ⅰ）分別估計該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）從該校全體男生中隨機抽取2人，全體女生中隨機抽取1人，估計這3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）將該校學生支持方案二的概率估計值記為，假設該校一年級有500名男生和300名女生，除一年級外其他年級學生支持方案二的概率估計值記為，試比較與的大小．（結論不要求證明）10．（2021·北京·高考真題）在核酸檢測中,“k合1”混采核酸檢測是指：先將k個人的樣本混合在一起進行1次檢測,如果這k個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結果為陰性，得到每人的檢測結果都為陰性，檢測結束:如果這k個人中有人感染新冠病毒，則檢測結果為陽性，此時需對每人再進行1次檢測,得到每人的檢測結果，檢測結束.現對100人進行核酸檢測，假設其中只有2人感染新冠病毒，并假設每次檢測結果準確.（I）將這100人隨機分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數;(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設X是檢測的總次數，求X的分布列與數學期望E(X).(II）將這100人隨機分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設Y是檢測的總次數，試判斷數學期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結論不要求證明)考點03統計11．（2022·北京·高考真題）在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術，為實現綠色冬奧作出了貢獻．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態與T和的關系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強，單位是．下列結論中正確的是（

）A．當，時，二氧化碳處于液態B．當，時，二氧化碳處于氣態C．當，時，二氧化碳處于超臨界狀態D．當，時，二氧化碳處于超臨界狀態1．（2010·陜西·高考真題）展開式中的系數為10，則實數a等于【】A．-1 B． C．1 D．22．（2024·北京通州·三模）若，則（

）A．80 B． C．40 D．813．（2023·北京西城·一模）在的展開式中，的系數為（

）A． B．C． D．4．（2024·北京通州·二模）在的展開式中，常數項為（

）A．60 B．120 C．180 D．2405．（2024·河北唐山·一模）在的展開式中，常數項為．（用數字作答）6．（2024·北京通州·三模）已知隨機變量，，且，，則．7．（2024·北京海淀·二模）二維碼是一種利用黑?白方塊記錄數據符號信息的平面圖形.某公司計劃使用一款由個黑白方塊構成的二維碼門禁，現用一款破譯器對其進行安全性測試，已知該破譯器每秒能隨機生成個不重復的二維碼，為確保一個二維碼在1分鐘內被破譯的概率不高于，則的最小值為.8．（2024·北京朝陽·二模）在的展開式中，若二項式系數的和等于，則，此時的系數是.（用數字作答）9．（2024·北京房山·一模）設，則；當時，．10．（2024·北京海淀·一模）若，則；.11．（2021·四川遂寧·三模）在的展開式中，的系數為(用數字作答)12．（2024·北京西城·三模）根據2024城市魅力排行榜，一線城市4個，分別為：上海、北京、深圳、廣州；新一線城市15個，分別為：成都、杭州、重慶、蘇州、武漢、西安、南京、長沙、天津、鄭州、東莞、無錫、寧波、青島、合肥.其中城區常住人口超過一千萬的超大城市10個，分別為：上海、北京、深圳、重慶、廣州、成都、天津、東莞、武漢、杭州.(1)從10個超大城市中隨機抽取一座城市，求該城市是一線城市的概率；(2)從10個超大城市按不可放回抽樣的方式隨機抽取3個城市，隨機變量X表示新一線城市的數量，求隨機變量X的分布列和期望；(3)從10個超大城市中按可放回抽樣的方式隨機抽取3個城市，隨機變量Y表示新一線城市的數量，比較E（X）與E（Y）的大小關系.（直接寫出結果）13．（2024·北京順義·三模）高度重視體育運動的發展，將體育與國家發展、民族振興緊密聯系在一起，多次強調體育“是實現中國夢的重要內容”“體育強則中國強，國運興則體育興”，為了響應的號召，某中學組織全體學生開展了豐富多彩的體育實踐活動.為了解該校學生參與活動的情況，隨機抽取100名學生作為樣本，統計他們參加體育實踐活動時間（單位：分鐘），得到下表：時間人數類別性別男51213898女69101064學段初中10高中41312754(1)從該校隨機抽取1名學生，若已知抽到的是女生，估計該學生參加體育實踐活動時間在的概率；(2)從該校參加體育實踐活動時間在學生中隨機抽取2人，在的學生中隨機抽取1人，求其中至少有1名初中學生的概率；(3)假設同組中每個數據用該組區間中點值代替，樣本中的100名學生參加體育實踐活動時間的平均數記為，初中、高中學生參加體育實踐活動時間的平均數分別記為，，試比較與的大小關系.（結論不要求證明）14．（2020·北京·模擬預測）某工廠的機器上有一種易損元件A，這種元件在使用過程中發生損壞時，需要送維修處維修．工廠規定當日損壞的元件A在次日早上8：30之前送到維修處，并要求維修人員當日必須完成所有損壞元件A的維修工作．每個工人獨立維修A元件需要時間相同．維修處記錄了某月從1日到20日每天維修元件A的個數，具體數據如下表：日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日元件A個數91512181218992412日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日元件A個數12241515151215151524從這20天中隨機選取一天，隨機變量X表示在維修處該天元件A的維修個數．（Ⅰ）求X的分布列與數學期望；（Ⅱ）若a，b，且b-a=6，求最大值；（Ⅲ）目前維修處有兩名工人從事維修工作，為使每個維修工人每天維修元件A的個數的數學期望不超過4個，至少需要增加幾名維修工人？（只需寫出結論）15．（2024·北京海淀·二模）圖象識別是人工智能領域的一個重要研究方向.某中學人.工智能興趣小組研發了一套根據人臉照片識別性別的程序.在對該程序的一輪測試中，小組同學輸入了200張不同的人臉照片作為測試樣本，獲得數據如下表（單位：張）：識別結果真實性別男女無法識別男902010女106010假設用頻率估計概率，且該程序對每張照片的識別都是獨立的.(1)從這200張照片中隨機抽取一張，已知這張照片的識別結果為女性，求識別正確的概率；(2)在新一輪測試中，小組同學對3張不同的男性人臉照片依次測試，每張照片至多測一次，當首次出現識別正確或3張照片全部測試完畢，則停止測試.設表示測試的次數，估計的分布列和數學期望；(3)為處理無法識別的照片，該小組同學提出上述程序修改的三個方案：方案一：將無法識別的照片全部判定為女性；方案二：將無法識別的照片全部判定為男性；方案三：將無法識別的照片隨機判定為男性或女性（即判定為男性的概率為50%，判定為女性的概率為.現從若干張不同的人臉照片（其中男性?女性照片的數量之比為）中隨機抽取一張，分別用方案一?方案二?方案三進行識別，其識別正確的概率估計值分別記為.試比較的大小.（結論不要求證明）16．（2024·北京朝陽·二模）科技發展日新月異，電動汽車受到越來越多消費者的青睞.據統計，2023年1月至12月A，B兩地區電動汽車市場各月的銷售量數據如下：1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月A地區（單位：萬輛）29.439.754.349.456.265.461.168.270.271.977.189.2B地區（單位：萬輛）7.88.88.18.39.210.09.79.910.49.48.910.1月銷量比3.84.56.76.06.16.56.36.96.87.68.78.8月銷量比是指：該月A地區電動汽車市場的銷售量與B地區的銷售量的比值（保留一位小數）.(1)在2023年2月至12月中隨機抽取1個月，求A地區電動汽車市場該月的銷售量高于上月的銷售量的概率；(2)從2023年1月至12月中隨機抽取3個月，求在這3個月中恰有1個月的月銷量比超過8且至少有1個月的月銷量比低于5的概率；(3)記2023年1月至12月A，B兩地區電動汽車市場各月的銷售量數據的方差分別為，，試判斷與的大小.（結論不要求證明）17．（2024·北京通州·二模）隨著生活水平的不斷提高，人們對于身體健康越來越重視．為了解人們的健康情況v某地區一體檢機構統計了年歲到歲來體檢的人數及年齡在，，，的體檢人數的頻率分布情況，如下表．該體檢機構進一步分析體檢數據發現：歲到歲（不含歲）體檢人群隨著年齡的增長，所需面對的健康問題越多，具體統計情況如圖．組別年齡（歲）頻率第一組第二組第三組第四組注：健康問題是指高血壓、糖尿病、高血脂、肥胖、甲狀腺結節等余種常見健康問題．(1)根據上表，求從年該體檢機構歲到歲體檢人群中隨機抽取人，此人年齡不低于歲的頻率；(2)用頻率估計概率，從年該地區歲到歲體檢人群中隨機抽取人，其中不低于歲的人數記為，求的分布列及數學期望；(3)根據圖的統計結果，有人認為“該體檢機構年歲到歲（不含歲）體檢人群健康問題個數平均值一定大于個，且小于個”．判斷這種說法是否正確，并說明理由．18．（2024·北京房山·一模）《中華人民共和國體育法》規定，國家實行運動員技術等級制度，下表是我國現行《田徑運動員技術等級標準》（單位：m）（部分摘抄）：項目國際級運動健將運動健將一級運動員二級運動員三級運動員男子跳遠8.007.807.306.505.60女子跳遠6.656.355.855.204.50在某市組織的考級比賽中，甲、乙、丙三名同學參加了跳遠考級比賽，其中甲、乙為男生，丙為女生，為預測考級能達到國家二級及二級以上運動員的人數，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數據（單位：）：甲：6.60，6.67，6.55，6.44，6.48，6.42，6.40，6.35，6.75，6.25；乙：6.38，6.56，6.45，6.36，6.82，7.38；丙：5.16，5.65，5.18，5.86．假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立，(1)估計甲在此次跳遠考級比賽中成績達到二級及二級以上運動員的概率；(2)設X是甲、乙、丙在此次跳遠考級比賽中成績達到二級及二級以上運動員的總人數，估計X的數學期望；(3)在跳遠考級比賽中，每位參加者按規則試跳6次，取6次試跳中的最好成績作為其最終成績本次考級比賽中，甲已完成6次試跳，丙已完成5次試跳，成績（單位：m）如下表：第1跳第2跳第3跳第4跳第5跳第6跳甲6.506.486.476.516.466.49丙5.845.825.855.835.86a若丙第6次試跳的成績為a，用分別表示甲、丙試跳6次成績的方差，當時，寫出a的值．（結論不要求證明）19．（2024·北京海淀·一模）某學校為提升學生的科學素養，要求所有學生在學年中完成規定的學習任務，并獲得相應過程性積分.現從該校隨機抽取100名學生，獲得其科