專題2.2基本不等式及其應用【考綱解讀與核心素養】1.駕馭基本不等式(a，b＞0)及其應用.2．培育學生的數學抽象、數學運算、數學建模、邏輯推理等核心數學素養.【學問清單】1．重要不等式當a、b是隨意實數時，有a2＋b2≥2ab，當且僅當a=b時，等號成立．2．基本不等式當a>0，b>0時有，當且僅當a=b時，等號成立．3．基本不等式與最值已知x、y都是正數．(1)若x＋y＝s(和為定值)，則當x＝y時，積xy取得最大值．(2)若xy＝p(積為定值)，則當x＝y時，和x＋y取得最小值．4.常用推論（1）（）（2）（，）；（3）【典例剖析】高頻考點一：利用基本不等式證明不等式例1.已知、、都是正數，求證：【答案】見解析【解析】∵、、都是正數∴（當且僅當時，取等號）（當且僅當時，取等號）（當且僅當時，取等號）∴（當且僅當時，取等號）即.【方法技巧】利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種狀況，要從整體上把握運用基本不等式，對不滿意運用基本不等式條件的可通過“變形”來轉換，常見的變形技巧有：拆項，并項，也可乘上一個數或加上一個數，“1”的代換法等．【變式探究】1.已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證：.【答案】見解析【解析】∵，，，∴.同理，.∴＝，當且僅當，即時取“＝”．∴，當且僅當時等號成立．2.求證:【答案】見解析【解析】證明:由基本不等式和得=當且僅當即時取等號.高頻考點二：利用基本不等式求最值例2.（2024年高考天津卷文）設，則的最小值為__________.【答案】【解析】.因為，所以，即，當且僅當時取等號成立.又因為所以的最小值為.例3．（浙江省金麗衢十二校2025屆高三第一次聯考）若實數、滿意，且，則的最小值是__________，的最大值為__________．【答案】2【解析】實數、滿意，且，則，則，當且僅當，即時取等號，故的最小值是2，，當且僅當，即時取等號故的最大值為，故答案為：2，．【規律方法】利用均值不等式求最值遵循的原則：“一正二定三等”（1）正：運用均值不等式所涉及的項必需為正數，假如有負數則考慮變形或運用其它方法（2）定：運用均值不等式求最值時，變形后的一側不能還含有核心變量.（3）等：若能利用均值不等式求得最值，則要保證等號成立，要留意以下兩點：①若求最值的過程中多次運用均值不等式，則均值不等式等號成立的條件必需能夠同時成立（彼此不沖突）②若涉及的變量有初始范圍要求，則運用均值不等式后要解出等號成立時變量的值，并驗證是否符合初始范圍.留意：形如的函數求最值時，首先考慮用基本不等式，若等號取不到，再利用該函數的單調性求解．【變式探究】1.（陜西省2024年高三第三次教學質量檢測）若正數滿意，則的最小值為（）A． B． C． D．3【答案】A【解析】由題意，因為，則，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為，故選A.2.設當________時，取到最小值．【答案】【解析】因為，所以，當且僅當時取等號，故當時，取得最小值是，故答案是.【總結提升】通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略拼湊法的實質在于代數式的敏捷變形，拼系數、湊常數是關鍵，利用拼湊法求解最值應留意以下幾個方面的問題：(1)拼湊的技巧，以整式為基礎，留意利用系數的改變以及等式中常數的調整，做到等價變形；(2)代數式的變形以拼湊出和或積的定值為目標；(3)拆項、添項應留意檢驗利用基本不等式的前提．高頻考點三：基本不等式的實際應用例4.（2024·江蘇高考真題）某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為萬元,要使一年的總運費與總存儲之和最小,則的值是.【答案】30【解析】總費用，當且僅當，即時等號成立.【規律方法】1.用均值不等式解決此類問題時，應按如下步驟進行：(1)理解題意，設變量，設變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數；(2)建立相應的函數關系式，把實際問題抽象為函數的最大值或最小值問題；(3)在定義域內，求出函數的最大值或最小值；(4)正確寫出答案.2.利用基本不等式求解實際應用題留意點：(1)此類型的題目往往較長，解題時需仔細閱讀，從中提煉出有用信息，建立數學模型，轉化為數學問題求解．(2)當運用基本不等式求最值時，若等號成立的自變量不在定義域內時，就不能運用基本不等式求解，此時可依據變量的范圍用對應函數的單調性求解．【易錯警示】忽視不等式等號成立的條件！【變式探究】如圖，有一塊等腰直角三角形的空地，要在這塊空地上開拓一個內接矩形的綠地，已知,，綠地面積最大值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】設，，由條件可知和為等直角三角形，所以，．＝≥＝，即≤4，所以，所以綠地面積最大值為4，故選C．高頻考點四：基本不等式的綜合運用例5.（2024·黑龍江省佳木斯一中高一期中（理））已知函數（）．（1）若不等式的解集為，求的取值范圍；（2）當時，解不等式；（3）若不等式的解集為，若，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.；（3）.【解析】（1）①當即時，，不合題意；②當即時，，即，∴，∴（2）即即①當即時，解集為②當即時，∵，∴解集為③當即時，∵，所以，所以∴解集為（3）不等式的解集為，，即對隨意的，不等式恒成立，即恒成立，因為恒成立，所以恒成立，設則，，所以，因為，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，所以當時，，所以例6．設函數（Ⅰ）若不等式對隨意恒成立，求實數的取值范圍；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，當取最大值時，設，且，求的最小值.【答案】(1);(2).【解析】（Ⅰ）因為函數的對稱軸為，且開口向上，所以在上單調遞減，所以，∴.（Ⅱ）依據題意，由（Ⅰ）可得，即，所以.所以.∵，則當且僅當，即，時，等號成立.所以的最小值為.【總結提升】基本不等式的綜合應用求解策略(1)應用基本不等式推斷不等式是否成立：對所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解．(2)條件不等式的最值問題：通過條件轉化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求參數的值或范圍：視察題目特點，利用基本不等式確定相關成立條件，從而得到參數的值或范圍．【變式探究】1．(2024·北京海淀模擬)已知f(x)＝32x－(k＋1)·3x＋2，當x∈R時，f(x)恒為正值，則k的取值范圍是()A．(－∞，－1) B．(－∞，2eq\r(2)－1)C．(－1,2eq\r(2)－1) D．(－2eq\r(2)－1,2eq\r(2)－1)【答案】B【解析】由f(x)＞0得32x－(k＋1)3x＋2＞0，解得k＋1＜3x＋eq\f(2,3x).而3x＋eq\f(2,3x)≥2eq\r(2)(當且僅當3x＝eq\f(2,3x)，即x＝log3eq\