第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式全章綜合測試卷（基礎篇）

【人教A版2019】

考試時間：120分鐘；滿分：150分

姓名：班級：考號：

考卷信息：

本卷試題共22題，單選8題，多選4題，填空4題，解答6題，滿分150分，限時120分鐘，本卷題型針對性

較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學生掌握本章內容的具體情況！

選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

1.（5分）（2023秋?甘肅酒泉?高一統(tǒng)考期末）鐵路總公司關于乘車行李規(guī)定如下：乘坐動車組列車攜帶

品的外部尺寸長、寬、高之和不超過130cm,且體積不超過72000cm3,設攜帶品外部尺寸長、寬、高分別

記為a,b,c（單位：cm）,這個規(guī)定用數(shù)學關系式可表示為（）

A.a+b+c<130且abc<72000B.a+b+c>130且abc>72000

C.a+b+c<130且abc<72000D.a+b+c>130且abc>72000

2.（5分）（2023秋?江蘇常州?高一?？计谀┫铝姓f法不E確的是（）

A.若a〉6>0,則2>也

aa+m

B.若etc?>be2,則a>b

C.若a>b>0,貝！Ja+iAbH—

D.若a>b>0,貝！J/+2b3>3ab2

3.（5分）（2023春?福建泉州?高二校聯(lián)考期末）若a>0,h>0,a+b=2,則下列不等式恒成立的是

（）

A.ab>y[2B.Va+VF<V2

C.—I—23D.a2+b2>2

ab

4.（5分）（2023?江蘇南通?模擬預測）已知a—be[0,l],a+bE[2,4],貝一2b的取值范圍是（）

A.[1,5]B.[2,7]C.[1,6]D.[0,9]

5.（5分）（2023春?山東青島?高二統(tǒng)考期末）已知正實數(shù)滿足2a+45—ab=0,貝南+2b的最小值

為（）

A.16V2B.16C.8V2D.8

6.（5分）（2023?江蘇?高一假期作業(yè)）若不等式加一%—0>0的解集為{x|—2vx<l},則函數(shù)>=加一x—c

的圖象為（）

7.（5分）（2023?全國?高三專題練習）關于x的不等式a/+bx+c<0的解集為（-3,1）,則不等式b/++

c<0的解集為（）

A.（1,2）B.（-1,2）C.D.

8.（5分）（2023?高一課時練習）已知對任意租e[1,3],—瓶％一1v—租+5恒成立，則實數(shù)x的取

值范圍是（）

A.修，+8）B.（―8,J）U（等，+8）

c.（f）D.（等，竽）

多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

9.（5分）（2023春?山東濱州?高二統(tǒng)考期末）已知實數(shù)a,6,c,則下列命題中正確的是（）

A.若a>b,貝!Jac>be

B.若則a>力

C.若a<Z）<0,則小>ab>b2

D.若6>a>0,則黑>W

10.（5分）（2023?黑龍江佳木斯??？寄M預測）已知關于x的不等式a/+版+c>0的解集為（-叫-2）U

（3,+8）,則下列選項中正確的是（）

A.a<0

B.不等式b%+c>0的解集是{%[%<-6}

C.a+b+c>0

D.不等式c/-/?X+Gt<0的解集為（一8,一今U（|,+oo）

11.（5分）（2023春?浙江溫州?高二統(tǒng)考學業(yè)考試）關于尤的不等式。式2+（1—2a2）久-2a<0的解集中

恰有3個正整數(shù)解，則。的值可以為（）

37

A.-1B.-C.-D.2

24

12.（5分）（2023?廣東東莞?統(tǒng)考模擬預測）下列說法正確的有（）

A.若％<j則2%+士的最大值是—1

22X-1

B.若X6R,則代町*+7二的最小值為2

VX2+4

C.若a,b,c均為正實數(shù)，且a+b+c=2,則上+2+工的最小值是4

a+bb+ca+c

D.已知a>0,b>0,且［+|=」則好-1）最小值是3+2V2

三.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.（5分）（2023春?吉林長春?高一?？茧A段練習）設a、b為實數(shù)，比較兩式的值的大?。篴2+62

2a—2b—2（用符號>,2,<,三或=填入劃線部分）.

14.（5分）（2023?全國?高三專題練習）己知二次函數(shù)的兩個零點分別是0和5,圖象開口向上，且/（%）

在區(qū)間［-1,4］上的最大值為12,則函數(shù)/（X）的解析式為.

15.（5分）（2023?全國?高一假期作業(yè)）某地每年銷售木材約20萬nA每立方米的價格為2400元.為了減

少木材消耗，決定按銷售收入的t%征收木材稅，這樣每年的木材銷售量減少曰萬n?,為了既減少了木材消

耗又保證稅金收入每年不少于900萬元，貝亞的取值范圍是.

16.（5分）（2023?全國?高三專題練習）已知xN4,y>4,且x+4y—Ky=0,若不等式aW:r+y恒成

立，則a的最大值為.

四.解答題（共6小題，滿分70分）

17.（10分）（2023春?黑龍江齊齊哈爾?高一校聯(lián)考開學考試）不等關系是數(shù)學中一種最基本的數(shù)量關系，

生活中隨處可見.例如：“已知6克糖水中含有a克糖（b>a>0）,再添加機克糖（巾>0）（假設全部溶

解），糖水變甜了.”請將這一事實表示為一個不等式，并證明這個不等式成立.

18.(12分)(2023?高一課時練習)判斷下列說法的正誤，并說明理由:

(l)y=3刀+苫的最小值是12；

(2)當x>0時，2光+專22口不=2#等號成立當且僅當2x=*，即久=小時，2支+專取到最小值.

19.(12分)(2023?高一課時練習)證明下列不等式

(1)bc-ad>0,bd>0,求證：工

bd

2u2

(2)已知。>0,b>0,求證：—n4—Na+b

ba

20.(12分)(2023春?湖南長沙?高二統(tǒng)考期末)設函數(shù)f(久)=a/—2(a+l)x+6(a,beR).

(1)若不等式f(x)<0的解集為(1,2),求a,6的值；

(2)若b=4,求不等式/'(X)>0的解集.

21.(12分)(2023春?上海嘉定?高一統(tǒng)考階段練習)己知a,6是實數(shù).

(1)求證：a2+b2N2a-2b-2,并指出等號成立的條件；

(2)若ab=1,求a?+4b2的最小值.

22.(12分)(2022秋.四川南充.高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(無)=夫(々>0).

(1)若不等式/(%)-m>0的解集為{%[%<-2或%>-1},若不等式租％2+%+km>。的解集;

(2)若女6^,2],使得/(%)>]成立，求實數(shù)k的取值范圍.

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式全章綜合測試卷(基礎篇)

參考答案與試題解析

選擇題(共8小題，滿分40分，每小題5分)

1.(5分)(2023秋?甘肅酒泉?高一統(tǒng)考期末)鐵路總公司關于乘車行李規(guī)定如下：乘坐動車組列車攜帶

品的外部尺寸長、寬、高之和不超過130cm,且體積不超過72000cm3,設攜帶品外部尺寸長、寬、高分別

記為a,b,c(單位：cm),這個規(guī)定用數(shù)學關系式可表示為()

A.a+b+c<130且abc<72000B.a+b+c>130且abc>72000

C.a+b+c<130且abc<72000D.a+b+c>130且abc>72000

【解題思路】根據(jù)數(shù)量關系列不等式，“不超過”不等號為“小于等于”.

【解答過程】由長、寬、高之和不超過130cm得a+6+cW130,由體積不超過72000cm3得abcW72000.

故選：C.

2.(5分)(2023秋.江蘇常州.高一?？计谀?下列說法不E哪的是()

A.若a>6>0,則2>

aa+m

B.若則a>b

C.若a>b>0,則ad——

ba

D.若a>b>0,貝！J/+2b3>3ab2

【解題思路】對于A,舉例判斷，對于B,利用不等式的性質判斷，對于CD,作差判斷

【解答過程】對于A,若a=2*=1,加=1,貝型=工，竺”=2,此時也〈竺之所以A錯誤，

a2a+m3aa+m

對于B,由>b/可得cH0,則c2>0,所以由不等式的性質可得a>b,所以B正確，

對于C,因為Q>b>o,所以a—b>0,ab>0,

所以a+AG+￡)=a—+A；(ai)+嗟=(a—)(l+￡)>0,

所以a+1>b+工，所以C正確，

ba

對于D,因為a>b>0,所以a—b>0,a+2b>0,

所以M+2b3-3ab2=a3-b3+3b2(b—a)=(a—b)(a2+ab+b2)—3b2(a—b)

=(a—b)(a2+ab-2b2>)=(a—fa)2(a+2b)>0,

所以M+2b3>3ab2,所以D正確，

故選：A.

3.（5分）（2023春?福建泉州?高二校聯(lián)考期末）若Q>0,h>0,a+b=2,則下列不等式恒成立的是

A.ab>y/2B.y/a+Vfe<V2

C.—I—23D.a?+力？>2

ab

【解題思路】根據(jù)不等式串逑式而三等WFf史可判斷選項A錯誤，B錯誤，D正確.利用基本不等

式可得c錯誤.

【解答過程】對于選項A：'：ab<（等丫=1，當且僅當a=b時取等號，，A錯誤；

對于選項B：空也式器J=i,歷+次42,；.B錯誤；

對于選項C：；+=1S+。）（X）=炎+B+￡）2-，

因為土|也<3；.C錯誤；

對于選項D：???一WJ乎，當且僅當a=b時取等號，

a2+b2>2,D正確；

故選：D.

4.（5分）（2023?江蘇南通?模擬預測）已知a—b6[0,l],a+b6[2,4],貝"4a—2b的取值范圍是（）

A.[1,5]B.[2,7]C.[1,6]D.[0,9]

【解題思路】利用方程組以及不等式的性質計算求解.

【解答過程】設4a—2b=m（_a—b）+n（a+d）=（m+n）a—（m—n）b,

所以｛血+八=、解得｛爪=\

^m—n—2ln=l

所以4a—2b=3（a—b）+（a+b）,

—bG[0,1],a+6e[2,4],

所以3（a-b）e[0,3],4a-2be[2,7],故A,C,D錯誤.

故選：B.

5.（5分）（2023春?山東青島?高二統(tǒng)考期末）已知正實數(shù)a,b滿足2a+46-ab=0,貝l|a+2b的最小值

為（）

A.16V2B.16C.8V2D.8

【解題思路】根據(jù)題意，化簡2(a+2b)=ab=|-a-2b,結合基本不等式，即可求解.

【解答過程】正實數(shù)a,b滿足2a+4b-ab=0,

可得2(a+2b)=ab=(-a?2bW之?蘆詈y,當且僅當a=2b時，等號成立，

即(a+2bA-16(a+2b)>0,解得a+2b>16,

所以a+2b的最小值為16.

故選：B.

6.(5分)(2023?江蘇?高一假期作業(yè))若不等式ar2—x—c>0的解集為{x|—2<x<l},則函數(shù)尸4一x-c

【解題思路】由3個二次之間的關系，可得a<0,函數(shù)>=潑一》一。的兩個零點為—2,1,選出圖象.

【解答過程】因為不等式的解集為因一2<x<l},所以a<0,排除C、D；又與坐標軸交點的橫坐標為一2,1,

得其圖象為B.

故選：B.

7.(5分)(2023?全國?高三專題練習)關于x的不等式a/+bx+c<0的解集為(—3,1),則不等式b/+ax+

c<0的解集為()

A.(1,2)B.(-1,2)C.D.

a>0

-3+1=一￡,得到a,b,c的

-3x1=-

{a

關系，代入不等式化簡求解.

a>0

-3+1=一展得b=2a,c=-3a,

-3x1=-

{a

則不等式b/+ax+c<0<=>2ax2+ax-3a<0,

即2久2十%—3V0,解得：一|<%V1,

所以不等式的解集是

故選：D.

8.（5分）（2023?高一課時練習）已知對任意m6[1,3],m/—7n比一1〈—7n+5恒成立，則實數(shù)x的取

值范圍是（）

A.0,+8）B.（―8，F(xiàn)）U（等,+8）

C.（—喈D.（等，竽）

【解題思路】面對含參不等式，利用分離變量法，由于m是已知取值范圍的，則單獨分離出來，整理成函數(shù)，

再根據(jù)不等式恒成立，求函數(shù)的最小值，可得答案.

【解答過程】對任意m6[L3],不等式_mx—1<—m+5恒成立，

即對任意m￡[1,3],m（x2—%+1）<6恒成立，

所以對任意me[1,3],%2—x+1<包恒成立，

m

所以對任意mE[1,3],%2—%+1<f—）=2,

所以/—x+l<2,解得等<x<竽，

故實數(shù)x的取值范圍是（等，萼）.

故選：D.

多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

9.（5分）（2023春?山東濱州?高二統(tǒng)考期末）已知實數(shù)a,6,c,則下列命題中正確的是（）

A.若a>b,貝!Jac>be

B.若。。2>兒2,則a>力

C.若a<b<0,則標>ab>b2

D.若6>a>0,則奈>￡

【解題思路】根絕不等式的基本性質逐一進行判斷，要注意不等式性質成立的條件.

【解答過程】對于選項A,當CW0時，若a>b,則acWbc,錯誤；

對于選項B,若ac?>be?,故C2>0,則a>b,正確；

對于選項C,若a<b<0,則小—ab=a(a—b)>0,ab—b2=b(a—b)>0,

所以標>ab>b2,正確；

對于選項D---=(a+c)i(*c)=(if

"b+cb(b+c)b(b+c)b

當力,a>0時，b-a>0,但是c的符號與b+c的符號不確定，

所以辛與m大小關系不確定，錯誤.

b+cb

故選：BC.

10.(5分)(2023?黑龍江佳木斯?校考模擬預測)已知關于x的不等式a/+b%+c>o的解集為(_8,-2)U

(3,+8),則下列選項中正確的是()

A.a<0

B.不等式b%+c>0的解集是{%[%<—6}

C.a+b+c>0

D.不等式c%2-bx+a<0的解集為(一8,-9u(p+oo)

【解題思路】根據(jù)給定的解集，用a表示出仇c,再逐項判斷作答.

【解答過程】不等式a/+bx+c>0的解集為(一8,-2)U(3,4-00),貝卜2,3是方程a/+ft%+c=0的根，

且a>0,

則—=1,—=—6,a>0,即5=—a,c=-6a,a>0,A錯誤；

aa

不等式bx+c>0化為—a%—6a>0,解得％<—6,即不等式力％+c>0的解集是{%[%<—6},B正確；

a+b+c=-6QV0,C錯誤；

不等式c/一方久+口<0化為一6a/+ax+a<0,即6/-%—1>0,解得久<—1或%>|>

所以不等式*-bx+a<。的解集為(一8,一9u(1,+8),D正確.

故選：BD.

11.(5分)(2023春?浙江溫州?高二統(tǒng)考學業(yè)考試)關于x的不等式a/+(l-2a2)x-2a<0的解集中

恰有3個正整數(shù)解，則。的值可以為()

37

A.-1B.-C.-D.2

24

【解題思路】由題意先判斷出a>0,寫出不等式的解集，由不等式(ax+1)(久-2a)<0的解集中恰有3個

正整數(shù)，分析的這3個正整數(shù)為1,2,3,計算求解即可.

【解答過程】不等式化簡為(ax+l)(x-2a)<0的解集中恰有3個正整數(shù)，

當a=0時，不等式化為x<0,則解集中有無數(shù)個整數(shù).

當a<0時，不等式(ax+1)0-2a)<0的解集中有無數(shù)個正整數(shù)，故A錯誤;

-1-1

所以所以—<

a>0,—a<0,2aa>0,2a

所以不等式的解集為：{x|—(<x<2a},根據(jù)。一定屬于此集合，

則由不等式(ax+1)(%-2a)<0的解集中恰有3個正整數(shù)，

則這3個整數(shù)中一定為：1,2,3,

則3<2aW4,解得|<a<2

故a可取;和2,故C,D正確，AB錯誤；

故選：CD.

12.(5分)(2023?廣東東莞?統(tǒng)考模擬預測)下列說法正確的有()

A.若貝U2久+士的最大值是一1

22%-1

B.若XCR,則療7*+彳另的最小值為2

VX2+4

C.若a,b,c均為正實數(shù)，且a+b+c=2,則<+義+二-的最小值是4

D.已知a>0,b>0,且5+￡=1,則a(b—1)最小值是3+2/

【解題思路】根據(jù)選項中各式的特點，進行適當變形，使用基本不等式進行判斷.注意“1”的妙用及等號能

否取到.

【解答過程】對于A,由萬〈刑得1—2%>0,

由基本不等式可得y=2x+盤=-[(1-2比)+言]+1<-2-2久)?總+1=-1,

當且僅當1—2久='即％=0時取等號，

所以y=2久+的最大值為—1,故A正確；

ZX—1

對于B,V%2+4+~^=>2+4,=2,

3+4qVX2+4

當且僅當用壬=+時等號成立，但此時X無解，等號無法取得,

VX2+4

則最小值不為2,故B錯誤；

對于&由a+b+c=2可得熹+亳+吉=[(京+念+書)(a+b+b+c+a+c)

1b+c4(。+b)4(。+c)b+ca+ca+b

=-[6H--------H---------1—----------1-----------1--------H---------]

4a+bb+cb+cc+aa+Dc+a

”(6+2性.1^+2性0竺￡+2住.空)=4,

4'ya+bb+c7b+cc+a，a+bc+ay

當且僅當b+c=2(a+b)=2(c+a)且Q+b+c=2,即a=0,b=1,c=l時，等號成立，

由于a,b,c均為正實數(shù)，則等號取不到，故C錯誤；

對于D,由工+-=1可得ab=2a+力，

ab

代入到a(b—l)=ab—a=a+b=(a+/?)(：+：)=3+g+與之3+2J：?署=3+2A/2,

當且僅當2=當即。=&+13=2+魚時，等號成立，故D正確.

ab

故選：AD.

三.填空題(共4小題，滿分20分，每小題5分)

13.(5分)(2023春?吉林長春?高一?？茧A段練習)設a、b為實數(shù)，比較兩式的值的大小：a?+爐？

2a-2b-2(用符號>,2,<,3或=填入劃線部分).

【解題思路】利用作差比較法求得正確答案.

【解答過程】因為02+爐-(2a-2b-2)=(a-1)2+(6+1/？0,a=1,b=-1時等號成立，

所以a?+爐>2a—2b—2.

故答案為：>.

14.(5分)(2023?全國?高三專題練習)已知二次函數(shù)/(久)的兩個零點分別是。和5,圖象開口向上，且/(久)

在區(qū)間[-1,4]上的最大值為12,則函數(shù)上」的解析式為“1=2x2—io%.

【解題思路】根據(jù)函數(shù)特征設/(X)=ax(x-5),(a>0)然后判斷并求解f(-1)=6a=12,a=2從而解得函

數(shù)解析式.

【解答過程】設/(%)=ax(x-5),(a>0)其對稱軸為直線x=又f⑺在區(qū)間上的最大值為12,

所以/1)—6a—12,a—2,所以/(x)=2x2—10x.

故答案為：/(%)=2x2-10x.

15.(5分)(2023?全國?高一假期作業(yè))某地每年銷售木材約20萬nR每立方米的價格為2400元.為了減

少木材消耗，決定按銷售收入的t%征收木材稅，這樣每年的木材銷售量減少:萬n?,為了既減少了木材消

耗又保證稅金收入每年不少于900萬元，則t的取值范圍是｛tl3WtW5).

【解題思路】根據(jù)題意列式，解不等式可得結果.

【解答過程】設按銷售收入的t%征收木材稅時，稅金收入為y萬元，

則y=2400(20-11)Xt%=60(8t-t2),

令y2900,BP60(8t-t2)>900,解得39tW5.

故答案為：{t|3WtW5}.

16.(5分)(2023?全國?高三專題練習)已知x24,y>4,且x+4y—xy=0,若不等式aWx+y恒成

立，則a的最大值為竺.

3

【解題思路】根據(jù)％+4y-%y=0對l+y進行消元后，轉化為求單變量函數(shù)的最小值問題進行求解.

【解答過程】當％=4時，%+4y—=4+4y—4y=0不成立，所以％W4.

由％+4y—xy=0得y=士.

因為無之4,yN4,所以N4,解得4V%W—f即0V%—4W

X-433

所以a<%+y=%+—=%+x-4+4=x+1+—=%—4+—+5，

x-4x-4x-4x-4

令力=x-4,則0<力W9于是aWt+—4~5.

令/(t)=t+：+5,0<t<1,則aWf(t)min.

由對勾函數(shù)的圖象知，f(t)在(0用上單調遞減，故f(t)min=/G)T+3+5=g.

所以awg,即a的最大值為g.

故答案為：y.

四.解答題(共6小題，滿分70分)

17.(10分)(2023春?黑龍江齊齊哈爾?高一校聯(lián)考開學考試)不等關系是數(shù)學中一種最基本的數(shù)量關系，

生活中隨處可見.例如：“已知b克糖水中含有?？颂?6>a>0)，再添加加克糖(6>0)(假設全部溶

解)，糖水變甜了.”請將這一事實表示為一個不等式，并證明這個不等式成立.

【解題思路】根據(jù)糖水變甜了可以得到不等式產使用作差法比較大小即可.

b+mb

【解答過程】?？颂撬杏衋克糖，則糖的質量與糖水的質量的比為三

若再添加力克糖，則糖的質量與糖水的質量的比為產

b+m

根據(jù)生活常識可知，加糖后的糖水更甜，所以糖在糖水中占的“比例”就越大，因此產>%

b+mb

所以這一事實表示為一個不等式是：產>>a>0,血>0)。

b+mb

證明過程如下:

a+ma_b^a+m)-a(b+m)m(b-a')

b+mbb(匕+m)b(b+m)9

*.*h>a>0,h-a>0,

為+….書>0,

?a+ma、八?a+ma

>?-b-+---m--------b->U,??--b--+--m-->—b.

18.（12分）（2023?高一課時練習）判斷下列說法的正誤，并說明理由:

（l）y=3久+苫的最小值是12；

（2）當%>0時，2x+專22加/=2Jj,等號成立當且僅當2x=專，即久=小時，2支+晝取到最小值.

【解題思路】（1）分％>0、x<0討論，利用基本不等式可得答案；

（2）利用基本不等式可得答案.

【解答過程】（1）錯誤，理由如下，

由y=3%+或得%。0,

當久>0時，y=3%+?N2JsxxY=12,當且僅當3汽=苫即％—2等號成立；

當汽<0時，y=3x+—=—（―3x4-—）<-2Isxx—=—12,當且僅當—3x="■即久=—2等號成立;

X\-X/yjX-X

故錯誤；

（2）錯誤，理由如下，

當x>0時，2x+母=%+%+J23^&=3,當且僅當久=J即x=1等號成立，故錯誤.

19.（12分）（2023?高一課時練習）證明下列不等式

(1)若bc-ad^O,bd>0,求證：--<—

bd

n2h2

(2)已知40,b>0,求證：T++6

【解題思路】（1）運用作差比較法得詈-詈W°,由此可得證;

（2）作差，判斷符號得+9）-（a+b）20,由此可得證.

【解答過程】證明：⑴因為竽一誓=3鏟^號券又兒一姐°,bd>。,

rrr\ldd-bc,八crruCL+b,C+d

所以HWO,所以丁Mr；

(2)因為+?)-(a+b)=。3+/蓼-2=(a+『：

又a>0,b>0,

所以(a+b)(a-b￥n0,

ab

所以三+”之a+b.

20.(12分)(2023春?湖南長沙?高二統(tǒng)考期末)設函數(shù)f(x)=a/—2(a+l)x+6(a,beR).

(1)若不等式/(%)<0的解集為(1,2),求a,6的值；

(2)若b=4,求不等式y(tǒng)(x)>。的解集.

【解題思路】(1)由不等式的解轉換為方程的解，利用韋達定理求解；

(2)6=4時，不等式可化為(ax-2)(%-2)>0,討論a=0,a>0,a<。，分別求出不等式的解集.

【解答過程】(1)函數(shù)/'(久)=a/—2(a+1)尤+b(a,beR),

由不等式f(x)<0的解集為(1,2),得a>0,

且1和2是方程a/_2(a+l)x+b=。的兩根；

[1+2=

則《/，解得a=2,6=4

1x2=-

ka

(2)b=4時，不等式為a/_2(a4-l)x+4>0,

可化為(a%-2)(%-2)>0,則

當a=0時，不等式為—2(%-