2023-2024順義一中高三第一學(xué)期期中考試

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題共10小題，共50分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知集合〃={xlx+2?0},N={x|x—l<0},則Mf|N=（）

A.{x\-2<x<l]B,{%|-2<%<1}

C.{x\x>-2}D,{x|x<l}

【答案】A

【解析】

【分析】先化簡集合",N,然后根據(jù)交集的定義計(jì)算.

【詳解】由題意，M-{x\x+2>0}={x|x>-2},N={x|x-1<0}={x|x<1},

根據(jù)交集的運(yùn)算可知，〃nN={九i—24尤<i}.

故選：A

2.在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（1,石），則z的共輾復(fù)數(shù)彳=（）

A.1+而B.1-V3i

C.-1+>/3iD.-1—^/3i

【答案】B

【解析】

【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義寫出復(fù)數(shù)z；再根據(jù)共輾復(fù)數(shù)的定義即可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（1,世）

所以Z=1+

則三=1—gi

故選：B

3.已知圓C的圓心坐標(biāo)為（—3,2）,且點(diǎn)（-M）在圓C上，則圓C的方程為（）

A.x2+y2+6x-4y+8=0B.x2+y2+6x-4y-8=0

C.x2+y2+6x+4y=0D.x2+y2+6x-4y-0

【答案】A

【解析】

【分析】由圓心坐標(biāo)可以設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再將點(diǎn)C代入可求出圓的半徑，最后整理成圓的一般式方程

即可.

【詳解】因?yàn)閳AC的圓心坐標(biāo)為(-3,2),所以設(shè)圓C的方程為：

(x+3y+(y-2,=r?(r>0),

由點(diǎn)(一1,1)在圓C上，則(一1+3)2+(1-2)2=於,得“百,

則圓C的方程為：(x+3y+(y—2)2=5,即爐+y2+6%—4y+8=0,

故選：A.

4.已知平面向量2=(-1,2),b-(3,-2),c=(t,t)9若(Q+C)〃幾則方=()

5457

A.—B.——C.——D.——

2544

【答案】B

【解析】

【分析】先計(jì)算五十乙然后根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求參數(shù)即可.

【詳解】因?yàn)椤?(一1,2),b=(3,-2),c=Q/),

所以a+c=(—1+，,2+，)，

乂(a+c)llb，

所以3x(2+%)=(—2)x(—1+才),

4

解得看二一1，

故選：B.

5.記S"為數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和，設(shè)甲：｛4｝為等差數(shù)列；乙：｛｝｝為等差數(shù)列，則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】c

【解析】

【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前〃項(xiàng)和與第〃項(xiàng)的關(guān)系推理判斷

作答.，

【詳解】方法1,甲：｛4｝為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為卬，公差為d,

z

則Sn=na1+^^dA=Gi1+—d=+的一色,顯一包=2

n12n12212n+1n2

因此｛、｝為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；

n

反之，乙：隹｝為等差數(shù)列，即警—勺==學(xué)席為常數(shù)，設(shè)為乙

,TITJLTL71（77■十）71（71十J.j

即:；；；］：=t,則Sn=nan+1-t-n（n+1）,有=（九一l）an-l）,n>2,

兩式相減得：an=nan+1—（n—l）an—2tn,即%i+i—an=2t,對(duì)〃=1也成立，

因此｛q｝為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件，C正確.

方法2,甲：｛4｝為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)4,公差為d,即%=71的+若五小

則包=%+空9d=&n+ai—色，因此｛工4為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；

n222〃

反之，乙：｛&｝為等差數(shù)列，即沔—&=D,且=Si+（n—l）D,

v

nn+1nn'

即S九—71sl+Tl（Tl—1）D,^n-1二（九—1）S1+（荏-1）（九一2）。，

當(dāng)〃22時(shí)，上兩式相減得：Sn-Sn_1=St+2（n-1）￡）,當(dāng)〃=1時(shí)，上式成立，

于是%i=的+2（72—1）。，又Q九+i—CLn=a1+2.YLD-［的+2（12-1）/）］=2D為常數(shù)，

因此｛q｝為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件.

故選：C

6.金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐.某金字塔的側(cè)面積之和等于底面積的2

倍，則該金字塔側(cè)面三角形與底面正方形所成角的正切值為（）

A.1B.72C.73D.石

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意畫圖利用圖形在正四棱錐中設(shè)相關(guān)的量結(jié)合，線面關(guān)系找出金字塔側(cè)面三角形與底面正

方形所成角，在幾何體中建立關(guān)系求出即可.

【詳解】如圖，

設(shè)正四棱錐的底面邊長為AB=2a,

設(shè)。為底面的中心，高為PO=h,

設(shè)河為AO的中點(diǎn)，則設(shè)斜高為

連接QW,設(shè)側(cè)面與底面所成的角為8,

由于PM±AD,OM±AD,

所以=e即為該金字塔側(cè)面三角形與底面正方形所成角，

由平面ABC。，QWu平面ABCD,

所以尸

POh

所以tanZPMO=tan。=----=—,

OMa

因?yàn)榻鹱炙膫?cè)面積之和等于底面積的2倍，

即4x,x2a?//=2x2a-2a=>7/=2a,

2

又/z'2=h2+<22=>/z2=3a2=>—=A/3,

a

hi—

所以tanZPMO=tan6=—二6，

a

故選：C.

7.過點(diǎn)(0,—2)與圓/+/一4了_1=0相切的兩條直線的夾角為a,則sina=()

A1B厲cMD新

444

【答案】B

【解析】

【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長,

結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得/+8k+1=0,利用韋達(dá)定理結(jié)

合夾角公式運(yùn)算求解.

【詳解】方法一：因?yàn)榇?9-4》-1=0,即（彳—2）2+丁=5,可得圓心C（2,0）,半徑/=有,

過點(diǎn)。（0,-2）作圓C的切線，切點(diǎn)為

因?yàn)閨PC|=j22+（—2『=2后,貝|」歸川=、［行_產(chǎn)=5

可得smZA%=系呼

cosZAPC二

242~4

則sinZAPB=sin2ZAPC=2sinZAPCcosZAPC=2x叵x—=巫，

所以sina=sin（兀一NAPB）=sinZAPB=

4

法二：圓/+y2-4無一1=0的圓心c（2,0）,半徑/=新，

過點(diǎn)尸（0,-2）作圓C的切線，切點(diǎn)為A,B,連接A3，

可得|PC|="2+（—2）2=2^/2,則|PA|==y）\PCf-r2=百，

因?yàn)閨2—21尸@cosZAPB=|C4|2+1CB|2-21C4|-|CB|cosZACB

JEL/ACR=7t—/APR,貝!J3+3—6cos/LAPB=5+5—10cos（7i—^AP3）,

即3—cosZAPB=5+5cosZAPB,解得cos/APB=—工<0,

4

即NAPB為鈍角，則cosa=cos（71-ZAPB）=-cosZAPB=:,

且a為銳角，所以sina=Jl-cos2tz=邊5；

4

方法三：圓/+/一4工_1=0的圓心。（2,0）,半徑「=&',

若切線斜率不存在，則切線方程為x=0,則圓心到切點(diǎn)的距離d=2>r,不合題意;

若切線斜率存在，設(shè)切線方程為y=Ax-2,即辰-y-2=0,

\2k-2\廠。

則?/,=’5,整理得上2+8k+1=0,且A=64—4=60>0

“2+1

設(shè)兩切線斜率分別為人,《，則《+《=—8,左向=1，

可得L_&|=4秘2=2岳，

所以tana=K~^-=715,即包巴=&?,可得costz=^g

1+k1k2cosavlf

M.I.22?2sina1

則sina+cosa-sina-\------=1，

15

且0￡(0,兀)，則sina＞。，解得sina="5.

8.已知函數(shù)〃x）=A/5sin2x-cos2x,則（）

7T

A./(%)在-1,0單調(diào)遞增,且圖象關(guān)于直線％二—對(duì)稱

6

B."％)在-：0單調(diào)遞增,且圖象關(guān)于直線尤=:對(duì)稱

C."%)在(-2,oJ單調(diào)遞減，且圖象關(guān)于直線》=g對(duì)稱

D.7(%)在，，。］單調(diào)遞減，且圖象關(guān)于直線x=；對(duì)稱

【答案】B

【解析】

【分析】化簡/'(%)的解析式，根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性確定正確答案.

【詳解】/(x)=V3sin2x-cos2x=2sin12x--^

兀兀兀兀

由于——<x<0,——<2x——<——，

6266

所以"%）在單調(diào)遞增，

/H=2sin《=lw±2,所以〃%）不關(guān)于直線x=1對(duì)稱.

/^yj=2sin^=2,所以〃%）關(guān)于直線x=；對(duì)稱.

故選：B

bc

9.若函數(shù)F（x）=3Inx+—十=Qw0）既有極大值也有極小值，則錯(cuò)誤的是（）

XX

A.bc>0B.ab>0

C.b1+Sac>0D.ac<0

【答案】A

【解析】

【分析】求出函數(shù)/（x）的導(dǎo)數(shù)f（x）,由己知，可得函數(shù)/（X）在（0,+8）上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為一

元二次方程有兩個(gè)不等的正根判斷作答即可.

【詳解】函數(shù)/（%）的定義域?yàn)椋?,+8）,

,z./\1bc/b2cax2-bx-2c

由〃x）=alnx+—+=（aw0）,得,（》）=------—--=-------------，

XXXXXX

因?yàn)楹瘮?shù)/（力既有極大值也有極小值，

所以函數(shù)/'（X）在（。,+8）上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，而〃。0,

所以方程依2—區(qū)—2c=0有兩個(gè)不等的正根%],工2，

A=/+Sac>0

所以<X]+%2=—〉。，所以〃+Sac>O,ab>O,ac<0,

a

2c

------->0

、a

所以"灰:<0，即bc<0.

故BCD正確，A錯(cuò)誤.

故選：A.

10.如圖，在邊長為2的正方體ABC。-44G2中，點(diǎn)尸是該正方體對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，給出下列四

個(gè)結(jié)論：

①14產(chǎn)；

②△APC面積的最小值是血；

③只存在唯一的點(diǎn)尸，使32,平面APC；

④當(dāng)BP=2叵時(shí)，平面ACP//平面AG。.

3

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【解析】

【分析】證明AC,平面判斷①；求出△APC的面積函數(shù)求解判斷②；利用過一點(diǎn)有且只有一個(gè)

平面垂直于已知直線判斷③；證明8,，平面APC且2功，平面4G。判斷④.

【詳解】在正方體ABCD-4與。12中，DDX±平面ABCD,ACu平面ABCD,則AC±DD},

又AC±BD,BDnDD]=D,BD,DDXu平面BDD{B{,

則ACJ_平面，又BFuBDDjBi，則471,①正確;

連接交與得

6DACE，由EPuBDRB],ACLEP,SAAPC=^AC-PE=y/2PE,

在中，當(dāng)PELBD1時(shí)，PE最小,而BD=26，5。=2百，

sinNDBQ=§j,此時(shí)PE=BE-sinNDBD1—y[2x>

因此△回（7面積的最小值為亞x逅=2叵，②錯(cuò)誤；

33

由①知，AC±BD,,同理AB】_L3D],而AC。Ag=A,AC,A4u平面ABQ,

因此82,平面ABC，當(dāng)點(diǎn)尸為直線BQ與平面鉆。的交點(diǎn)時(shí)，82,平面APC,

而過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面垂直于已知直線，于是過直線AC與直線垂直的平面有且只有一個(gè),

所以存在唯一的點(diǎn)尸，使82,平面APC,③正確；

當(dāng)3P=2叵時(shí)，在石中，BE=V2-cos/D*=攜=乎，

3HD】J

貝IPE=y/BP2+BE2-2BP-BEcosZPBE=J（竽1+2-2x手義正義與=與，

即有。石2+3產(chǎn)=2=3石2,則PEL2B，又AC，P3,ACcPE=E,于是8，，平面APC,

由①同理BD1±AiC1,BDl±4。,AGC4。=A，AC，4。U平面\CXD,

因此82,平面4G。，則平面ACP//平面4G。，④正確，

所以正確命題的個(gè)數(shù)為3.

故選：c

二、填空題（本大題共5小題，共25分）

11.已知函數(shù)/(x)=3*+log3X,貝1.

【答案】君—1

【解析】

【分析】將％=!代入函數(shù)解析式中計(jì)算即可.

3

【詳解】因函數(shù)/(X)=3*+log3X,

所以/1]=3、1嗚；=近T，

故答案為：迅-1.

12.已知直線4：x+2y—l=0,Z2：2x+ay-l=0,若〃6，則。的值是.

【答案】4

【解析】

【分析】由兩直線平行可得4與=&耳，代入相關(guān)數(shù)據(jù)計(jì)算即可.

【詳解】解：因?yàn)?J/4，

所以a=2x2=4.

故答案為：4.

13.已知命題P：若a,尸為第一象限角，且a＞，，則sin。＞sin/7.能說明命題p為假命題的一組名，

的值可以是a_,B=.

13兀兀

【答案】①.——(答案不唯一)②.一(答案不唯一)

66

【解析】

【分析】只要找到一組滿足題意的角即可.

【詳解】因?yàn)槊瑸榈谝幌笙藿牵摇＃痉郑?/p>

取。=二13兀上,/=7上1，則且在第一象限，

66

.13兀.C.兀1

止匕時(shí)sma=sin=sinp=sin—=—,

662

故命題P假命題，滿足題意,

I5兀7T

所以。，萬的值可以是。=卑,尸=2,

66

13兀兀

故答案為：—(答案不唯一)；-(答案不唯一).

66

14.數(shù)列｛■共9項(xiàng)，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等比數(shù)列，后7項(xiàng)成等差數(shù)列，且4=1,%=1°，％=22,

則%=，數(shù)列｛4｝的所有項(xiàng)的和為.

【答案】0.16②.94或90

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等差數(shù)列前〃項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為4,等差數(shù)列的公差為d,

因?yàn)椤?=1。，。9=22,

所以有a9=22=%+4d=>d=3,

于是有%=%+2d=1。+6=16,

%=6+2dn10=%+6n/=4,

因?yàn)樵摂?shù)列的前3項(xiàng)成等比數(shù)列，

所以。2==±2，

當(dāng)出=2時(shí)，數(shù)列｛4｝的所有項(xiàng)的和為1+2+(4+：)義7=94；

當(dāng)出=-2時(shí)，數(shù)列｛4｝的所有項(xiàng)的和為1-2+(4+；)*7=9(),

故答案為：16；94或90

15.已知曲線。的方程為：爐+產(chǎn)=2|x|+2|y|(x,yeR)有下列四種描述

(1)曲線c關(guān)于丁=%對(duì)稱；

(2)曲線C的面積大于16；

(3)曲線C與圓/+丁2=5有四個(gè)公共點(diǎn)；

(4)若A,3為曲線C與左軸的交點(diǎn)，P為曲線。上的點(diǎn)，則的面積最大為2+2直；則其中所

有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】(1)(2)(4)

【解析】

【分析】根據(jù)方程的對(duì)稱性，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合，逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】設(shè)（羽y）是曲線C上任意一點(diǎn)，由于曲線C的方程為x2+y2=2|x|+2|y|（x,yeR）,

則當(dāng)x20,y?0時(shí)，曲線C的方程為f+丁=2x+2y,即+（y—1）?=2；

方程/+y2=2|x|+2|y|中，用-x替換x,用-V替換V,方程不變，故曲線關(guān)于x軸，V軸，原點(diǎn)對(duì)

稱，曲線C的圖象如下圖（由圖中實(shí)線部分及原點(diǎn)組成），故（1）正確；

由圖可知，曲線C所圍成的圖形是由一個(gè)邊長為2、5的正方形和四個(gè)全等的半圓組合而成，其中半圓半

徑為近，故曲線C圍成圖形的面積為+gx兀義(V2)-x4=8+471>16,故(2)正確;

連接原點(diǎn)與（1,1）點(diǎn)，并延長與曲線交于點(diǎn)河，貝"O"=2j5＞百，

則以（0,0）為圓心，半徑為君的圓三+產(chǎn)=5與曲線有8個(gè)交點(diǎn)，故（3）錯(cuò)誤；

因?yàn)槭瑸榍€C上的點(diǎn)，由于圖象的對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)尸為第一象限點(diǎn)，

所以y=l+j2—（x—，當(dāng)x=l時(shí)，%=1+也，故，領(lǐng)「＜3義4義（1+四）=2+2后，故（4）

正確.

三、解答題（本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16.己知△ABC滿足，且6，B=-,從條件①、條件②、條件③中選擇一個(gè)作為已知填在橫線

4

上，并求解下列問題：

（1）sinC；

（2）求VA5C的面積.

條件①tan/=3,條件：②+，一〃=2c,條件③3b=?c.

【答案】（1）選①，②，sinC=2,選③，sinC=h叵；

510

（2）選①，②，S&ABC=6,選③，S、ABC=6或3.

【解析】

【分析】（1）若選①，由同角基本關(guān)系式求出sinA,cosA,進(jìn)而可得sinC=sin（A+5）可得解，若選

②，由余弦定理可得cosA,由同角基本關(guān)系式求出sinA,進(jìn)而得解；若選③，由正弦定理求得sinC；

（2）若選①，由正弦定理可求得c,再由三角形面積公式可得解，若選②，由正弦定理可求得c,再由三

角形面積公式可得解，若選③，利用余弦定理可求得。，進(jìn)而利用二角形面積公式可得解.

【小問1詳解】

若選①，由tanA=3得sinA=3cosA,A是銳角，又sin?A+cos2A=1，

鏟汨..3麗.歷

角牛得sinA=----，cosA=----，

1010

.*.sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB

3回V2V10V2275

=----X----1----X---=----.

1021025

若選②，由廿+°2一。？=2c，可得2Z?ccosA=2c,解得Z?cosA=l,又Z?=JI5，解得cosA=邊。，

10

由平方關(guān)系得sinA=士何，下面同選①.

10

若選③，由36=后，可得C=3、/5，由正弦定理可得sinC=%0="0.

b10

【小問2詳解】

/7772亞

9vlOx——

若選①，②，由第一問得sinC=至，由正弦定理得c=-----=——尸"=4,

5sinB也

工

由三角形面積公式可得S,?r=—Z?csinA=—x^0x4x=g.

由2210

若選③，由余弦定理可得/+02—/=2accos5，即4+18—10=2ax37Ix交，解得。=2或4,

2

當(dāng)a=2時(shí)，SARC=—acsin5=—X2X3A/2x^-=3>

“ABC222

當(dāng)a=4時(shí)，SARr=—acsinB=—x4x3\/2x^-=6

△ABC222

17.為了提高中小學(xué)生的身體素質(zhì)，某地區(qū)開展了中小學(xué)生跳繩比賽系列活動(dòng)，活動(dòng)結(jié)束后，利用簡單隨

機(jī)抽樣的方法，抽取了部分學(xué)生的成績，按照不同年齡段公組記錄如下表：

男生女生

組別

合格不合格合格不合格

第一組90108020

第二組88127228

第三組60405842

第四組80206238

第五組82187822

合計(jì)400100350150

假設(shè)每個(gè)中小學(xué)生跳繩成績是否合格相互獨(dú)立.

(1)從樣本中的中小學(xué)生隨機(jī)抽取1人，求該同學(xué)跳繩成績合格的概率；

(2)從該地區(qū)眾多中小學(xué)的男生、女生中各隨機(jī)抽取1人，記這2人中恰有X人跳繩成績合格，求X的分

布列與數(shù)學(xué)期望；

(3)假設(shè)該地區(qū)中小學(xué)生跳繩成績合格的概率與表格中該地區(qū)中小學(xué)生跳繩成績合格的頻率相等，用

“短=1”表示第％組同學(xué)跳繩成績合格，“5=0”表示第4組同學(xué)跳繩成績不合格(々=1,2,3,4,5),試確定

方差。九。5女中哪個(gè)最大？哪個(gè)最小？(只需寫出結(jié)論).

3

【答案】(1)-(2)詳見解析(3)。。最小，。以最大

4

【解析】

【分析】(1)根據(jù)表格求出男女生跳繩合格的人數(shù)，總的人數(shù)，利用古典概型求解;

(2)根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率求出分布列，計(jì)算期望即可；

(3)根據(jù)表格所給數(shù)據(jù)，由方差的意義直接得到.

【詳解】(1)設(shè)事件A="從樣本中的中小學(xué)生隨機(jī)抽取1人，該同學(xué)跳繩成績合格”

樣本中男生跳繩成績合格的有:90+88+60+80+82=400人，

樣本中女生跳繩成績合格的有:80+72+58+62+78=350人,

樣本中男、女跳繩成績合格的共有:400+350=750,

樣本中的男生總?cè)藬?shù)：400+100=500人,

樣本中的男生總?cè)藬?shù)：350+150=500人,

樣本中男、女生總數(shù):500+500=1000,

400+3503

所以P(A)

500+5004

(2)設(shè)事件B="從該地區(qū)眾多中小學(xué)的男生中隨機(jī)抽取1個(gè)，該生跳繩成績合格”,

4

5

設(shè)事件C="從該地區(qū)眾多中小學(xué)的女生中隨機(jī)抽取1個(gè)，該生跳繩成績合格”,

,一、3507

則P(C)=-=

500-io

由題可知X的可能取值為0,1,2,

——-473

則P(X=0)=P(BC)=P(B)P(C)=(l--)x(l--)=—,

__--474719

P(X=1)=P(BCUBC)=P(B)P(C)UP(B)P(C)=(l--)x-+-x(l--)=—,

472814

P(X=2)=P(BC)=P(B)P(C)=-x—=—=—,

5105025

所以X的分布列為

X012

P31914

505()25

319143

所以X的數(shù)學(xué)期望石(X)=0x±+lx』+2x—=2,

5050252

（3）最小，最大.

18.已知圓C:（X+2）2+9=1,直線x—y+m=0與圓。交于￡,廠兩點(diǎn).

（1）若府|=6求實(shí)數(shù)加的值；

（2）求瓦?醞的取值范圍（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

【答案】（1）2+—§￡2--

22

⑵[2,5+272）

【解析】

【分析】⑴利用弦長公式冏=2介一屋,再結(jié)合圓心（―2,0）到直線x—y+機(jī)=。的距離為d,從

而求解.

（2）設(shè)出￡（%,%）,斤（%,力），聯(lián)立直線與圓C方程，然后利用根與系數(shù)關(guān)系，從而可求解.

【小問1詳解】

|-2+m||m-2l

由題意得:圓心C(-2,0),r=1,圓心到直線％—y+m=0距離d=^^<1

V2

又因?yàn)椋汗?2〃_蕾=2，_（,2）=6，

々刀外曰yfzt^2

解得：m=2-\----或加=2-------?

22

故：加的值為：2+正或2—變.

22

【小問2詳解】

設(shè)后（七，％）,尸（％2，%）,

聯(lián)立＜（”+2）+/=1,得：2/+2（機(jī)+2）》+3+機(jī)2=0,

x—y+m—G

由題意得：A=4（m+2）2-8（3+m2）＞0,即2—行〈爪＜2+應(yīng)，

3+m2

由根與系數(shù)的關(guān)系得：%+々=-m-2,%1x2=—-—,

OEOF=%％+,%=+（%+"2）（*2+加）

=2%無2+"2（石+）+m2=m2—2m+3=（m—1）^+2

又因?yàn)椋?-亞＜m＜2+叵,

當(dāng)〃z=l時(shí)，礪.醞有最小值2,

當(dāng)相=2+0時(shí)，0月?南有最大值5+2行，

故無?南的取值范圍為：［2,5+2、歷）.

19.如圖，在四棱錐P—A3CO中，底面A3CD是邊長為2的菱形，ZADC=6ff-△B4D為正三角

形，。為AD的中點(diǎn)，且平面平面ABC。，M是線段PC上的點(diǎn).

（1）求證：OMLBC；

（2）當(dāng)點(diǎn)”為線段PC的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)M到平面已旬的距離；

（3）是否存在點(diǎn)使得直線40與平面R45的夾角的正弦值為?.若存在，求出此時(shí)萼的值;

10PC

若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）證明見解析;

⑵叵;

5

（3）存在,且*=1.

【解析】

【分析】（1）連接OC、AC,證明出AD，平面POC,利用線面垂直的性質(zhì)可得出AO,PC,再結(jié)

合AD〃3c可證得結(jié)論成立；

（2）推導(dǎo)出平面ABCD,然后以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC.OD、0P所在直線分別為％、V、z

軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得點(diǎn)M到平面A45的距離；

（3）設(shè)麗=2定，其中0W4W1,利用空間向量法可得出關(guān)于2的方程，結(jié)合0W4W1可求得2的

值，即可得出結(jié)論.

【小問1詳解】

證明：連接OC、AC,

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，則AD=CD,因?yàn)镹ADC=60°，貝UAACD為等邊三角形，

因?yàn)椤锳D的中點(diǎn)，故OC_LAT>,

因?yàn)椤鱌AD為等邊三角形，。為AD的中點(diǎn)，則POLA。，

?：PO^OC=O,.?.加，平面POC,???PCu平面POC,則ADLPC,

QBC//AD,故BCLPC.

【小問2詳解】

解：因?yàn)槠矫孀科矫鍭BCD,平面Q4Dc平面ABCD=A。，POLAD,POu平面？AD,

..尸平面ABCD,

因?yàn)镺CJ_A。，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC.OD、0P所在直線分別為X、y、Z軸建立如下圖所示的

空間直角坐標(biāo)系，

則A（0,—1,0）、M后-2,0）、c（省,0,0）、￡＞（0,1,0）、P（0,0,V3）

設(shè)平面A4B的法向量為蔡=（x,y,z），荏=（G,—1,0）,AP=（0,l,73）,

m-AB=A/3X-y=0

由＜取尤=1,可得耳=（1,61）,

m-AP=y+A/3Z=0

___.(6_\AM-m\6715

AM=—,1,—,所以點(diǎn)河到平面A45的距離為d~~-=-7==——.

[22ImV55

【小問3詳解】

解：設(shè)而=X斤=彳(』,0,—百)=(后,0,一扇)，其中0W4W1,

AM=AP+W=(0,1,A/3)+(A/32,0,-A/32)=(^2,1,^/3-A/32),

I,___.?同I2V32I回

由題意cos(AM,力=,11=I1—=,

1'〃|刎.網(wǎng),6%—62+4.610

整理可得922+32—2=0，因?yàn)?W2W1,解得a=g,

因此，存在點(diǎn)"，使得直線40與平面B鉆的夾角的正弦值為巫，此時(shí)拶=今

10PC3

,1

20.已知函數(shù)/(x)=alnx+^x9--(a+l)x+l.

（I）當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=/（x）在點(diǎn)（2,7（2））處的切線方程;

（II）若函數(shù)/（%）在X=1處取得極小值，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

【答案】（I）y=x-l；（II）a＜l.

【解析】

【分析】(I)當(dāng)a=0時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；(II)首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),

/'(x)=q+x—。一1=三二絲土生士@=o時(shí)，%=1和％=。，并討論。與0,1的大小關(guān)系，求實(shí)數(shù)。

xx

的取值范圍.

1

詳解】(1)當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=-x29-x+l.

所以f(x)=x—1,

所以k=f(2)=1,

因?yàn)?(2)=5義22_2+1=1.

所以切線方程為y=x-L

(II)函數(shù)/(%)的定義域?yàn)?0,+00).

1,

因?yàn)?(x)=alnx+^x-(a+l)x+l

、a1x--(?+1)%+a

所以f(x)=—+x—a—l=--------------.

xx

令/'(x)=。，即-—(a+l)x+a=0,解得x=l或x=a.

(1)當(dāng)aW0時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，/(x)J(x)的變化狀態(tài)如下表:

X(0,1)1a,+oo)

/'(X)—0+

/(X)極小值/

所以當(dāng)尤=1時(shí)，/(x)取得極小值.

所以aWO成立.

(2)當(dāng)0＜。＜1時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，尸(x),/(x)的變化狀態(tài)如下表:

(0,a)a3D1(1,+°0)

/'(X)+0—0+

/(%)/極大值極小值/

所以當(dāng)X=1時(shí)，/(%)取得極小值.

所以0＜。＜1成立.

(3)當(dāng)a=l時(shí)，/'(%)20在(0,+8)上恒成立，

所以函數(shù)/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，沒有極小值，不成立.

(4)當(dāng)。〉1時(shí)，當(dāng)了變化時(shí)，尸(X)"(尤)的變化狀態(tài)如下表:

X(0,1)1(1,?)a(a,+co)

/'(X)+0—0+

/(X)/極大值極小值/

所以當(dāng)x=l時(shí)，/(%)取得極大值.

所以不成立.

綜上所述，a＜l.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)極值點(diǎn)求。的取值范圍，本題容易求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)1和但需討

論。的范圍，這是易錯(cuò)的地方，容易討論不全面，需注意.

21.已知數(shù)集4={。1，。2，。3,…，