第十一章無窮級數第四節函數展開成冪級數一、函數的泰勒級數二、函數展開成冪級數方法三、小結級數是研究函數的重要工具，早在牛頓和萊布尼茲發明微積分時就已開始用其來表示函數。現如今，級數的理論在數學的各個分支都扮演著重要的角色，尤其是隨著計算機技術的飛速發展，級數在科學計算中有著廣泛的應用。

問題：怎樣把函數表示成無窮級數？求和函數

展開（求和反問題）一、函數的泰勒級數若一個函數能表示成一個冪級數則稱此冪級數為該函數的冪級數展開式.由泰勒中值定理可知，若函數在的某領域內具有直到階導數，則對有其中(介于x與之間)稱上式為函數在處的n階泰勒展開式.可得由和函數的性質，f(x)在鄰域內具有任意階導數，且于是有假設函數在的某領域內能展開成冪級數，即有這表明，如果函數f(x)有上式冪級數展開式，則該冪級數必為即展開式為稱為函數在點處的泰勒級數.如果將代入，得到稱為函數的麥克勞林級數．定義1

為函數f(x)在點處的泰勒展開式.稱為函數的麥克勞林展開式.若函數能在(-r,r)內展開成x的冪級數，則有定理1設函數在點的某鄰域內具有各階導數，則在該鄰域內能展開成泰勒級數，即的充分必要條件是其中是在點處的泰勒公式中的余項.證明：由級數收斂的定義其中f(x)的n階泰勒公式為二、函數展開成冪級數方法1、直接展開法將展開成x

的冪級數，可以按照以下步驟進行：第二步：計算出函數及其各階導數在處的值第一步：計算的各階導數第三步：寫出冪級數并求出收斂半徑R.第四步：驗證是否成立，如果成立，那么函數在區間內的冪級數展開式為解：例1將函數展開成x

的冪級數.因此于是得到級數所給函數的各階導數為并且該級數的收斂半徑收斂域為問題：該級數是否收斂于？??只要證構造級數由比值法故級數收斂，則必有故得到展開式需熟記！解：函數的各階導數為例2將函數展開成的冪級數.因此，的順序取值分別為

于是得到級數并且它的收斂半徑，收斂區間.對任意的數與（在0與之間），余項的絕對值由于級數收斂，故有因此得到展開式例2將函數展開成的冪級數.解：問題：函數直接展開為冪級數難且繁！有沒有簡便易行的方法？函數的冪級數展式是否會因展開的方法不同而不同？唯一性定理：如果函數能在的某個鄰域內展開成的冪級數，則它的展開式是唯一的，且與的麥克勞林級數一致．2、間接展開法所謂間接展開法，就是利用常見展開式，通過變量代換，四則運算,恒等變形,逐項求導,逐項積分等方法,求展開式.我們已知的冪級數的展開式有兩端積分，可得作變量代換，可以得到變量代換：例3將函數展開成的冪級數．解：因此由于逐項求導解：（1）函數

的展開式為即于是利用上式，令，得例4將下列函數展開成麥克勞林級數：（1）（2）變量代換（2）我們已知將上式兩端從0到積分，得例4將下列函數展開成麥克勞林級數：（1）（2）解：當時，上式右端的級數成為是收斂的;當時，上式右端的級數成為也是收斂的.并且在處是連續的,因此逐項求積（1）由得（1）（2）例5將下列函數展開成的冪級數：解：而（1）（2）例5將下列函數展開成的冪級數：（2）解：于是，可得它的收斂域為恒等變形：分母可因式分解，裂項！（1）由于（1）（2）例6將下列函數展開成的冪級數：解：有所以（2）（1）（2）例6將下列函數展開成的冪級數：解：有所以由于由于*例7將函數展開成的冪級數解：并且有所以解：所以例8計算的近似值，要求誤差不超過0.00001.

因為取前六項作為的近似值其誤差為例8計算的近似值，