高三10月大聯考（新課標卷）數學本卷滿分150分，考試時間120分鐘注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號\.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式化簡集合，再利用補集、交集的定義求解即得.【詳解】集合，則，而，所以.故選：B2.使不等式成立的一個必要不充分條件是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用分式不等式化簡可得或，即可根據真子集關系求解.【詳解】由可得，解得x>2或，設不等式成立的一個必要不充分條件構成的集合是,則是的一個真子集，結合選項可知可以為，故選：D3.已知函數，，則（）A.6 B. C.5 D.【答案】A【解析】【分析】由里往外代入即可求解.【詳解】,,故，故選：A.4.已知，為非零向量，，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由模長的坐標表示可得，再結合投影向量的定義分析求解.【詳解】由題意可得：，所以在上的投影向量為.故選：B.5.已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，若角的終邊過點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據三角函數的定義可得，即可由誘導公式化簡求解.【詳解】由題意可知，，故選：A6.已知函數，則曲線在點處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用導數的幾何意義求出切線方程，進而求出三角形面積.【詳解】函數，求導得，則，而，因此曲線在點處的切線為，即，該切線交軸于點，交軸于點，所以切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為.故選：D7.已知函數滿足，若函數在上的零點為，，…，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用方程組法求出的解析式，結合的奇偶性將上的零點和轉化為上的零點和問題，令，轉化為，結合正弦和正切函數的圖象性質得到結果.【詳解】由，可得，解得，易知為奇函數，故的圖象關于原點對稱，則函數y=fx在上的圖象關于原點對稱，故函數y=fx在上的零點也關于原點對稱，和為0，在上的零點和即為上的零點和，令，得，，，作出和在同一坐標系中的圖象，可知y=fx在內的零點有和兩個，故.故選：B.8.已知函數的圖象過點，且對任意，都有，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據給定條件，利用圖象所過點求出，再利用單調遞增區間求出范圍.【詳解】依題意，，而，則，，由對任意，都有，得函數在上單調遞增，當時，，而余弦函數的遞增區間為：，則，于是，解得，顯然32k?1即，而，因此或，所以的取值范圍是或.故選：C【點睛】思路點睛：涉及求正(余)型函數在指定區間上的單調性問題，先根據給定的自變量取值區間求出相位的范圍，再利用正(余)函數性質列出不等式求解即得.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用不等式的性質判斷A；舉例說明判斷B；利用指數函數、冪函數單調性判斷C；作差變形判斷D.【詳解】對于A，由，得，A正確；對于B，取，滿足，而，B錯誤；對于C，由，得函數在R上遞減，在上遞增，則，C正確；對于D，由，得，D正確.故選：ACD10.已知函數的最小值為，則（）A.直線為圖象的一條對稱軸B.在區間上單調遞減C.將的圖象向左平移個單位長度，得到一個奇函數的圖象D.當時，的值域為，則的取值范圍為【答案】BD【解析】【分析】根據給定條件，利用三角恒等變換，結合正弦函數性質求出，進而求出，再逐項分析判斷即可.【詳解】函數，其中由確定，依題意，，整理得，而，解得，因此，對于A，，即直線不是圖象的對稱軸，A錯誤；對于B，當時，，而正弦函數在上遞減，因此在區間上單調遞減，B正確；對于C，是偶函數，C錯誤；對于D，當時，的值域為，則當時，，因此，解得，D正確.故選：BD11.已知函數對任意實數都有，且，，則（）A. B.C. D.對任意，都有【答案】ABD【解析】【分析】根據給定的函數等式，利用賦值法，結合周期函數的定義逐項分析判斷即得.【詳解】對任意實數都有，且，對于A，令，得，則，A正確；對于B，令，得，因此，B正確；對于C，由，得，即函數是周期為4的周期函數，又，即，因此，C錯誤；對于D，由，得，又是周期為4的周期函數，因此對任意，都有，即，D正確故選：ABD【點睛】關鍵點點睛：涉及由抽象的函數關系求函數值，根據給定的函數關系，在對應的區間上賦值，再不斷變換求解即可.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面向量，滿足，，且，則______.【答案】【解析】【分析】根據給定條件，利用平面向量數量積的運算律，列式計算即得.【詳解】依題意，，而，，且，則，所以.故答案為：13.已知為銳角且，則______.【答案】##【解析】【分析】根據和差角公式以及二倍角公式化簡可得，即可利用輔助角公式求解.【詳解】由可得，由于為銳角，所以，故，進而可得，故，故答案為：14.已知不等式對任意恒成立，則實數的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】原不等式可化為，利用為上的增函數可得對任意恒成立，結合參變分離可求的取值范圍.【詳解】原不等式等價于，也就是，因為均為上的增函數，故為上的增函數，故原不等式即為，故對任意恒成立，故a>4?x+lnxx設sx=4?x+ln設，則，故在0,+∞上為減函數，而，故當x∈0,1時，即，故在0,1上為增函數；當x∈1,+∞時，即，故在1,+∞上減函數，故，故，故答案為：.【點睛】思路點睛：對于由指數函數和對數函數構成的較為復雜函數，我們可以利用指對數的運算法則對原有的不等式同構變形，從而把原不等式轉化為簡單不等式.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數.（1）證明：是周期函數；（2）求的單調遞增區間.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）由輔助角公式可得，利用三角函數周期性即可證明得出結論；（2）利用復合函數單調性以及正弦函數圖象性質解不等式可得結果.【小問1詳解】由可得；易知，所以，即可知是以為周期的周期函數【小問2詳解】由復合函數單調性可知求得的單調遞增區間即可；易知恒成立，可得函數的定義域為；因此只需，解得；即的單調遞增區間為.16.在平面四邊形中，，，且.（1）求的長；（2）若為的中點，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在三角形中由余弦定理求出，然后利用勾股定理求解即可；（2）在與中，由余弦定理分別求出與，然后在中，由余弦定理求解即可.【小問1詳解】在三角形中，，，所以由余弦定理得：，所以，又，所以，又，所以.【小問2詳解】在三角形中，，所以，所以，所以在中，為的中點，所以，，，所以由余弦定理得：，所以，在中，，，，所以由余弦定理得：所以，所以在中，由余弦定理得：.17.已知的內角，，所對的邊分別為，，，，，向量，，且，所在平面內存在點，滿足.（1）判斷是否為等腰三角形；（2）當時，求的面積；【答案】（1）等腰三角形，理由見解析（2）【解析】【分析】（1）由，得到，由正弦定理，余弦定理角化邊整理即可判斷；（2）畫出圖，在中，由正弦定理求出與，設，則求解即可.【小問1詳解】因為，所以，所以，由正弦定理角化邊得，由余弦定理得：，所以整理得：，所以，所以，所以，故是等腰三角形.【小問2詳解】在中，由正弦定理得：，所以，，當時，，如圖，所以在中，，，，所以.18.已知函數.（1）若恒成立，求實數的取值范圍；（2）證明：當時，.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據給定條件，分離參數并構造函數，利用導數求出最大值即可得解.（2）構造函數，利用導數證得，再利用函數單調性信不等式性質推理即得.【小問1詳解】函數的定義域為，，令，依題意，恒成立，，當時，，當時，，則函數在上單調遞增，在上單調遞減，，于是，所以實數的取值范圍是.【小問2詳解】當時，令，求導得，函數上單調遞增，則，即，因此，，令，求導得，即函數在上單調遞增，，即，于是，所以.【點睛】關鍵點睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉化，構造函數，利用導數探求函數單調性、最值是解決問題的關鍵.19.閱讀材料一：設函數在區間上有定義，若對任意和任意，都有，則稱是區間上的下凸函數；反之，如果都有，則稱是區間上的上凸函數.閱讀材料二：若函數在區間上可導，即存在，且導函數在區間上也可導，則稱在區間上存在二階導函數，即.設函數在區間上存在二階導函數，則在區間上是下凸（上凸）函數的充要條件是對任意都有（）且在區間的任意子區間內不恒為0.閱讀材料三：設函數在區間上連續，（其中為無限接近于0的正數），在上存在二階導函數，若在和上的符號相反，則點為曲線的拐點.請根據以上閱讀材料，回答下列問題：（1）證明：對任意，，不等式恒成立；（2）設函數，若點是曲線的拐點，求實數，的值，并證明的圖象關于拐點中心對稱：（3）設函數，若點是曲線的一個拐點，且，其中，試證明：.【答案】（1）證明見解析；（2），證明見解析；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）構造函數，證明是上凸函數即可推理得證.（2）利用“拐點”的意義可得，結合求出；再利用中心對稱的定義計算推理即可.（3）利用“拐點”的定義求出“拐點”，構造函數，利用導數探討單調性可得，再結合給定條件及函數的單調性推理即得.【小問1詳解】當或時，不等式成立，令函數，，，因此函數是上凸函數，則對任意，，即，所以對任意，，不等