2024-2025學年北京市延慶區高三上學期9月月考數學試題

一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知全集U={%|-3<%<3},集合A={x|0<x<1},則=()

A.(1,3)B.(-3,0)U(1,3)C.(-3,0)D.(-3,0］U［1,3)

2.在復平面內，復數z對應的點的坐標是(a,1),且滿足(l-i)-z=2,貝Ua=()

A.1B.-1C.2D.-2

3.下列函數中，是奇函數且在定義域內是減函數的是()

A.y=-B.y=—%3C.y=x\x\D.y=logvc

2

4.若a<b<0,c>d>0,則一定有()

A.->B.-<^C.^>-D.^<-

cacaacac

5.若。<a<1,則()

1111

a

A.a3<a2B.2<3aC.loga->loga-D.sina>cosa

6.已知函數則)/(%)()

A.圖象關于原點對稱，且在［0,+8)上是增函數B.圖象關于原點對稱，且在［0,+8)上是減函數

C.圖象關于y軸對稱，且在［0,+8)上是增函數D.圖象關于y軸對稱，且在［0,+8)上是減函數

7.已知函數/(%)=320g2%-2(%-1),則不等式/(%)>0的解集是()

A.(1,4)B.(-co,1)u(4,+oo)C.(0,1)U(4,+oo)D.(0,4)

n

8.已知數列{a九}中，a-t=1,an-an+1=2,nEN*,則下列結論簿送的是()

n+1

A.a2=2B.a4-a3=2C.{(^兀}是等比數列D.a2n-i+a2n=2

9.設函數f(x)=x+^(meR)的定義域為(—1,2),則“—3<mW。”是“/⑶在區間(—1,2)內有且僅

有一個零點”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

10.在I3A8C中，AB=AC=4打,當26R時，|通+2就|的最小值為4.若俞=麗，AP=sin20AB+

cos2dAC,其中則I而I的最大值為()

A.2B.4C.2<5D.4<2

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。

11.函數f(%)=等+1g%的定義域是.

12.把函數/(%)=8%的圖象上各點的橫坐標擴大到原來的3倍，得到的圖象對應的函數解析式是

y=?

13.已知函數/(%)=%+:在區間［0+8)上存在最小值3,則實數a=.

14.若函數f(x)=［吁/皿，存在最小值，則根的一個取值為_____；a的最大值為_____.

(X—2mx+4m,x>m

15.函數/(t)=0.03sin(10007rt)+0.02sin(20007rt)+0.01sin(3000;rt)的圖象可以近似表示某音叉的聲音

圖象.給出下列四個結論：

①焉是函數f(t)的一個周期；

②/(t)的圖象關于直線1=擊對稱；

③/(t)的圖象關于點(擊,0)對稱；

④/⑴在卜磊，嬴］上單調遞增?

其中所有正確結論的序號是.

三、解答題：本題共6小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.(本小題12分)

已知｛an｝(n6N*)是各項均為正數的等比數列，的=16,2a3+3a2=32.

(I)求｛an｝的通項公式；

(II)設%=310。2%1，求數列｛%｝的前n項和土,并求分的最大值.

17.(本小題12分)

已知函數/(x)=，Wsin2a)x-cos2a>x(0<3<2),再從條件①、條件②、條件③中選擇一個作為已知，

(1)求/(久)的解析式；

(2)當xe［o,||時，關于x的不等式/(久)W小恒成立，求實數m的取值范圍.

條件①：函數/⑺的圖象經過點出2);

條件②：函數/■(%)的圖象可由函數g(x)=2sin2x的圖象平移得到；

條件③：函數f(x)的圖象相鄰的兩個對稱中心之間的距離為今

注：如果選擇條件①、條件②和條件③分別解答，按第一個解答計分.

18.(本小題12分)

已知函數/(久)=Inx+sinx.

(1)求曲線y=/0)在點處的切線方程；

(2)求函數/Q)在區間［l,e］上的最小值.

19.(本小題12分)

為弘揚中華優秀傳統文化，營造良好的文化氛圍，增強文化自覺和文化自信，某區組織開展了中華優秀傳

統文化知識競答活動，該活動有單人賽和PK賽，每人只能參加其中的一項.據統計，中小學生參與該項知

識競答活動的人數共計4.8萬，其中獲獎學生情況統計如下：

單人賽

獎項組別PK賽獲獎

一等獎二等獎三等獎

中學組4040120100

小學組3258210100

(1)從獲獎學生中隨機抽取1人，若已知抽到的學生獲得一等獎，求抽到的學生來自中學組的概率；

(2)從中學組和小學組獲獎者中各隨機抽取1人，以X表示這2人中PK賽獲獎的人數，求X的分布列和數學期

望；

(3)從獲獎學生中隨機抽取3人，設這3人中來自中學組的人數為來自小學組的人數為小試判斷。(口與

ng)的大小關系.(結論不要求證明)

20.(本小題12分)

已知函數/(%)=>0).

(1)求f(久)的單調區間；

(2)若/(x)<x一;對工G(0,+8)恒成立，求a的取值范圍；

(3)若％2皿尤1+X［ln%2=0(刀1彳％2)，證明：%1+%2>2.

21.(本小題12分)

已知數列｛an｝(n=1,2,…,2022),的,。2,…,。2022為從1到2022互不相同的整數的一個排列,設集合4=

l

Jxx=^an+i,n=0,1,2,…,2022-vj,4中元素的最大值記為M,最小值記為N.

(1)若｛&J為:1,3,5,2019,2021,2022,2020,2018,4,2,且/=3,寫出M,N的值；

(2)若/=3,求M的最大值及N最小值；

(3)若/=6,求M的最小值.

參考答案

\.D

2A

3.B

4.0

5.B

6.B

7.4

8.0

9.71

10.C

ll.(0,l)U(l,+8)

12.2X

13.2

14.0(答案不唯一)

4

15.①③④

16.(I)設等比數列｛廝｝的公比為q

22

,?,%=16,2a3+3a2=32???2arq+3arq=32q+48q=32

-1

即2q2+3q-2=0,解得：q=-2或q=,

???各項均為正數.?.(?=1

an=16x?=25f

sn

(II)由(I)得：bn=3log22~=3(5—m)=15—3n

當九>2時，bn-bn_i=-3

???｛,｝是首項為瓦=12,公差為-3的單調遞減的等差數列

33

2

???Sn=12n—2n(n—1)=—(n—9n)

又生=0.??數列｛,｝的前4項為正數

???當幾=4或5時，S九取得最大值，且最大值為S4=Ss=30

17.(1)/(%)=-/3sin2eox—cos2tox=2sin(2cox—'

選①：函數/(久)的圖象經過點圖2),則2sin(23xF3)=2,

所以2aX———=-+2/CTT,kEZ,則a=14-3k.,k.GZ,

362

由0<o)<2,可得3=1,則/(%)=2sin(2%—”；

選②：函數/(%)的圖象可由函數g(%)=2sin2x的圖象平移得到，

即/(%)=2sin(2a%-3)的圖象可由函數g(%)=2sin2%的圖象平移得到，

則3=1,則f(%)=2sin(2x—^).

選③：函數/(%)的圖象相鄰的兩個對稱中心之間的距離為與

則函數的最小正周期為7T,故23=—=2,ACO=1,

71

故/(%)=2sin(2x—^).

(2)當％t[o可時，2%_*￡[_弓,第，貝！Jsin(2%—3)€[-2,1],

故/(%)=2sin(2x-^)E[-1,2],

又當％E[。用時，關于％的不等式/(%)<m恒成立，故m>2,

即實數m的取值范圍為[2,+8).

18.(1)由題意得，/'(%)=；+cos%,

所以((1)=1+cosl,又/(I)=sinl,

所以曲線y=/(%)在點(1,/(1))處的切線方程為y-sinl=(1+cosl)(x-1),

即y=(1+cosl)x+sinl-cosl—1；

(2)由上問得((%)=-+cosx,

因為y=(和y=COSX均在區間[l,e]上單調遞減，

所以尸(久)在區間[l,e]上單調遞減，

因為/'(1)=1+cosl>0,

1

/(e)=-+icose<-+cos—27r=——1-<0,

7ee3e2

所以/'(%)=0在(l,e)上有且只有一個零點，記為通，

所以久€［1,久o)時,/(x)>0；久6(X0,e］時，/(x)<0,

所以/(%)在［I/O)上單調遞增，在(Xo，e］上單調遞減，

因為f(l)=sinl,/(e)=1+sine,

所以/0)在區間［1,e］上的最小值為sinl.

19.解：(I)設事件4表示抽到的學生獲得一等獎，事件B表示抽到的學生來自中學組,

所以抽到的1個學生獲得一等獎，學生來自中學組的概率為PCBM)=鏢，

由表格知：P(幽=藕,P(4)=繇,則P(B|A)=|.

(II)由題意，X可能值為0,1,2,

=Q1(x=i)_doo4oo+4oo或00=&P(X=2)_400。；00_J_,

P(x=0)=%。。。

4CC12

C300c400L300L400300400

X的分布列如下：

X012

P151

21212

所以E(X)=0x^+lx—+2x—=—.

(Ill)由題設知f+〃=3,

所以。(f)=D(3—哨=D(3)+(-1)2-D(rj)=DQ

20.解：由已知得函數定義域為(0,+s),「(%)=富，

(I)令/0)=0得％=e,因為Q>0,

/'(%)>0=0<%<e,/'(%)<0=>x>e,

所以/(%)的單調遞增區間為(0,e),單調遞減區間為(巳+8)；

(II)結合。>0,由已知得"工—ax2+x<0在％6(0,+8)恒成立，

2lnx+1

即a>無在(0,+8)上恒成立,令g(%)二尸(%>0),“(%)=~^~f顯然"(1)=0,

7

再令h(%)=-2lnx—%+1,￥(x)=---1<0,故h(%)在(0,+8)上單調遞減,

結合似1)=0,

當0<x<1時，h(x)>0,即g'(%)>0,當久>1時，/i(x)<0,即g'(%)<0,

即g(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+8)上單調遞減，

故g(l)=1是g(%)的極大值，也是g(%)的最大值，

故a>1即為所求，故a的取值范圍是［L+8)；

(III)證明：由%2仇％1+Xrlnx2=0(%1。%2)得出江+=0，且％1。1，、2。1，

X1x2

當a=1時，令m(%)=Inx-x2+x,(%>0),顯然?71(1)=0,

=上也=-…3+1),

XX

xG(0,1)時，M(%)>0,xE(1,+8)時,m'(x)<0,

即?n(X)在(0,1)上單調遞增，在(1,+8)上單調遞減，

故?n(l)=。是m(%)的極大值，也是最大值，即仇％—x2+x<0(%=1時取等號)，

所以竽W久一1,(當且僅當X=1時取等號)，

所以外</一1,強<盯一1,

%2

兩式相加得也1+返V/+%2-2,即久1+&-2>0，

%2

故久1+x2>2.

21.(1)當/=3時，4中的元素為｛即｝中的三項相加，故最大元素M=2021+2022+2020=6063,最小元

素N=1+3+5=9.

(2)N最小值為6,M的最大值6063.

證明：對于1,2,....2021,2022的一個排列｛冊｝,

若/=3,貝!M中的每一個元素為x=￡3j=1an+.-an+1++an+3,n=0,1,2,…,2019,

3

由題意M=maxi=1an+i),n=0,1,2,…,2019,

那么，對于任意的｛an｝，總有M=2020+2021+2022=6063.

3

同理，由題意N=min(2t=1an+i),n=0,1,2,…,2019,

那么，對于任意的｛冊｝,總有N=1+2+3=6,

當即=n(n=1,2,…,2022)時，滿足：N=6,M=6063.

(3)M的最小值為6069.

由于/=6,對于1,2,2021,2022的一個排列｛%J,

4