復習8函數的零點問題

【知識梳理】

一、函數零點的概念

對于函數y=/(%)，使/(%)=0的實數x叫做函數的零點.

1.方程根與函數零點的關系

方程f(x)=0有實數根%0

=函數y=/(%)有零點%0

今函數y=/(%)的圖象與x軸有交點且交點橫坐標為%0-

eg:方程2*-4=0的實數根是%=2，零點不是點：

函數/(%)=2%-4與久軸的交點橫坐標是2,

函數/(%)=2苫—4的零點是2,而不是(2,0).

2.方程/(%)=g(%)有實數根%0

=函數y=/(%)與函數y=g(x)有交點，且交點橫坐標為x0.

eg：%2-2X=0的實根個數

方程%2-2%=0的實數根O函數/(%)=%2與函數g(K)=2X的交點橫坐標

2X

如圖，方程x-2-0實數根有3個％1C(-1,0),x2=2,%3=4.

二、零點存在性定理

1.如果函數y-7(%)在［a,5］上的圖象是連續不斷的，且/(a)/(b)<0，那么函數y-

/(%)在(a,5)至少有一個零點c，即存在cG(a,6)，使得/(c)=0，這個c也就是方

程/(x)=0的解.

說明：

①符合該定理的條件，能確定在區間(a,b)內有零點,但零點不一定唯一.

②并不是所有的零點都可以用該定理來判定.不滿足該定理的函數也可能有零點.

函數的零點有“變號零點”和“不變號零點”，零點存在性定理只適用“不變號零點”.

③若y=/(%)在區間(a,b)內有零點，且在區間(a,6)上單調，則/(%)在(a,b)內有

唯一零點.

④設/(%)-kx+b，若/(%)在(m,n)上有零點，則/(m)-f(n)<0;

⑤可借助“x—a”廣為一+8”等符號或者說“x充分大時”，來說明f(x)在區間端點

值的正負.

2.二分法

對于區間［a,b］上連續不斷且7(a)"㈤<0的函數/⑺，通過不斷地把函數了⑴的零點所在

的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二

分法.求方程=0的近似解就是求函數f(x)零點的近似值.

3.用二分法求函數/(%)零點近似值的步驟

⑴確定區間［a,司,驗證/⑷"他)<0,給定精度￡.

(2)求區間(a,6)的中點石.

⑶計算了(%)；若〃％)=0,則玉就是函數/⑺的零點；

若則令6=/(此時零點七).

若〃。"(玉)<0,則令(此時零點5式工回)

⑷判斷是否達到精確度￡,

即若,-耳</則函數零點的近似值為。(或匕)；

否則重復第(2)-(4)步.

用二分法求方程近似解的計算量較大，因此往往借助計算器完成.

【典例精煉】

題型1：零點存在定理

1.(多選)下列說法中正確的是()

A.函數/(%)=%+1的零點為(-1,0)

B.函數=%+1的零點為-1

C.函數/(%)的零點，即函數/(%)的圖象與x軸的交點

D.函數/(%)的零點，即函數f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標

2.函數/(%)=|-ln%+2的零點所在的大致區間為()

A.(l,e)B.(e,e2)C.(e2,e3)D.(e3,e4)

3.已知函數/(%)=logax+x—b(a>0,aWl).當2<a<3<5<4時，函數/(%)

的零點x0E(n,n+l),nGN*,則n-__.

4.(多選)記函數/(%)=x+\nx的零點為久o,則關于%0的結論正確的為()

11

-x-%0

A.0<x0<-B.-<x0<1C.e°—%0=0D.e+%0=0

5.在下列區間中，函數/(%)=ex+4x-3的零點所在的區間為()

題型2:零點的個數及其應用

6.函數＞i的圖象和函數gM=iog2%的圖象的交點個數是()

x

7.函數/(%)=2|log0.5x|-1的零點個數為()

8.已知/(%)是定義在R上的奇函數，滿足+1)=-/(%)，當久C［o,,時，/(%)=

尹一1，求九(無)=(%-1)/(%)-2在區間［—20212023］上所有零點之和？

9.已知定義在(1,e］上的函數/(%)滿足/(%)=/(；)，且當Ht,/(%)=xlnx,

若方程/(%)-1%-a=0有三個不同的實數根，則實數a的取值范圍是()

A-(_*,TB-(HWC-Ge，，后］D-H引

10.已知函數/(%)=\lnx\,g(x)=、1，則方程/(%)+9(為)=1的實根

的個數為一.

11.已知函數/(%)=1+|lnx|+(一|ln%|,則/(%)的最小值是.

若關于X的方程/(%)=2ax+2有3個實數解,則實數a的取值范圍是

12.函數/(%)=4cos25cosc—%)—2sin%—|lnQ+1)|的零點個數為_.

13.設/ceR，函數/(%)=-x+tx<0,若/(久)恰有兩個零點，則k的取值范圍

—KX,%NU.

是一。

15.設min{a,b}=心"1:，若函數/(%)=min{ex-1—x,—x2+2mx-1}有且只有三

個零點，則實數m的取值范圍為()

A.&+8)B.(|,+8)C.(l,+oo)D.

16.若函數/(%)=%2+ez—1(%<0)與g(K)-x2+In(%+a)圖象上存在關于y軸

對稱的點，則a的取值范圍是()

A.(-8,0B.(-8賓)C.(一高甸D.(一四專)

17.函數f(x)=2X?|ln(x+1)|-4的零點個數為一

18.已知函數/(%)=卜;一曰+2°，其中a>0且aH1,若函數/(%)圖象上

(—2%+1,%<0

存在關于原點對稱的點僅有兩對,則實數a的取值范圍為()

19.已知函數f(x)=仔產-0若存在實數b，使函數g(K)=/(%)-b有兩個零點，則

a的取值范圍是_.

20.已知4CR，函數/(%)=產J4…當入=2時,不等式fix)<0的解集

ix5—4x+3,x<A

是—o若函數/Q)恰有2個零點，則A的取值范圍是—o

21.已知/(%)=「2：：一"+L弋,若關于％的方程/(%)_a=0有四個實根

I|log2%|,%>0,

與,%2，%3，久4，則這四個根之積X2-X3-X4的取值范圍__.

22.已知函數/(%)=哈;1=/(%)+%+ao若g(x)存在2個零點，

則a的取值范圍是()

A.[-1,0)B.[0,+8)C.[-1,+8)D.[1,+oo)

2A/X0Vxv]

il'若關于x的方程/(%)--^x+a(aER)恰有兩

—,X

(X1.4

個互異的實數解，則a的取值范圍為()

口由汕口｝

題型3:嵌套零點

24.已知函數/(%)=(|10g^l+1%j?,則y=/(/(%))-3的零點個數為

1%+4%<(J'/

25.定義域和值域均為[~a,a](a>0)的函數y-7(%)和y=g(%)的圖象如圖所示，下

列四個命題中正確的結論是。

A.方程f[g(x)]=0有且僅有三個解B.方程g[/(%)]=0有且僅有三個解

C.方程/[/(%)]=0有且僅有九個解D.方程g[gM]-0有且僅有一個解

26.函數/(%)=°)，求方程產(%)_/(%)=o的不相等的實根個數？

27.關于x的方程(/—1)2—3I%2-11+2=0的不相同實根的個數是—.

28.已知函數/(%)=F2八，若關于x的方程/2(%)-2a/(%)+a+2-

I-—4x+l,x<0

0有8個不等的實數根，則實數a的取值范圍是()

2

(-x+6x+5fx<-1,

29.已知函數/(%)=<2(x+i)若函數9(為)=[/(%)]2-(m+2)/(%)+2m

(e%，"'

恰有5個零點，則實數m的取值范圍為()

A.(-1,2)B.(-1,0)D-&2

30.已知函數/(%)=久，若方程/(久)+焉莉=。有三個不相等的實數解,則實數a

的取值范圍為_。

復習8函數的零點問題參考答案

【典例精煉】

題型1:零點存在定理

1.(多選)下列說法中正確的是()

A.函數/(%)=%+1的零點為(-1,0)

B.函數/(%)=%+1的零點為-1

C.函數/(%)的零點，即函數f(x)的圖象與x軸的交點

D.函數/(%)的零點，即函數/(%)的圖象與x軸的交點的橫坐標

答案：BD

解析：根據題意，對于函數/(%)=x+1，若/(%)=%+1=0，則有x=-1,

即函數的零點為-1,A錯誤，B正確；

由函數零點的定義，函數/(%)的零點，即函數/(%)的圖象與x軸的交點的橫坐標，則C

錯誤，D正確；故選：BD.

2.函數/(%)=：—In%+2的零點所在的大致區間為()

A.(1,e)B.(e,e2)C.(e2,e3)D.(e3,e4)

答案：C.

解析：/(%)=：一In%+2在(0,+8)連續不斷,且單調遞減,???/(l)=3>0,

/(e)=J+1>0,/(e2)=^>0,/(e3)=^-1<0,f(e4)=^-2<0,

???函數/(%)=：-In%+2的零點所在的大致區間為(e2,e3)，故選：C.

3.已知函數/(%)=logax+x—b(a>0,aHl).當2<a<3<5<4時，函數/(%)

的零點%0(n,n+l),nCN*,則n=__.

答案：n=2.

解析：設函數y=loga%,m=-%+b

根據2<a<3<b<4，對于函數y-logax在％=2時,一定得到一個值小于1,

在同一坐標系中畫出兩個函數的圖象，判斷兩個函數的圖形的交點在(2,3)之間，

函數/(%)的零點x0C(n,n+1)時，九=2.

4.(多選)記函數/(%)-x+\nx的零點為%0，則關于%0的結論正確的為()

11

-x-z

B.0<%0<-B.-<x0<1C.e°—%。=0D.e°+%0=0

答案：BC.

解析：根據題意，函數/(%)-x+\nx，其定義域為(0,+8),

有/(習二也1+^二：—ln2<0,/(l)=l+lnl=l〉0，則有/g)/(l)<0,

若函數/(%)=%+Inx的零點為％(),則有|<x0<1,B正確，A錯民

函數/(%)=x+Inx的零點為,即%0+濟%o=0，則lnx0=-x0/

xx

則有e~°=%o,變形可得e~0-x0=0fC正確7D錯誤,故選：BC.

5.在下列區間中，函數/(%)=ex+4x-3的零點所在的區間為()

答案：A.

解析：函數/(%)=ex+4x—3r(x)=ex+4當%>0時，

尸(%)=ex+4>0,?,?函數/(%)=ex+4x—3在(—8,+oo)上為/(0)=e°—3=

-2<0/G)=正_1>0/G)=泥_2=粕_VB<0???/O/G)<0,

函數f(x)=ex+4x-3的零點所在的區間為O故選：A.

題型2：零點個數

6.函數/(%)=>1的圖象和函數9(%)=log2x的圖象的交點個數是()

A.4B.3C.2D.1

答案：B.

解析：在同一坐標系中畫出函數/(%)=廣；一，的圖象和函數

U-4%+3,x>1

g(%)=log2%的圖象如下圖所示：

由函數圖象得，兩個函數圖象共有3個交點故選：B.

x

7.函數/(%)=2|log0.5%|-1的零點個數為()

A.1B.2C.3D.4

答案：B

解析：函數/(%)=2"logo.5%|-1,令/(%)=0，在同一坐標系中作出y-.

與y=|logo.5%l，如圖，由圖可得零點的個數為2.故選：B

8.已知/(%)是定義在R上的奇函數，滿足+1)=-/(%)，當久C［o，］時，/(%)=

9X-1，求九(%)=(%-1)/(%)-2在區間［—20212023］上所有零點之和？

答案：4048.

解析：由/(%)是定義在R上的奇函數，所以/(-%)=—/(%),又/(%+1)=-/(%),

所以/(%+2)=-/(%+1)=/(%)，則/(%)的周期是2,且/(%+1)=/(-%)得x=：

是其中一條對稱軸，又xE［0,|］時/(%)=9X-1，于是/(%)圖象如圖所示，

又函數九(%)-(x-1)/(%)-2零點，即為y=/(%)與y=看的交點的橫坐標，

由圖知：交點關于(1,0)對稱,每個周期都有2個交點，

所以函數在區間［-2023,1)和(1,2025］上各有1012個周期，故各有2024個交點，它們

兩兩關于(1,0)對稱，所以零點之和為2024X2=4048.故答案為：4048.

9.已知定義在(l,e］上的函數/(%)滿足/(%)=/(1),且當xG1］Ht,/(%)=xlnx,

若方程/(久)~^-a=0有三個不同的實數根，則實數a的取值范圍是()

D.(5,一/

答案：D

解析：???當％€R1］時，/(%)=xlnx戶當％W(1,e］時，/(%)=/(：)=-jinx,綜上,

x\nx,xG1

1

——lnx,xG(Le］

當％Ct，1］時，/(%)=1+Inx>0，則/(%)在住,1］上單調遞增，

當xE(l,e］時,r(x)=^(lnx-l)<0，則/(%)在(l.e］上單調遞減，

1?■/W-|x-a=0有三個不同的實數根，二/(%)的圖象和直線y=|x+a有三個不同

的交點，作/(%)的大致圖象如圖所示，

y=——1+a

當直線y=［x+a和/(%)的圖象相切時，設切點為(&,%)),

???/'(&)=1+ln%0=|，可得久。=e~,yQ=-，代入y=|x+a,

可得a=-，當y=)+a過點&一?時，

由圖知，實數a的取值范圍為(-el,-引.故選：D.

10.已知函數/(%)=|仇久|,g(%)=；、1,則方程/(%)+g(%)=1的實根

U%一一乙、X>1

的個數為一.

答案：2

解析：由函數/(%)="n%|,g(%)=儲4>1,由/(%)+g(%)=1可得g(%)=

一/(%)+1.作出y-g(%)與y=/i(x)=-/(%)+1的圖象如圖所示，

圖象在（0,1］有一個交點，在（1,+8）有一個交點.共有兩個交點.即實根個數為2.

故答案為:2.

11.已知函數/(久)=+|lnx|+(一|lnK|,則/(%)的最小值是__.

若關于%的方程/(%)=2ax+2有3個實數解,則實數a的取值范圍是—.

答案：2;[0,e-2).

解析：根據-與|山久|大小關系(比較-與|仇無|大小的推理見后附)，

XX

附：當0<%<1時,設/i(x)=|—|lnx|=|+Inx，則》(%)=裳<0,

所以/i(x)在區間(0,1]上單調遞減,從而h(x)>八⑴=e>0，此時|>|Inx\;

當％>1時，設m(x)=--|ln%|=--Inx/mC%)在區間(1,+8)上單調遞減,

XX

所以當1<汽Ve時,m(x)>m(e)=0->|lnx|;

X

當％=e時，TH(e)=0,即芻=|Inx|;

X

當x>e時，m(x)<m(e)=03P-X<llnxl.

可知/(%)=Il+In%|+||-Inx|=2max{：JInxIj,(%>0),

設g(%)=max{(JInx|j，注意到曲線y=與曲線y=|ln幻恰好交于點A{e,1)，顯

然，9(x)=<""",作出gO)的大致圖象如圖,

{Inx,x>e

可得gM的最小值是1,從而/（%）的最小值是2.

由/(x)=2ax+2,得max^,|Inx|j=ax+1.

設直線y=ax+1與曲線y=lnx(x>e)切于點B(%o，ln%o),y，=1,直

2-2

線y-ax+1過定點(0,1)，則a="如二】=—，解得x0=e，從而a=e.

%0-。XQ

由圖象可知,若關于x的方程g(%)=ax+1有3個實數解,則直線y=ax+1與

曲線g(x)有3個交點，則0<a<e~2，即所求實數a的取值范圍是(0,e-2).

故答案為：2;(0,e-2).

12.函數/(%)=4cos21cos(^一%)—2sinx—|ln(x+1)|的零點個數為_.

答案：2

解析：函數/(%)的定義域為：{%I%>—1}./(%)=4cos2；cos-2sinx—

|ln(x+1)|=2sinx^2cos2—1^—|ln(x+1)|=sin2x—|ln(x+1)|,

分別畫出函數y-sin2x,y=|ln(x+1)|的圖象，由函數的圖象可知，交點個數為2.

所以函數的零點有2個.故答案為:2.

13.設keR，函數/(%)=-x+tx<0,若/(%)恰有兩個零點，則k的取值范圍

是―。

答案：(e,+8).

解析：因為函數/(%)=+'啖<°,/(0)=1,

(eK.Xfxu

當%<0時，由/(%)=0可得kx2—%+1=0，可得k=---^,

7XX2

,,,Z,X

當%>0時，由/(x)=0可得ex—kx-0，可得k=—,

(--^,x<0_

令g(%)=*x，則直線y=k與函數g(x)的圖象有兩個交點，

\—,x>0

\X

當%<o時，g，(%)=-之+三=三3<o，此時函數g(%)單調遞減，

當%>0時，g'(%)='，由gr(x)<0可得0<%<1,

由“(%)>0可得久>1，所以，函數g(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增,

所以，函數g(x)的極小值為g(l)=e,

且當%<0時，g(%)=|-^<0，當%>0時，g(%)=y>0，如下圖所示：

由圖可知，當k>e時，直線y-k與函數g(%)的圖象有兩個交點，此時函數/(%)有兩

個零點，因此，實數k的取值范圍是(e,+8).故答案為：3+8).

15.設min{a,5}=°Q,若函數/(%)—min(e%-1—x,—x2+2mx—1)有且只有三

個零點，則實數m的取值范圍為()

A.&+8)B.(|，+8)C.(l,+oo)D.Q,+00)

答案：C.

解析：令g(%)=e*T-%，則"(%)=e*T-1,令"(%)〉0,得％〉1;

令“(%)<0,得％<1;所以g(x)在(一8,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增，故

g(%)min=g(l)=°，又因為對于任意M〉0,在(一8,1)總存在x=-M，使得

g(-M)=e~M~1+M>M，在(1,+8)上由于y=ex~r的增長速率比y-x的增長速

1

率要快得多，所以總存在％=&,使得e^--x0>M,

所以g(x)在(-co,1)與(1,+8)上都趨于無窮大；

令h(x)——x2+2mx—1，則h(x)開口向下，對稱軸為x-m,所以九(%)在(―oo,m)

上單調遞增，在(m,+8)上單調遞增，故=h(m)=m2-1,

因為函數/(%)=min{e*T-x,-x2+2mx-1)有且只有三個零點，

而g(x)已經有唯一零點X=1，所以h(x)必須有兩個零點，則九(%)max>0，即~

1>0，解得m<—1或m>1,

當m<—1時，h(l)——I2+2mx1—1=—2+2m<0，則/(I)—min{g(l),九(1)}—

九⑴<0,

即/(%)在％=1處取不到零點，故/(%)至多只有兩個零點,不滿足題意，

當m>1時，九(1)=—I2+2mx1—1=—2+2m>0，則/(I)—min{g(l),/i(l)}=

g(l)=0，所以f(x)在％=1處取得零點,結合圖像又知

g(%)與/i(x)必有兩個交點，故/(%)在(-oo,l)與(m,+oo)必有兩個零點，所以/(%)

有且只有三個零點，滿足題意;綜上：m>1me(l,+8).故選：C.

16.若函數/(%)=%2+ex—|(x<0)與g(x)-x2+ln(x+a)圖象上存在關于y軸

對稱的點，則a的取值范圍是()

A.(-8,㈣B.(―8心)C.(一奈，甸D.(一泥6)

答案：A.

解析：因為/(%),g(x)圖象上存在關于y軸對稱的點，設P(x,y)(x<0)在函數/(%)上,

則P關于y軸的對稱點Q為(-%,y),則存在無c(-8,0),滿足%2+-1=

(―%)2+ln(—%+a),即方程ex—|=ln(—%+a)在(—oo,0)上有解，即函數F(%)=

-1與函數/i(x)=ln(-x+a)在(-oo,0)上有交點，在直角坐標系中畫出函數F(x)

和九(久)的圖象，如圖所示，

1/

......J/Bk]

當/i(x)過點2(。，)時，a=Ve，由圖象可知，當a<?時，函數F(%)與

九(%)在％<0時有交點，所以a的取值范圍為(-co,Ve).故選：A.

17.函數=2X?|ln(x+1)|-4的零點個數為―

答案：2.

解析：由題意，函數/(%)=2x|ln(x+1)|-4的零點個數Q兩個函數y=2~x+2與y=

|ln(x+1)|的交點個數，兩個函數的圖象如圖.由圖知，兩個函數有2個交點，

故函數/(%)=2".|ln(x+1)|-4的零點個數是2,故答案為:2.

18.已知函數/(%)=卜;—1)2(-°，其中a>0且aH1，若函數/(%)圖象上

1—2%+l,x<0

存在關于原點對稱的點僅有兩對,則實數a的取值范圍為()

A.(O,e-i)B.C.D.(el+oo)

答案：C.

解析：y=-2x+1關于原點對稱的函數為-y=2x+l，即y=-2x-1,

若函數/(%)圖象上存在關于原點對稱的點僅有兩對，則y=ax—(久+1)2與

y=-2x-1在(0,+8)上有兩個不同的交點，所以方程a*-(％+1)2=-2%-1在

(0,+oo)上有兩個不同的實數根，即ax-x2(x>0)在(0,+8)上有兩個不同的實數根,

由Ina%—In%2，得Ina—，即-Ina=叱，令g(%)=—，貝!Jg'(x)—，令

x2xxxz

g'(%)=0,得％=e，所以g(x)在(0,e)上單調遞增，

在3+8)上單調遞減，g(e)=：，如圖所示，所以ax=x2(x>0)有兩個不同的實數根

等價于y=|lna與y-g(x)有兩個交點，

貝嗨足0<|lna<|，解得1<a</，即實數a的取值范圍為(1,-).故選：C.

19.已知函數f(x)=儼產-0若存在實數b，使函數g(K)=/(%)-b有兩個零點，則

lxz,x>a

a的取值范圍是

答案：{a|a<0或a>1}

解析：???^(x)=/(%)-b看兩個零點,??./(%)=b有兩個零點，即y=/(%)與y=b的

圖象有兩個交點，由%3=x2可得，％=0或%=1

①當a>1時，函數/(%)的圖象如圖所示，此時存在b，滿足題意，故a〉1滿足題意

②當a=1時，由于函數f(x)在定義域R上單調遞增,故不符合題意

③當0<a<1時，函數/(%)單調遞增,故不符合題意

?④a=0時，/(%)單調遞增,故不符合題意

⑤當a<0時，函數y-/(%)的圖象如圖所示，此時存在b使得，y-/(%)與y=匕

有兩個交點

二；吐/..E,,

綜上可得，a<0或a>1故答案為：{aIa<0或a>1}

20.已知2CR，函數/(%)=\X~4/]，當入=2時,不等式/(%)<0的解集

kx—4x+3,x<A

是—。若函數/(%)恰有2個零點，則A的取值范圍是—o

答案：{%|1<%<4};(1,3]U(4,+8).

解析：當4=2時函數/(%)=產2—4m/?顯然x>2時,不等式%-4<0的

—4%+3,%<2

解集：{%I24％V4};%<2時,不等式/(%)<0化為：%2—4%+3<0,解得1<%V

2，綜上，不等式的解集為：{%|1<%V4}.

函數/(%)恰有2個零點，函數/(%)=產2-4]的草圖如圖：函數/(%)恰有

1%—4%+3,%<A

2個零點，則1<A<3或入>4.故答案為：{%|1<%<4};(1,3]U(4,+oo).

21.已知/(%)=一久+L弋,若關于x的方程/(%)—a=0有四個實根

(|iog2%L%>o,

XX

，則這四個根之積%1?%2,3,4的取值范圍__?

答案：晦)?

解析：方程/(%)-a=0有四個實根等價于方程/(x)=a有四個實根，

又等價于y=/O)與y=a兩函數圖象有四個交點，交點橫坐標分別是%I，%2，%3，%4,如圖

所示：

當工40時，/（%）=—2%2—x+1'則/+%2=—1

其中％2W（一30]，當％>0時，/（%）二|log2久I，則Tog/=log/nX3x4=1,

???久1?％2?％3-4=?第2=（一之一第2）?第2=-%2-|^2>第2（一]，。，

?,?/?第2，3?%4GD，故答案為：[o,卷）.

22.已知函數/(%)==/(久)+%+a。若。(久)存在2個零點，

則a的取值范圍是()

A.[-1,0)B.[0,+8)c.[―1,+8)D.[1,+8)

答案：C.

解析：由g(%)=0得/(%)=-X-a，作出函數/(%)和y=-x-a的圖象如圖：當直

線y=-尤—a的截距—aWl，即a2—1時,兩個函數的圖象都有2個交點，即函數

g(%)存在2個零點，故實數a的取值范圍是[-1,+8)，故選：C.

(2y[x,0<%<1,1

23.已知函數/(%)=]1若關于久的方程/(為)=一7%+a(aCR)恰有兩

I-,%>1.4

個互異的實數解，則a的取值范圍為()

ARB.(/C.信汕{1}D.[^]UW

答案：D

(^ATX0v%v]

解析：作出函數/(%)=h'7~'的圖象，以及直線y=的圖象，

[-.X>1.4

關于%的方程f(x)=一；％+a(aeR)恰有兩個互異的實數解,

4

即為y=/(%)和y=—：X+a的圖象有兩個交點，平移直線y=，考慮直線經過點

44

(1,2)和(1,1)時，有兩個交點，可得a=：或a=J，考慮直線與y=工在％>1相切，可

44X

得ax--%2=1,由△=a2-1=0,解得a=1(-1舍去)，

4

綜上可得a的范圍是展]U{1}.故選：D.

題型3:嵌套零點

24.已知函數/(%)=Plog2%l+1%,則y=/(/(%))-3的零點個數為

1%+4%<0'/

答案：5.

解析：函數/(%)=>°的圖象如右圖所示：結合圖象分析：

(,X+4,%<0

y=/(/(%))-3=0，則/[/(%)]=3，則/(%)=-1或/(%)=：或4,

對于/(%)=-1，存在一個零點-5;對于/(%)=：，存在一個零點;

44

對于/(%)=4，存在三個零點0,8,9.

8

綜上所述，函數y=/[/(%)]-3零點個數為5.

25.定義域和值域均為[-a,a](a>0)的函數y-7(%)和y-g(x)的圖象如圖所示，下

列四個命題中正確的結論是。

A.方程f[g(x)]=0有且僅有三個解B.方程^[/(%)]=0有且僅有三個解

C.方程/[/(%)]=0有且僅有九個解D.方程g[g(%)]=0有且僅有一個解

答案：AD.

解析：根據函數的圖象，函數/(%)的圖象與x軸有3個交點,g(x)的值域和的定

義域是相同，均為(-見。)，所以方程f[g(x)]=0有且僅有三個解；

函數g(x)在區間上單調遞減，所以方程g[g(%)]=0有且僅有一個解.故選：AD.

26.函數/(%)=0)，求方程產(%)一/(%)=o的不相等的實根個數？

答案：7

解析：方程f2(x)-/(%)=0可解出/(%)=0或f(x)=1,

方程f2(x)-/(%)=o的不相等的實根個數即兩個函數/(%)=o或7(%)=1的所有不

相等的根的個數的和，方程的根的個數與兩個函數y=0,y=l的圖象與函數/(%)的圖

象的交點個數相同，由圖象，y=1的圖象與函數/(%)的圖象的交點個數有四個，y=0

的圖象與函數/(%)的圖象的交點個數有三個,故方程f2(x)-f(x)=0有7個解.故答案

為：7.

27.關于x的方程(——1)2—3|%2-1|+2=0的不相同實根的個數是—.

答案：5.

解析：令t=|——1],方程(%2—I)2—3\x2—1|+2=0化為：t2—3t+2=0,

2

解得t=1或t=2,即I/—1|=1,或一=2,由|%-1|=1,

解得x—±V2,x=0,由|/-1|=2解得x=+V3.

關于%的方程(/—I)2-3|%2-1|+2=0的不相同實根的個數是:5.

28.已知函數/(%)=I42.，若關于%的方程/2(x)-2a/(x)+a+2