專題05三角形中的范圍與最值問題【題型歸納目錄】題型一：周長問題題型二：面積問題題型三：長度問題題型四：轉化為角范圍問題題型五：倍角問題題型六：與正切有關的最值問題題型七：最大角問題題型八：三角形中的平方問題題型九：等面積法、張角定理【方法技巧與總結】1、在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內容的重點、難點。解決這類問題，通常有下列五種解題技巧:(1)利用基本不等式求范圍或最值；(2)利用三角函數求范圍或最值；(3)利用三角形中的不等關系求范圍或最值；(4)根據三角形解的個數求范圍或最值；(5)利用二次函數求范圍或最值.要建立所求量(式子)與已知角或邊的關系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數值，轉化為函數關系，將原問題轉化為求函數的值域問題.這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數的定義域)找完善，避免結果的范圍過大.2、解三角形中的范圍與最值問題常見題型：(1)求角的最值；(2)求邊和周長的最值及范圍；(3)求面積的最值和范圍.【典例例題】題型一：周長問題例1．（2023·云南·昆明市第三中學高一期中）設的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設．(1)求A；(2)從三個條件：①的面積為；②；③中任選一個作為已知條件，求周長的取值范圍．【解析】(1)在中，由得：，又，，即，，又，．(2)選擇①：因為，則，得，由余弦定理得，即的周長，因為，當且僅當時等號成立，所以，即的周長的取值范圍是．選擇②：，因為，，由正弦定理得，，即的周長，因為，則，故，所以，即的周長的取值范圍是．選擇③：．因為，，由正弦定理得，即的周長，因為，所以，則，即的周長的取值范圍是.例2．（2023·重慶·高一階段練習）已知向量，，函數．(1)求函數在上的值域；(2)若的內角、、所對的邊分別為、、，且，，求的周長的取值范圍．【解析】(1)依題意，，由得，，所以在上的值域為.(2)由得，，，則有，解得，在中，由余弦定理得，，當且僅當時取“=“，即有，又因為，則，因此，所以的周長的取值范圍為．題型二：面積問題例3．（2023·貴州黔東南·高一期中）在面積為S的△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求C的值；(2)若ABC為銳角三角形，記，求m的取值范圍.【解析】(1)解：在中，由三角形面積公式得，由正弦定理得：，整理得：，由余弦定理得：，又，故.(2)解：因為為銳角三角形，所以，，所以，所以，因為，所以，故.例4．（2023·浙江·高二階段練習）在中，角的對邊分別為．(1)求角；(2)若點滿足，且，求面積的取值范圍．【解析】(1)因為，所以，且．(2)，．，．．因為點滿足，所以,．例5．（2023·浙江·杭師大附中模擬預測）在中，D的邊的中點，．(1)求角C；(2)求面積的取值范圍．【解析】(1)因為，所以所以，故，又；所以.(2)在中，由余弦定理可得因為，，所以，所以，當且僅當時等號成立，所以，又，當且僅當時等號成立，所以面積．題型三：長度問題例6．（2023·遼寧·模擬預測）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求角C的大小；(2)設，若的外接圓半徑為4，且有最大值，求m的取值范圍．【解析】(1)解：由已知及正弦定理得，所以，由余弦定理得，因為，所以．(2)由正弦定理得，所以，其中，，又，所以，若存在最大值，則有解，則，即，所以解得，即m的取值范圍是（1，4）．例7．（2023·河南·模擬預測（文））在中，角，，的對邊分別為，，．，，．(1)求；(2)求的取值范圍．【解析】(1)因為，所以，所以.因為，所以，所以.因為，，由余弦定理得：，解得：.所以.(2)由（1）可知：.而，所以，所以，所以.故的取值范圍為.例8．（2023·江蘇·高三專題練習）已知內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，的面積.(1)求邊c；(2)若為銳角三角形，求a的取值范圍.【解析】(1)因為，，所以；因為，所以.(2)在中，由正弦定理，由（1）知，，代入上式得：，因為為銳角三角形，則,所以，所以，所以.題型四：轉化為角范圍問題例9．（2023·河北秦皇島·二模）在銳角中，內角，，的對邊分別為，，，且.(1)求；(2)求的取值范圍.【解析】(1)因為，所以，即.因為，所以.因為，所以.(2)由（1）知.因為，所以，因為，所以，所以，即的取值范圍是.例10．（2023·浙江溫州·三模）在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知.(1)若，求角A的大小；(2)求的取值范圍.【解析】(1)由正弦定理得：，∵，∴或，當時，此時，所以舍去，所以.(2)（或者用積化和差公式一步得到）∵，∴，所以A為銳角，又，所以，所以，所以，所以.題型五：倍角問題例11．（2023·安徽·蕪湖一中高一期中）的內角、、的對邊分別為、、，若，則的取值范圍為______.【答案】【解析】根據題意得，，故，在中，由正弦定理，得，因，所以，故，所以的取值范圍為，故答案為：.例12．（2023·陜西·無高一階段練習）已知是銳角三角形，若，則的取值范圍是_____.【答案】（）【解析】解：，由正弦定理可得：，當為最大角時，，，當為最大角時，，，，可得：，、故，故答案為：．題型六：與正切有關的最值問題例13．（2023·湖南·長郡中學模擬預測）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．求：(1)；(2)的取值范圍．【解析】(1)因為，所以,因為，，因為.(2)由正弦定理，，因為，所以，所以，所以，所以的取值范圍是.例14．（2023·山西呂梁·二模（文））銳角是單位圓的內接三角形，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，由余弦定理，可得，又由正弦定理，可得，所以，得，又，所以，所以.又，所以，所以.又，且，故，所以.又，所以，得，所以，故選：C.題型七：最大角問題例15．（2023春?海淀區校級期中）幾何學史上有一個著名的米勒問題：“設點，是銳角的一邊上的兩點，試在邊上找一點，使得最大”．如圖，其結論是：點為過，兩點且和射線相切的圓的切點．根據以上結論解決以下問題：在平面直角坐標系中，給定兩點，，點在軸上移動，當取最大值時，點的橫坐標是A． B．1或 C．2或 D．1【解答】解：經過、兩點的圓的圓心在線段的垂直平分線上，設圓心為，則圓的方程為：，對于定長的弦在優弧上所對的圓周角會隨著圓的半徑減小而角度增大，當取最大值時，經過，，三點的圓必與軸相切于點，即圓的方程中的值必須滿足，解得或．即對應的切點分別為和，而過點，，的圓的半徑大于過點，，的圓的半徑，，故點為所求，點的橫坐標為1，故選：．例16．（2023秋?青羊區校級期中）（理科）、是橢圓的左、右焦點，是橢圓的一條準線，點在上，的最大值是A． B． C． D．【解答】解：由題意，橢圓中，，、是橢圓的左、右焦點，，不妨取是橢圓的右準線，則方程為：點在上，不妨取設直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則正切函數在上單調增，的最大值為，即的最大值是故選：．例17．（2023春?遼寧期末）設的內角，，所對的邊長分別為，，，且，則的最大值為A． B． C． D．【解答】解：，結合正弦定理，得，，得，，整理，得，同除以，得，由此可得，、是三角形內角，且與同號，、都是銳角，即，，，，當且僅當，即時，的最大值為．故選：．題型八：三角形中的平方問題例18．（2023秋?河南期末）在中，角，，所對的邊分別為，，，，，．若的平分線與交于點，則A． B． C． D．3【解答】解：因為，所以，因為，所以，因為，，所以，由正弦定理，可得，解得，因為的平分線與交于點，所以，即，所以由，可得，在中，由余弦定理可得．故選：．例19．（2023?洛陽二模）已知的三邊分別為，，，若滿足，則面積的最大值為A． B． C． D．【解答】解：由三角形面積公式可得：，可得：，，，可得：，解得：，當且僅當時等號成立，，當且僅當時等號成立，當時，取得最大值，的最大值為．故選：．例20．（2023·安徽·南陵中學模擬預測（理））在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】由得：，故，當且僅當時取等號，由于,故，則，則，故答案為：題型九：等面積法、張角定理例21．（2023秋?廈門校級期中）給定平面上四點，，，，滿足，，，，則面積的最大值為．【解答】解：，，，，，，設到的距離為，則由等面積可得，，面積的最大值為．故答案為：．例22．（2023春?奎屯市校級期末）在中，角，，所對的邊分別為，，，，的平分線交于點，且，則的最小值為A．8 B．9 C．10 D．7【解答】解：由題意得，即，得，得，當且僅當，即時，取等號，故選：．【同步練習】一、單選題1．（2023·重慶南岸·高三重慶市第十一中學校校考階段練習）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由和正弦定理可得：當且僅當，即時取等號，所以的最小值為，故選：2．（2023·河北保定·高一保定一中校考期末）如圖，在中，，將繞頂點C逆時針旋轉得到，M是BC的中點，P是的中點，連接PM．若，則線段PM的最大值為（

）A．2.5 B． C．3 D．4【答案】C【解析】由題意，繞頂點C逆時針旋轉得到，P是的中點，則設,則，，，故選：C.二、填空題3．（2023春·江西·高三校聯考階段練習）已知三角形中，，D是邊上一點，且滿足，則的最大值是__________．【答案】【解析】∵，．由余弦定理得，則，方法一：判別式法：令，有解，，解得．∴方法二：換元法．令上式令，則有，，∴故答案為：三、解答題4．（2023春·廣東揭陽·高三校考階段練習）記的三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.(1)求A；(2)若AD是角A的平分線且，求的最小值.【解析】（1）由題意，得，由正弦定理，得.由余弦定理，得.又，所以.（2）因為與的面積之和等于的面積，且AD為角A的平分線，由（1）知，，所以，所以.又，當且僅當，即時取等號，所以，即，所以，所以的最小值為4.5．（2023·安徽六安·高三校聯考期末）在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題．在中，內角的對邊分別為，且滿足______．(1)求角的大小：(2)若的面積為，點在邊上，且，求的最小值．（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答記分．）【解析】（1）若選條件①，由正弦定理得：，，，，，即，又，；若選條件②，由正弦定理得：，，即，，又，.（2），，；，（當且僅當，即時取等號），，即的最小值為.6．（2023·全國·高三專題練習）已知內角所對的邊分別為，面積為，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知條件（若兩個都選，以第一個評分），求：(1)求角的大小；(2)求邊中線長的最小值.條件①：;條件②：.【解析】（1）選條件①：,因為中，所以，由正弦定理可得，即，，又,所以.選條件②：由余弦定理可得即，由正弦定理可得，因為，所以，所以，即，又,所以.（2）由（1）知，的面積為，所以，解得，由平面向量可知，所以，當且僅當時取等號，故邊中線的最小值為.7．（2023·浙江·高二浙江省江山中學校聯考期末）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題.在中，內角，，的對邊分別為，，，且滿足______.(1)求；(2)若的面積為，為的中點，求的最小值.【解析】（1）選①時，，利用正弦定理得：，由于，所以，故，又，，整理得，因為，故.選②時，，利用正弦定理得：，由于，所以，即，又，，，，故，，故.選③時，，利用正弦定理得：，又，，整理得.所以，整理得，，故.（2）由于的面積解得.在中，由余弦定理得故，當且僅當，即，，的最小值為6.8．（2023·福建寧德·高三校考期末）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求角C；(2)如圖，若，存在點D滿足，求的最小值．【解析】（1）因為，所以，即，所以,所以,所以或，得（舍）或，所以.（2）設在直角中，，在中，由正弦定理，且，所以，，因為，所以，即,所以，因為，所以，當即時，有最大值為1，此時最大，則最小為.9．（2023·湖北·宜昌市一中校聯考模擬預測）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的最小值；(2)證明：．【解析】（1）由余弦定理，，當且僅當，即時等號成立．（2）方法一：當時，．當時，設線段的中垂線交于點D．．在中，由正弦定理，．，當且僅當時等號成立.故，由（1）．故．則．方法二：由正弦定理，．由二倍角公式，．而，故，當且僅當時第一個等號成立.由（1），故．則．10．（2023·江西·高三校聯考期末）設的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足(1)證明：；(2)求的最小值.【解析】（1）證明：由∴得，即，又，∴則由正弦定理，得.（2）由（1）有，則則由余弦定理得，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為.11．（2023·山東青島·高三統考期末）在中，，內角，，的對邊分別記為，，.(1)求的值；(2)求的最小值.【解析】（1）由正弦定理邊角互化可得，，由余弦定理得，，化簡得，從而得，即，（2）由余弦定理得，因為在中，均大于，，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.12．（2023·貴州銅仁·高三統考期末）設的三個內角A，B，C所對的邊長為a，b，c，的面積為S．且有關系式：．(1)求C；(2)求的最小值．【解析】（1）由二倍角公式，得，即，由正弦定理、余弦定理，得，，又因為，所以．（2）注意到．由余弦定理，得，所以．當時等號成立，故的最小值為.13．（2023·重慶萬州·高二重慶市萬州第二高級中學校考期末）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若且角A為銳角.(1)求角B；(2)若的面積為，求b的最小值.【解析】（1）由可得：，由角A為銳角，所以，所以，又，所以；（2），所以，由余弦定可得，當且僅當時取等，滿足角A為銳角，所以由，可得b的最小值為.14．（2023·福建龍巖·高三校聯考期末）中，設角，，所對的邊分別為，，，.(1)求的大小；(2)若的周長等于3，求的面積的最大值.【解析】（1）因為，由正弦定理得，又，所以，所以，即.因為，，所以，即.（2）在中，由余弦定理得，即①，又，所以，代入①得，整理得，又因為，當且僅當時取等號，因為，所以，所以，解得或（舍去），故，故的面積，當且僅當時取等號，所以面積的最大值為.15．（2023春·江蘇徐州·高一校考競賽）的內角的對邊分別為,已知．(1)求;(2)若為的中點,,求的面積的最大值．【解析】（1）解:由題知,在中,由正弦定理可得:,代入題中有:①,因為,所以,所以,代入①中化簡可得:,因為,所以,故,即,因為,所以;（2）由（1）知,因為為的中點,所以,兩邊同時平方可得:,即,即,當且僅當時取等,化簡可得:,因為,故面積最大值為.16．（2023·河北衡水·高三河北衡水中學校考期末）已知O為△ABC外心，S為△ABC面積，r為⊙O半徑，且滿足(1)求∠A大小；(2)若D為BC上近C三等分點（即），且，求S最大值．【解析】（1）取的中點，連接，則，可得：由，可得，則，即，整理得，由余弦定理，可得，∵，故.（2）由題意可得：，則，可得：，則，當且僅當，即時等號成立，即，則.故S最大值為.17．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學校考模擬預測）已知的面積為，角所對的邊為．點為的內心，且．(1)求的大小；(2)求的周長的取值范圍．【解析】（1）因為，所以，即，可得，因為，所以．（2）設周長為，，如圖所示，由（1）知，所以，可得，因為點為的內心，，分別是，的平分線，且，所以，在中，由正弦定理可得，所以，因為，所以，可得，可得周長．18．（2023·遼寧·高二沈陽二中校聯考開學考試）在中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，的面積為，求b，c的值；(2)若，且為鈍角三角形，求k的取值范圍．【解析】（1）中，，由正弦定理得，∴，由得；，∴①；又的面積為，∴②；由①②組成方程組，解得，或，；（2）當，，∴；當B為鈍角時，，即，解得；當C為鈍角時，，即，解得；所以為鈍角三角形，k的取值范圍是或．19．（2023·全國·高三專題練習）在銳角三角形中,角的對邊分別為,向量,,且.(1)求角的大小;(2)若的面積為,求的取值范圍.【解析】（1）解:由題知,,,所以有:①,在中,由正弦定理可得:,代入①中有:,展開移項后可得:,即,因為是的三邊,所以上式可化為:,在中,由余弦定理可得:,因為,所以;（2）在中,過點向作垂線,垂足為,過點作的垂線,交延長線于點,如圖所示:因為為銳角三角形,所以點在線段上（不含端點）,即,由（1）可得,且,所以,所以,因為,所以,即,由,所以,解得:,所以,令,,由對勾函數的性質可得在上單調遞減,故,即.20．（2023·河南鄭州·高二校考階段練習）在中，角的對邊分別為，．(1)求角的大小；(2)若，求的取值范圍．【解析】（1）因為在中，，所以，由正弦定理邊角互化得：，整理得：；所以，由余弦定理可得：，因為，所以（2）在中，由正弦定理得，，所以，，所以；