專題12分段函數與二次函數的單調性

目錄

解題知識必備.......................................

壓軸題型講練........................................................3

題型一、已知二次函數單調性求參數...........................................3

題型二、求二次函數的最值（范圍）...........................................4

題型三、根據二次函數的最值（范圍）求參數.................................4

題型四、分段函數單調性的應用................................................5

壓軸能力測評（10題）...............................................6

”解題知識必備8

一、基本初等函數的單調性

1.正比例函數>=依（左20）

當%>0時，函數y=履在定義域R是增函數；當4<0時，函數y=依在定義域R是減函數.

2.一次函數丫=辰+6（無20）

當Q0時，函數丫=履+。在定義域R是增函數；當4<0時，函數丫=履+。在定義域R是減函數.

k

3.反比例函數y=—（左w0）

x

k

當左>0時，函數y=*的單調遞減區間是（-8,0）,（0,+8）,不存在單調增區間；

x

當左<0時，函數y=A的單調遞增區間是（-00,0）,（0,+00）,不存在單調減區間.

4.二次函數y=以2+fer+c（QwO）

若a>0,在區間函數是減函數；在區間［-幺，+oo）,函數是增函數；

2a2a

若a<0,在區間函數是增函數；在區間［-幺，+00）,函數是減函數.

2a2a

二、二次函數的單調性與最值

1.一元二次函數y=ox?+wO）

。＞0時，函數有最小值土￡±；離對稱軸越近函數值越小，離對稱軸越遠函數值越大;

a＜0時，函數有最大值處二廿，離對稱軸越遠函數值越小，離對稱軸越近函數值越大;

2.一元二次函數y=/(x)=ax2+bx+c(a＞0)在區間［m,n］上的最值。

h

當一丁＜加，/COmax=/⑺，/("in=/(附

bi

b

一二〉"時，/(X)max=/(m)，/(尤)min=/(?)

三、分段函數中的單調性

(1)若已知分段函數f(x)=\^XU(“力(若x=a是分段函數定義域的連妾點)在定義域

/,(%),%e/2=(a,c)

/=/］o/2(/=R)上是單調遞增確定參數的取值范圍需要滿足三個條件

①力(x)在/［上單調遞增

②力口)在右上單調遞增

③在連接點x=a必有＜(a)＜力(a)(即左端的值小于等于右端的值)

（2）若已知分段函數=3㈤（若x=a是分段函數定義域的連妾點）在定義域

=（a,c）

1=1^1^1=R）上是單調遞減確定參數的取值范圍需要滿足三個條件

①力（x）在上單調遞減

②力（》）在,2上單調遞減

③在連接點x=。必有<（a）2人（a）（即左端的值大于等于右端的值）

（3）由分段函數中的值域確定參量取值范圍

解題方法：已知函數的值域（常見題型如下）確定參數的取值范圍需要以下幾步

,工此段為具體函數

/（X）=<的值域為D

/（x）,xe/2f此段為含有參量的函數

首先把分段函數中的一段具體函數的值域A求出來

其次根據已知條件函數的值域為D，由=。確定出2的范圍

最后通過。2的范圍確定出參量的取值范圍

“壓軸題型講練??

【題型一已知二次函數單調性求參數】

一、單選題

1.（23-24高一上.江蘇揚州.期中）若函數y=f-2"+1在區間［-2』上為單調增函數，則實數a的取值范

圍為（）

A.a<-2B.a<-2C.a>lD.a>l

二、多選題

2.（23-24高一上?甘肅慶陽?期中）已知函數〃尤）=丁一〃氏+1在區間［3,8］上單調，則實數%的值可以是（）

A.2B.7C.14D.20

三、填空題

3.（24-25高一上?全國?課堂例題）若函數〃力=-/-2（a+l）x+3的單調遞增區間是則實數a的

值為.

4.（24-25高一上?上海?隨堂練習）已知函數〃x）=f-2（1-a）x+2在（-8,4］上是減函數，則實數。的取值

范圍為?

5.（24-25高三?上海?課堂例題）已知/（x）=2加+5是定義域在R上的函數，若對于任意-1M<電<3,都

有"%）-〃％）>y,則實數。的取值范圍是________.

xl—x2

【題型二二次函數的最值（范圍）】

一、解答題

1.（24-25高一上?上海?課后作業）求函數〃力=4工2-4辦+/-2。+2在［0,2］上的最小值.

2.（24-25高一上?全國?課前預習）已知函數“天卜%2-2彳-3.

⑴若尤e［0,2］,求函數〃x）的最值；

⑵若xe印+2］,求函數〃尤）的最值.

3.（23-24高一上?天津靜海?階段練習）已知函數〃力=2/+〃箕+〃的圖象過點（11）,且滿足/（—2）=/（3）.

⑴求函數“X）的解析式：

⑵求函數“X）在。+2］上的最小值；

4.（23-24高一上?北京?期中）已知二次函數/（尤）=2/-（4-2左）》+；.

⑴若存在無使/（x）<0成立，求人的取值范圍；

⑵當左=0時，求“X）在區間［2a,a+1］上的最小值.

5.（24-25高三上?江西?開學考試）已知函數/（x）=￡+x-3/+L（/eR）.

⑴若〃尤）在（十,2）上單調遞增，求/的取值范圍；

（2）若1>0,設函數在區間上的最大值為g（t）,求g⑺的表達式，并求出g（。的最小值.

【題型三根據二次函數的最值（范圍）求參數】

一、單選題

1.（24-25高一上?北京?開學考試）已知二次函數了=m2一27nx（機為常數），當-14x42時，函數值y的

最小值為-2,則他的值是（）

、2

A.—2B.1C.2或—D.—1

3

二、多選題

2.（23-24高一下.全國?課后作業）二次函數y=d+（2a-1）尤-3在1,3］上最大值為1,則實數。值為（

C.—D.—1

4

3.（2024高三.全國.專題練習）若二次函數〃力=辦2+2"+1在區間［—2,3］上的最大值為6,則〃等于（）

A.—B.—C.—5D.5

33

三、填空題

4.（2023高一上?浙江臺州?專題練習）當加-機時，二次函數產了2-2%-3的最大值為5,則機的值

是?

四、解答題

5.（24-25高三上?江蘇宿遷?階段練習）已知函數/'。）=4/一4辦+。2一2。+2.

⑴若a=2,求函數/（尤）在區間（-1,2）上的值域；

⑵若函數/（尤）在區間［0,2］上有最小值3,求。的值.

【題型四分段函數單調性的應用】

一、單選題

無2+2ax+\6,x<2

1.（23-24高一上?浙江寧波?期中）已知函數〃x）=在定義域上單調遞減，則實數。的取

-----,x>2

—1

值范圍是（）

A.[<-2]B.(—,一2]C.(^?,0)D.(-4-2]

（2a—1）尤+l,x<2

2.（23-24高一上?山東?期中）已知函數/（尤）=4是R上的單調增函數，則實數。的取值范

x+—,x>2

￡45j_5

B.C.D.

29524254

——ax—5,%?1

3.（23-24高一上?福建莆田?階段練習）已知函數〃x）=°對辦,%?%且玉NZ都有

—,X>1

/（玉）一/（%）>0成立，貝壯的取值范圍是（）

玉-x2

A.-3<a<0B.-3<a<-2

C.aK—2D.a<0

[Y2—2X<1

4.（23-24高一上?云南曲靖?期中）已知函數〃x）=②~?的最小值是-2,則實數。的取值范圍是

\cix—x+2,%>1

（）

5.（22-23高一上?廣東深圳?期中）已知函數=<2二，若存在石,馬€巴尤產馬，使

\X-CLX,X21

/（%）=/（尤2）成立，則實數〃的取值范圍是（）

A.[0,2）B.（-oo,0]C.（-co,0]u[2,+oo）D.（-00,0]u（2,+oo）

??壓軸能力測評8

一、多選題

/、/+（2+b\x—1,xc0

1.（22-23高一上河北保定?期末）若函數〃x=/*'、c在R上為單調減函數，則實數6的值

（2Z?-l）x+Z?-2,x>0

可以為（）

A.0B.-1C.-2D.——

2

x2-ax+5,x<1

2.（23-24高一上.山西太原.階段練習）已知函數〃"=〃是R上的減函數，則實數4的取值

—,x>l

可以是（）

5

A.—B.1C.2D.3

2

二、填空題

3.（24-25高一上?上海?隨堂練習）若函數、=/+2024（4-l）x+2在（e,4048]上是嚴格減函數，則實數a

的取值范圍是.

4.（23-24高一上.河北.階段練習）已知函數〃x）=,在R上是單調函數，則a的取值范圍

[-X+2x-7,x>2

是.

三、解答題

5.（24-25高一上?上海?課堂例題）已知函數>（%）=2/一10%,無?"+1]的最小值為g（。，求g⑺的表達

式.

6.（23-24高一上?重慶巴南?階段練習）已知二次函數/（元）=依2+bx+cJ（O）=l,/（l）=。，且對任意實數x

均有〃x）20成立.

⑴若函數/（力的解析式；

⑵若函數g（