2024年高三年級期初調研檢測

數學試題

本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上,

并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號

涂黑.如需要改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，

將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合/=｛巾=皿4-x）｝,底｛1,2,3,4,5｝,則標=（）

A.⑸B.工2,3｝c,｛1，2,3,4｝D｛1,2,3,4,5｝

2.已知復數z滿足（"2i）N=4+3i,貝ijz的虛部為（）

A.1B.-1C.iD.-i

=cos

已知命題pVoreR)，則9為（

B.

C.VaeR,14）^4）口.3a^R,U）^4）

4.等差數列｛4｝的首項為一為公差不為0,若出，%，。6成等比數列,則｛%｝的前6項和為

C.-24

5.在平面直角坐標系xQy中，角a與角￡均以x軸的非負半軸為始邊，它們的終邊關于x

1

軸對稱.若c°s“一§,則c°s（f）=（）

2_77

A.9B.9C.1D.9

6.兩個粒子/,8從同一發射源發射出來，在某一時刻，它們的位移分別為%=（1，2）,

SB=（4,3）.粒子2相對粒子/的位移為則S在S”上的投影向量為（）

rvi獨

A.[5'5JB.（亞2灼C.（1,2）D.（2』）

（%+d!）2,X<0

"x）=:+Lax>0

7.設〔x+x+dx>，若/（0）是/'（x）的最小值，則°的取值范圍為（）

A.[T，。]B.[T"]C.卜2，-1]D.12,0]

22

。：[==1（。>0,6>0）

8.已知雙曲線ab-的左、右焦點分別為巳，F2.以B3為直徑的圓

和C的漸近線在第一象限交于/點，直線交C的另一條漸近線于點5,F1B=BA,則

C的離心率為（）

A.皿B.^3C.2D.3

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項

中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯

的得0分.

9.一組數據：應，與，…，肛。是公差為一2的等差數列，去掉首末兩項町，X”后得到一組

新數據，則（）

A.兩組數據的極差相同B.兩組數據的中位數相同

C.兩組數據的平均數相同D.兩組數據的標準差相同

10.平面a過正方體44G2的頂點A,平面a//平面C4平面夕「平面

ABCD=m,平面aPl平面=〃，貝”（）

71

A.瓦。J/機B.48//平面&c.平面/OGAD.也”所成的角為片

m

-b.\

ii.設數列｛4｝和｛九｝的項數均為加，稱I''為數列｛4｝和｛4J的距離.記滿足

a=1+一」

1一.”的所有數列｛%｝構成的集合為C.已知數列｛4｝和步"｝為C中的兩個元素，項

數均為加，下列正確的有()

A.數列135,7和數列2,4,6,8的距離為4

B,若加=4p(p￡N*),則44…4=4與…%

m

C,若加=492,則小區“

D.若4=2,4=3,數列｛4｝和｛紇｝的距離小于2017,則加的最大值為3456

三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分.

12.若曲線>=6cosx在點(。,0)處的切線斜率為T,則〃=.

_71

13.若王一§,X2=兀是函數/(x)=sin°x(°>0)的兩個相鄰極值點，則。=.

14.正方體NBC。一幺4G〃的棱長為3,P是側面(包括邊界)上一動點，E是棱

8上一點，若NAPB=NDPE,且△/依的面積是AOPE面積的9倍，則三棱錐尸一/3￡體

積的最大值是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟.

15.甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對的一

2j_

方獲勝，否則本次平局.已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為1和萬，且每次活動

甲、乙猜對與否互不影響，各次活動也互不影響.

(1)求在一次猜謎活動中，有一方獲勝的概率；

(2)若有一方獲勝則猜謎活動結束，否則猜謎繼續，猜謎最多進行3次，求猜謎次數X的分

布列和期望.

,V2(ccosB+bcosC)=--------

16.已知A/BC的內角42,C的對邊分別為應仇-cos/.

⑴求A；

(2)若42邊上的高等于I,求sinC.

17.如圖，在四棱錐中，底面四邊形是正方形，PD=DC,底面

4BCD,E是線段尸。的中點，下在線段依上，EF1PB.

p

/虞;…

/w\\/

//、、\\/

/------------%

（1）證明：P8_L平面。斯；

（2）G在線段P8上，EG與尸/所成的角為45。，求平面DE尸與平面DEG夾角的余弦值.

18.已知雙曲線C：4x-/=加，點片。，1）在C上.按如下方式構造點勺（"22）；過點

月一作斜率為1的直線與c的左支交于點點以一關于〉軸的對稱點為夕，記點匕的坐

標為

⑴求點鳥迷的坐標；

⑵記見=2%-%,證明：數列｛%｝為等比數列；

⑶°為坐標原點，G,〃分別為線段E￡+2,E,+f+3的中點，記△°￡+f+2,AOG〃的面積

A

分別為印邑，求s?的值.

19.已知函數/（X）定義域為/,D0,若VxeD,小eD,當時，都

有/（X）＜.則稱/為/（X）在。上的“Q點”.

⑴設函數/3=（2+"x）M（l+x）-2,

（i）當。=o時,求"無）在（T+°°）上的最大9點”;

（ii）若"x）在［°」］上不存在，g點，，，求0的取值范圍；

⑵設0=｛12-5｝（加小）且“1）=0,“X）-/（xT）41,證明：“X）在。上的0

1.B

【分析】根據對數中真數大于0解出集合A,再利用交集含義即可得到答案.

【詳解】"Un(j)}=*|尤＜4},則/cy1,2,3}.

故選：B.

2.A

【分析】根據復數的除法的計算公式得亍=2-i,再根據共舸復數和復數虛部的概念即可.

_4+3i(4+3i)(l-2i)10-5i。.

z--------=-------------------=----------2-1

【詳解】1+20+20(1-21)5,

則z=2+i,則其虛部為1.

故選：A.

3.B

【分析】根據全稱量詞命題的否定，否定結論，全稱變特稱即可.

【詳解】根據全稱量詞命題的否定，否定結論，全稱變特稱,則力為￡R,

故選：B.

4.D

【分析】根據等比中項得到方程，解出d=2,后根據等差數列求和公式計算即可.

［詳解］成等比數歹山則必二%?%,即(4+2d)2=(4+?)?(4+5d),

a\二-1代入,得至ij(-l+2d)2=(-l+d),(一l+5d),dw0,解得d=2.

的t$6=6X(_1)+BX2=24

則t的前6項和2

故選：D.

5.B

【分析】運用角的終邊對稱性，得到正弦余弦值之間的關系，再用兩角差的余弦值計算即

可.

【詳解】角。與角夕均以x軸的非負半軸為始邊，它們的終邊關于'軸對稱.

cosa-cosB-..Rsin2a=l-cos2a=-

則3,sma=-sin,，且9,

sina?sin/=-sin2a=

187

故cos(a—￡)=cosa?cosy^+sinasin/?=

故選：B

6.C

【分析】根據題意，求得S=S-S/=(3,1),結合向量的數量積的公式和投影向量的公式，

準確計算，即可求解.

【詳解】由向量邑=。2),S"(4,3),可得粒子6相對粒子A的位移為*=SB-S?=(3,1),

可得用后=lx3+2xl=5且同=?

邑M三一5

■(1,2)=(1,2)

上的投影向量為同同石

所以下在其

故選：C.

7.A

【分析】根據分段函數的最值，結合二次函數和基本不等式，二次不等式求解.

(x+tz)2,x<0

/O,

x+當x=0,/(°)=/，由于/(°)是/(x)的最小值,

【詳解】由于

/<XH-----F6Z,X>0

0

則(-°，。］為減區間，即有aW0則X恒成立.

x+—>2.xx—=2

由x\X,當且僅當x=l時取等號，所以a2<2+a解得-1W2.

綜上，a的取值范圍為［T，°l

故選：A.

8.C

TT

NAOF)=ZF.OB=ZAOB=-

【分析】根據題意，利用雙曲線的對稱性，得到3,結合雙曲

b71FT

——tan—=

線的幾何性質，求得a3,進而求得雙曲線的離心率，得到答案.

【詳解】如圖所示，因為片3=8/,可得點B為線段耳”的中點，則。8‘片“，

可得NFQB=NAOB

因為直線0408是雙曲線的漸近線，由雙曲線的對稱性可知―"2=/耳02,

兀

ZAOF?=ZF,OB=ZAOB=-

所以3,

—=tan—=V3e=—=.11+(―)2=V1+3=2

可得直線。”的斜率為。3，則。Na

所以雙曲線C的離心率為2.

故選：C.

【分析】根據平均數的概念結合等差數列的性質判斷C,由中位數的概念可判斷B,由方

差及等差數列的通項公式計算即可判斷D,根據極差及等差數列的通項公式可判斷A.

X-...(X[++,??+Mn)=---X5(X?+Xz-)=-(X；+Xz-)

【詳解】對于C,原數據的平均數為10102,

—111

工4*X，X'=G(X2+X3+…+工9)=3*4(%+%)=彳(%+X6)=X

去掉多，西。后的平均數為882則C正確;

1、

一(xs+)

對于B,原數據的中位數為2,

1,、

一(%5+4)

去掉多，西。后的中位數仍為2,即中位數沒變，則B正確;

對于A,原數據的極差為西一而。=-9"=18

去掉多，再。后的極差為無2一月=-71=14,即極差變小，則A錯誤;

對于D,設公差為d,則原數據的方差為

"i--I2I--12I--12'

S=仿(X1-2+^6+*2一,(工5+工6)+…+^10-2^5>

+

去掉不。后的方差為

-2'

,211z1.1

s+X3~~(X5++???+工廠]（%+工6）＞

2

17521+（1y+gd）2]=2i

-[(--^)2+(--^)2+(--^)2+(--^)2++

o222z

即方差變小.標準差也變小，則D錯誤.

故選：BC

10.ABC

【分析】設平面an平面43cA=/證得機//w和"http://44,可判定A正確；過℃作

平面7,設平面7n平面。=。，證得"出〃。，可判定B正確；設平面平面

DCCQE,證得"平面可判定c正確；把肛”所成的角轉化為3a與

℃所成的角，結合AC4A為等邊三角形，可判定D不正確.

【詳解】對于A中，設平面1門平面44G。產加

在正方體ABCD-44CQ中，可得平面ABCDII平面48GA,

因為平面aA平面N8C￡＞="z,所以“//M,

又因為平面a〃平面〃，且平面平面48cA=",

平面CB.c平面44GAW,所以"http://8Q,所以加/他，所以A正確；

對于B中，在正方體-43cA中，可得48//DC,

因為平面a〃平面C8Q,且平面℃u平面C8Q,所以℃//平面傘，

過。C作平面/,設平面7n平面a=°,可得RC//a,

可得&B//a,且所以/田//平面。，所以B正確；

對于C中，設平面々a平面℃GA=",

因為平面平面C且平面CBRc平面DCC|4=AC,所以〃'//￡＞「，

co

在正方體/8-4B￡R中，可得AD1平面DCCR,

因為RCu平面。CGA,所以4D，RC

又因為DCi-L。。，且40rl℃]=。，/。,℃u平面,

所以平面所以平面

在正方體ABCD_42￡口中，可得平面4s44//平面DCCR,

因為平面aC平面DCG2="’,平面a。平面月4=〃，所以〃//“，

所以〃,平面40G4，所以C正確；

對于D中，因為耳2且〃〃℃,所以機，〃所成的角，即為與，°所成的角,

71

「Rn/CD[B[=—

因為△CB12為等邊三角形，可得3,

兀

所以異面直線機，〃所成的角為3,所以D不正確.

故選：ABC.

11.ABD

【分析】根據數列距離的定義求兩數列的距離判斷A,結合數列｛4｝,｛紇｝的遞推關系證

明兩數列具有周期性，判斷B,利用基本不等式求H軟+J+Z-2|+|4*+3]+|4"4|,由此求

m4r34563457

Y|4|y|4-^|=-B

白〔判斷c,由條件求修13Sl4~1\

結合周期性可求I，I由此

判斷D.

【詳解】對于A,根據數列距離的定義可得:

數列135,7和數列2,4,6,8的距離為|1-2]+|3-4|+|5-6|+|7-8|=4,人正確;

對于B,設4=',其中，wO,且tR±l,由1一4

,_1+/,_1__/1

所以4=*4=74=證2

則4=4,

因此數列｛4｝中的項周期性重復，且間隔4項重復一次,

所以4%+1/4左+24左+344左+4=1,\<k<p-1℃N*

B”此

設q=s,其中swO,且s*±l,由1一4,

82H4,用=3R

所以,IT,S,5+1,B5-S,

則用=用,

因此數列｛紇｝中的項周期性重復，且間隔4項重復一次,

所以A左+1以左+2^4左+3為左+4=1,\<k<p—1p￡N*

所以若冽=4p(p￡N)則44…4=5也…紇，B正確;

A+A+A+A=Z+1t-\

|4k+11|4k+2||4k+3||4M|||T~~+-+----

因為17tZ+1其中"0,且fH±l,

■I1￡+1t—1

4077,——0——

所以kl1t+l

+++++

IA*+lIIA4k2IIA4k+3Il^4*+4I=N17T-7+>2+2=4

所以+KI"I'+1

Z⑷>4p=機

所以若加=4PMN)

t，C錯誤;

所以數列｛4｝中，4-=2,4"2=-3,冊=§,左eN*,

=

故｛紇｝中，％.3=3,%一2=-2,=2,左eN*,

k+1k

1=1Z=1,

所以項數加越大，數列｛'"｝和｛紇｝的距離越大，

4734567

￡|4一周=w|6;-C,.1=1x864=2016

3

由,可得-13

3457

|=2016+1=2017

m

a-C;|<2017

所以加43456時,Z=1

故加的最大值為3456；

所以數列｛4｝和｛紇｝的距離小于2017,則的最大值為3456,D正確.

故選：ABD.

【點睛新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后

根據此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定

義的透徹理解.但是，透過現象看本質，它們考查的還是基礎數學知識，所以說“新題”不一

定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝法寶.

12.-1

【分析】先求導，再代入0,運用導數幾何意義可解.

【詳解】求導得到了=a(cosx-xsinx),將。代入導數，運用導數幾何意義，得

(7(cos0-sin0)=a=-\

故答案為：T.

3

13.2

【分析】根據題意得到借助最小正周期公式，再用兩個相鄰極值點相差半個周期可解.

=工-T=(

［詳解］為一§,/=兀是函數/價戶而^儂^^的兩個相鄰極值點測5一兀一§,

12兀/兀、3

—X--=(71---)CD=—

即2。3,解得2.

3

故答案為：2

述

14.8

【分析】由條件先證明A/PBSAEPD,結合面積關系可得/尸=3尸。，在平面"D04上建

立平面直角坐標系，確定點尸的軌跡方程，結合體積公式求三棱錐尸一42￡體積的最大值.

【詳解】由已知48,平面/0口4,4Pu平面

所以

因為OE工平面4004,DPu平面ADDA,

所以。尸，

所以/BAP=ZEDP=90°,又ZAPS=NDPE,

所以“PBsaPE,又△/心的面積是△。尸E面積的9倍,

AP_1

所以市二3

以點。為原點，刀，皮，的為x/，z軸建立空間直角坐標系,

則4(3,0,0),D(0,0,0)

設點尸的坐標為G'°'Z),則04x43,0<z<3,

由已知"=3因，

所以展-3?+z。=3^X2+Z2,

x2+z2+—x--=0

所以48,其中04x43,0<z<3,

J。,o]?

所以點尸的軌跡為以點I8J為圓心，耳為半徑的圓在側面/。與4內的一段圓弧,

過點P忤PQ"DD\,因為Z)A,平面ABCD,

所以平面N88,即尸°上平面/BE,

所以「°為三棱錐尸-/BE的高，

133

V=-S.PQ=-PQ=—日

所以三棱錐PTE的體積pP-ABE3BE22「

_I23~9

z—A—xxH—

所以丫48,04x43,

372

所以當x=°時，z取最大值，最大值為丁，

33729亞

—X----------=-----------

所以當尤=°時，三棱錐尸一N8E體積取最大值，最大值為248

9-

故答案為：8

【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵在于通過證明ANPBSAOPE相似，結合相似三角形

AP_1

的性質證明DP3.

]_

15.（I）2

7

（2）分布列見解析，4

【分析】（1）有一方獲勝，意味著結果為一對一錯，分情況用相互獨立事件的乘法公式計

算相加即可；

（2）確定X取每一個值對應時間的概率，即可求解.

【詳解】（1）設甲猜對為事件4乙猜對為事件8,

事件/月+初表示“星隊，，第一輪活動中只有1人猜對，且事件M與/與互斥,

尸（彳8）=尸（N）XP（8）=；耳）=P（/）x尸

則

P（AB+AB）=P（IB）+P（/方）=

2,即有一方獲勝的概率為I

（2）由題意X的可能取值為1,2,3

p（X=1）=—

X=1表示第一次猜謎有人獲勝，所以'12,

X=2表示第一次猜謎沒人獲勝同時第二次猜謎有人獲勝，所以'（X

p（X=3）=1--------=—

由分布列的性質，可得244,

所以分布列為

X123

111

P—

244

iii7

E(X)=lx—+2x—+3x—=—

所以J2444

71

16.(I)4

3廝

⑵10

【分析】（1）利用正弦定理，邊化角,結合兩角和的正弦公式化簡即可;

（2）先用，表示A/BC中線段的長度,然后利用等面積法求解即可.

V2(ccosB+bcosC)=---A/2(sinCcosB+sinBcosC)=

【詳解】(1)由cosA得cosA,

()sinA,V2

&sin3+C=^^&sin/=-------cosA=——

所以cos/,即cosA,又sm/wO,所以2,

又0</<兀，得4

（2）由題得示意圖

A=1得M=|c

因為4,所以MH3

\BC\=^'cl1|^||CD|=||^C||5C|sinC

所以,利用等面積法可知：2

c」d￡xsmC

即333

smC=亞

解得：10

17.（1）證明見解析

V6

⑵3

【分析】（1）根據題意，證得PO'BC和得到3C_L平面POC,證得

BC1DE,再由尸O=DC,得到DELPC,證得DEL平面P8C,得到DEL尸8,進而

證得平面。防；

（2）以點。為原點，建立空間直角坐標系，設正方形43co的邊長為2,設麗=4萬，

2=-

根據EG與P4所成的角為45。，求得2,得到求得平面。EG和平面。昉的

法向量分別為1=（°，1，-1）和尸8=（2,2,-2）,結合向量的夾角公式，即可求解.

【詳解】（1）證明：因為電>，底面/BCD,且BCu底面/BCD,所以PDLBC,

又因為/BCD為正方形，可得OCL8C,

因為P〃nOC=C,且尸￡>,DCu平面尸℃,所以8cL平面PDC,

又因為DEu平面尸DC,所以

因為尸Z）=OC,且E為PC的中點，所以OELPC,

又因為PCcBC=C,且PC,8Cu平面尸8C,所以平面P5C,

因為尸Bu平面P8C,所以。尸8,

又因為EF,PB,^DE^EF=EDE,EFu平面DE尸，所以尸8,平面。石尸.

（2）解：以點。為原點，以D4OC,。尸所在的直線分別為x軸、V軸和z軸，建立空間直

角坐標系，如圖所示，設正方形438的邊長為2,可得Z）P=2,

可得D(0,0,0),A(2,0,0),5(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),

則方=(2,0,-2),而=(2,2,-2),PE=(0,1,-1)

因為G在線段尸8上，設4=2而=(24,24-22),其中

則而=而_而=(22,22-1,-22+1),

莎?西一|8"2|_也

cos45

司52>/2xV1222-8/1+22

因為EG與尸/所成的角為45。，可得

A2=-A=-―■——

解得4,所以2,所以可得。￡=(0,1,1),OG=(1,1,1),

n?DE=y+z=0

設平面OEG的法向量為"=(x，jZ,則M?旄=X+V+Z=0,

令＞=1,可得x=0,z=T,所以工=(0,1,-1),

因為必，平面。EF,所以平面DEF的一個法向量為PB=⑵2,-2）,

設平面。跖與平面。EG所成的二面角為8,其中0。<6<90。，

卜?麗4_V6r

可得\n\\PB\,2x233,即平面與平面D￡G所成的二面角為3

18.D,353）

（2）證明見解析

'=2

(3)邑25

【分析】（1）由點V（U）可得〃，的值，求出/臉的方程后聯立雙曲線可得2,即可得七，

再借助4金的方程后聯立雙曲線可得&,即可得乙；

（2）聯立了一匕T=X-X"T與雙曲線方程，結合韋達定理可得知=5X,T-2以_,結合點

（一X"，片）代入可得%=-X“-X"T,再利用等比數列定義與判定定理計算即可得證;

（3）由2x.-%=3",結合4%一呼=3,從而可得x“與州，再利用面積公式分別計算出

幾邑即可得.

【詳解】（1）由題知機=47=3,所以雙曲線C：4/-/=3,

又過點4（1'1）,斜率為1的直線方程為》=無，

由雙曲線與直線的對稱性可知2（T「D,所以只（1廠1）,

又過A（LT）,且斜率為1的直線方程為v+l=x-l,即y=x-2,

卜=x-2777.13

由［4x->-3,解得x=i或3,當3時，33,

所以I33人所以（33人

（2）設月T（X5Ni）（"22,〃eN*）,

則過久（兌一,%一）（"22,"eN*）,且斜率為］的直線方程為V=X-X.T,

=x-x?-i2

聯立［4，-/=3,消y得到3/+2（/_］-%_1卜-6"_1-以_］）-3=0,

=-f（^-i-K-i）/曰13x-5x-2j

由題有3,得到""-3X"T-I,

y

由題知點（一/'"）在直線y~y^=X-x,T上，即有％-y?-t=-x?-xn_l,

所以匕=%「%-%,因為%=2X"-y”,

a

n=2x“一券=2X.-?T+X.+X,I=3x“fi+x,T=5x“_|一2-_|一％_|+一一

則。"T2無2元，T-BT2x?-i-y?-i2x?-i-y?-

由（1）知％=2-1=1,所以，數列｛%｝為1為首項，3的公比的等比數列；

=3,得到州=2匕一37

（3）由（2）知

由招”立=3,即4x；-；=（2x0-%）（2匕+匕）=3,

332-

2%+以一°-?_i-3"

即2x％3

（2x“+i“）+（2X"-%）_32-"+3"-1

則2一4—4,

2x2x§2-〃3〃—1

_（n+yn）-（?-yn）_'-

%一2

2,

產+3"-132T-3"["+3"3「"-3）

故（4，2J,"+<4，2J

3-"+3’m3一"一3"+.3^'+3,!+23-'1_3"2

Pn+22+3

42J42

1

if32-+3〃T3f+3"i+3"-）

XG

24

故

]（^2-n_3〃-13一〃-3"+i

-----------1------

^0=2I22

5(3-"+3"一)5(3-"_3"一)+3"15

GH

42

即<A則

1,3~+3〃一〃_一"+

&=]|x“+J“+2一演+2以+1|=~33"33"

2424~

則

1@?+3〃-3"i）-（3一"+3用）（3?一3〃）

28

_131-2"+1-9-32W+1-31-2"-9+1+32n+1

~28

1-161

=-----二I

28

I,15（3一"+3吟5（3-2-3"）5（3-"T+3"）56f-3叫

S,=-\xGyH-xHyG\=----------------------------』一一------------------』

22*12*124242

=；x氫3-"+3"-|）（3-"一-3"卜（3-"7+3"*3-"-3"-）

25|-16|25

=16|9|9

25=25

故9

【點睛】關鍵點點睛：本題最后一問關鍵點在于得到2%一%=3"-|后，結合44一立=3,

從而可得血與力,再利用面積公式計算即可得.

a<---2

19.(1)(i)°；(ii)In2

(2)證明見解析

【分析】⑴(i)由題意可得對Vxe(T°］,(-叫，當尤〈/時，都有了(、)<”‘),

即可結合導數研究單調性后取/(X)最大值點即可得；

0<<2

(ii)由題意可得/G)"/(°)在時恒成立，借助導數分〃《°、。21、<“一H及

21

一<a<I

3討論函數單調性即可得；

(2)分“。點”個數為°,I及大于等于2進行討論，結合/(x)-/(xT)〈l,從而得到相

鄰兩個“Q點”的函數值之差小于等于I,即可得“C點”個數與/(加)的關系.

【詳解】⑴⑴當。=。時，〃x)=2ln(l+x)-2x,

r(x)=--2=2~2^l+^=-—

貝Ul+xl+xl+x,

則當xe(T，°)時，/(%)>0,當xe(0,+8)時，/(x)<0,

即/(x)在(TO)上單調遞增，在(0,+8)上單調遞減，

即對Vxe(-LO］,小e(-l,O］,當x</時，都有/(x)</(。,

即/(x)在(T，+“)上的最大，g點，，為0.

(ii)由題意可得/G)"/(°)在*e［°，1］時恒成立,

2+ax

f(x)=QIn(l+x)+----------2

x+1,

2+ax

g(x)=aln(l+x)+THT-,xe[0,l].

令