2024?2025學年高二上學期10月階段檢測數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．命題“對，都有”的否定為（

）A．對，都有 B．對，都有C．，使得 D．，使得2．已知，，則（

）A． B． C． D．3．設復數z滿足，z在復平面內對應的點為，則（）A． B． C． D．4．若函數是奇函數，函數是偶函數，則（

）A．函數是奇函數B．函數是奇函數C．函數是奇函數D．函數是奇函數5．正四棱錐的側棱長是底面邊長的倍，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．已知為圓上的動點，且動點滿足：，記點的軌跡為，則（

）A．為一條直線 B．為橢圓C．為與圓O相交的圓 D．為與圓O相切的圓7．集合，集合，從A，B中各任意取一個數相加為，則直線與直線平行的概率為（

）A． B． C． D．8．已知，動圓經過原點，且圓心在直線上．當直線的斜率取最大值時，（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法正確的是（

）A．直線的傾斜角為B．方程與方程可表示同一直線C．經過點，且在，軸上截距互為相反數的直線方程為D．過兩點的直線都可用方程表示10．已知函數下列命題正確的是（

）A．的值域為B．若，則為奇函數C．若只有一個零點，則的取值范圍為D．若在上單調遞減，則的取值范圍為11．如圖，正方體的棱長為1，E為棱的中點，P為底面正方形ABCD內（含邊界）的動點，則（

）

A．三棱錐的體積為定值 B．直線平面C．當時， D．直線與平面所成角的正弦值為三、填空題（本大題共3小題）12．函數的定義域為.13．已知梯形ABCD中，，，，，點在線段上，則的最小值為.14．已知點，，，直線將分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．在中，，邊上的高所在直線的方程為，的平分線所在直線的方程為，點的坐標為.

(1)求直線的方程；(2)求直線的方程及點的坐標.16．在三角形中，內角所對邊分別為，已知.(1)求角的大小；(2)若，三角形的面積為，求三角形的周長.17．在一場娛樂晚會上，有5位民間歌手（1到5號）登臺演唱，由現場數百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機選2名．觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號中選3名歌手．（1）求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率；（2）X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數之和，求“X?2”的事件概率．18．如圖，已知圓，動點，過點P引圓的兩條切線，切點分別為．(1)求證：直線過定點；(2)若兩條切線與軸分別交于兩點，求的面積的最小值．19．在空間直角坐標系中，已知向量，點，若直線以為方向向量且經過點，則直線的標準式方程可表示為；若平面以為法向量且經過點，則平面的點法式方程表示為.(1)已知直線的標準式方程為，平面的點法式方程可表示為，求直線與平面所成角的正弦值；(2)已知平面的點法式方程可表示為，平面外一點，求點到平面的距離;(3)（i）若集合，記集合中所有點構成的幾何體為，求幾何體的體積；（ii）若集合，記集合中所有點構成的幾何體為，求幾何體相鄰兩個面（有公共棱）所成二面角的大小.

參考答案1．【答案】C【詳解】命題“對，都有”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以所求否定是：，使得.故選：C.2．【答案】A【詳解】由誘導公式得，又由，可得．故選：A.3．【答案】C【詳解】，則，即，故.故選：C4．【答案】C【詳解】依題意，函數是奇函數，函數是偶函數，A選項，，所以是偶函數，A選項錯誤.B選項，，所以函數是偶函數，B選項錯誤.C選項，，所以函數是奇函數，C選項正確.D選項，，所以函數是非奇非偶函數，D選項錯誤.故選：C5．【答案】D【詳解】設正四棱錐的底面邊長為，正四棱錐的高為，側棱長度為，則，解得，所以的取值范圍是.故選：D.6．【答案】D【詳解】設點坐標為，設Px0,y0，由，可得則，所以，即，把代入圓，則點的軌跡的方程為：，即是圓心為，半徑為1的圓，則，由于兩圓的圓心距和兩圓的半徑和相等，因此兩圓外切，即為與圓O相切的圓.故選：D.7．【答案】B【詳解】從A，B中各任意取一個數相加，有種情況，當直線，則，則，當時，從中取一個數相加為的有，2種情況，當時，從中取一個數相加為的有，2種情況，所以滿足條件的有4種情況，所以滿足條件的概率.故選：B8．【答案】B【詳解】由題意可得，，直線的斜率為．因為，當且僅當，即時，等號成立，所以，即當直線的斜率取最大值時，，所以，故．故選：B．9．【答案】AD【詳解】對于選項A：直線的斜率，傾斜角為，故A正確；對于B，表示過點斜率為k的直線，但不含點，而表示過點斜率為k的直線，且含點，故B錯誤；對于C：經過點，斜率存在，設直線為，若在，軸上截距互為相反數，則，解得或，所以直線方程為或，故C錯誤；對于D，方程為直線兩點式方程的變形，可以表示經過任意兩點Px1,y故選：AD.10．【答案】BCD【分析】結合分段函數的單調性，依次判斷即可.【詳解】當時，時，，時，，所以的值域不為R，A錯誤.若時，圖象如圖，由圖可知為奇函數，B正確.當時，時，，時，，有兩個零點，當時，時，，只有一個零點，當時，時，，時，，時，，只有一個零點，所以，若只有一個零點，則的取值范圍為，C正確.若在R上單調遞減，則時，在上單調遞減，則有，即的取值范圍為，D正確.故選BCD.11．【答案】AD【詳解】

對于A，如圖1，因,故A正確；

對于B，如圖2建立空間直角坐標系，則,于是，，設平面的法向量為，則，故可取，由知與不垂直，故直線與平面不平行，即B錯誤；對于C，由上圖建系，則,,因P為底面正方形ABCD內（含邊界）的動點,不妨設，則，，由題意，，即，于是，此時，故與不垂直，即C錯誤；對于D，由圖知平面的法向量可取為，因，設直線與平面所成角為，則，故D正確.故選：AD.12．【答案】【詳解】要使函數解析式有意義，則有，即，解得，故函數的定義域為.故答案為：.13．【答案】【詳解】如圖，由題意以，為，軸建立平面直角坐標系，則，，，，設構成的一次函數為，代入，，得，得，即，因點P在線段BC上，可設，其中，則，，，因，故當時取最小值為.故答案為：14．【答案】【詳解】由題意可得，三角形ABC的面積為，由于直線與x軸的交點為，由直線將分割為面積相等的兩部分，可得，故，故點M在射線OA上，設直線和BC的交點為N，則由可得點N的坐標為，①若點M和點A重合，如圖：則點N為線段BC的中點，故，把A、N兩點的坐標代入直線，求得.②若點M在點O和點A之間，如圖：此時，點N在點B和點C之間，由題意可得三角形NMB的面積等于，即，即，可得，求得，故有.③若點M在點A的左側，則，由點M的橫坐標，求得.設直線和AC的交點為P，則由求得點P的坐標為，此時，由題意可得，三角形CPN的面積等于，即，即，化簡可得，由于此時，所以，兩邊開方可得，所以，故有.綜上可得b的取值范圍應是.故答案為：.15．【答案】(1)(2)直線的方程為：，【詳解】（1）由于所在直線的方程為，故的斜率為，與互相垂直，直線的斜率為，結合，可得的點斜式方程：，化簡整理，得，即為所求的直線方程．（2）由和聯解，得由此可得直線方程為：，即，，關于角平分線軸對稱，直線的方程為：，直線方程為，將、方程聯解，得，，因此，可得點的坐標為．16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由正弦定理得，所以所以，整理得，因為，所以，因此，所以，所以.（2）由的面積為，得，解得，又,則，.由余弦定理得，解得，，所以的周長為.17．【答案】（1）415；（2）1725【分析】（1）根據古典概型分別求出甲、乙選中3號歌手的概率；利用PAB=PA?PB求得結果；（2）根據PX?2=P【詳解】（1）設A表示事件“觀眾甲選中3號歌手”，B表示事件“觀眾乙選中3號歌手”則PA=C2∵事件A與B相互獨立，A與B相互獨立則AB表示事件“甲選中3號歌手，且乙沒選中3∴PA即觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率是415（2）設C表示事件“觀眾丙選中3號歌手”，則PC依題意，A，B，C相互獨立，A，B，C相互獨立，且ABC，ABC，ABC∴PX=2PX=3=PABC故“X?2”的事件的概率為1725【關鍵點撥】本題考查獨立事件概率的求解問題，關鍵是能夠利用古典概型分別求解出符合題意情況的概率.18．【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）由題知，圓的標準方程為，所以圓心，半徑，因為是圓的兩條切線，所以，，所以A，B在以PC為直徑的圓上，又因為，且PC的中點為，所以以PC為直徑的圓M的方程為，化簡可得，所以AB為圓C與圓M的公共弦，所以直線AB的方程為，令，解得，所以直線過定點；（2）當PA，PB有一條斜率不存在，即時，不妨設PA的斜率不存在，則直線PA的方程為，此時，，設直線PB的方程為，由圓心到PB的距離，解得，所以直線PB的方程為，所以，此時，；同理斜率不存在時；當PA，PB斜率均存在，即時，設過點的切線方程為，即，因為PA，PB與圓C相切，所以圓心C到直線的距離，即，，設PA，PB的斜率分別為，，則，，又點在直線上，點在直線上，，，所以而，所以．又因為且，所以當時，，此時．綜上，面積的最小值為．19．【答案】(1)(2)(3)（i）16；（ii）【詳解】（1）因為直線的標準式方程為，所以直線的方向向量為，又平面的點法式方程可表示為，所以平面的法向量為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為；（2）因為平面的點法式方程可表示為，所以平面的法向量為，設點是平面上一點，則，不妨令，則，即點是平面上