第03講1.2空間向量基本定理課程標準學習目標①理解并記住共線向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理及空間向量基本定理的內容及含義。②理解基底與基向量的含義，會用恰當的基向量表示空間任意向量。③會用相關的定理解決簡單的空間幾何問題。1.通過對空間向量基本定理的意義的掌握與了解，會用空間向量的基底表示空間任一向量，能用正交分解及坐標形式表示空間向量.2.結合平面向量與空間向量的基本定理，解決平面與立體幾何的相關問題.知識點01：空間向量基本定理1、空間向量基本定理如果向量三個向量不共面，那么對空間任意向量存在有序實數組使得2、基底與基向量如果向量三個向量不共面，那么所有空間向量組成集合就是這個集合可看作是由向量生成的，我們把叫做空間的一個基底都叫做基向量．對基底正確理解，有以下三個方面：（1）空間中任意三個不共面的向量都可以作為空間的一個基底；（2）因為可視為與任意一個非零向量共線，與任意二個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含著它們都不是；（3）一個基底是由三個不共面的向量構成的，它是一個向量組；而一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是不同的概念．【即學即練1】（2023秋·高二課時練習）如圖，M，N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點，E是MN的三等分點，且，用向量表示為（

）

A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為，所以，所以，即，又，所以.故選：D

知識點02：空間向量的正交分解1、單位正交基底如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都是1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用表示．2、正交分解由空間向量基本定理可知，對空間任一向量，均可以分解為三個向量，，使得.像這樣把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解．我們把稱作向量在單位正交基底下的坐標．記作此時向量的坐標恰是點在空間直角坐標系中的坐標其中分別叫做點的橫坐標、縱坐標、豎坐標．3、特殊向量的坐標表示（1）當向量平行于軸時，縱坐標、豎坐標都為，即（2）當向量平行于軸時，縱坐標、橫坐標都為，即（3）當向量平行于軸時，橫坐標坐標、縱坐標都為，即（4）當向量平行于平面時，豎坐標為，即（5）當向量平行于平面時，橫坐標為，即（6）當向量平行于平面時，縱坐標為，即題型01空間向量基底的概念及辨析【典例1】（2023·全國·高三對口高考）已知為空間的一個基底，則下列各選項能構成基底的是（

）A． B．C． D．【典例2】（多選）（2023春·福建莆田·高二莆田第二十五中學校考期中）設且是空間的一個基底，則下列向量組中，可以作為空間一個基底的向量組有（

）A． B．C． D．【變式1】（2023春·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學校考階段練習）為空間的一組基底，則下列各項中能構成基底的一組向量是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【變式2】（多選）（2023秋·山西晉中·高二統考期末）是空間的一個基底，與、構成基底的一個向量可以是（

）A． B． C． D．題型02用空間基底表示向量【典例1】（2023秋·浙江麗水·高二統考期末）在平行六面體中，，相交于，為的中點，設，，，則（

）A． B．C． D．【典例2】（2023秋·安徽宣城·高三統考期末）四棱錐中，底面是平行四邊形，點為棱的中點，若，則等于（

）A． B．1 C． D．2【典例3】（2023·陜西·統考一模）空間四邊形中，與是四邊形的兩條對角線，，分別為線段，上的兩點，且滿足，，若點在線段上，且滿足，若向量滿足，則______．【變式1】（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城中學校考期中）在四面體中，，是的中點，且為的中點，若，，，則（

）A． B．C． D．【變式2】（2023春·江蘇徐州·高二統考期中）如圖，在平行六面體中，是的中點，點在上，且，設，，．則（

）

A． B．C． D．【變式3】（2023春·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學校考階段練習）已知四面體，是的重心，是上一點，且，若，則為（

）A． B．C． D．【變式4】（2023·全國·高三對口高考）已知正方體中，側面的中心是，若，則_________，_________．

題型03應用空間向量基本定理證明線線位置關系【典例1】（2023·江蘇·高二專題練習）已知空間四邊形中，，且，，分別是，的中點，是的中點，求證：．【典例2】（2023·全國·高二專題練習）已知四面體中三組相對棱的中點間的距離都相等，求證:這個四面體相對的棱兩兩垂直.已知：如圖，四面體，分別為棱的中點，且求證.【典例3】（2023春·安徽合肥·高二校考開學考試）如圖所示，三棱柱中，，，，，，，是中點．(1)用，，表示向量；(2)在線段上是否存在點，使？若存在，求出的位置，若不存在，說明理由．【變式1】（2023春·高二課時練習）如圖，在平行六面體中，，，求證：直線平面【變式2】（2022秋·北京順義·高二牛欄山一中校考階段練習）如圖，在底面為菱形的平行六面體中，分別在棱上，且，且．(1)用向量表示向量；(2)求證：共面；(3)當為何值時，．題型04應用空間向量基本定理求距離、夾角【典例1】（2023·江蘇·高三專題練習）如圖，在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為，求與的夾角的余弦值．【典例2】（2023秋·福建三明·高二統考期末）如圖，在四面體中，，，，.(1)求的值；(2)已知是線段中點，點滿足，求線段的長.【典例3】（2023秋·浙江杭州·高二杭師大附中校考期末）如圖，平行六面體中，，，(1)求對角線的長度；(2)求異面直線與所成角的余弦值．【典例4】（2023·高一單元測試）如圖，三棱柱中，，分別是上的點，且．設，，．(1)試用，，表示向量；(2)若，求的長．【變式1】（2023春·廣西南寧·高二統考開學考試）已知在平行六面體中，，，且.(1)求的長；(2)求向量與夾角的余弦值.【變式2】（2023·全國·校聯考一模）如圖所示，已知空間四邊形的每條邊和對角線長都等于1，點，，分別是，，的中點．設，，.(1)求證；(2)求異面直線和所成角的余弦值．【變式3】（2023秋·遼寧沈陽·高二校聯考期末）如圖所示，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側棱的長為3，且，是的中點，設，，，用、、表示向量，并求的長．第03講1.2空間向量基本定理A夯實基礎B能力提升C綜合素養A夯實基礎一、單選題1．（2023秋·高二課時練習）已知為三條不共面的線段，若，那么（

）A．1 B． C． D．2．（2023·高二校考課時練習）對于空間任意一點和不共線的三點，有如下關系：，則（

）A．四點必共面 B．四點必共面C．四點必共面 D．五點必共面3．（2023春·江西贛州·高二校聯考階段練習）已知是空間的一個基底，則可以與向量，構成空間另一個基底的向量是（

）A． B． C． D．4．（2023春·安徽·高二合肥市第八中學校聯考開學考試）已知四面體，G是的重心，P是線段OG上的點，且，若，則為（

）A． B． C． D．5．（2023·高二校考課時練習）已知直線AB，BC，不共面，若四邊形的對角線互相平分，且，則的值為（

）A．1 B． C． D．6．（2023春·安徽合肥·高二校考開學考試）在平行六面體中，，，且，，則（

）A． B． C． D．7．（2023春·江蘇南京·高二南京市第一中學校考期中）如圖，在平行六面體中，底面是菱形，側面是正方形，且，，，若是與的交點，則（

）．A．9 B．7 C．3 D．8．（2023春·高二課時練習）如圖，在三棱錐中，點G為的重心，點M在上，且，過點M任意作一個平面分別交線段，，于點D，E，F，若，，，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5二、多選題9．（2023春·江蘇常州·高二校考開學考試）給出下列命題，其中正確的有（

）A．已知向量，則與任何向量都不能構成空間的一組基底B．是空間四點，若不能構成空間的一組基底，則共面C．若，則點四點共面D．已知是空間向量的一組基底，若，則也是空間一組基底10．（2023春·江蘇南京·高二南京市第一中學校考階段練習）如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為與的交點，若，則下列正確的是（

）A． B．C．的長為 D．三、填空題11．（2023秋·遼寧沈陽·高二沈陽二十中校聯考期末）如圖，在平行六面體中，O是AC與BD交點．記，則________（結果用表達）．12．（2023秋·河北唐山·高二統考期末）正四面體ABCD中，若M是棱CD的中點，，，則______.四、解答題13．（2023春·高二課時練習）如圖，已知M，N分別為四面體A-BCD的面BCD與面ACD的重心，G為AM上一點，且.求證：B，G，N三點共線.14．（2023春·四川綿陽·高二校考期中）如圖，在空間四邊形中，已知E是線段的中點，G在上，且．(1)試用表示向量；(2)若，求的值．B能力提升1．（2023·江蘇·高二專題練習）在棱長為1的正四面體中，點滿足，點滿足，當和的長度都為最短時，的值是（

）A． B． C． D．2．（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，且，，，，分別為，上的點，且，，（

）A．1 B． C．2 D．3．（2023·全國·高三專題練習）如圖，已知四棱柱的底面為平行四邊形，為棱，設底邊和側棱長均為4，則該正四棱錐的外接球表面積為___________；過點A作一個平面分別交于點E?F?G進行切割，得到四棱錐，若，則的值為___________.4．（2022·高二課時練習）如圖，已知正方體的棱長為1，P，Q，R分別在AB，，上，并滿足．設，，．(1)用，，表示，；(2)設的重心為G，用，，表示；(3)當時，求a的取值范圍．

第03講1.2空間向量基本定理課程標準學習目標①理解并記住共線向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理及空間向量基本定理的內容及含義。②理解基底與基向量的含義，會用恰當的基向量表示空間任意向量。③會用相關的定理解決簡單的空間幾何問題。1.通過對空間向量基本定理的意義的掌握與了解，會用空間向量的基底表示空間任一向量，能用正交分解及坐標形式表示空間向量.2.結合平面向量與空間向量的基本定理，解決平面與立體幾何的相關問題.知識點01：空間向量基本定理1、空間向量基本定理如果向量三個向量a,b,c,不共面，那么對空間任意向量2、基底與基向量如果向量三個向量a,b,c,不共面，那么所有空間向量組成集合就是pp=xa對基底正確理解，有以下三個方面：（1）空間中任意三個不共面的向量都可以作為空間的一個基底；（2）因為0可視為與任意一個非零向量共線，與任意二個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含著它們都不是0；（3）一個基底是由三個不共面的向量構成的，它是一個向量組；而一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是不同的概念．【即學即練1】（2023秋·高二課時練習）如圖，M，N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點，E是MN的三等分點，且NENM=13，用向量表示OE

A．OE=16C．OE=16【答案】D【詳解】因為NENM=1所以OM?ON=3(又OM=所以OE=故選：D

知識點02：空間向量的正交分解1、單位正交基底如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都是1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i,2、正交分解由空間向量基本定理可知，對空間任一向量a，均可以分解為三個向量xi，yi，zk使得我們把x,y,z稱作向量在單位正交基底{i,j,k}下的坐標．記作a=x,y,z此時向量a的坐標恰是點a在空間直角坐標系Oxyz3、特殊向量的坐標表示（1）當向量a平行于x軸時，縱坐標、豎坐標都為0，即a（2）當向量a平行于y軸時，縱坐標、橫坐標都為0，即a（3）當向量a平行于z軸時，橫坐標坐標、縱坐標都為0，即a（4）當向量a平行于xOy平面時，豎坐標為0，即a（5）當向量a平行于yOx平面時，橫坐標為0，即a（6）當向量a平行于xOz平面時，縱坐標為0，即a題型01空間向量基底的概念及辨析【典例1】（2023·全國·高三對口高考）已知a,A．a,a?C．2a+2b【答案】B【詳解】因為a?2b=3因為不是共面向量，所以可以構成基底，B正確；因為2a+2b與a因為a+c+故選：B.【典例2】（多選）（2023春·福建莆田·高二莆田第二十五中學校考期中）設且a,bA．a,b,C．b,c,【答案】BCD【詳解】如圖所示，令a=AB,b=由A、B1、C、D1四點不共面知：向量x,同理b,c,故選：BCD【變式1】（2023春·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學校考階段練習）a,A．a，a+b，a?b B．bC．c，a+b，a?b D．a【答案】C【詳解】對選項A：a=對選項B：b=對選項C：假設c=λa+對選項D：a+2故選：C【變式2】（多選）（2023秋·山西晉中·高二統考期末）a,b,c是空間的一個基底，與A． B． C．b D．c【答案】ACD【詳解】由于b?c=a+b?因為a,b,c是空間的一個基底，由于不存在實數對x、若成立則x+y=0x=1y=1，顯然方程組無解，故a+b、故選：ACD題型02用空間基底表示向量【典例1】（2023秋·浙江麗水·高二統考期末）在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AC，BD相交于O，M為OCA．14a+C．?14a【答案】C【詳解】

如圖所示，CM=故選：C【典例2】（2023秋·安徽宣城·高三統考期末）四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，點E為棱PC的中點，若AE=xAB+yA．32 B．1 C．52【答案】A【詳解】因為AE=所以2AE=AB+AD所以x+y+z=1故選：A.【典例3】（2023·陜西·統考一模）空間四邊形ABCD中，AC與BD是四邊形的兩條對角線，M，N分別為線段AB，CD上的兩點，且滿足AM=23AB，DN=34DC，若點G在線段MN上，且滿足【答案】11【詳解】因為AG=2所以x+y+z=1故答案：1112【變式1】（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城中學校考期中）在四面體O?ABC中，PA=2OP，Q是BC的中點，且M為PQ的中點，若OA=a，A．16a+C．13a+【答案】A【詳解】因為2OP=PA

因為Q是BC的中點，所以OQ=因為M為PQ的中點，所以OM=故選：A.【變式2】（2023春·江蘇徐州·高二統考期中）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，P是CA1的中點，點Q

A．QP=310C．QP=310【答案】C【詳解】因為P是CA所以AP=又因為點Q在CA1上，且所以AQ=1所以QP=故選：C.【變式3】（2023春·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學校考階段練習）已知四面體O?ABC，G1是ΔABC的重心，G是OG1上一點，且OG=3GA．14,1C．13,1【答案】A【詳解】如圖所示，連接AG1并延長，交BC于點E，則點E為BC的中點，AE=12由題設，OG=3OG所以x=y=z=1故選：A【變式4】（2023·全國·高三對口高考）已知正方體ABCD?A1B1C1D1中，側面C【答案】12/0.512【詳解】由于AP=所以m=12，故答案為：12；1

題型03應用空間向量基本定理證明線線位置關系【典例1】（2023·江蘇·高二專題練習）已知空間四邊形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC，M，N分別是OA，BC的中點，G是MN的中點，求證：OG⊥BC．【答案】證明見解析【詳解】在空間四邊形OABC中，令，則|a|=|令∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ則OG=12于是得OG=1因此，OG⊥所以OG⊥BC.【典例2】（2023·全國·高二專題練習）已知四面體中三組相對棱的中點間的距離都相等，求證:這個四面體相對的棱兩兩垂直.已知：如圖，四面體ABCD，E，F，G，H，K，M分別為棱AB，BC，CD，DA，BD，AC的中點，且EG=FH=【答案】證明見解析【詳解】證明：設AB則EGFH=KM=∵EG∴?∴a∴又b∴AC⊥DB∴這個四面體相對的棱兩兩垂直.【典例3】（2023春·安徽合肥·高二校考開學考試）如圖所示，三棱柱ABC?A1B1C1中，CA=a，CB=b，C(1)用a，b，c表示向量A1(2)在線段C1B1上是否存在點M，使AM⊥【答案】(1)?(2)當C1M=【詳解】（1）解：因為N是AB中點，所以AN=所以A；（2）解：假設存在點M，使AM⊥A1N，設顯然λC1B因為AM⊥A1即(c∴∵CA=CB=CC1=1，∴即12解得λ=23，所以當C1【變式1】（2023春·高二課時練習）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D【答案】證明見解析【詳解】設AB=a，，，則{a,b,c}為空間的一個基底且因為AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，所以a2=b在平面BDD1B1上，取BD、BB1為基向量，則對于面BDD1B1上任意一點P，存在唯一的有序實數對(λ,μ)，使得所以，A1所以A1C是平面BDD1B所以A1C⊥平面BDD1B1.【變式2】（2022秋·北京順義·高二牛欄山一中校考階段練習）如圖，在底面ABCD為菱形的平行六面體ABCD?A1B1C1D1(1)用向量AA1，(2)求證：D，M，B(3)當AA1AB【答案】(1)MN(2)證明見解析(3)1【詳解】（1）MN=（2）證明：∵DM=AM∴DM=N（3）當AA1AB證明：設AA∵底面ABCD為菱形，則當AA1AB∵AC1∠A∴A∴A題型04應用空間向量基本定理求距離、夾角【典例1】（2023·江蘇·高三專題練習）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1【答案】6【詳解】設AB=a，AD=由已知可得a?因為=?AB+AC=所以，BDAC2BD所以BD1=所以，cosB故直線BD1與AC的夾角的余弦值為【典例2】（2023秋·福建三明·高二統考期末）如圖，在四面體ABCD中，，∠BAD=∠CAD=45°，AD=2，AB=AC=3.(1)求BC?(2)已知F是線段CD中點，點E滿足EB=2AE，求線段【答案】(1)92(2)112【詳解】（1）在四面體ABCD中，設AB=a，AC=b，AD=?a,b?=∠BAC=60°，BC=|b（2）由（1）知，因為EB=2AE，則AE=13AB=于是得EF=因此|=329所以線段EF的長為112【典例3】（2023秋·浙江杭州·高二杭師大附中校考期末）如圖，平行六面體ABCD?A1B1C(1)求對角線CA(2)求異面直線CA1與【答案】(1)3；(2)56【詳解】（1）因為CB=BD=1，CB⊥所以三角形BCD為等腰直角三角形，所以CD=2又因為CC1=CB=1所以三角形CC以向量CB,則有CA兩邊平方得C==1+1+2+2×1×=9，所以|C即|CA所以對角線CA（2）因為CA1=CB+CD+所以C=(==1+=5所以cos<即異面直線CA1與DA所成角的余弦值為【典例4】（2023·高一單元測試）如圖，三棱柱ABC?A1B1C1中，M，N分別是A1B,B(1)試用a，b，c表示向量MN；(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CA【答案】(1)(2)5【詳解】（1）解：MN==?=1∴；（2）解：，∵∠BAC=90°,，∴|MN，即MN的長為53【變式1】（2023春·廣西南寧·高二統考開學考試）已知在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，(1)求DB(2)求向量與AB夾角的余弦值.【答案】(1)15；(2)155【詳解】（1）在平行六面體ABCD?A1B因為AB=2，，AD=1且∠DAB=∠則AB?DB所以|=2（2）由（1）知，DB1=又DB1=15，所以向量與AB【變式2】（2023·全國·校聯考一模）如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F，G分別是AB，AD，CD的中點．設AB=a，AC=(1)求證EG⊥AB；(2)求異面直線AG和CE所成角的余弦值．【答案】(1)證明過程見解析；(2)【詳解】（1）證明：連接DE，因為空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，且E，G分別是AB，CD的中點，所以AC=BC,BD=AD，故CE⊥又因為CE∩DE=E，CE,DE?平面CDE，所以AB⊥平面CDE，因為平面CDE，所以AB⊥（2）由題意得：△ABC,所以AG=EC=AG=12所以AG==1設異面直線AG和CE所成角為θ，則cos【變式3】（2023秋·遼寧沈陽·高二校聯考期末）如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側棱AM的長為3，且∠MAB=∠MAD=60°，N是CM的中點，設，b=AD，c=AM，用a、b、c表示向量BN，并求【答案】BN=?1【詳解】解：因為N是CM的中點，底面ABCD是正方形，所以BN=AD又由題意，可得a=AB=2，b=AD∠DAB=90°因此BN=1所以BN=172，即BN第03講1.2空間向量基本定理A夯實基礎B能力提升C綜合素養A夯實基礎一、單選題1．（2023秋·高二課時練習）已知BA,BC,BB1為三條不共面的線段，若AC1=xA．1 B．76 C．56 【答案】B【詳解】根據向量加法法則可得：AC即AC因為AC所以x=1，2y=1，3z=?1，所以x=1，y=12，z=?1故選：B.2．（2023·高二校考課時練習）對于空間任意一點?O?和不共線的三點，有如下關系：OP=16OAA．O,A,B,C四點必共面 B．P,A,B,C四點必共面C．O,P,B,C四點必共面 D．O,P,A,B,C五點必共面【答案】B【詳解】對于空間任一點?O?和不共線三點，若點?P?滿足OP=xOA+yOB+zOC而OP=16OA+故選：B.3．（2023春·江西贛州·高二校聯考階段練習）已知a,b,c是空間的一個基底，則可以與向量m=A．2a+2b?c B．a+4【答案】C【詳解】因為2aa+4a?2所以向量2a+2b?c，a+4b故選：C4．（2023春·安徽·高二合肥市第八中學校聯考開學考試）已知四面體O?ABC，G是△ABC的重心，P是線段OG上的點，且OP=2PG，若，則x,y,z為（

）A．16,16,16 B．【答案】B【詳解】由題意知，∵OP=2∴OP=故選：B．5．（2023·高二校考課時練習）已知直線AB，BC，不共面，若四邊形BB1C1C的對角線互相平分，且ACA．1 B．56 C． D．11【答案】D【詳解】由題意，知AB，BC，BB1不共面，四邊形BB∴ABCC1，又A∴x=2y=3z=1，∴x=1，y=12，∴x+y+z=故選：D.6．（2023春·安徽合肥·高二校考開學考試）在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AA1=1A．1 B．2 C． D．2【答案】C【詳解】以AB,AD,則B=1+2+2?2×=5?4×1∴BD故選：C.7．（2023春·江蘇南京·高二南京市第一中學校考期中）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，側面A1ADD1是正方形，且∠A1AB=120°A．9 B．7 C．3 D．7【答案】D【詳解】解：在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，四邊形所以P是C1所以，AP=又AB?AD=2，AB所以AP=14AB故選：D．8．（2023春·高二課時練習）如圖，在三棱錐P?ABC中，點G為△ABC的重心，點M在PG上，且PM=3MG，過點M任意作一個平面分別交線段PA，PB，PC于點D，E，F，若PD=mPA，PE=nPB，PF=tA．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【詳解】連接AG并延長，交BC于點H，以PA,由于G是△ABC的重心，點M在PG上，且PM=3MG，所以PM==1連接DM，因為D,E,F,M四點共面，所以存在實數x,y，使得DM=x即PM?PM=1?x?y由①②以及空間向量的基本定理可知：1?x?ym=41?x?y所以1m故選：C二、多選題9．（2023春·江蘇常州·高二校考開學考試）給出下列命題，其中正確的有（

）A．已知向量a∥b，則B．是空間四點，若BA,BM,BNC．若OP+OA+D．已知a,b,c是空間向量的一組基底，若【答案】ABD【詳解】對A：若a∥b，則a,對B：若BA,BM,BN不能構成空間的一組基底，則對C：若OP+OA+∵?1+?1故點P,A,B,C四點不共面，C錯誤；對D：∵a,b,若，則a,b,m故選：ABD.10．（2023春·江蘇南京·高二南京市第一中學校考階段練習）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為A．BM=12C．AC1的長為5 【答案】BD【詳解】根據題意，依次分析選項：對于A選項，BM=對于B選項，AC對于C選項，AC1=則AC1對于AB?AC故選：BD.三、填空題11．（2023秋·遼寧沈陽·高二沈陽二十中校聯考期末）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，則B1O=【答案】?【詳解】在平行六面體ABCD?A1B1C1D即BO=所以B1故答案為：?12．（2023秋·河北唐山·高二統考期末）正四面體ABCD中，若M是棱CD的中點，AP=λAM，AB+【答案】【詳解】因為AB+BP=即λAM=1下面證明：已知OB=xOA+yOC，若因為三點共線，所以存在非零實數t，使得AB=tAC即OB?OA=t故x=1?t，y=t，所以x+y=1，因為M,C,D三點共線，故16λ+1故答案為：四、解答題13．（2023春·高二課時練習）如圖，已知M，N分別為四面體A-BCD的面BCD與面ACD的重心，G為AM上一點，且.求證：B，G，N三點共線.【答案】證明見解析.【詳解】證明：取CD的中點E，連接AE，BE，因為M，N分別為四面體A-BCD的面DCD與面ACD的重心，所以M在BE上，N在AE上，設AB=a，AC=因為M為△BCD的重心，所以AM===因為GM=GA=1:3，所以AG=所以BG=同理得BN=∴BN∥又BN∩BG=B，∴B，G，N三點共線14．（2023春·四川綿陽·高二校考期中）如圖，在空間四邊形OABC中，已知E是線段BC的中點，G在AE上，且AG=2GE．(1)試用表示向量OG；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)28【詳解】（1）∵，∴，∴又∴（2）由（1）可得知=．B能力提升1．（2023·江蘇·高二專題練習）在棱長為1的正四面體ABCD中，點M滿足AM=xAB+yAC+1?x?yAD(x,y∈R)，點N滿足，當AMA． B．?13 C． D．?【答案】A【詳解】因AM=xAB+yAC+而x,y∈R，則DM,DB,DC共面，點又，即CN=λCA，于是得點N在直線AC棱長為1的正四面體ABCD中，當AM長最短時，點M是點A在平面BCD上的射影，即正△B