天津市實驗中學2024屆高三下學期考前熱身訓練數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合4={%|%=3左一1,左￡]^},5={%|—4%2+4%+15>0},則4nB=（）

A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,2}

c

2.記S”為數列{%}的前〃項和，設甲：{%}為等差數列；乙：{2}為等差數列，則（）

n

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

3.如圖，直線/和圓C,當/從。開始在平面上繞點O按逆時針方向勻速轉到（轉到角不

超過90。）時，它掃過的圓內陰影部分的面積S是時間，的函數，這個函數的圖像大致是

4.已知m,n為異面直線，m_L平面a,n_L平面[3,直線1滿足1J_m,1_Ln,/a,//?,則

試卷第1頁，共4頁

（）

A.a〃p且/〃aB.a_L0且/_L0

C.a與B相交，且交線垂直于/D.a與0相交，且交線平行于/

5.四名同學各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現的點數.根據四名同學的統計結果，可

以判斷出一定沒有出現點數6的是（）

A.平均數為3,中位數為2B.平均數為2,方差為2.4

C.中位數為3,眾數為2D.中位數為3,方差為2.8

6.已知a=log23,6=log34,c=log45,則a,b,c的大小關系是（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.c<b<a

TT

7.已知函數y[x）=Qsinx+cosx（。為常數，x￡R）的圖象關于直線％=T■對稱，則函數g（x）

6

=sinx+qcosx的圖象（）

A.關于點對稱B.關于點對稱

C.關于直線x=J對稱D.關于直線x=彳對稱

36

22

8.已知雙曲線4-4=1（。/>0）上存在關于原點中心對稱的兩點4B,以及雙曲線上的

ab

另一點C,使得V/BC為正三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（）

D.

9.已知定義在R上的奇函數“X）,當x<0時，/（x）=el-（x+l）,給出下列命題:

①當x>0時，/（x）=e-（l-x）；②函數/（X）有2個零點；

③/。）>0的解集為（T0）U（l,+8）；④都有|〃西）一/（々）|<2.

其中正確的命題個數為（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

10.已知2i-3是關于x的方程2/+必+4=0（0應€11）的一個根，則。+4=.

試卷第2頁，共4頁

11.在。-2x)5.(1+3x)4的展開式中，按x的升塞排列的第3項為.

12.已知點A為圓C：(x-",)2+(y-m-l)2=2上一點，點2(3,0),當加變化時線段N3長度的

最小值為.

13.甲、乙、丙三個人去做相互傳球訓練，訓練規則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球

時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，每次必須將球傳出.如果第一次

由甲將球傳出，設“次傳球后球在甲手中的概率為4，則8=;Pn=.

―?—?3——?1—>

14.在梯形/BCD中，AB//CD,AD=1,AB=3,CD=1,AC-AB=—，點、M滿足4M=-4B,

23

則；若8。與CM相交于點P,N為線段/C延長線上的動點，則標.麗的

最小值為.

15.已知函數/(x),g(x)的定義域均為R,S./(x)+g(2-x)-5,g(x)-f(x-4)=7.若

22

v=g(x)的圖象關于直線x=2對稱，g(2)=4,貝!]￡/(左)=.

k=l

三、解答題

16.如圖，在V/BC中，已知/8=2,/。=5,/3/。=60°,3(7,/(7邊上的兩條中線/〃，BN

相交于點P.

⑴求中線的長；

⑵求的余弦值；

(3)求A/8尸面積.

17.如圖，在棱長為。的正方體ON8C-OW￡C中，瓦尸分別是棱上的動點，且

AE=BF.

試卷第3頁，共4頁

⑴求證：A'F1C'E；

(2)當三棱錐B'-BEF的體積取得最大值時，求平面B'EF與平面BEF夾角的正切值及點O到

直線B'E的距離.

18.已知等比數列｛%｝的前〃項和為S“，且a向=2S,+2(〃eN*).

(1)求數列｛%｝的通項公式；

⑵在an與an+l之間插入n個數，使這n+2個數組成一個公差為dn的等差數列.

(i)求數列｛4“｝的通項公式及2竽；

(ii)在數列｛",｝中是否存在3項力,，或，。(其中優，hp成等差數列)成等比數列？若存

在，求出這樣的3項；若不存在，請說明理由.

22

19.已知橢圓三+5=1(。>6>0)的左焦點為尸(-70),右頂點為A,點E的坐標為(0,c),

ab

△EE4的面積為d.

2

(I)求橢圓的離心率；

(II)設點。在線段/E上，|尸。|=(，延長線段尸。與橢圓交于點尸，點M,N在x軸上,

PM\\QN,且直線尸”與直線QN間的距離為c,四邊形PQW的面積為3c.

(i)求直線尸尸的斜率；

(ii)求橢圓的方程.

20.已知函數/'(x)=ae2%+(<?-2)e*-x,g(x)=eA-ln(x+m].

⑴討論/(x)的單調性；

(2)當加42時，求證g(x)>0；

⑶若有兩個零點，求。的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號123456789

答案DCDDBDCAB

1.D

【分析】解一元二次不等式得到3,再由集合交集運算即可求解.

【詳解】因為/=｛x|x=3左一1,左eN｝,當左=一1,0,1,2,時，3左-1=-4,-1,2,5

5=|x|-4x2+4x+15>O｝=卜-T<x<

所以4(18=｛T,2｝

故選：D

2.C

【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數列的定義，再結合數列前〃項和與第〃

項的關系推理判斷作答.，

【詳解】方法1,甲：｛%｝為等差數列，設其首項為q,公差為d,

則Sn=71al+Dd,且=Cli+^-d=gn+—^,^77——=p

2n222n+1n2

因此｛24為等差數列，則甲是乙的充分條件；

n

反之，乙：｛1｝為等差數列，即螯—,=也常箸迫=將/為常數，設為''

艮|3九：；：；],=t,則S九=nan+1-t-n(n+1),有S5i=(n-l)an-t-n(n-l),n>2,

兩式相減得：an=nan+1—(n—l)an—2tn,即冊+1—an=23對〃=1也成立，

因此｛4｝為等差數列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件，C正確.

方法2,甲：｛%｝為等差數列，設數列｛%｝的首項q，公差為d,即s“=〃q+”^",

則1=%+"d=Sn+ai—4，因止匕｛盤｝為等差數列，即甲是乙的充分條件；

反之，乙：｛今為等差數列，即罄—?=￡>,?=S1+5—1)。，

即Sn=nSx+n(n-1)Z>,Sn_1=(〃-1)R+(〃一1)(〃-2)。,

當〃22時，上兩式相減得：Sn-Sn_r=Sr+2(n-1)Z),當〃=1時，上式成立，

于是4=4+2(〃-1)。,又4+i=%+2〃。-[q+2(〃-1)0=20為常數，

答案第1頁，共17頁

因此｛。J為等差數列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件.

故選：C

3.D

【分析】由題意可知：S變化情況為“一直增加，先慢后快，過圓心后又變慢”，據此確定函

數的大致圖像即可.

【詳解】觀察可知面積S變化情況為“一直增加，先慢后快，過圓心后又變慢”，

對應的函數的圖象是變化率先變大再變小，由此知。符合要求.

故選D.

【點睛】本題主要考查實際問題中的函數圖像，函數圖像的變化趨勢等知識，意在考查學生

的轉化能力和計算求解能力.

4.D

【詳解】試題分析：由巾平面直線/滿足/J-加，且所以///a,又“_L平面"，

11小1邙,所以/〃分，由直線九〃為異面直線，且機，平面平面。，則a與。相交,

否則，若a//〃則推出機//〃，與機,〃異面矛盾，所以％￡相交，且交線平行于/,故選D.

考點：平面與平面的位置關系，平面的基本性質及其推論.

5.B

【分析】根據題意舉出特例，結合中位數，眾數，平均數以及方差公式，即可得出答案.

【詳解】對于A,當投擲骰子出現結果為1,1,2,5,6時，滿足平均數為3,中位數為2,

可以出現點數6,故A錯誤；

對于B,若平均數為2,且出現6點，則方差s?>:(6-2)2=3.2>2.4,

則平均數為2,方差為2.4時，一定沒有出現點數6,故B正確；

對于C,當投擲骰子出現結果為2,2,3,4,6時，滿足中位數為3,眾數為2,可以出現

點數6,故C錯誤；

對于D,當投擲骰子出現結果為1，2,3,3,6時，滿足中位數為3,

平均數為了=：(1+2+3+3+6)=3,

方差為$2=g[(1-3)2+(2-3)2+(3-3>+(3-3)2+(6-3>]=2.8,

答案第2頁，共17頁

可以出現點數6,故D錯誤;

故選：B.

6.D

【分析】對。，b,c進行變形，構造〃+x>2,求導后得到其單調性，從而

Inx

判斷出b,。的大小.

【詳角軍】?=log23=^1,Z)=log34=^,c=log45=^1-,

In2m3In4

令/(尤)=蛇卻，xN2,

Inx

Inxln(x+l)

則HQ=IZTx=^lnx-(x+l)ln(x+l),

In2xx(x+D或x

因為x>2,所以x(x+l)ln2%>0,

令g(x)=xlnx,x>2,

gr(x)=lnx+l>0在x22上恒成立,

故xlnx—(x+l)ln(x+l)<0,

xlnx-(x+l)ln(x+l)

所以/'(x)=<0在122上恒成立,

x(x+l)ln2x

故/(無)="(x+1)在x22上單調遞減,

Inx

In3In4In5

所以——>——>——，即〃〉6>c

In2ln3In4

故選：D

【點睛】構造函數比較大小是高考熱點和難點，結合代數式的特點，選擇適當的函數，通過

導函數研究出函數的單調性，從而比較出代數式的大小，本題中變形得到。=logz3=P，

In2

6=log，4="，C=log45=^4,所以構造/(x)」n(x+l),%>2,達到比較大小的目的.

In3In4'7Inx

7.C

【分析】由題意結合函數的對稱性可得/.(oh/1?],進而可得a=，，結合輔助角公式

可得g(x)=#isin[x+^|,再結合三角函數的圖象與性質逐項判斷即可得解.

答案第3頁，共17頁

【詳解】由函數小)的圖象關于直線x=?對稱可得/(0)=，/即「等Q+j

所以a=^~，g(x)=sinx+^-cosx=^-^-sinfx+—1,

333V6J

小丁A八2百.(nn\2G人七廿、口八-rr&

對于A、C,gly1=^—smly+—1=^—,故A錯慶、C正確;

TTc「2乃12百.(2兀兀'G?'口

對于B,gl—1=^—sinl—+—l=—,故B錯厭;

對于D,g[\=竺sin([+[]=l,故D錯誤.

故選：C.

【點睛】本題考查了三角函數圖象與性質、輔助角公式的綜合應用，考查了運算求解能力與

轉化化歸思想，屬于中檔題.

8.A

【分析】設點/(無,力，則可取cb5,岳)，代入雙曲線方程整理可得q=n，結

XCL?3D

合漸近線列式求解即可.

【詳解】由題意可知：雙曲線的漸近線方程為＞=±2》,

a

設點Z(x,y),則可取C卜島，亞卜

22

匕=1,

“Ib2，整理得4=”名〈與,

則2

3y3x21x2a2+3b2a2

-------------I

a2b2

2

解得〃＞/,即°2一/〉/,可得二＞2,則e=￡

aa

所以該雙曲線離心率的取值范圍是(3,+8).

答案第4頁，共17頁

故選：A.

【點睛】關鍵點點睛：1.巧妙設點：設點/(XJ),根據垂直和長度關系可取C卜島，后卜

2/2

2.根據漸近線的幾何意義可得：與〈與.

xa

9.B

【分析】利用奇函數的定義與性質可判定①②，通過導數研究函數的單調性、最值可判定

③④.

【詳解】不妨令一無<0,則x>0J(-x)=ef(-x+l)

因為/(x)為奇函數,所以/(f)=—/(x)n〃x)=eT(xT，即①錯誤；

ex(x+l),x<0

由上可知/(x)=<0,x=0,

e-A>0

令/(尤)=0可得x=±l或0,有三個零點，即②錯誤；

對于/(x)=ex(x+1)(x<0)=>/'(X)=er(x+2),

顯然x<-2時/'(x)<0,此時y=/(x)單調遞減，

0>x>-2時/'(無)>0,此時y=/(x)單調遞增，

不難發現尤>-1時，/(x)>0,x<-l時/(x)<0,

所以/(x"/(-2)=-x-0時，

所以x<0時，f(-X)e-/,lj,

由奇函數的性質可知/(無)>0的解集為(T,0)U(l,+s)；

且x>0時，,故尤eR時有/(x)e(-1,1),

則VXi'eR,都有<,=>-2</(X1)-/(x2)<2,

［一1<一J—J<1

所以恒成立，即③④正確；

故選：B

答案第5頁，共17頁

【點睛】思路點睛：根據奇函數的對稱性性質結合導數研究函數的單調性、極值與最值計算

即可，另外多積累常用的幾類函數會幫助比較大，形如了=xe"=xlnx/=《/=住等.

XX

10.38

【分析】代入方程結合復數的概念及運算法則待定系數計算即可.

【詳解】將x=2i-3代入方程2x?+p尤+g=0

得2（2i—3『+p（2i-3）+g=（2p_24）i+10-3p+q=0,

2p-24=0p=12

所以所以p+q=38.

\Q-3p+q-0=g=26

故答案為：38

II.-26x2

【分析】易知，展開式中有常數項、一次項，二次項，……，故按x的升幕排列，第三項為

含Y項，結合展開式的通項可求解.

【詳解】解：易知，展開式中有常數項、一次項、二次項等，故所求的項為f項.

整個式子中項可由(1-2x)5,(1+3x＞的展開式的常數項與二次項、一次項與一次項相乘

得到，其中(1-2x)5展開式的通項為&]=q(-2x)r,(1+3x)4展開式的通項為=c：(3x)4；

故所求為：C；xC：(3x)2+C(-2x)xC；(3x)+C；(-2x)2xC：=-26x?.

故答案為：-26，.

12.V2

【分析】根據圓的方程得到圓心的軌跡，然后根據幾何知識得到當時線段N8的長度

最小，

然后求線段的長度即可.

答案第6頁，共17頁

【詳解】

圓C的圓心坐標為〃z+l）,半徑一行，所以圓心在直線/：y=x+l上,

當時線段AB的長度最小,

|3+1-0|

點B到直線/的距離〃==20,

V1+T

所以同L=d-r=^2.

故答案為：V2.

【分析】設出事件4，由題意得到4M=4-A+i，由互斥事件的概率加法公式和

全概率公式得到概率月的遞推式IM=-1^+p接著構造等比數列優-1），求出其通項公

式即得.

【詳解】設4="經過”次傳球后，球在甲的手中”，則事件4的概率即勺,“=1,2,3,，

則q=0,

依題意，4M?A,則p=p（A-A+J4M）（4M）（?

41M=4-+4n+ln+}nI1+IA=pZ?+p4A+I）

——11

=尸（4）?尸（4M4）+尸（4）?尸（4M4）=（I—￡）X5+￡XO=3（I—月），

即4+1=-34+＜，1,2,3,-,（*）

因代入解得，＜，

6=0,8=P3=_LXL+L=L.

由（*）可得，只+「;=_1月+[=一:（勺-），且月一.=一;,

3262333

故數列化-9是以-;為首項，-1為公比的等比數列，

答案第7頁，共17頁

于是，尸，則得，^=1-1x(-lr=1x(-Lr+L

33幺3幺3

故答案為：(；lx*-；)〃+:?

一2兀23

14.——一

336

【分析】結合圖形，利用向量的加減運算和數量積的定義化簡計算即可求得/24。；接著

根據條件建立平面直角坐標系，設運用向量數量積的坐標運算式，將而?屜化

成關于t的二次函數，利用其圖象特征即得而.福的最小值.

由圖知，AC-AB^(AD+DC)-AB=AD-AB+DC-AB^3cosZDAB+3^^,

I7jr

解得，cosNDAB=一一,因0</。/8<兀，貝!|40/3=三；

23

7IT

如圖建立平面直角坐標系，因=AB//CD,4D=CD=1,易得正4CD.

則/(0,0),2(3,0),嗎,號,。(-；,表心1,0)，直線CM的方程為：6x+y-￡>=0,

2

直線BD的方程為:岳+7y-=0,兩直線聯立解得<

因N為線段/C延長線上的動點,則”1,

’2166

于是，NP-NB=-------1,--------------1

3232

2116或、/6、_/77，23

=(---0(3--0+(--0(--t-3^+2-a--)+-)

793

因Z>1,故當t=z時，楊?屜取得最小值，為外.

O36

答案第8頁，共17頁

_2兀23

故答案為：—;—■

336

15.-24

【分析】根據/'(x)+g(2-x)=5,g(x)-/(x-4)=7得至U/(-=根據y=g(x)的圖

象關于直線x=2對稱得到g(2-x)=g(2+x),然后通過替換得到/'(x)為周期為4的周期

函數，最后通過賦值和周期性求函數值即可.

【詳解】由/(尤)+g(2-x)=5得/(2->)+g(x)=5,

由g(x-4)=7得〃2-力+仆-4)=-2,

令x=3得/'(一1)=一1,

因為y=gO)的圖象關于直線x=2對稱，所以g(2-無)=g(2+x),

由/(尤)+g(2-x)=5得y(x)+g(2+x)=5,

由g(x)-〃x-4)=7得g(2+x)-/(x-2)=7,

貝U/(x)+/(x-2)=-2,/(x-2)+/(x-4)=-2,

所以/'(x)=/(尤一4),/(x)為周期為4的周期函數，/(-1)=/(3)=-1,

在/(尤)+g(2-x)=5中，令x=0得〃0)+g⑵=5,則/(0)=/(4)=1,

在/(x)+/(x-2)=-2中,令》=2得〃2)+/(0)=-2,則/⑵=一3,

令x=3得〃3)+〃1)=-2,則/⑴=一1,/⑴+〃2)+〃3)+/(4)=-4,

22

g/(A:)=/(l)+/(2)+5x(-4)=-24.

k=l

故答案為：-24.

16.(1)叵

2

⑵幽

91

⑶氈

6

【分析】(1)運用中線長的向量表達式，結合數量積定義可解；

(2)轉化為向量夾角余弦值可解；

答案第9頁，共17頁

（3）運用重心的性質，結合面積公式可解.

【詳解】(1)因為W為的中點，，翔=^方+(萬，

/.AM=-{AB+ACY=~^AB+2ABAC+ACj=-(4+25+2x2x5xcos60)=y，

/.|AM卜叵.

2

—?1—?—?

(2)因為BN=—4C—

2

--2(1—?--Y1--2—?―?—-21o21

BN=-AC-AB=-AC—AC?AB+AB=—x25—2x5xcos60+4=—,

uJ444

（3）???尸為中線的交點，「.0為V45C重心,

22

:.\AP\=-\AM\,\BP\=-\BN\,

___________斥

?「ZMPNG(0,7i),/.sinZMPN=yjl-cos2ZMPN=,

<91

i&八

/.SARC=-\AF\\BP\sin/MPN=-.

2o

17.(1)證明見解析

(2)2億

【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用空間位置關系的向量證明求解即可.

（2）利用平面夾角的向量求法結合同角三角函數的基本關系求出tan6=2夜，利用直線夾

角的向量求法求出cos^=|,再求解點到直線的距離即可.

【詳解】（1）以C為原點，如圖所示建立空間直角坐標系，

答案第10頁，共17頁

AE=BF,CF=BE,

設C/=6(0<6〈q),

/.F(0,b,0),A(a,a,a\E(b,a,0),C(0,0,a),

AF=(-a,b-a,-a)9CE=(b,a,-a)，

■:A.F?CE=—cib+ctb-iz2+ci^—0f

/.AF_LCE，即AF_LC'E,

(2)VB，_BEF=；SmFxBB'=才3b(a—b)xa

2

=~ab+1/仇6e(o,0,由二次函數性質得,

66

12

-Q

,6Q一.

當6=一—寧方=5時，%.BEF取得最大值，

2xhJ

此時瓦廠為的中點，

設平面8跖的法向量為*=(0。1),

而=心,“，

設平面B'EF的法向量為需=(x,y,z),

n2?FE-0Jx+j=0

n2-FB'-0\y+2z=0

令z=1,.，.y=-2,x=2,/.n2-(2,—2,1),

設平面BrEF與平面BEF的夾角為。,

cos6=|cos/^,^\|=,

'/"iH%3

答案第11頁，共17頁

/.sin0=----，tan6=2^2，

3

班出,0廠0；礪=[\,見0

設直線OE和所成角為6，

I/—.—A||赤?匹]9[7

■?.cos尸=cos(。及B'E)\=I|=1,；.sin￡=里

1'710目忸目55

?'?點O到直線BE的距禺d=|(9E卜sin0=.

18.(1)%=2X3"T

力，4X3”T9”/178〃+17)

萬屆一64x9"J；（ii）不存在，理由見解析

⑵⑴"”二F

【分析】（1）當“22時，由％=2S“+2可得%=2“+2,兩式作差可得出一=3a“，再

由〃=1可得出g=2q+2=3%,求出可的值，確定等比數列｛冊｝的公比，即可求得數列｛冊｝

的通項公式；

（2）①求得d“=4Wx—,利用錯位相減法可求得7；；

〃+1

②假設在數列｛4,｝中是否存在三項"、%（其中"?、k、。成等差數列）成等比數列，

由等比數列的定義結合已知條件化簡得出4k2=4mp,結合2左=加+p以及加R。可得出結

論.

【詳解】（1）（1）方法一：

當〃22時，an-2S"_]+1,

a,+「a,=25?-2S?_1=2a?,

則J=3%，

｛4｝為等比數列，，等比數列｛an｝的公比為3,

當〃=1時,出=2sl+1=24+1,/.34=24+2,

解得：%=2,.1%=2x3"T（〃eN*）.

方法二：

答案第12頁，共17頁

設｛冊｝公比為見???｛??）為等比數列

…a、=a."q=224；+(12+”解得小或3

Q夕w0,:.q=3,「.％=2,

%=2X3〃T

a__4x3"i

??In2X3"-2X3"T

(2)(2)(i)dn=+

〃+2—1n+\〃+1

』=i±lx3"-=，絆

dk229k

19V23nw+n

9219?939"9,,+1)

詆一*口甘，日8T9"f2111n+1

兩式相減得一/=—―T-l—7H—r+...H------丁

92(992939“91

'1__1_、

9〃199*1〃+1

一萬7+.19^

I9J

_9"/178〃+17)

一萬反-8x9向)

.7_型1_也±12]

一〃2(6464x9〃)

方法二:

nk

。2〃—左_2+1xJ2(M-AT)=1+1x9

dk22

設5■于全…卜力+…+了+一卬

:.9T=2x9"+-X9"-1+-x9n-2+...+—x9*

“2222

兩式相減得87；=9"+；x9"i+；x9"<+…+gx)-等x9°

=1(9'+92+...+9"+9"-?-1)

1(9.9〃+1

-2^1-9+9"-n-1

答案第13頁，共17頁

USj

28

17x9"n17

128-16-128

(ii)假設存在滿足題意的3項,

4盧223"T2爐4.3加+。-2

''d,d,d成等比數列,=d-d,即

mkpmp(發+廳m+1(JYI4-1)(2+1)

4.3加+。-24.3加+2-2

???鞏左M成等差數列,/.2k=m+p,:

(k+1)2(m+1)(/7+1)

/.(k+1)2=(m+1)(/?+1)=mp+m+p+1=mp+2左+1：

/、2/、222

整理可得:e=mp,又/+2丁+P

即(冽一夕)2=0,解得：m=p,則加=夕=左，與題設矛盾。

「?假設錯誤，即不存在滿足題意的3項.

1322

19.(I)(ID(i)(ii)土+匕=1.

241612

【分析】根據△EE4的面積為里列出一個關于。*,。的等式，削去6求出離心率；根據a，c關

2

系巧設直線/E的方程，與直線尸尸的方程聯立解出焦點。的坐標,利用/解出斜率機，

把直線F尸的方程與橢圓方程聯立，解出P點坐標，分別求出和AEP”的面積，利用

四邊形尸QW的面積為3c,解出。，得出橢圓的標準方程.

【詳解】(I)設橢圓的離心率為e,由已知，可得g(c+°)c=[.又由〃=/-02,可得

2c2+ac-a2=0>即2/+e-l=0.又因為0<e<1,解得

所以，橢圓的離心率為1.

2

(II)(i)依題意，設直線EP的方程為x=w-c(m>0),則直線尸產的斜率為

m

由(I)知a=2c,可得直線的方程為F+^=l，

2cc

即x+2尸2c=0,與直線歹尸的方程聯立，

可解得x=僅二一2」,=上，即點。的坐標為f僅呀?。3c

m+2m+2(冽+2m+2

由已知/。|=萬,有

答案第14頁，共17頁

整理得3%2_4機=0,所以加=2，即直線EP的斜率為之.

34

22

(ii)解：由a=2c,可得b=6c,故橢圓方程可以表示為9+9=1.

由⑴得直線尸尸的方程為3x-4y+3c=0,

3x-4y+3c=0,

與橢圓方程聯立x2y2消去y,

[h/j

13c

整理得7/+65-13,=0,解得x=_；-(舍去)

或….因此可得點進而可得同|=1+城+審2吾，所以

\PQ\=\FP\~\FQ\=^~=c.

由已知，線段尸。的長即為尸”與QV這兩條平行直線間的距離，

故直線PM和QN都垂直于直線FP.

4Qr

因為所以例===所以力”的面積為

1O7r275r2

JF0QM=K，同理AEPM的面積等于節-，由四邊形PQW的面積為3c，得

---=3c,整理得°2=2C,又由C>0,得C=2.

3232

所以，橢圓的方程為二+亡=1.

1612

【點睛】列出一個關于凡上。的等式，可以求離心率；列出一個關于。,仇c的不等式，可以

求