第04講6.3.1二項式定理+6.3.2二項式系數的性質課程標準學習目標①理解二項式定理的概念，會用二項式定理求解二項展開式。②掌握二項式系數的規律和指數的變化規律。③掌握多項式展開式的通項及特殊項或系數。④理解二項式系數的性質。⑤會用賦值法求展開式系數的和。1.要求能運用二項式定理求解二項展開式；2.會求展開式中的二項式系數，特殊項及特殊項系數；3.能用待定法求展開式中的待定系數.能解決與二項式定理相關的綜合問題；4.能理解二項式系數的性質；5.掌握二項式系數的增減性，靈活應用賦值法求二項展開式各項系數和.知識點01：知識鏈接（1）（2）知識點02：二項式定理及相關概念（1）二項式定理一般地，對于每個（），的展開式中共有個，將它們合并同類項，就可以得到二項展開式：（）.這個公式叫做二項式定理.（2）二項展開式公式中：，等號右邊的多項式叫做的二項展開式.【即學即練1】（2023上·高二課時練習）用二項式定理展開下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【詳解】（1）.（2）.（3）二項式系數與項的系數二項展開式中各項的二項式系數為(),項的系數是指該項中除變量外的常數部分,包含符號等.【即學即練2】（2023上·遼寧朝陽·高三建平縣實驗中學校聯考階段練習）在二項式的展開式中，二項式系數最大的是（

）A．第3項 B．第4項C．第5項 D．第3項和第4項【答案】B【詳解】二項式的展開式共有7項，則二項式系數最大的是第4項.故選：B.【即學即練3】（2023上·天津濱海新·高三塘沽二中?？茧A段練習）若的二項展開式中所有二項系數的和等于，則在的展開式中，的系數是．【答案】【詳解】因為的二項展開式中所有二項系數的和等于，所以，則，則展開式的通項為（其中且），令，解得，所以展開式中的系數為．故答案為：．（4）二項式定理的三種常見變形①②③知識點03：二項展開式的通項二項展開式中的()叫做二項展開式的通項,用表示,即通項為展開式的第項:.通項體現了二項展開式的項數、系數、次數的變化規律,是二項式定理的核心,它在求展開式的某些特定項(如含指定冪的項常數項、中間項、有理項、系數最大的項等)及其系數等方面有著廣泛的應用.知識點04：二項式系數的性質①對稱性：二項展開式中與首尾兩端距離相等的兩個二項式系數相等：②增減性：當時，二項式系數遞增，當時，二項式系數遞減；③最大值：當為奇數時，最中間兩項二項式系數最大；當為偶數時，最中間一項的二項式系數最大.④各二項式系數和：；奇數項的二項式系數和與偶數項的二項式系數和相等：【即學即練4】（2023·全國·高三專題練習）已知，，若，則該展開式各項的二項式系數和為（

）A．81 B．64 C．27 D．32【答案】D【詳解】，，∴，解得，∴該展開式各項的二項式系數和為.故選：D【即學即練5】（2023上·遼寧沈陽·高二?？茧A段練習）若展開式的二項式系數之和為64，則展開式的常數項為．【答案】15【詳解】因為展開式的二項式系數之和為64，所以，所以，所以二項式為，所以第項展開式為，若求常數項，則令，所以，所以，即常數項為15.故答案為：15.題型01求型的展開式【典例1】（2023下·北京通州·高二統考期中）二項式的展開式為（

）A． B．C． D．【典例2】（2023上·高二課時練習）求的二項展開式．【典例3】（2023·全國·高二專題練習）利用二項式定理展開下列各式：(1)；(2)．【變式1】（2023·全國·高二課堂例題）寫出的展開式．【變式2】（2023·全國·高二專題練習）求的展開式．題型02二項展開式的逆用【典例1】（2023下·黑龍江七臺河·高二勃利縣高級中學?？计谥校?/p>

）.A．1 B．－1C．(－1)n D．3n【典例2】（2023下·上海浦東新·高二校考期中）.【典例3】（2023上·高二課時練習）化簡．【變式1】（2023上·高二課時練習）化簡：設，則．【變式2】（2023下·安徽合肥·高二統考期末）已知，則的值為．【變式3】（2023·遼寧大連·育明高中?？家荒＃┑闹凳?題型03二項展開式中的特定項或特定系數問題【典例1】（2023·四川南充·統考一模）二項式的展開式中常數項為（

）A． B．60 C．210 D．【典例2】（2023下·山東濟寧·高二統考期中）的展開式中的系數是（

）A．126 B．125 C．96 D．83【典例3】（2023·西藏拉薩·統考一模）二項式的展開式中的第3項為（

）A．160 B． C． D．【典例4】（2023上·高二課時練習）的展開式的第3項的系數為；常數項為．【變式1】（2023上·北京東城·高三景山學校?？茧A段練習）二項式的展開式中常數項為.(用數字作答)【變式2】（2023·山西臨汾·?？寄M預測）的展開式中含的項的系數是．（用數字作答）【變式3】（2023下·四川遂寧·高三射洪中學?？茧A段練習）二項式展開式中的含項的系數為．【變式4】（2023下·江蘇鎮江·高二統考期中）在展開式中，項的系數為.題型04三項展開式中的特定項或特定系數問題【典例1】（2023下·河北邢臺·高二統考期末）展開式中的常數項為（

）A．6 B．15 C．20 D．28【典例2】（2023·廣東廣州·統考模擬預測）的展開式中的系數為（用數字作答）.【典例3】（2023上·山東·高三沂源縣第一中學校聯考開學考試）展開式中含項的系數為．【變式1】（2023·廣東·東莞市東華高級中學校聯考一模）在的展開式中，記項的系數為，若，則的值為.【變式2】（2023上·安徽·高三安徽省馬鞍山市第二十二中學校聯考階段練習）展開式中，項的系數為.【變式3】（2023下·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學?？茧A段練習）的展開式中項的系數為．題型05幾個二項式的和或積的展開式中的特定項或特定系數問題【典例1】（2023上·江西宜春·高二校考階段練習）的展開式中的系數為（

）A． B．7 C．77 D．【典例2】（2023·安徽·校聯考模擬預測）二項式的展開式中，所有項系數和為，則的系數為（用數字作答）.【典例3】（2023上·全國·高三專題練習）的展開式中含的項的系數為.【典例4】（2023·天津·高三專題練習）若的展開式中所有項的系數和為，則展開式中的系數為．【變式1】（2023·全國·模擬預測）的展開式中常數項為．（用數字作答）【變式2】（2023下·山東臨沂·高二統考期中）已知，若其展開式中各項的系數和為81，則．【變式3】（2023·江蘇·統考模擬預測）已知的展開式中所有項的系數之和為81，則展開式中含的項的系數為.【變式4】（2023·全國·模擬預測）已知的二項展開式中，偶數項的二項式系數之和為16，則展開式中的系數為．題型06二項式系數最大項問題【典例1】（2023·四川綿陽·統考二模）展開式中，只有第4項的二項式系數最大，則n的值為（

）A．8 B．7 C．6 D．5【典例2】（2023下·廣西防城港·高二防城港市高級中學?？计谥校┮阎検降恼归_式中僅有第4項的二項式系數最大，則.【典例3】（2023上·高二課時練習）（1）已知的展開式中第項和第項的二項式系數相等，求；（2）的二項式系數的最大值是多少？【變式1】（2023下·陜西寶雞·高二統考期末）若的展開式中第3項與第9項的系數相等，則展開式中二項式系數最大的項為（

）A．第4項 B．第5項 C．第6項 D．第7項【變式2】（2023下·遼寧沈陽·高二沈陽市第十五中學?？茧A段練習）的展開式中只有第六項的二項式系數最大，則第四項為.【變式3】（2023上·高二課時練習）若的展開式中，的系數是x的系數的7倍，求n的值及二項式系數的最大值．題型07系數最大（小）項問題【典例1】（2023上·全國·高三階段練習）已知的展開式中唯有第5項的系數最大，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·上海嘉定·統考一模）已知的二項展開式中系數最大的項為．【典例3】（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預測）的二項展開式中系數最大的項為.【典例4】（2023上·福建龍巖·高二福建省龍巖第一中學校考階段練習）（1）若，求的值；（2）在的展開式中，①求二項式系數最大的項；②系數的絕對值最大的項是第幾項；【變式1】（2023·河南安陽·統考二模）的展開式中各項系數的最大值為（

）．A．112 B．448 C．896 D．1792【變式2】（2023上·上海·高三上海市宜川中學校考期中）二項式的展開式中，系數最大的項為．【變式3】（2023下·江蘇南通·高二江蘇省通州高級中學?？茧A段練習）已知的展開式中第2項與第3項的二項式系數之比為2:5.(1)求n的值；(2)系數最大的項．【變式4】（2023下·四川雅安·高二?？茧A段練習）（1）若，求的值；（2）在的展開式中，①求二項式系數最大的項；②系數的絕對值最大的項是第幾項？題型08賦值法解決系數和問題【典例1】（2023上·四川攀枝花·高二統考期末）從①第4項的系數與第2項的系數之比是；②第3項與倒數第2項的二項式系數之和為36；這兩個條件中任選一個，再解決補充完整的題目．已知（），且的二項展開式中，____．(1)求的值；(2)①求二項展開式的中間項；②求的值．【典例2】（2023下·山東濟南·高二?？茧A段練習）已知，求：(1)；(2)．【典例3】（2023上·高二課時練習）設．求：(1)的值；(2)的值；(3)的值．【典例4】（2023下·江蘇·高二校聯考階段練習）若，求下列各式的值.(1)；(2)；(3).【變式1】（2023上·上?！じ叨虾Ｊ械诙袑W?？茧A段練習）若.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【變式2】（2023上·高二單元測試）已知.(1)求；(2)求；(3)求.【變式3】（2023下·河北保定·高二校考階段練習）設設十．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【變式4】（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學校?？计谀┮阎?(1)求的值；(2)求的值.題型09有關整除或求余問題【典例1】（2024上·河北廊坊·高三河北省文安縣第一中學校聯考期末）設，且，若能被7整除，則（

）A．-4 B．-5 C．-6 D．-7【典例2】（2023上·山東·高二校聯考階段練習）被8除的余數為（

）A．1 B．3 C．5 D．7【典例3】（2023下·江蘇連云港·高二?？茧A段練習）如果今天是星期三，經過7天后還是星期三，那么經過天后是（

）A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六【變式1】（2024下·全國·高二隨堂練習）設的小數部分為x，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2】（2023上·山東·高三山東省實驗中學?？茧A段練習）二項式展開式的各項系數之和被7除所得余數為．【變式3】（2023上·高二課時練習）用二項式定理證明能被8整除．題型10利用二項式定理近似計算【典例1】（2023·江西南昌·統考一模）二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩克·牛頓提出．二項式定理可以推廣到任意實數次冪，即廣義二項式定理：對于任意實數，，當比較小的時候，取廣義二項式定理的展開式的前兩項可得：，并且的值越小，所得結果就越接近真實數據．用這個方法計算的近似值，可以這樣操作：，用這樣的方法，估計的近似值約為（

）A．2.922 B．2.928 C．2.926 D．2.930【典例2】（2023·江蘇·高二專題練習）估算的結果，精確到0.01的近似值為（

）A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16【變式1】（2023·全國·高二專題練習）的計算結果精確到0.001的近似值是（

）A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933【變式2】（2023·全國·高三專題練習）的計算結果精確到0.01的近似值是．A夯實基礎B能力提升A夯實基礎一、單選題1．（2024上·遼寧沈陽·高二校聯考期末）的展開式中含的項是（

）A． B． C． D．2．（2023上·湖北黃岡·高三校聯考期中）若為一組從小到大排列的數，，，，，的第六十百分位數，則二項式的展開式的常數項是（

）A． B． C． D．3．（2023上·江蘇·高三校聯考階段練習）在的展開式中，含項的系數為（

）A． B．20 C． D．154．（2023下·山東濱州·高二統考期中）若的展開式中的系數為40，則（

）A．2 B． C．4 D．5．（2023上·福建莆田·高二莆田華僑中學?？计谀┤?，則（

）A．1 B．513 C．512 D．5116．（2023下·四川資陽·高二統考期末）展開式中，系數最大的項是（

）A．第5，6項 B．第6，7項 C．第6項 D．第7項7．（2024上·遼寧·高二遼寧實驗中學校聯考期末），則（

）A．31 B．1023 C．1024 D．328．（2023上·全國·高三階段練習）已知的展開式中唯有第5項的系數最大，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．（2023上·甘肅慶陽·高二校考期末）下列說法正確的是（

）A．已知，則可能取值為6B．已知，則可能取值為7C．在的二項式展開式中，常數項是84D．在的二項式展開式中，常數項是10．（2023上·廣東佛山·高三?？茧A段練習）若，其中為實數，則（

）A． B．C． D．三、填空題11．（2024上·全國·高三專題練習）若的展開式中含x的項的系數為60，則的最小值為．12．（2024上·甘肅武威·高三民勤縣第一中學校聯考開學考試）干支紀年是中國古代的一種紀年法.分別排出十天干與十二地支如下：天干：甲

乙

丙

丁

戊

己

庚

辛

壬

癸地支：子

丑

寅

卯

辰

巳

午

未

申

酉

戌

亥把天干與地支按以下方法依次配對：把第一個天干“甲”與第一個地支“子”配出“甲子”，把第二個天干“乙”與第二個地支“丑”配出“乙丑”，，若天干用完，則再從第一個天干開始循環使用.已知2023年是癸卯年，則年以后是年.四、解答題13．（2024上·遼寧沈陽·高二沈陽市回民中學?？计谀┮阎?(1)求的值；(2)求的值.（結果可以用冪指數表示）14．（2024上·吉林·高二校聯考期末）己知的展開式二項式系數和為64.(1)求展開式中的常數項；(2)求展開式中二項式系數最大的項.B能力提升1．（2024·全國·模擬預測）已知的展開式中前3項的二項式系數之和為29，則的展開式中的系數為（

）A． B． C． D．2．（2024上·河北保定·高三河北省唐縣第一中學?？计谀┑恼归_式的各項系數之和為1，則該展開式中含項的系數是（

）A． B． C． D．3．（2023·新疆·校聯考一模）若的展開式中常數項為，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2024上·遼寧沈陽·高二校聯考期末）的展開式中第3項與第7項的二項式系數相等，則的展開式中所有項系數的絕對值之和為．5．（2024上·上?！じ叨虾Ｄ蠀R中學?？计谀?）求證：；（2）利用等式可以化簡：；類比上述方法，化簡下式：.（3）已知等差數列的首項為，公差為，求證：對于任意正整數，函數總是關于的一次函數.第04講6.3.1二項式定理+6.3.2二項式系數的性質課程標準學習目標①理解二項式定理的概念，會用二項式定理求解二項展開式。②掌握二項式系數的規律和指數的變化規律。③掌握多項式展開式的通項及特殊項或系數。④理解二項式系數的性質。⑤會用賦值法求展開式系數的和。1.要求能運用二項式定理求解二項展開式；2.會求展開式中的二項式系數，特殊項及特殊項系數；3.能用待定法求展開式中的待定系數.能解決與二項式定理相關的綜合問題；4.能理解二項式系數的性質；5.掌握二項式系數的增減性，靈活應用賦值法求二項展開式各項系數和.知識點01：知識鏈接（1）（2）知識點02：二項式定理及相關概念（1）二項式定理一般地，對于每個（），的展開式中共有個，將它們合并同類項，就可以得到二項展開式：（）.這個公式叫做二項式定理.（2）二項展開式公式中：，等號右邊的多項式叫做的二項展開式.【即學即練1】（2023上·高二課時練習）用二項式定理展開下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【詳解】（1）.（2）.（3）二項式系數與項的系數二項展開式中各項的二項式系數為(),項的系數是指該項中除變量外的常數部分,包含符號等.【即學即練2】（2023上·遼寧朝陽·高三建平縣實驗中學校聯考階段練習）在二項式的展開式中，二項式系數最大的是（

）A．第3項 B．第4項C．第5項 D．第3項和第4項【答案】B【詳解】二項式的展開式共有7項，則二項式系數最大的是第4項.故選：B.【即學即練3】（2023上·天津濱海新·高三塘沽二中?？茧A段練習）若的二項展開式中所有二項系數的和等于，則在的展開式中，的系數是．【答案】【詳解】因為的二項展開式中所有二項系數的和等于，所以，則，則展開式的通項為（其中且），令，解得，所以展開式中的系數為．故答案為：．（4）二項式定理的三種常見變形①②③知識點03：二項展開式的通項二項展開式中的()叫做二項展開式的通項,用表示,即通項為展開式的第項:.通項體現了二項展開式的項數、系數、次數的變化規律,是二項式定理的核心,它在求展開式的某些特定項(如含指定冪的項常數項、中間項、有理項、系數最大的項等)及其系數等方面有著廣泛的應用.知識點04：二項式系數的性質①對稱性：二項展開式中與首尾兩端距離相等的兩個二項式系數相等：②增減性：當時，二項式系數遞增，當時，二項式系數遞減；③最大值：當為奇數時，最中間兩項二項式系數最大；當為偶數時，最中間一項的二項式系數最大.④各二項式系數和：；奇數項的二項式系數和與偶數項的二項式系數和相等：【即學即練4】（2023·全國·高三專題練習）已知，，若，則該展開式各項的二項式系數和為（

）A．81 B．64 C．27 D．32【答案】D【詳解】，，∴，解得，∴該展開式各項的二項式系數和為.故選：D【即學即練5】（2023上·遼寧沈陽·高二?？茧A段練習）若展開式的二項式系數之和為64，則展開式的常數項為．【答案】15【詳解】因為展開式的二項式系數之和為64，所以，所以，所以二項式為，所以第項展開式為，若求常數項，則令，所以，所以，即常數項為15.故答案為：15.題型01求型的展開式【典例1】（2023下·北京通州·高二統考期中）二項式的展開式為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】二項式，.故選：B【典例2】（2023上·高二課時練習）求的二項展開式．【答案】【詳解】由二項式定理，得，所以的二項展開式是．【典例3】（2023·全國·高二專題練習）利用二項式定理展開下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【詳解】（1）解：由.（2）解：由.【變式1】（2023·全國·高二課堂例題）寫出的展開式．【答案】【詳解】在二項式定理中令，可得．【變式2】（2023·全國·高二專題練習）求的展開式．【答案】【詳解】題型02二項展開式的逆用【典例1】（2023下·黑龍江七臺河·高二勃利縣高級中學校考期中）（

）.A．1 B．－1C．(－1)n D．3n【答案】C【詳解】原式=.故選：C.【典例2】（2023下·上海浦東新·高二?？计谥校?【答案】【詳解】原式.故答案為：.【典例3】（2023上·高二課時練習）化簡．【答案】．【詳解】原式【變式1】（2023上·高二課時練習）化簡：設，則．【答案】1【詳解】因為故答案為：【變式2】（2023下·安徽合肥·高二統考期末）已知，則的值為．【答案】【詳解】由，可得則，即，解得．故答案為：.【變式3】（2023·遼寧大連·育明高中校考一模）的值是.【答案】【詳解】由已知可得，.故答案為：.題型03二項展開式中的特定項或特定系數問題【典例1】（2023·四川南充·統考一模）二項式的展開式中常數項為（

）A． B．60 C．210 D．【答案】B【詳解】展開式的通項為，所以，常數項為，故選：B.【典例2】（2023下·山東濟寧·高二統考期中）的展開式中的系數是（

）A．126 B．125 C．96 D．83【答案】B【詳解】由題意原式中的系數；故選：B.【典例3】（2023·西藏拉薩·統考一模）二項式的展開式中的第3項為（

）A．160 B． C． D．【答案】C【詳解】因為，所以，故C項正確.故選：C．【典例4】（2023上·高二課時練習）的展開式的第3項的系數為；常數項為．【答案】【詳解】由二項式展開式的通項為，可得展開式中第3項為，所以第3項的系數為，令，可得，所以展開式的常數項為.故答案為：；.【變式1】（2023上·北京東城·高三景山學校校考階段練習）二項式的展開式中常數項為.(用數字作答)【答案】60【詳解】二項式的展開式的通項公式，由，得，則，所以二項式的展開式中常數項為60.故答案為：60【變式2】（2023·山西臨汾·校考模擬預測）的展開式中含的項的系數是．（用數字作答）【答案】【詳解】因為的展開通項公式為，令，得，所以其中含的項的系數為.故答案為：.【變式3】（2023下·四川遂寧·高三射洪中學?？茧A段練習）二項式展開式中的含項的系數為．【答案】-40【詳解】二項式展開式的通項為，令，則.故答案為：.【變式4】（2023下·江蘇鎮江·高二統考期中）在展開式中，項的系數為.【答案】【詳解】由題意，多項式，根據組合數的運算，展開式中的系數為，又由.故答案為：.題型04三項展開式中的特定項或特定系數問題【典例1】（2023下·河北邢臺·高二統考期末）展開式中的常數項為（

）A．6 B．15 C．20 D．28【答案】C【詳解】因為，所以展開式中的常數項即分子展開式中的系數，即.故選：C【典例2】（2023·廣東廣州·統考模擬預測）的展開式中的系數為（用數字作答）.【答案】【詳解】由于，所以的展開式中含的項為，所以的展開式中的系數為.故答案為：【典例3】（2023上·山東·高三沂源縣第一中學校聯考開學考試）展開式中含項的系數為．【答案】-160【詳解】變形為，故通項公式得，其中的通項公式為，故通項公式為，其中，，令，解得，故.故答案為：-160【變式1】（2023·廣東·東莞市東華高級中學校聯考一模）在的展開式中，記項的系數為，若，則的值為.【答案】【詳解】因為在的展開式中，記項的系數為，所以項的系數，即，由，可得，即，所以.故答案為：.【變式2】（2023上·安徽·高三安徽省馬鞍山市第二十二中學校聯考階段練習）展開式中，項的系數為.【答案】【詳解】，∵的指數是3，∴得到，∵的指數是2，得到，∴項的系數為.故答案為：【變式3】（2023下·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學?？茧A段練習）的展開式中項的系數為．【答案】【詳解】的展開式中，構成項只能是一個、一個、3個相乘，故此項為．故答案為：.題型05幾個二項式的和或積的展開式中的特定項或特定系數問題【典例1】（2023上·江西宜春·高二校考階段練習）的展開式中的系數為（

）A． B．7 C．77 D．【答案】B【詳解】的展開式通項為，故的展開式中的系數為，故選：B.【典例2】（2023·安徽·校聯考模擬預測）二項式的展開式中，所有項系數和為，則的系數為（用數字作答）.【答案】【詳解】令可得二項式的所有項系數和為，所以.二項式的展開式的通項公式為，，1，…，8，所以的展開式中，的系數為.故答案為：【典例3】（2023上·全國·高三專題練習）的展開式中含的項的系數為.【答案】960【詳解】的展開式的通項為，故令，可得的展開式中含的項的系數為：.故答案為：960.【典例4】（2023·天津·高三專題練習）若的展開式中所有項的系數和為，則展開式中的系數為．【答案】【詳解】令，得，解得，進而可得的展開式為，令，得，令，得，故的系數為．故答案為：【變式1】（2023·全國·模擬預測）的展開式中常數項為．（用數字作答）【答案】【詳解】的展開式的通項（，1，2，…，8）．當時，其展開式的常數項為；當時，其展開式中的系數為，則的展開式中常數項為．故答案為：【變式2】（2023下·山東臨沂·高二統考期中）已知，若其展開式中各項的系數和為81，則．【答案】【詳解】由展開式中各項的系數和為，令，可得，解得.故答案為：.【變式3】（2023·江蘇·統考模擬預測）已知的展開式中所有項的系數之和為81，則展開式中含的項的系數為.【答案】32【詳解】記令，則，即，則的展開式中含的項為.故答案為：32【變式4】（2023·全國·模擬預測）已知的二項展開式中，偶數項的二項式系數之和為16，則展開式中的系數為．【答案】720【詳解】由偶數項的二項式系數之和為16，則有，所以展開式中的項為：，則展開式中的系數為：720.故答案為：720.題型06二項式系數最大項問題【典例1】（2023·四川綿陽·統考二模）展開式中，只有第4項的二項式系數最大，則n的值為（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C【詳解】因為只有一項二項式系數最大，所以n為偶數，故，得.故選：C【典例2】（2023下·廣西防城港·高二防城港市高級中學?？计谥校┮阎検降恼归_式中僅有第4項的二項式系數最大，則.【答案】【詳解】因為二項式的展開式中僅有第4項的二項式系數最大，根據二項展開式的性質，可得中間項的二項式系數最大，所以展開式一共有7項，所以為偶數且，可得.故答案為：.【典例3】（2023上·高二課時練習）（1）已知的展開式中第項和第項的二項式系數相等，求；（2）的二項式系數的最大值是多少？【答案】（1）；（2）【詳解】（1）二項式展開式的通項為（且），所以第項的二項式系數為，第項的二項式系數為，依題意可得，所以；（2）二項式展開式的一共項，則第項和第項二項式系數相等同時取得最大值，又展開式的通項為（且）所以第項的二項式系數為，第項二項式系數為，即的二項式系數的最大值是.【變式1】（2023下·陜西寶雞·高二統考期末）若的展開式中第3項與第9項的系數相等，則展開式中二項式系數最大的項為（

）A．第4項 B．第5項 C．第6項 D．第7項【答案】C【詳解】由二項式定理可得第3項與第9項的系數分別為和，即，由二項式系數性質可得；因此展開式中二項式系數最大的項為，是第6項.故選：C【變式2】（2023下·遼寧沈陽·高二沈陽市第十五中學?？茧A段練習）的展開式中只有第六項的二項式系數最大，則第四項為.【答案】/【詳解】因為展開式中只有第六項的二項式系數最大，即，所以，所以.故答案為：【變式3】（2023上·高二課時練習）若的展開式中，的系數是x的系數的7倍，求n的值及二項式系數的最大值．【答案】，最大值為70.【詳解】因為展開式的第項的通項公式為，所以的系數為，的系數為，因為的系數等于x的系數的7倍，所以，解得.所以二項式系數的最大值為.題型07系數最大（小）項問題【典例1】（2023上·全國·高三階段練習）已知的展開式中唯有第5項的系數最大，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】的展開式的通項為，由題可知，解得．故選：A【典例2】（2023·上海嘉定·統考一模）已知的二項展開式中系數最大的項為．【答案】【詳解】設系數最大的項為，則，解得，因為且為整數，所以，此時最大的項為.故答案為：【典例3】（2023·上海浦東新·華師大二附中校考模擬預測）的二項展開式中系數最大的項為.【答案】【詳解】設展開式的第項的系數最大，則，解得，所以系數最大的項為第或第項，所以系數最大的項為：，.故答案為：【典例4】（2023上·福建龍巖·高二福建省龍巖第一中學?？茧A段練習）（1）若，求的值；（2）在的展開式中，①求二項式系數最大的項；②系數的絕對值最大的項是第幾項；【答案】（1）；（2）①②第6項和第7項【詳解】解：（1）∵，令，可得，令，可得，∴．（2）①．二項式系數最大的項為中間項，即第5項．所以．②設第項系數的絕對值最大，則，所以解得故系數絕對值最大的項是第6項和第7項.【變式1】（2023·河南安陽·統考二模）的展開式中各項系數的最大值為（

）．A．112 B．448 C．896 D．1792【答案】D【詳解】該二項式的通項公式為，由，可得．因為，所以展開式中各項系數的最大值為．故選：D【變式2】（2023上·上?！じ呷虾Ｊ幸舜ㄖ袑W?？计谥校┒検降恼归_式中，系數最大的項為．【答案】【詳解】展開式通項公式為，且為整數.要想系數最大，則為偶數，其中，，，，顯然系數最大項為.故答案為：【變式3】（2023下·江蘇南通·高二江蘇省通州高級中學?？茧A段練習）已知的展開式中第2項與第3項的二項式系數之比為2:5.(1)求n的值；(2)系數最大的項．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為第二項與第三項的二項式系數之比是，則，即，解得(舍)或，所以n的值為6.（2）的展開式的通項為，令，解得，又，，展開式中系數最大的項為第項，且．【變式4】（2023下·四川雅安·高二?？茧A段練習）（1）若，求的值；（2）在的展開式中，①求二項式系數最大的項；②系數的絕對值最大的項是第幾項？【答案】（1）；（2）①；②第6項和第7項【詳解】（1）∵，令，可得，令，可得，∴．（2）①．二項式系數最大的項為中間項，即第5項．所以．②設第項系數的絕對值最大，則所以解得故系數絕對值最大的項是第6項和第7項．題型08賦值法解決系數和問題【典例1】（2023上·四川攀枝花·高二統考期末）從①第4項的系數與第2項的系數之比是；②第3項與倒數第2項的二項式系數之和為36；這兩個條件中任選一個，再解決補充完整的題目．已知（），且的二項展開式中，____．(1)求的值；(2)①求二項展開式的中間項；②求的值．【答案】(1)條件選擇見解析，(2)①；②．【詳解】（1）若選擇①第4項的系數與第2項的系數之比是，則有，化簡可得，求得或（舍去）．若選擇②第3項與倒數第2項的二項式系數之和為36，則有，化簡可得，求得或（舍去）．（2）由（1）可得，①的二項展開式的中間項為．②二項式展開式的通項公式為，所以、、、、為正數，、、、為負數．在中，令．再令，可得，∴．【典例2】（2023下·山東濟南·高二校考階段練習）已知，求：(1)；(2)．【答案】(1)1(2)625【詳解】（1）由，令得，所以．（2）在中，令得①，令得②,所以．【典例3】（2023上·高二課時練習）設．求：(1)的值；(2)的值；(3)的值．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由，令，得，則；令，得，則，所以；（2）令，得①，令，得②，①②得，，所以；（3）根據展開式的通項公式知，，為負，，為正；令，所以．【典例4】（2023下·江蘇·高二校聯考階段練習）若，求下列各式的值.(1)；(2)；(3).【答案】(1)1024(2)58024(3)393660【詳解】（1）令，則，所以.，當時，可得.（2）令，得，令，得，所以.（3）因為，兩邊對求導得，令，得.【變式1】（2023上·上?！じ叨虾Ｊ械诙袑W?？茧A段練習）若.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）令，則，①（2）令，則，②令，則，，；（3），即為含項的系數，為，則.【變式2】（2023上·高二單元測試）已知.(1)求；(2)求；(3)求.【答案】(1)800；(2)；(3)0.【詳解】（1）在展開式中，含的項為，所以.（2）令，當時，，當時，，所以.（3）.因為，所以，故【變式3】（2023下·河北保定·高二?？茧A段練習）設設十．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）令，則①（2）令，則②，①②可得：；（3）因為的和為二項式的展開式的各個項的系數和，所以令，則．【變式4】（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學校校考期末）已知.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)2(2)18【詳解】（1）解：由，令，可得；令，可得，所以，所以.（2）解：因為，兩邊同時求導數，可得，令，則.題型09有關整除或求余問題【典例1】（2024上·河北廊坊·高三河北省文安縣第一中學校聯考期末）設，且，若能被7整除，則（

）A．-4 B．-5 C．-6 D．-7【答案】C【詳解】，因為能被7整除，且能被7整除，故能被7整除，又，所以.故選：C.【典例2】（2023上·山東·高二校聯考階段練習）被8除的余數為（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】B【詳解】其中是8的整數倍，故被8除的余數為3.故選：B【典例3】（2023下·江蘇連云港·高二校考階段練習）如果今天是星期三，經過7天后還是星期三，那么經過天后是（

）A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六【答案】B【詳解】因為，所以除以7的余數為1，所以經過天后是星期四，故選：B．【變式1】（2024下·全國·高二隨堂練習）設的小數部分為x，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】由，得的整數部分為4，則，所以，即，故.故選:B【變式2】（2023上·山東·高三山東省實驗中學?？茧A段練習）二項式展開式的各項系數之和被7除所得余數為．【答案】6【詳解】令得，由于，由于，均能被7整除，所以余數為6，故答案為：6【變式3】（2023上·高二課時練習）用二項式定理證明能被8整除．【答案】見解析【詳解】證明：能被8整除.所以能被8整除.題型10利用二項式定理近似計算【典例1】（2023·江西南昌·統考一模）二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩克·牛頓提出．二項式定理可以推廣到任意實數次冪，即廣義二項式定理：對于任意實數，，當比較小的時候，取廣義二項式定理的展開式的前兩項可得：，并且的值越小，所得結果就越接近真實數據．用這個方法計算的近似值，可以這樣操作：，用這樣的方法，估計的近似值約為（

）A．2.922 B．2.928 C．2.926 D．2.930【答案】C【詳解】，故選：C.【典例2】（2023·江蘇·高二專題練習）估算的結果，精確到0.01的近似值為（

）A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16【答案】A【詳解】原式+．故選：A．【變式1】（2023·全國·高二專題練習）的計算結果精確到0.001的近似值是（

）A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933【答案】C【詳解】.故選：C【變式2】（2023·全國·高三專題練習）的計算結果精確到0.01的近似值是．【答案】1.34【詳解】故答案為：A夯實基礎B能力提升A夯實基礎一、單選題1．（2024上·遼寧沈陽·高二校聯考期末）的展開式中含的項是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】的展開式的通項公式為，則，得，所以含的項是．故選：C.2．（2023上·湖北黃岡·高三校聯考期中）若為一組從小到大排列的數，，，，，的第六十百分位數，則二項式的展開式的常數項是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，可知，所以二項式為，其展開式的通項為，令，即，所以常數項為，故選：B.3．（2023上·江蘇·高三校聯考階段練習）在的展開式中，含項的系數為（

）A． B．20 C． D．15【答案】A【詳解】的第項為，令，則，所以的展開式中，含項為，系數為.故選：A4．（2023下·山東濱州·高二統考期中）若的展開式中的系數為40，則（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【詳解】的展開式的項為,因為的展開式中的系數為40，所以，解得.故選:B．5．（2023上·福建莆田·高二莆田華僑中學?？计谀┤?，則（

）A．1 B．513 C．512 D．511【答案】D【詳解】令，得，令，得，所以，故選：D6．（2023下·四川資陽·高二統考期末）展開式中，系數最大的項是（

）A．第5，6項 B．第6，7項 C．第6項 D．第7項【答案】D【詳解】因為的展開式的通項為，，所以展開式中各項的系數即為其二項式系數，根據二項式系數的性質有，第7項的二項式系數最大，故A，B，C錯誤.故選：D.7．（2024上·遼寧·高二遼寧實驗中學校聯考期末），則（

）A．31 B．1023 C．1024 D．32【答案】B【詳解】由二項式的展開式的通項為，所以，當時，可得為正數，當時，可得為負數，令，可得，令，可得，所以.故選：B.8．（2023上·全國·高三階段練習）已知的展開式中唯有第5項的系數最大，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】的展開式的通項為，由題可知，解得．故選：A二、多選題9．（2023上·甘肅慶