考點15等腰三角形

在命題趨勢

等腰三角形的性質及判定是初中數學最為重要的知識點之一，也是重要幾何模型

的“發源地”，最為經典的“手拉手”模型就是以等腰三角形為特征總結的。而數學中考中，

等腰三角形單獨出題的可能性還是比較大的，多以選擇填空題型出現，但是因為等腰三角形

可以放在很多模型中，所以等腰三角形結合其他考點出成壓軸題的幾率特別大，所占分值也

是比較多，屬于是中考必考的中等偏上難度的考點。

在知識導圖

性質：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等

』線段垂直平分線的性質與判定定理

判定：到線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上

也重申考向

一、等腰三角形的性質和判定

二、角平分線的性質定理與判定定理

三、線段垂直平分線的性質定理與判定定理

考向一：等腰三角形的性質和判定

一.等腰三角形的性質和判定

定義有兩邊長相等的三角形是等腰三角形，相等的兩邊長叫做腰，第三邊叫做底

軸對稱性：一般等腰三角形是軸對稱圖形，有1條對稱軸

性質等邊對等角

三線合一（頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合）。

判定①定義法；②等角對等邊

等邊三角形的性質和判定

定義三邊長都相等的三角形是等邊三角形

軸對稱性：等邊三角形是軸對稱圖形，有3條對稱軸

性質等邊三角形三個角都相等，分別都等于60°

三線合一（等邊三角形三邊上均存在三線合一）。

定義法

判定有兩個角相等的等腰三角形是等邊三角形

有兩個角等于60°的三角形是等邊三角形

方位技巧

>特別注意：當一個三角形的角平分線與高線，或者中線出現重合時，雖然不能直

接得等腰三角形，但是也可以用三角形全等來證明該三角形是等腰三角形。

>等邊三角形面積的求解方法：S正三角形=手邊長2

a

共例引裾

1.等腰三角形的周長為15CM,其中一邊長為3CT?.則該等腰三角形的腰長為（）

A.3cmB.6cmC.3cm或6cvnD.3cni或9cvw

【分析】已知的邊可能是腰，也可能是底邊，應分兩種情況進行討論.

【解答】解：當腰是3cm時，則另兩邊是3。〃，90n.而3+3<9,不滿足三邊關系定理,

因而應舍去.

當底邊是3c7〃時，另兩邊長是6cvn,6cm.則該等腰三角形的底邊為3c，〃.

故選：B.

2.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50°,則它的底角的大小是（）

A.25°B.20°C.25°或65°D.20°或70°

【分析】分兩種情況討論：①若/AV90。；②若/A>90°；先求出頂角N8AC,即可

求出底角的度數.

【解答】解：分兩種情況討論：

①若乙4<90°,如圖I所示：

,：BDLAC,

.,.NA+/A8O=90°,

VZABD=50°,

AZA=90°-50°=40°,

,CAB^AC,

：.ZABC=ZC=1.(180°-40°)=70°；

2

②若NA>90°,如圖2所示：

同①可得：NDAB=90°-50°=40°,

.'./8AC=180°-40°=140°,

'：AB=AC,

.../ABC=/C=2(180°-140°)=20°；

2

綜上所述：等腰三角形底角的度數為70°或20°,

故選：D.

3.如圖，等腰AABC中，AB=AC=IO,BC=5,A8的垂直平分線QE交AB于點。，交

AC于點E,則△BEC的周長為（）

A.12B.8C.15D.13

【分析】根據線段垂電平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得4￡=8E，然后求出^

8EC周長=AC+8C,再根據等腰三角形兩腰相等可得AC=AB,代入數據計算即可得解.

【解答】解：是AB的垂直平分線，

：.AE^BE,

：.△8EC周長=8E+CE+8C=AE+CE+BC=AC+8C,

?.?腰長AB=10,

.?.AC=AB=10,

.,.△BEC周長=10+5=15.

故選：C.

4.如圖，在△ABC中，D為BC邊上一點，BD=AD=AC,NBAC=108°,則ND4c的度

數為()

【分析】由BD—AD=AC得Nl=/2,N3=N4,由N4=/l+N2得，/3=/4=2/

1=2/2,由N8AC=108°得N2+/3=180°-NBAC=180°-108°=72°,即可求

出N2=24°,最后便可求出NZMC的度數.

【解答】解："：BD=AD^AC,

；.Nl=/2,/3=N4,

VZ4=Z1+Z2,

；.N3=N4=2/l=2/2,

：NBAC=108°,

...N2+N3=180°-NBAC=180°-108°=72°,

/.Z2+2Z2=72°,

；.N2=24°,

，N1=24°,

：.ZDAC=ZBAC-Zl=108°-24°=84°,

故選：D.

5.如圖，在△ABC中，AB=AC,A￡>平分/BAC,DE1AB,DFLAC,E,F分別為垂足,

則下列四個結論：(1)/￡>EF=NOFE；(2)4E=AF；(3)4。平分/EOF；(4)AO垂

直平分EF,其中正確的有(1)(2)(3)(4).(填序號)

【分析】由在△A8C中，AB=AC,AC平分N8AC,DELAB,DFLAC,根據角平分線

的性質，可得DE=DF,即可證得NOEF=N￡>FE：又由等角的余角相等，可得NAOE

=ZADF,然后由角平分線的性質，證得AE=A尸，又由等腰三角形的三線合一的性質,

證得A。垂直平分EF.

【解答】解：(1)；A￡)平分NA4C,DE1AB,DFA.AC,

：.DE=DF,

:.NDEF=NDFE：正確；

(2)平分/8AC,DELAB,DFLAC,

：.ZADE^ZADF,ED=FD,

：.AE=AF,正確；

(3)'：AE=AF,A。平分/8AC,

???AD垂直平分EF,故(4)正確；

由(2)知ED=FD,

.?.AO平分/EOF；

故(3)正確.

故答案為：(1)(2)(3)(4).

6.等腰△4BC中，AB=AC,點E為底邊BC上一點，以點E為圓心，E4長為半徑畫弧,

交AB于點￡>,測得/CAE=80°,NEAO=54°,則/。EB=31°.

【分析】根據角的和差關系結合等腰三角形的性質可求/C,根據三角形內角和定理可求

NAEC,根據等腰三角形的性質可求NAED,再根據平角的定義即可求解.

【解答】解：；NCAE=80°,ZEAD=54°,

，NCAB=134°,

"：AB=AC,

：.ZC=(180°-134°)4-2=23°,

：.ZAEC=\S0°-ZCAE-ZC=77°,

由作圖可知EA^ED,

AZEDA=54°,

：.ZA￡D=180°-54°X2=72°,

.,.ZDEB=I8O°-77°-72°=31°.

故答案為：31.

7.如圖所示，在坐標平面中，4(0,4),C為x軸負半軸上一點，CO=3,AC=5,若點P

為y軸上一動點，以尸C為腰作等腰三角形△PCQ,已知NCPQ=2NACO=2a(a為定

值)，連接O。，則。。的最小值為—卷

y

【分析】延長AC至點M,連接尸M,使PM=AP,證出N"M=N4PQ,進而證明△CPA/

g△。孫(SAS),得到NB4Q=NM=NC4O,求出0c=ON,當0Q_L4V時，。。有

最小值，利用SZWW=SAAOC,求出OQ的最小值.

【解答】解：延長AC至點用，連接〃M,使PM=AP,

ZACO=a,

：.ZM=ZCAO=90°-a,

AZAPQ=\SO°-2a,

???ZAPM=2a=ZCPQ,

：.ZCPM=ZAPQf

文,：CP=PQ,PM=F4,

：.^CPM^^QPA(SAS),

.\ZPAQ=ZM=ZCAO,

：.OC=ON,

:.當OQLAN時，。。有最小值，

SAAON=SAAOC,

?0A=-^-ANOQ，

???3X4=50。，

解得0Q4，

；.。。的最小值是22,

5

故答案為：12.

5

8.如圖，己知點P是射線MV上一動點，NAMN=35：當乙4為110°或72.5°或35°

時，ZVIMP是等腰三角形.

【分析】若△AMP為等腰三角形則有4M=AP、尸和MP=A尸三種情況，分別利

用等腰三角形的兩底角相等可求得的值.

【解答】解：若為等腰三角形則有4M=A尸、尸和MP=A尸三種情況，

①當AM=AP時，則有NM=NAPM=35°,

AZA-110°；

②當AW=M尸時，則/A=NAPM=72.5°；

③當MP=4尸時，則NA=NAMN=35。，

綜上可知NA為110°或72.5°或35°,

故答案為：110°或72.5°或35°.

9.在如圖所示的3X3方格中，以AB為邊,第三個頂點也在格點上的等腰三角形有4個.

【分析】根據等腰三角形的定義，分別以4、B為圓心，AB長為半徑畫弧，即可得出第

三個頂點的位置.

解：如圖所示，

分別以4、B為圓心，A8長為半徑畫弧，則圓弧經過的格點。、C2、C3、C4,即為第三

個頂點的位置；

故以AB為一邊，第三個頂點也在格點上的等腰三角形可以作出4個.

故答案為：4

10.如圖所示，ZAOB=60Q,C是8。延長線上的一點，OC=l2cm,動點尸從點C出發

沿CB以3cmis的速度移動，動點Q從點。出發沿OA以2cm/s的速度移動，如果點P、

。同時出發，用f（s）表示移動的時間，當。.或12s時,△尸。。是等腰三角形.

【分析】根據等腰三角形的判定，分兩種情況：（1）當點P在線段OC上時；（2）當點P

在C。的延長線上時.分別列式計算即可求.

【解答】解：分兩種情況：（1）當點P在線段OC上時，

設t時后△POQ是等腰三角形，

有OP^OC-CP=OQ,

即12-3t=2t,

解得，/=_1區：

5

（2）當點P在CO的延長線上時，此時經過CO時的時間已用5s,

當△尸0。是等腰三角形時，：/POQ=6（T,

...△POQ是等邊三角形，

：.OP^OQ,

即3/-12=2b

解得，片⑵

故答案為衛或12.

5

------?

Cp

11.如圖，ZVIBC中，AB=BC,NC=60°,A￡>是8c上的高，DE//AC,圖中與8。（8。

除外）相等的線段共有（）條.

C.3D.4

【分析】由已知條件可判斷△ABC為等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得BD=CQ,

再根據平行線的性質可得/BE￡>=NEOB=6（F,可得△BE。是等邊三角形，即可得出

BD=ED=BE,再根據8O=CQ,ED//AC,可得EQ是△A8C的中位線，即可得出

=AE,即可得出答案.

【解答】解：△ABC中，AB=BC,NC=60°,

...△ABC為等邊三角形，

?.?4。是8c上的高，

:.BD=CD,

VDE//AC,

:.NBED=NEDB=60°,ZB=60°,

.?.△BED是等邊三角形，

:.BD=ED=BE,

,:BD=CD,ED//AC,

二EO是△ABC的中位線，

：.BE=AE,

：.BD=AE.

,圖中與B￡>（8。除外）相等的線段有C￡>、DE、BE、AE共4條.

故選：D.

12.已知：如圖，ZVIBC和△QEC都是等邊三角形，。是8c延長線上一點，AO與BE相

交于點尸，AC.BE相交于點M,AD,CE相交于點N,則下列五個結論：①4O=BE；

@ZBMC=ZANC；③NAPM=60°；@AN=BM；⑤△<:”可是等邊三角形.其中，正

確的有（）

E

A.2個B.3個C.4個D.5個

【分析】根據先證明△8CE-△AC。，得出AD=BE,根據已知給出的條件即可得出答案;

【解答】解：’.?△ABC和△OEC都是等邊三角形，

；.4C=BC,CD=CE,ZACB=ZECD=60°,

ZACB+ZACE^ZECD+ZACE,即NBCE=ZACD,

:.叢BCE9XACD(SAS),

.'.AD^BE,故選項①正確；

VZACB=ZACE=60°,由△BCE絲△ACQ得：ZCBE=ZCAD,

:"BMC=NANC,故選項②正確；

由△BC￡'g/i4CO得：NCBE=NCAD,

是△AC￡)的外角，

NACB=/CAO+/A￡)C=ZCBE+ZADC=60a,

又NAPM是△尸8。的外角，

AZAPM^ZCBE+ZADC=Wa,故選項③正確；

在△ACN和△8CM中，

rZCAN=ZCBM

<AC=BC，

ZACN=ZBCM=60°

，/\ACN^/\BCM,

:.AN=BM,故選項④正確；

:.CM=CN,

.?.△CMN為等腰三角形，?.?/MCN=60°,

.?.△CMN是等邊三角形，故選項⑤正確；

故選：D.

13.如圖，已知AB=AC,AC平分NBAC,NDEB=NEBC=60°,若BE=5,DE=2,則

BC=7.

A

【分析】作出輔助線后根據等腰三角形的性質得出ABEM為等邊三角形，得出

=BE=5,從而得出8N的長，進而求出答案.

【解答】解：延長EZ)交8c于M,延長AO交BC于M如圖，

"：AB=AC,平分NB4C,

J.AN1BC,BN=CN,

；NEBC=NDEB=6Q°,

為等邊三角形，

:.BM=EM=BE=5,NEMB=60°,

'：DE=2,

'：AN±BC,

：.ZDNM=90°,

；.NNDM=30°,

：.NM=^DM=^-,

22

：.BN=BM-MN=5-g=工，

22

：.BC=2BN=1.

14.如圖，點。是等邊△ABC內一點，ZAOB=llOQ,ZBOC=a.以0C為一邊作等邊

三角形0C￡>,連接AC、AD.

(1)當a=150°時，試判斷△A。。的形狀，并說明理由；

(2)探究：當a為多少度時，△A0。是等腰三角形？

D

/llOd<\\

【分析】（1）首先根據已知條件可以證明△BOC絲△AOC,然后利用全等三角形的性質

可以求出NA。。的度數，由此即可判定△A。。的形狀；

（2）利用（1）和已知條件及等腰三角形的性質即可求解.

【解答】解：（1）???△OCD是等邊三角形，

：.OC^CD,

而△ABC是等邊三角形，

：.BC^AC,

?.?乙4cB=NOCO=60°,

:.NBCO=NACD,

在△80C與△4OC中，

r0C=CD

「ZBC0=ZACD-

BC=AC

：.^BOC^/\ADC,

：.ZBOC^ZADC,

而NBOC=a=150°,ZODC=60",

AZADO^\500-60°=90°,

...△ADO是直角三角形；

（2）:設/CBO=/CAO=a,NABO=b,ZBAO^c,NCAO=d,

則a+b=60°,0+c=180°-110°=70°,c+d=60",

：.b-d=10",

（60°-a）-</=10°,

：.a+d=50°,

即ND4O=50°,

①要使AO=AO,需NAOD=NADO,

.?.190°-a=a-60°,

/.a=125°：

②要使0A=0。，需NOAD=NADO,

AHO0+800+60°+a=360°

.,.a=110°；

③要使。〃=4力，需/OAD=/AO。，

1100+50°+60°+a=360°,

...a=140°.

所以當a為110°、125°、140。時，三角形A。。是等腰三角形.

15.如圖，在等腰△ABC中，AB^AC,過點A作BC的平行線交NA8C的角平分線于點

連接CD.

(1)求證：△ACO為等腰三角形；

(2)若/區4。=140°,求NACD的度數.

【分析】(1)利用平行線的性質得出N1=N3,進而利用等腰三角形的性質得出AC=AQ

即可；

(2)由(1)知N1=N2=N3,根據已知條件得到/1=N2=N3=2(180°-ZBAD)

2

=20°,根據等腰三角形的性質得到NAC8=N48C=40°,根據平行線的選擇得到N

AZ)C+NACO=180°,于是得到結論.

【解答】(1)證明：0平分N48C,

/.Z1=Z2.

'：AD//BC,

.?.N2=N3.

；.Nl=/3.

：.AB=AD.

'：AB=AC,

：.AC=AD,

為等腰三角形；

(2)解：由(【)知，Z1=Z2=Z3,

；/&4。=140°,NR4O+Nl+N3=180°,

.\Z1=Z2=Z3=A(180°-ZBAD)=20°,

2

，N48C=40°,

NACB=/A8C=40°,

由(1)知，AD=AC,

：.ZACD=ZADC=ZBDC+Z3=ZBDC+20a,

'JAD//BC,

：.ZADC+ZBCD=]S0°,

.\40°+(ZBDC+200)+(NBDC+20°)=180",

：.ZBDC=50°,

，NAQC=70°,

：AC=AO,

16.如圖，在△ABC中，AB=AC,。為CA延長線上一點，DE1,BC于點、E,交AB于點凡

若A尸=8尸.

求證：（1）△AOF是等腰三角形.

（2）DF=2EF.

【分析】（1）由等腰三角形的性質和余角的性質可證得//）=/￡＞出，根據等腰三角形的

判定即可證得結論；

（2）過A作AH1DE于H,由等腰三角形的性質可得DH=FH,根據全等三角形的判

定證得且△BFE,得到DH=FH=EF,即可求出DF=2EF.

【解答】證明：（I）：AB=AC,

：.ZB=ZC,

\'DELBC,

：.NB+NBFE=NC+ND=90°,

：.ND=/BFE,

,：Z13FE=ZDFA,

：.ZD^ZDFA,

：.AD=AF,

...△AOF是等腰三角形；

(2)過4作AH1.DETH,

■:DE1BC,

：.ZAHF=ZB￡F=90°,

由(1)知，AD=AF,

：.DH=FH,

在△AF”和△8FE中，

'/AHF=NBEF

<ZAFH=ZBFE)

AF=BF

:.△AFHWXBFE(44S),

:.FH=EF,

：.DH=FH=EF,

:.DF=2EF.

考向二：角平分線的性質與判定

角平分線的性質定理與判定定理

性質定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等。

判定定理：角的內部，到角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上。

☆其中：

1.平行線的引入方法常見的有：

①直接給出的平行；②平行四邊形及特殊平行四邊形；③梯形的上下底邊;

④輔助線作出的平行；⑤其他條件證明得到的平行；

2.當等腰△是結論時，常接著用等腰△的性質；

2.角平分線+，一等腰△；

（即“三線合一”的你應用，此類問題常和圓的性質結合考察）

3.見角平分線，作雙垂f得全等或線段相等，亦可以用;?，

（作“JL”，即作“高”；有“高”想“面積”，進而拓展想“等積法”;

再往后還可延伸“平行線等積模型”、面積比=底邊之比等）

其中，“得線段相等”是因為其性質定理；更深一步

的應用方向可以是：

①用于“等量代換”；②再證全等的條件；③將“雙垂”

看作“雙高線”，進而得兩個△面積之間的關系；④當角

平分線多于1條時，可能要結合其判定定理證其他線也是8

角平分線

已見漏平分線「作對稱

（即截長補短構全等）

5.圓中：由角平分線得角相等，進而推知1得4；

6.重要思想一倍半角模型:

與角平分線有關的問題，經常會出現“倍半角”關系，可利用“倍半角模型”解題。

勇例引凝

1.三條公路將A,B,C三個村莊連成一個如圖的三角形區域，如果在這個區域內修建一個

集貿市場，使集貿市場到三條公路的距離相等，那么這個集貿市場應建的位置是（）

A.三邊高線的交點B.三條垂直平分線的交點

C.三邊中線的交點D.三個角的平分線的交點

【分析】根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等解答即可.

【解答】解：在這個區域內修建一個集貿市場，要使集貿市場到三條公路的距離相等，

根據角平分線的性質，集貿市場應建在NA、NB、NC的角平分線的交點處.

故選：D.

2.如圖，在△ABC中，ZC=90°,AO平分/CAB,若A8=10,CD=3,則△ABO的面

積是（）

【分析】過點D作DEYAB于E,根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=

CD,再利用三角形的面積公式列式計算即可得解.

【解答】解：如圖，過點。作于E,

VZC=90°,AC平分/BAC,

：.DE=CD=3,

?'?△A8D的面積=*AB?DE=/x10X3=15-

故選：c.

3.如圖，已知△ABC的面積為10,BP平分NABC,且APJ_BP于點P,則△BPC的面積

是（）

【分析】延長AP交8c于￡根據已知條件證得8P也△E8P,根據全等三角形的性

質得至（MP=PE,得出SAABP=SAEBP,SAACP=SAECP,推出S&>BC△軸？

【解答】解：延長AP交BC于E,

"P平分NA5C,

，NABP=NEBP,

<AP_LBP,

:./APB=NEPB=90°,

在和△EBP中，

<ZABP=ZEBP

<BP=BP，

ZAPB=ZEPB

:?叢ABP"叢EBP(ASA),

：.AP=PE,

S^ABP=S&EBP,SAACP=SAECP,

.11

,?SAPBC=^SAABC節*10=5，

故選：c.

4.如圖，ZBOP=ZAOP=\5°,PC//OB,PQ_LOB于Q,PC=4,則P。的長度為(

【分析】作PE_LOA于E,根據角平分線的性質可得PE=PD,根據平行線的性質可得/

4CP=/4。8=30°,由直角三角形中30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半，可求得

PE,即可求得「D

【解答】解：作尸ELO4于E,

■:NAOP=NBOP,PDLOB,PELOA,

:.PE=PD（角平分線上的點到角兩邊的距離相等），

；NBOP=NAOP=15°,

：.ZAOB=30°,

；PC//OB,

：.ZACP=ZAOB=3Q°,

...在RtZkPCE中，PE=JLPC=JLX4=2（在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜

22

邊的一半），

:.PD=PE=2,

故選:A.

A

ODB

5.如圖：已知在△ABC中，NAC8=90°,BC=6,AC=8,CE為△ABC的角平分線，EF

A.mB.C.D.4

776

【分析】根據E尸〃AC,得至IJEF_LBC,過點E作EDLAC,易得：EF=ED,利用等積

法，求出EF的長度即可.

【解答】解：尸〃4C,

.,.ZEFB=ZACB=90°,

：.EF±BC,

過點E作EDJ_AC,交AC于點D,

為△48C的角平分線，

:.DE=EF,

,:S4ABe=S&AEdS?EB,即：^AC'BC=^AC'ED+^BC'EF=^CAC+BC>EF,

2222

；.6X8=(6+8)?EF,

故選：B.

6.如圖，△4BC中，ZABC./FC4的角平分線8P、CP交于點P,延長54、BC,PMA.

BE于M,PNLBF于N,則下列結論：①AP平分NE4C；②/ABC+2NAPC=180°；

@ZBAC=2ZBPC；④S&PAC=S&MAP+S&NCP.其中正確結論的個數是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】過點尸作P。，4c于C,根據角平分線的判定定理和性質定理判斷①；證明Rl

根據全等三角形的性質得出NAPM=NAP。，判斷②；根據三角形的

外角性質判斷③；根據全等三角形的性質判斷④.

【解答】解：①過點P作尸OLAC于Q,

平分NABC,PC平分NFC4,PMLBE,PN1BF,PDLAC,

：.PM=PN,PN=PD,

：.PM=PD,

■:PM工BE,PD1.AC,

平分/EAC,故①正確：

@'：PM1AB,PN1,BC,

：.ZABC+900+ZMPN+90°=360°,

:.NABC+NMPN=180°,

在Rt/^PAM和Rt△%/)中，

fPI=PD

IPA=PA'

Rt/\PAM^Rt/^PAD(HL),

：.ZAPM=ZAPD,

同理：Rt/^PCD出Rt/\PCN(HL),

:.NCPD=4CPN,

：.NMPN=2NAPC,

.?.NA8C+2/APC=180°,②正確；

③：以平分NC4E,8P平分NABC,

ZCAE^ZABC+ZACB^2ZPAM,ZPAM=1ZABC+ZAPB,

2

AZACB=2ZAPB,③正確；

④由②可知Rt△以M<RtZ\B4O(HL),RlAPCD^RtAPC?/(HL),

:?S〉APD=S〉MAP，SKPD=S〉NCP，

S^PAC=S^MAP+S/iNCP,故④正確,

7.如圖，A、8兩點分別在射線OM,ON上，點C在/yWON的內部，且AC=3C,CD1.

OM,CELON,垂足分別為。，E,且AO=BE.

(1)求證：OC平分NMCW：

(2)若4。=3,80=4,求4。的長.

【分析】(1)根據全等三角形的判定定理推出RtAADC^RtAfiEC,根據全等三角形的

性質得出CL>=CE,再得出答案即可；

(2)根據全等三角形的性質得出A￡>=8E=3,根據全等三角形的判定定理推出RtAODC

^RtAOEC,放根據全等三角形的性質得出00=08,再求出答案即可.

【解答】(I)證明：；C￡>_LOM,CELON,

：.ZADC=ZCEB=90°,

在RtAADC和RtABEC中，

[AC=BC,

1AD=BE'

ARtA4DC^RtABEC(HL),

：.CD^CE,

"."CD10M,CELON,

OC平分NMON；

(2)解：VRtAADC^RtABEC,AO=3,

：.BE=AD=3,

'：B0=4,

OE=08+8E=4+3=7,

,：CD10M,CELON,

.'.ZCDO=ZCEO=90°,

在RtADOC和RlAEOC中，

<foc=oc>

ICD=CE'

/?RtADOC^RtAEOC(HL),

：.OD=OE=1,

?.,AD=3,

二。4=0。+4。=7+3=10.

8.如圖，點A,B,C三點在一直線上，在8c同側作△BCQ、/\BCE,若BE,CE分別平

分NAB。，/BCD,過點B作/CBO的平分線交CE于點尸.

（1）已知NE=27°,求NO的度數；

（2）若BE〃CD,BD=8,求線段BE的長；

（3）在（2）的條件下，若BF=6,求線段CQ的長.

【分析】（1）由/E+NEBD=ND+NDCE,再由角平分線定義，三角形外角的性質，可

推出NO=2NE；

（2）由平行線的性質，角平分線的性質，等腰三角形的判定，可以推出

（3））延長8尸交QC于G,作BHLEC于H,由勾股定理可以求出CF的長，列出關于

FG的方程，求出FG,再由勾股定理求出CG的長，即可求出CD的長.

【解答】解：（1）BE,CE分別平分/ABC,ABCD,

:.NEBD=LNABD,NDCE=LNBCD,

22

■：NABD=ND+NDCB,

：.NEBD=LND+工NDCB,

22

NE+NEBD=ZD+ZDCE,

：.ZE+1,ZD+l.ZDCB^ZD+^ZBCD,

222

.?./O=2NE=54°；

(2)'：BE//DC,

:.ND=NEBD,/DCB=NEBA,NE=NDCE,

:NEBD=/EBA,ZDCE=ZBCE,

:.ND=NDCB,NE=NECB,

：.BE=BC,BD=BC,

:.BE=BD=8；

(3)延長B尸交/)C于G,作8，，EC于，，

；NEBD=L/ABD,NDBFh工NDBC,

22

；.NEBD+NDBF=LCZABD+ZDBC),

2

.?.NEBF=_1NA8C=90°,

2

???￡F=7BE2+BF2=V82+62=101

■:EF?BH=BE?BF,

10BH=8X6,

；.BH=4.8,

?**CW=VBC2-BH2=V82-4.82=6-4,

F//=VBF2-BH2=V62-4.82=3.6,

:.CF=CH-FH=2.8,

,:BD=BC,BG平分NCBD,

：.BGLDC,

,:C?=Bd-BG2=CF2-FG2,

.\82-(6+FG)2=2.82-FG2,

，尸G=1.68,

；?CG=A/CF2-FG2=V2.82-l.682=2-24,

.?Q=2CG=4.48.

考向三：線段垂直平分線的性質與判定

線段垂直平分線的性質定理與判定定理

性質定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩端的距離相等。

判定定理：到線段兩端的距離相等點在這條線段的垂直平分線上。

I@

角平分線與線段垂直平分線常見輔助線的區別：

角平分線：過點作到邊的垂線段；

線段垂直平分線：連接兩個端點

1.下列說法正確的是（

A.三角形的角平分線將三角形的面積平分

B.三角形的外角一定大于它的任意一個內角

C.在△ABC中，若NA+NB=NC,則這個三角形是直角三角形

D.若線段AB垂直平分線段CZ）,則線段CZ）必垂直平分線段AB

【分析】利用線段垂直平分線的性質，三角形的中線，三角形的內角和定理，逐一判斷

即可解答.

【解答】解：A、三角形的中線將三角形的面積平分，故A不符合題意；

B、三角形的外角一定大于它的任意一個與它不相鄰的內角，故8不符合題意；

C、在△A8C中，若則這個三角形是直角三角形，故C符合題意；

D、若線段A8垂直平分線段CZ）,而線段CO不一定垂直平分線段A8,故。不符合題意;

故選：C.

2.如圖，在△4BC中，DE是4B的垂直平分線，BC=10,AC=14,則△BCO的周長為（）

B

A.14B.24C.10D.26

【分析】依據OE是△A8C中48邊的垂直平分線，即可得到再根據8c=10,

AC=14,即可得到△8CE的周長.

【解答】解：是△ABC中AB邊的垂直平分線，

:.AD=BB,

又,.?BC=10,AC=14,

/.ABCD的周長=8C+CO+B。

=BC+CD+AED

=BC+4C

=24,

故選：B.

3.如圖，ZBAC=\05°,AB=AC,若MP和NQ分別垂直平分AB和AC,則N%。的度

數是（）

【分析】由AB=AC,N8AC=100°,可求得/8+/C的度數，又由MP,NQ分別垂直

平分AB,AC,根據線段垂直平分線的性質，可得AP=8P,AQ=CQ,繼而求得N8AP+

NCA。的度數，則可求得答案.

【解答】解：：A8=AC,NBAC=105°,

.,.ZB+ZC=180o-NBAC=75°,

；MP,NQ分別垂直平分A5,AC,

：.AP=BP,AQ=CQ,

:./BAP=NB,/C4Q=/C,

:.NBAP+NCAQ=75°,

J.ZPAQ^ZBAC-（ZBAP+ZCAQ）=30°.

故選：C.

4.如圖，銳角三角形ABC中，直線/為8c的垂直平分線，直線“為NABC的角平分線，

/與相相交于P點，若NA=65°,N4CP=22°,則NA8P的度數是（)

A

A.31°B.22°C.43°D.32°

【分析】連接PA,根據線段垂直平分線的性質得到PB=PC,得至根

據角平分線的定義得到/P8C=NA8P,根據三角形內角和定理列式計算即可.

【解答】解：連接心,

??,直線L為8C的垂直平分線，

:?PB=PC,

:,NPBC=/PCB,

???直線PM為ZABC的角平分線，

:?/PBC=NABP,

i^ZPBC=x,則NPC3=NA8P=JG

：.x+x+x+65Q+22°=180°,

解得，x=3I°,

故選：A.

5.如圖，在RtZ\A8C中，D為BC上一點,DE上AB,S.AE=BE,若NCAO=4N8,BD

=6,則AC=()

A

B.3a

【分析】根據線段垂直平分線的性質，等腰三角形的判定和性質，三角形外角的性質即

可得到結論.

【解答】解:'：DELAB,AE=BE,

，￡)E垂直平分48,

:.AD=BD=6,

，NDAB=ZB,

,：/CAD=4/B,

ZCAB=5ZB,

VZC=90°,

.,.NC48+N8=90°,

：.ZB=ZDAB=15Q,

.?.NAOC=/B+N&W=30°,

.?.AC=X4O=3,

2

故選：A.

6.在平面直角坐標系xOy中，點A(5,5),點B(1,1),點C(7,1),若點P到點4、

B、C的距離相等，則點尸的坐標為(4,2).

【分析】根據線段垂直平分線的性質作出點P，根據坐標與圖形性質求出點P的坐標.

【解答】解：:?點P到點A、B、C的距離相等，

...點P是線段A8、BC垂直平分線的交點，

故點P的坐標為(4,2),

故答案為：(4,2).

7.在平面直角坐標系xOy中，A,8為不重合的兩個點，若點C到人B兩點的距離相等，

則稱點C是線段AB的“公正點”.特別地，當60。WNACBW180。時，稱點C是線段

AB的“近公正點”.

(1)已知A(1,0),B(3,0),在點C(2,0),D(1,2),E(2,-2.3),F(0,4)

中，線段48的“公正點”為點C(2,0),點E(2,-2.3)；

(2)已知點M(0,3),作NOMN=60°,射線MN交x軸負半軸于點N.

①若點P在)，軸上，點P是線段MN的“公正點”，則點P的坐標是(0,-3)；

②若點Q(a,b)是線段MN的“近公正點”，直接寫出h的取值范圍是-3Wb<6.

【分析】(1)判斷點C(2,0),￡)(1,2),E(2,-2.3),F(0,4)在直線x=2上即

可；

(2)①畫出相應的圖形，根據坐標轉化為線段的長，再根據直角三角形的邊角關系得出

答案即可；

②得出點Q的兩個“臨界值”，即〃的“臨界值”即可.

【解答】解：(1)如圖，A(1,0),B(3,0),線段A8的“公正點”在線段AB的中垂

線上.

即“公正點”在直線x=2的直線上，

在C(2,0),D(l,2),E(2,-2.3),F(0,4)中只有點C、點E在直線x=2上，

故答案為：點C(2,0),點E(2,-2.3)；

(2)①如圖，作MN的中垂線交y軸的負半軸于尸1,

'：OM=3,NOMN=60°,

:.MN=2OM=6,ON=MOM=3愿，

在RtapQM中，MQ=^MN=3,ZOMN=GO0,

2

：.OP\^P\M-OM^6-3=3,

；.點Pi(0,-3),

故答案為：(0,-3)；

②如圖，連接PM由對稱性可知△MNP是正三角形，

此時，NMP1N=6O°,

△MNPi是關于MN的對稱三角形尸2是正三角形，

此時P2點的縱坐標為6,

?.?點。(a,h)是線段MN的“近公正點”，

；.60°WNMQNW180。，

即點。在線段PP2上，

當點。在點P時，b--3,

當點。在點P2時，OE=6,即6=6,

二6的取值范圍為-3W6W6,

故答案為：-39W6.

8.如圖，RtZ\ABC中，ZACB=9Q°,力是48上一點，BD=BC,過點。作A8的垂線交

AC于點E,求證：8E垂直平分CD

【分析】證明RtZ\B￡>EgRtZ\8CE,根據全等三角形的性質得到EO=EC,根據線段垂

直平分線的判定定理證明.

【解答】證明：,DELAB,

；.NACB=/8DE=90°,

在RtABDE和RtABCf中，

[BD=BC

IBE=BE'

.".RtABD￡^RtABC￡,

：.ED=EC,

\'ED=EC,BD=BC,

.?.BE垂直平分CD.

t跟蹤訓練

0''*

1.（2022?濱州）如圖，屋頂鋼架外框是等腰三角形，其中AB=AC,立柱AOJ_BC,且頂

角NBAC=120°,則/C的大小為30°.

BDC

【分析】根據等腰三角形的性質和三角形內角和得到NB=NC=30°.

【解答】解：?.,A8=AC且NBAC=120°,

.?.ZB=ZC=A（1800-ABAC}=AX60°=30°.

22

故答案為：30°.

2.（2022?北京）如圖，在△ABC中，A力平分NBAC,DELAB.若AC=2,DE^\,則S

A4CD=I

【分析】過。點作OH_LAC于H，如圖，根據角平分線的性質得到。E=OH=1,然后

根據三角形面積公式計算.

【解答】解：過。點作DHLAC于H,如圖，

平分/84C,DE1,AB,DHLAC,

:.DE=DH=1,

?*-S/\ACD—X2X1=1.

2

故答案為：1.

3.（2022?鄂爾多斯）如圖，ZAOE=]5°,OE平分NAOB,OE〃OB交。4于點。，EC

-LOB,垂足為C若EC=2,則。。的長為（）

C.4D.4+2禽

【分析】過點E作Eb_LOA于點”，根據角平分線的性質可得E”=EC,再根據平行線

的性質可得NAOE的度數，再根據含30°角的直角三角形的性質可得CE的長度，再證

明OD=DE,即可求出OD的長.

【解答】解：過點E作于點如圖所示：