2022年高考數學一輪復習講練測（新高考·浙江）第四章三角函數與解三角形專題4.4三角函數的圖象與性質（講）【考試要求】理解正弦函數、余弦函數、正切函數的圖象與性質，了解三角函數的周期性.【高考預測】（1）“五點法”作圖；（2）三角函數的性質；（3）與不等式相結合考查三角函數定義域的求法．（4）與二次函數、函數的單調性等結合考查函數的值域(最值)．（5）借助函數的圖象、數形結合思想考查函數的奇偶性、單調性、對稱性等性質．（6）往往將三角恒等變換與三角函數圖象、性質結合考查.【知識與素養】知識點1．正弦、余弦、正切函數的圖象與性質正弦函數,余弦函數,正切函數的圖象與性質性質圖象定義域值域最值當時，；當時，．當時，；當時，．既無最大值，也無最小值周期性奇偶性,奇函數偶函數奇函數單調性在上是增函數；在上是減函數．在上是增函數；在上是減函數．在上是增函數．對稱性對稱中心對稱軸，既是中心對稱又是軸對稱圖形.對稱中心對稱軸，既是中心對稱又是軸對稱圖形.對稱中心無對稱軸，是中心對稱但不是軸對稱圖形.【典例1】（2021·浙江溫州市·瑞安中學高三其他模擬）已知函數．（1）求的值；（2）求的最小正周期及單調遞增區間．【答案】(1)1;(2)最小正周期是,單調遞增區間為.【解析】(1)由輔助角公式和二倍角公式可得，進而可求出.(2)由解析式可求出最小正周期，令即可求出增區間.【詳解】解：(1)，則(2)最小正周期，令，解得，即增區間為.知識點2．“五點法”做函數的圖象“五點法”作圖：先列表，令，求出對應的五個SKIPIF1<0的值和五個值，再根據求出的對應的五個點的坐標描出五個點，再把五個點利用平滑的曲線連接起來，即得到在一個周期的圖象，最后把這個周期的圖象以周期為單位，向左右兩邊平移，則得到函數的圖象.【典例2】（2021·中牟縣教育體育局教學研究室高一期中）已知函數.（1）用“五點法”作出在上的簡圖.（2）由圖象寫出在上的單調區間.【答案】（1）答案見解析；（2）單調增區間：，，單調減區間：.【解析】（1）利用“五點法”作圖法：列表、描點、連線即可.（2）由圖象即可寫出單調區間.【詳解】解：（1）列表：0111描點?連線如圖所示：（2）由函數圖象可知：單調增區間：，，單調減區間：.【重點難點突破】考點一三角函數的定義域和值域【典例3】（2020·全國高一課時練習）求下列函數的定義域.（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）要使函數有意義，必須使.由正弦的定義知，就是角的終邊與單位圓的交點的縱坐標是非負數.∴角的終邊應在軸或其上方區域，∴.∴函數的定義域為.（2）要使函數有意義，必須使有意義，且.∴∴.∴函數的定義域為.【典例4】（2021·黑龍江哈爾濱市·哈爾濱三中高三其他模擬（文））已知函數.（1）求函數的最小正周期；（2）當時，求的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）化簡解析式，由此求得函數的最小正周期.（2）利用三角函數值域的求法，求得的值域.【詳解】（1），所以的最小正周期為.（2），所以.【規律方法】1．三角函數定義域的求法求三角函數定義域實際上是構造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數線或三角函數圖象來求解．2．三角函數值域的不同求法(1)利用sinx和cosx的值域直接求；(2)把所給的三角函數式變換成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域；(3)把sinx或cosx看作一個整體，轉換成二次函數求值域；(4)利用sinx±cosx和sinxcosx的關系轉換成二次函數求值域．【變式探究】1.（2020·上海高三專題練習）函數的最大值為2，最小值為，則_________，_________.【答案】【解析】由已知得，解得.故答案為：；.2.（2021·上海高一單元測試）寫出函數的定義域、最小正周期、單調區間、對稱中心．【答案】定義域，周期，在遞增，無遞減區間，對稱中心.【解析】由，可求得其定義域，利用整體思想結合正切函數的周期性、單調性及對稱性可求得其最小正周期、單調區間、對稱中心；【詳解】解：由，得：，．所以，其定義域為；由得：其最小正周期；由，得：，．所以，函數的單調遞增區間為，．無遞減區間；由得：，．所以的對稱中心為.【總結提升】在使用開平方關系sinα＝±eq\r(1－cos2α)和cosα＝±eq\r(1－sin2α)時，一定要注意正負號的選取，確定正負號的依據是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，則按三角函數在各個象限的符號來確定正負號；如果角α所在的象限是未知的，則需要按象限進行討論．考點二三角函數的單調性常見考題類型：1．求三角函數的單調區間；2.已知函數的單調性求參數值或范圍；3.比較大小；4.解三角不等式.【典例5】（2021·全國高考真題）下列區間中，函數單調遞增的區間是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解不等式，利用賦值法可得出結論.【詳解】因為函數的單調遞增區間為，對于函數，由，解得，取，可得函數的一個單調遞增區間為，則，，A選項滿足條件，B不滿足條件；取，可得函數的一個單調遞增區間為，且，，CD選項均不滿足條件.故選：A.【典例6】（2020·山東濰坊?高一期末）若函數的最小正周期為，則（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意，函數的最小正周期為，可得，解得，即，令，即，當時，，即函數在上單調遞增，又由，又由，所以.故選：C.【典例7】（2021·甘肅白銀市·高三其他模擬（理））函數在區間內單調遞減，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得出的取值范圍，根據已知條件可得出關于的不等式組，即可求得的最大值.【詳解】，則，因為函數在區間內單調遞減，則，所以，，解得，由，可得，因為且，則，.因此，正數的最大值為.故選：B.【典例8】（2021·河南高一期中（文））在上，滿足的的取值范圍是______．【答案】【解析】作出正弦函數的圖像，由圖像寫出不等式的解集.【詳解】如圖示：且，．故答案為：【規律方法】1.求形如或(其中A≠0，)的函數的單調區間，可以通過解不等式的方法去解答，列不等式的原則是：①把“()”視為一個“整體”；②A>0(A<0)時，所列不等式的方向與()，()的單調區間對應的不等式方向相同(反)．2.當時，需要利用誘導公式把負號提出來，轉化為的形式，然后求其單調遞增區間，應把放在正弦函數的遞減區間之內；若求其遞減區間，應把放在正弦函數的遞增區間之內.3．已知三角函數的單調區間求參數的取值范圍的三種方法(1)子集法：求出原函數的相應單調區間，由已知區間是所求某區間的子集，列不等式(組)求解．(2)反子集法：由所給區間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應正、余弦函數的某個單調區間的子集，列不等式(組)求解.【變式探究】1.（2021·河南高一三模）已知函數，則（）A． B．在上單調遞增C．在上的最小值為 D．在上的最大值為【答案】C【解析】A.直接求解判斷；B.由，得到，利用正弦函數的性質判斷；CD.利用正弦函數的性質求解判斷.【詳解】A.，故錯誤；B.因為，所以，不單調，故錯誤；C.當，即時，取得最小值，且最小值為，在上無最大值，故正確，D錯誤.故選：C2.2021·河南信陽市·信陽高中高一月考）設，記，則的大小關系為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據的取值范圍可得到的取值范圍.即可判斷與的大小關系，即選出答案.【詳解】因為，所以，即，，則.故選：D.3.（2021·陜西高三其他模擬（理））已知函數圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為，且，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由對稱軸距離求得，由函數值求得，寫出函數解析式，，解出解集即可.【詳解】由題知，函數的周期，則，又，，則，函數解析式為則由正弦函數性質知，，解得故選：C4.（2020·浙江柯城?衢州二中高三其他）已知函數，則的最大值為________，若在區間上是增函數，則的取值范圍是________.【答案】2【解析】因為函數，所以，所以的最大值為2，因為在區間上是增函數，所以，所以，解得.故答案為：(1).2(2).【總結提升】1.對正弦函數、余弦函數單調性的兩點說明(1)正弦函數、余弦函數在定義域R上均不是單調函數，但存在單調區間．(2)由正弦函數、余弦函數的最小正周期為2π，所以任給一個正弦函數、余弦函數的單調區間，加上2kπ，(k∈Z)后，仍是單調區間，且單調性相同．2．對正弦函數、余弦函數最值的三點說明(1)明確正、余弦函數的有界性，即|sinx|≤1，|cosx|≤1．(2)函數y＝sinx，x∈D，(y＝cosx，x∈D)的最值不一定是1或－1，要依賴函數定義域D來決定．(3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函數最值通常利用“整體代換”，即令ωx＋φ＝Z，將函數轉化為y＝AsinZ的形式求最值．3.正切函數單調性的三個關注點(1)正切函數在定義域上不具有單調性．(2)正切函數無單調遞減區間，有無數個單調遞增區間，在(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，(eq\f(π,2)，eq\f(3,2)π)，…上都是增函數．(3)正切函數的每個單調區間均為開區間，不能寫成閉區間，也不能說正切函數在(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))∪(eq\f(π,2)，eq\f(3π,2))∪…上是增函數．考點三三角函數的周期性【典例9】（2018年全國卷Ⅲ文）函數f(x)=tanx1+tanA.π4B.π2C.π【答案】C【解析】由已知得ff(x)的故選C.【規律方法】1.求三角函數的周期的方法（1）定義法：使得當取定義域內的每一個值時，都有.利用定義我們可采用取值進行驗證的思路，非常適合選擇題；（2）公式法：和的最小正周期都是，的周期為.要特別注意兩個公式不要弄混；(3)圖象法：可以畫出函數的圖象，利用圖象的重復的特征進行確定，一般適應于不易直接判斷，但是能夠容易畫出函數草圖的函數；(4)絕對值或平方對三角函數周期性的影響：一般說來，某一周期函數解析式加絕對值或平方，其周期性是：弦減半、切不變．既為周期函數又是偶函數的函數自變量加絕對值，其周期性不變，其它不定.如的周期都是,但的周期為，而，的周期不變.2.使用周期公式，必須先將解析式化為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的形式；正弦余弦函數的最小正周期是SKIPIF1<0，正切函數的最小正周期公式是SKIPIF1<0；注意一定要注意加絕對值.3.對稱與周期:正弦曲線、余弦曲線相鄰的兩個對稱中心、相鄰的兩條對稱軸之間的距離是半個周期,相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是四分之一個周期;正切曲線相鄰兩個對稱中心之間的距離是半個周期.【變式探究】（2021·全國高三月考（理））函數的最小正周期是_______________________.【答案】【解析】利用余弦型函數的周期公式可求得結果.【詳解】函數的最小正周期是.故答案為：.【特別提醒】最小正周期是指使函數重復出現的自變量x要加上的最小正數，是對x而言，而不是對ωx而言．.考點四三角函數的奇偶性

【典例10】（2021·寧波中學高三其他模擬）函數的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據函數的奇偶性和函數圖像上的特殊點進行排除，由此確定正確選項.【詳解】函數的定義域為，且，所以為奇函數，由此排除BC選項，當=0此時方程的解為當時，所以A選項錯誤，故D選項正確.故選：D.【規律方法】1.一般根據函數的奇偶性的定義解答，首先必須考慮函數的定義域，如果函數的定義域不關于原點對稱，則函數一定是非奇非偶函數；如果函數的定義域關于原點對稱，則繼續求SKIPIF1<0；最后比較SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的關系，如果有SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，則函數是偶函數，如果有SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，則函數是奇函數，否則是非奇非偶函數.2.如何判斷函數的奇偶性:根據三角函數的奇偶性，利用誘導公式可推得函數的奇偶性，常見的結論如下：(1)若為偶函數，則有;若為奇函數則有；(2)若為偶函數，則有;若為奇函數則有；(3)若為奇函數則有.【變式探究】（2021·全國高三其他模擬）函數在上的圖象大致為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用奇函數的定義證得是奇函數，即可排除BC，利用當時，，排除D，從而得出結果.【詳解】因為，所以是奇函數，所以的圖象關于點對稱，故排除B、C；當時，，，所以當時，，排除D．故選：A．【特別提醒】利用定義判斷與正切函數有關的一些函數的奇偶性時，必須要堅持定義域優先的原則，即首先要看f(x)的定義域是否關于原點對稱，然后再判斷f(－x)與f(x)的關系．考點五三角函數的對稱性

【典例11】（2021·全國高三其他模擬（理））已知函數在處取到最大值，則（）A．奇函數 B．偶函數C．關于點中心對稱 D．關于軸對稱【答案】B【解析】由已知結合輔助角公式進行化簡，然后結合正弦函數的最值取得條件及余弦函數的性質可判斷．【詳解】解：因為在處取到最大值，即，其中，則，所以，，所以，則為偶函數．故選：B．【規律方法】函數的對稱性問題，往往先將函數化成的形式，其圖象的對稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點都是該圖象的對稱中心,關鍵是記住三角函數的圖象，根據圖象并結合整體代入的基本思想即可求三角函數的對稱軸與對稱中心．【變式探究】（2021·安徽高三其他模擬（文））已知函數，且函數的最小正周期為，則下列關于函數的說法，①；②點是的一個對稱中心；③直線是函數的一條對稱軸；④函數的單調遞增區間是.其中正確的（）A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④【答案】D【解析】由題得，所以，所以①正確；函數沒有對稱中心，對稱軸方程為，故②不正確，③正確；令，得的單調遞增區間是，故④正確.【詳解】因為函數的最小正周期為，所以，所以①正確；函數沒有對稱中心，且對稱軸方程為，所以當時，對稱軸方程為，故②不正確，③正確；令，解得，所以的單調遞增區間是，故④正確.故選：D.【特別提醒】1.求y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)函數的對稱軸或對稱中心時，應把ωx＋φ作為整體，代入相應的公式中，解出x的值，最后寫出結果．2.正切函數圖象的對稱中心是(eq\f(kπ,2)，0)而非(kπ，0)(k∈Z)．考點六三角函數的零點【典例12】（2021·江蘇南通市·高三其他模擬）函數在上的零點個數為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】在時，解方程，即可得解.【詳解】當時，由.若，可得、、；若，可得、、、.綜上所述，函數在上的零點個數為.故選：C.【典例13】（2021·全國高三其他模擬（理））函數在上的所有零點之和為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】通過令，得到，分別畫出兩個函數圖象，找交點即可．【詳解】令，得．分別畫出函數的圖象，由圖可知，的對稱軸為，的對稱軸為．所以所有零點之和為．故選：B．【總結提升】重點考查三角函數的圖象與性質，考查的核心素養是直觀想象、邏輯推理、數學運算，關鍵點在于利用數形結合的思想將函數零點轉化為兩個函數圖象交點問題．【變式探究】1.（2021·河南商丘市·高一月考）函數的零點個數為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】先用誘導公式得化簡，再畫出圖象，利用數形結合即可．【詳解】由三角函數的誘導公式得，函數的零點個數，即方程的根的個數，即曲線（）與的公共點個數．在同一坐標系中分別作出圖象，觀察可知兩條曲線的交點個數為3，故函數的零點個數為3．故選：B.2.（2021·河南高三其他模擬（理））已知函數，則（）A．不是周期函數 B．的值域為C．沒有零點 D．在上為減函數【答案】C【解析】利用周期函數的定義判斷A，利用函數的最值判斷B，利用三角函數的界限性判斷出C，利用復合函數的單調性判斷出D.【詳解】因為，所以是周期函數，A錯誤；令，得，，此時無解，B錯誤；由，得，，而，所以方程無解，沒有零點，C正確；在上為減函數，在上為增函數，D錯誤.故選：C.考點七三角函數中有關ω問題

常見考題類型：1.三角函數的周期T與ω的關系；2.三角函數的單調性與ω的關系；3.三角函數的對稱性、最值與ω的關系【典例14】（2021·云南昆明市·昆明一中高三其他模擬（文））已知函數(ω>0)，若f(x)在上恰有兩個零點，則ω的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】當時，，所以所包含的兩個零點為，則當時，，求解可得的范圍.【詳解】解：因為，且ω>0，所以，又f(x)在上恰有兩個零點，所以且，解之得.故選：A.【典例15】（2021·遼寧鐵嶺市·高三二模）函數在內有且僅有一個極大值點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解法1：將問題等價轉化為函數在內有且僅有一個極大值點的問題；解法2：考慮函數在的最大值后再解不等式.【詳解】解法1：因為，所以函數在內有且僅有一個極大值點等價于函數在內有且僅有一個極大值點.若在上有且僅有一個極大值點，則，解得.選項A正確.故選：A.解法2：令，可得極大值點，其中.由，可得，由題設這個范圍的整數有且僅有一個，因此，于是正數的取值范圍為，選項A正確.故選：A.【