專題05圖形與圖形的變換

易錯(cuò)點(diǎn)1:點(diǎn)、線、面、體

易錯(cuò)點(diǎn)2:兩個(gè)基本事實(shí)

點(diǎn)、線、面、角專題

易錯(cuò)點(diǎn)1:點(diǎn)、線、面、體

例：將如圖所示的幾何圖形，繞直線/旋轉(zhuǎn)一周得到的立體圖形（）

【答案】c

【分析】根據(jù)面動(dòng)成體以及圓臺(tái)的特點(diǎn)，即可解答；此題考查了平面圖形和立體圖形之

間的關(guān)系，熟練掌握?qǐng)A臺(tái)是由直角梯形繞著垂直于底的一腰旋轉(zhuǎn)而成是解題的關(guān)鍵.

【詳解】繞直線/旋轉(zhuǎn)一周，可以得到的立體圖形是圓臺(tái)，

故選：C.

變式1：已知在中，/B=6,/C=8,乙4=90。，把繞直線/C旋轉(zhuǎn)一周

得到一個(gè)圓錐，其表面積為H，把繞直線旋轉(zhuǎn)一周得到另一個(gè)圓錐，其表

面積為邑，則鳥(niǎo)：邑等于.

【分析】本題主要考查了圓錐的表面積.分別求出當(dāng)以NC為軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，當(dāng)以為軸

旋轉(zhuǎn)時(shí)，圓錐的表面積，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，當(dāng)以ZC為軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，岳="〃+5惻，為底面圓半徑，BC

為母線長(zhǎng)10,

S1=36%+60%=96%.

B

當(dāng)以48為軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，/C為底面圓半徑，3C為母線長(zhǎng)為10,S惻="/=80萬(wàn),

邑=S底+S1s=64%+80%=144萬(wàn),

H:$2=96%:144%=2:3.

故答案為：2:3

變式2：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知“3C的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

^(3,6),5(l,4),C(l,0).

(1)^ABC外接圓的圓心尸的坐標(biāo)是；

⑵求該圓圓心P到弦AC的距離；

(3)以BC所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將旋轉(zhuǎn)一周，求所得幾何體的表面積.

【答案】(1)(5,2)

⑵W

⑶4?%+4岳

【分析】(1)分別作/8,/C的垂直平分線，即可解答；

(2)用中點(diǎn)公式求得/C的中點(diǎn)，再利用勾股定理即可解答；

(3)旋轉(zhuǎn)后的幾何體為半徑為2,高為6的圓錐，減去半徑為2,高為2的圓錐，據(jù)此

求出表面積即可.

【詳解】(1)解：如圖，“BC外接圓的圓心戶的坐標(biāo)是(5,2),

故答案為：（5,2）；

（2）解：根據(jù)中點(diǎn)公式，可得/C的中點(diǎn)。（2,3）,

DP=^（5-2）2+（2-3）2=V10

（3）解：旋轉(zhuǎn)后的幾何體為半徑為2,高為6的圓錐，減去半徑為2,高為2的圓錐，

則他們的母線長(zhǎng)為AC=^/（3-1）2+62=2,AB=^（3-1）2+（6-4）2=272，

二所得表面積為2Mx2"+2逝x2%=4師r+4缶.

【點(diǎn)睛】本題考查了外接圓、兩點(diǎn)之間的距離公式、圓錐表面積公式，勾股定理，正確

得到旋轉(zhuǎn)后的圖形是解題的關(guān)鍵.

易錯(cuò)點(diǎn)2：兩個(gè)基本事實(shí)

例：下列命題：

①過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；

②過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；

③把一個(gè)木條固定到墻上需要兩顆釘子，其中的數(shù)學(xué)原理是：兩點(diǎn)確定一條直線；

④從一個(gè)貨站向一條高速路修一條最短的公路，其中的數(shù)學(xué)原理是：連接直線外一點(diǎn)與

直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短；

⑤垂直于同一條直線的兩條直線垂直，其中的假命題有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】B

【分析】此題主要考查了命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命

題.判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理.

分析是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案.

【詳解】解：①過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，原命題是假命題；

②在同一平面上，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，原命題是假命題；

③把一個(gè)木條固定到墻上需要兩顆釘子，其中的數(shù)學(xué)原理是：兩點(diǎn)確定一條直線，原命

題是真命題；

④從一個(gè)貨站向一條高速路修一條最短的公路，其中的數(shù)學(xué)原理是：連接直線外一點(diǎn)與

直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短是真命題；

⑤垂直于同一條直線的兩條直線平行，原命題是假命題，

故選：B.

變式1：如圖，在平面內(nèi)，43為線段，射線上有一點(diǎn)C到A的距離為7,N是平

面內(nèi)一點(diǎn)，且始終保持MV=3BN,則+的最小值為.

【分析】本題考查了兩點(diǎn)之間線段最短，解題的關(guān)鍵是把3N+；CN=4N+CN.

【詳解】解：如圖，連接CN,則NN+CN2/C,

當(dāng)N在N,C之間時(shí)，/N+CN的最小值=7=32"+。村=3(8"+；。可

17

8N+]GV的最小值是履

7

故答案為：

變式2：如圖，已知/、B、C、。是正方形網(wǎng)格紙上的四個(gè)格點(diǎn)，根據(jù)要求僅用無(wú)刻度

的直尺在網(wǎng)格中畫(huà)圖，并標(biāo)注相關(guān)字母.

(1)畫(huà)線段

⑵畫(huà)直線DE〃/8(點(diǎn)￡為格點(diǎn))；

(3)畫(huà)出點(diǎn)。，使DO+CO+NO+B。最小;

⑷在線段上畫(huà)出點(diǎn)R使CF最短.

【答案】⑴見(jiàn)詳解

(2)見(jiàn)解析

⑶見(jiàn)解析

(4)見(jiàn)解析

【分析】(1)連接問(wèn)題得解；

(2)根據(jù)點(diǎn)/向右平移1個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位得到點(diǎn)。，所以點(diǎn)2按同樣平移

方式得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)E,作直線DE,可以得到符合條件點(diǎn)E有兩個(gè)；

(3)連接/B、相交于點(diǎn)O,即可求解；

(4)作出與45垂直的直線，交于點(diǎn)R問(wèn)題得解.

【詳解】(1)解：如圖，線段即為所求作的線段；

(2)解：如圖，直線。E即為所求作的線段；

(3)解：如圖，點(diǎn)。即為所求做的點(diǎn)；

證明：：點(diǎn)。為線段/8、的交點(diǎn)，

/。+8。最小，DO+C。最小，

，此時(shí)。0+CO+40+8。的值最小；

(4)解：如圖，點(diǎn)廠即為所求做的點(diǎn)；

BH=GB=3

<ZBHP=ZGBC=9(T,

HP=BC

:”BHP@GBC,

：./HBP=NBGC,

???/BCG+/BGC=90P,

???/BCG+/HBP=9(T

：.ZBFC=90°f

：.CF1AB,

【點(diǎn)睛】本題為幾何作圖題，考查了線段的畫(huà)法，平行線的畫(huà)法，兩點(diǎn)之間，線段最短,

垂線段最短等、全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余等知識(shí)，綜合性較強(qiáng),

熟知相關(guān)知識(shí)，并根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

易錯(cuò)點(diǎn)3：線段和與差

例：已知線段%5=12cm,點(diǎn)。為直線48上一點(diǎn)，且4C=4cm,點(diǎn)。為線段5C的中

點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為（）

A.8cmB.6cmC.4cm或8cmD.6cm或8cm

【答案】C

【分析】本題主要考查了與線段中點(diǎn)有關(guān)的線段和差計(jì)算，分當(dāng)點(diǎn)C在線段上時(shí),

當(dāng)點(diǎn)C在線段A4延長(zhǎng)線上時(shí)，兩種情況畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形，求出BC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出CD

的長(zhǎng)，再由線段之間的關(guān)系求解即可.

【詳解】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)C在線段N8上時(shí)，

AB-12cm,AC-4cm,

BC=4B-AC=8cm,

:點(diǎn)。為線段3C的中點(diǎn)，

CD=-BC=4cm,

2

AD=AC+CD=8cm；

I____________I______________I____________I

ACDB

如圖，當(dāng)點(diǎn)C在線段A4延長(zhǎng)線上時(shí)，

AB=12cm,AC=4cm,

.?.BC=AB+AC=16cmf

:點(diǎn)。為線段3C的中點(diǎn)，

CD=—BC=8cm,

2

AD=CD-AC=4cm；

綜上所述，線段4。的長(zhǎng)為4cm或8cm

故選：C.

I______________i__________i______________________i

CADB

變式1：如圖，線段45被點(diǎn)C,。依次分成2:4:7三部分，M,N分別是4C,的

中點(diǎn)，若MD-DN=3cm,則48=cm.

??????

AMCDNB

【答案】26

【分析】本題主要考查了線段中點(diǎn)的定義，線段之間的數(shù)量關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)

〃D-_DN=3cm列出關(guān)于x的方程，求出x的值.設(shè)NC=2x,CD=4x,DB=1x,根

據(jù)中點(diǎn)定義及線段之間的關(guān)系，列出關(guān)于x的方程，求出x的值，即可求出的長(zhǎng)度.

【詳解】解：???線段被點(diǎn)C,。分成2:4:7三部分，

AC=2x,CD=4x,DB=7x,

,:M,N分別是4C,QB的中點(diǎn)，

117

：.MC=-AC=x,DN=-DB=-x,

222

73

?*.MD—DN=x+4x----x=~x,

22

■:MD—DN=3cm,

??x-3,

2

解得：x=2,

AB=2x+4x+7x=13x=26(cm).

故答案為：26.

變式2：如圖所示，線段4B=6cm,C點(diǎn)從。點(diǎn)出發(fā)以lcm/s的速度沿45向左運(yùn)動(dòng)，D

點(diǎn)從5點(diǎn)出發(fā)以2cm/s的速度沿向左運(yùn)動(dòng)(。在線段/尸上，。在線段B尸上)

ill??ill??

ACPDBACPDB

圖①圖②

⑴若C,D運(yùn)動(dòng)到任意時(shí)刻都有勿=2/C,求出產(chǎn)在上的位置；

⑵在(1)的條件下，。是直線上一點(diǎn)，若AQ-BQ=PQ,求尸。的值；

(3)在(1)的條件下，若C,。運(yùn)動(dòng)了一段時(shí)間后恰有=28,這時(shí)點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)，

點(diǎn)。繼續(xù)在線段P8上運(yùn)動(dòng)，N分別是CD,尸。的中點(diǎn)，求出的值.

【答案】(1)點(diǎn)尸在線段上的離/較近的;處

(2)4cm或12cm

(3)；cm

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，兩點(diǎn)間的距離，靈活運(yùn)用線段的和、差、倍、

分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)C、。的運(yùn)動(dòng)速度知AD=2PC,再由已知條件PO=2/C求得PB=24P,所

以點(diǎn)尸在線段上離/點(diǎn)較近的g處；

(2)由題設(shè)畫(huà)出圖示，根據(jù)=求得/。=尸0+30；然后求得NP=8。，

從而求得尸0與的關(guān)系；

(3)當(dāng)C點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，有CD=AB,故AC+BD=4B,再設(shè)=PD=4-a,

CD=5-a,即可列式得出答案.

【詳解】(1)根據(jù)C、。的運(yùn)動(dòng)速度知：BD=2PC,

'：PD=2AC,

BD+PD=2(PC+AC),即尸B=24P,

???點(diǎn)P在線段AB上的離A點(diǎn)較近的1處；

(2)如圖1：

IIII

APQB

圖1

?：AQ-BQ=PQ,

：.AQ=PQ+BQ.

X-：AQ=AP+PQ,

/.AP=BQ,

PQ=；AB=2cm；

當(dāng)點(diǎn)0在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，

11II

APBQ

?：AQ-AP=PQ,S.AQ-BQ=PQ,AP=BQ,

AQ-BQ=PQ=AB=6cm.

綜上所述，PQ長(zhǎng)為2cm或6cm；

(3)MN的值不變，理由：

如圖2,

ACPMNDB

圖2

當(dāng)C點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，有CO=1/8=3cm,

2

AC+BD-AB=3cm,

。點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，設(shè)BD=a,PD=4—a,CD=5-a,

15—a4—a1

：.MN=MD-ND=-CD——PD=---------------=—cm.

22222

易錯(cuò)點(diǎn)4：角的和與差

例：如圖，在正方形/BCD中，邊4B、上分別有￡、尸兩點(diǎn)，AE=DF,BP平分

NCBF交CD于點(diǎn)、P.若NCEB=a,則NCP8的度數(shù)為()

A.90°-aB.aC.90°--aD.-a

22

【答案】C

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，角的平分線，三角形全等的判定性質(zhì)，設(shè)尸的

交點(diǎn)為G,利用SAS證明”瓦名ABCE(SAS),得NCGB=90°,ZCEB=ZCBG=a,

結(jié)合BP平分NCBF,得到ZCBP=-ZCBF=-a，根據(jù)NCPB+NCBP=NCPB+-a=,

222

計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)C￡,89的交點(diǎn)為G,

如圖，：正方形/BCD,

AB=BC=CD=DA,ZFAB=ZEBC=/BCD=90°,

AE=DF,

：.FA=EB,

AB=BC

'：\ZFAB=ZEBC,

AB=BC

；.△ABF知BCE(SAS),

ZABF=ZBCE,

NFBA+NFBC=9。。

：.ZBCE+ZFBC=90°,

NBGC=90°,

...ZCEB=ZCBG=a,

：BP平分NCBF,

ZCBP=-ZCBF=-a,

22

NCPB+NCBP=NCPB+-a=9ff,

：.ZCPB=9QP--a,

2

故選C.

變式1：如圖，在四邊形4BDC中，己知BE平分/ABD,且BELDE,H

為上一點(diǎn)，ZBDK=ZHDK,ZDHB=24°，則NEDK=

【答案】12。/12度

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出

恰當(dāng)?shù)妮o助線.

延長(zhǎng)。￡交于點(diǎn)尸，先證明AFBEmXDBE,則NBFE=NBDE,然后根據(jù)三角形外

角的性質(zhì)并結(jié)合已知條件可逐步推得/EDK=12。.

【詳解】如圖，延長(zhǎng)交48于點(diǎn)?

,/BE平分ZABD,且BE_LDE,

：.ZFBE=ZDBE,ZBEF=ABED=90°,

又BE=BE,

；.AFBEADBE(ASZ

：.NBFE=NBDE,

?：ZDHB=24°,ZBDK=NHDK,

：.ZBFE=ZDHB+ZFDH=24°+ZFDH,

NBDE=4BDK+NEDK=ZHDK+ZEDK=ZFDH+ZEDK+NEDK=ZFDH+2NEDK

：.24°+ZFDH=ZFDH+2ZEDK

：.NED-

故答案為：12。.

變式2：如圖/8〃C。，E在上，且CE平分//CD.

(1)如圖1,求證：ZAEC=ZACE.

(2)點(diǎn)M為C￡上一點(diǎn)，試判斷NE4W,ZAME,NEC。之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

⑶如圖3,在(2)的條件下，延長(zhǎng)交CD于G,在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)N,連接CN,

使NDCN+a4CN=180。，且乙4MC=2N/ME,求NNNC的度數(shù).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)ZEAM+NAME+ZECD=180°,證明見(jiàn)解析

(3)Z4NC=30。

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、平角的定義等，解題的關(guān)鍵熟

知相關(guān)的性質(zhì)并能綜合運(yùn)用.

(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)與角平分線的定義即可推證.

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理即可推證相關(guān)結(jié)論.

(3)延長(zhǎng)NC至點(diǎn)R根據(jù)平角與角平分線的定義，結(jié)合已知條件可推證NECN=90。，

再由乙4MC=2乙ZAMC+ZAME=180°,可推得//腔=/。/乂=60。，于是

在直角KMN中可求得NANC=30°.

【詳解】(1),/AB//CD,E在上，且CE平分/4CD.

ZAEC=NDCE,ZACE=ZDCE,

：.ZAEC=NACE.

(2)NEAM、NAME、/ECD三角之和為180。，證明如下.

AB//CD,

：.ZECD=ZAEC,

ZEAM+NAME+NAEC=180°,

/EAM+NAME+ZECD=180°.

(3)延長(zhǎng)NC至點(diǎn)尸，如圖所示.

,：ZDCN+ZACN=1SQ°,ZACF+ZACN,

：.ZDCN=ZACF,

由CE平分//CO知：ZACE=ZDCE,

ZACE+ZDCE+ZDCN+ZACF=180°(組成一個(gè)平角)

即：2(NDCE+NDCN)=18。。

：.ZECN=90°.

由4MC=,N/MC+4^=180°得=60°,

ZCMN=60°,

：.ZANC=180°-ZECN-ZCMN=180°-90°-60°=30°.

易錯(cuò)點(diǎn)5：角平分線綜合

例：如圖，“8C的外角N/CD的平分線C尸與內(nèi)角的平分線8P相交于點(diǎn)P,

若4PC=40。，則/C4P的度數(shù)為()

A.40°B.50°C.55°D.60°

【答案】B

【分析】根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出/A4c的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三

角形全等的判定，得出/◎尸=/"尸，即可得出答案?

【詳解】解：延長(zhǎng)A4,作PN，BD,PFLBA,PMYAC,

設(shè)/尸CZ)=x。，

c尸平分/zcr>,

ZACP=ZPCD=x°,PM=PN,

,：BP平分NABC,

:./ABP=/PBC,PF=PN,

PF=PM,

?：/BPC=40°,

/ABP=/PBC=/PCD-ZBPC=(x-40)°,

/.ZBAC=ZACD-ZABC=2x。-（x。-40。）-（x。-40°）=80°,

...NC4c=100。,

在Rt△尸口和Rt△尸肱4中，

[PA^PA

[PM=PF，

Rii.PFA^Rt^PMA（HL）,

NFAP=/CAP=50。.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)和直角三角全等的判定等知

識(shí)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出尸河=印=尸尸是解題的關(guān)鍵.

變式1:如圖，已知/8〃C。，點(diǎn)尸、0分別是直線NB,C。上兩點(diǎn)，點(diǎn)G在兩平行

線之間，連接尸G,OG,點(diǎn)￡是直線下方一點(diǎn)，連接防，EQ,且G0的延長(zhǎng)線平

分NCQE,PE平分NAPG,若2NPEQ+NPGQ=117°,則NCQE的度數(shù)是.

E

【答案】42°

【分析】過(guò)點(diǎn)G作GW〃CO,交EP于點(diǎn)M,利用平行線的判定性質(zhì)，結(jié)合三角形外

角性質(zhì)，解答即可.

【詳解】的延長(zhǎng)線平分NC0E,PE平分ZAPG,

：.ACQF=ZEQF=x,Zl=Z2=y,

過(guò)點(diǎn)G作GM〃CD,交E尸于點(diǎn)M,

VABHCD,

二GM//AB,

：./PGM+ZAPG=180P,ZMGF=ZGQD=ZCQF=x,Z1=Z2=NPMG,

/.ZPMG=ZMGF+ZMFG,ZMFG=NFEQ+ZEQF=NFEQ+x,

ZPMG=x+NFEQ+x=/.FEQ+2x,

?：2APEQ+APGQ=\\1°,

2NPEQ+ZPGM+x=117°,

2ZP￡2+180°-2Z2+x=117°

2/尸￡0+18Oo_2(NF￡Q+2x)+x=117。

3x=63°

解得x=21。

2x=42°

故/CQE=42°,

故答案為：42°.

變式2：【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】如圖①，小明同學(xué)在做光的折射實(shí)驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)：平行于主光軸兒W的

光線和CD經(jīng)過(guò)凹透鏡的折射后，折射光線8E,。廠的反向延長(zhǎng)線交于主光軸MV

上一點(diǎn)p.

E

圖①

【提出問(wèn)題】

小明提出：NBPD,NA8尸和/CD尸三個(gè)角之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系？

【分析問(wèn)題】

已知平行，可以利用平行線的性質(zhì)，把42尸。分成兩部分進(jìn)行研究.

【解決問(wèn)題】

探究一：請(qǐng)你幫小明解決這個(gè)問(wèn)題，并說(shuō)明理由.

探究二：如圖②，NP,ZAMP,NCNP的數(shù)量關(guān)系為；如圖③，已知,

NABC=25°,ZC=60°,AE\\CD,貝!|乙=°,（不需要寫(xiě)解答過(guò)程）

利用探究一得到的結(jié)論解決下列問(wèn)題：

如圖④，射線ME,NF分別平分和/CNF,ME交直線CD于點(diǎn)E,NF與ZAMP

內(nèi)部的一條射線板交字點(diǎn)尸，若ZP=2ZF,求ZRWE的度數(shù).

【答案】解決問(wèn)題：［探究一］N8尸。=N4BP+NC￡>P；［探究二］=

145；［拓廣提升］NFME=90°

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)推出

ZBPD=ZABP+ZCDP,由此結(jié)論來(lái)解決問(wèn)題.

探究一：由平行線的性質(zhì)推出=尸，ZDPN=ZCDP,得到

/8/W+ZDPN=N/8P+NCDP,即可解決問(wèn)題；

探究二；如圖②，由平行線的性質(zhì)推出/〃KP=/CNP,由三角形外角的性質(zhì)即可得到

NAMP=NP+NCNP；

如圖③，由平行線的性質(zhì)推出乙"。=/。=6),求出乙4乙5=180。-//￡。=120。，由

三角形外角的性質(zhì)得到/8/E=N8+/4L8=145=；

如圖④，由探究一的結(jié)論得到

ZP=ZAMF+ZPMF+ZCNF+ZPNF,ZF^ZAMF+ZCNF，而4=2",推出

ZPMF=-ZAMP,又ZPME=-ZPMB,得到ZFME=-ZAMB=9CP.

222

【詳解】解：［探究一］:NBPD=NABP+ZCDP,理由如下：

如圖①，

NBPN=ZABP,NDPN=ZCDP,

：.NBPN+ZDPN=NABP+ZCDP,

ZBPD=NABP+ZCDP.

［探究二］如圖②，

圖②

ZAMP^ZP+ZCNP,理由如下:

??AB//CD,

：.4MKP=ZCNP,

"：NAMP=NP+NMKP,

NAMP=NP+NCNP.

如圖③，延長(zhǎng)E/交8c于乙

E

圖③

AE//CD,

Z.NALC=NC=60P,

，NALB=180°-ZALC=120°,

ABAE=ZB+AALB=25°+120°=145c.

故答案為：ZAMP=ZP+ZCNP,145.

［拓廣提升了.,射線ME，NF分別平分/的呼和NCNP,

ZPME=-ZPMB,/CNF=NPNF,

2

如圖④，

由探究一的結(jié)論得：NP=ZAMF+NPMF+NCNF+NPNENF=ZAMF+NCNF,

,/ZP^IZF,

：.ZAMF+ZPMF+NCNF+NPNF=2NAMF+2ZCNF,

,：ZCNF=APNF,

：.AAMF+APMF=2AAMF,

NPMF=ZAMF=-ZAMP,

2

ZPMF+ZPME=g(+NPMB)

NFME=-ZAMB=-x18(F=9(F.

22

相交線與平行線專題

易錯(cuò)點(diǎn)1：相交線的規(guī)律

例：觀察下列圖形并閱讀圖形下方的文字，像這樣，20條直線相交，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多

為（）

2條直線相交，3條直線相交，4條直線相交，

最多有1個(gè)交點(diǎn);最多有3個(gè)交點(diǎn);最多有6個(gè)交點(diǎn);

A.185B.190C.200D.210

【答案】B

【分析】結(jié)合所給的圖形找出交點(diǎn)個(gè)數(shù)的計(jì)算公式.

【詳解】設(shè)直線有n條，交點(diǎn)有m個(gè).有以下規(guī)律:

直線n條交點(diǎn)m個(gè)

21

31+2

41+2+3

nm=l+2+3+...+(nl),

2

20條直線相交有T)=i90個(gè).

故選B.

【點(diǎn)睛】此題考查了相交線，解題關(guān)鍵是找出直線條數(shù)與交點(diǎn)個(gè)數(shù)的計(jì)算公式.

變式1：在一平面中，兩條直線相交有一個(gè)交點(diǎn)；三條直線兩兩相交最多有3個(gè)交點(diǎn)；

四條直線兩兩相交最多有6個(gè)交點(diǎn)……當(dāng)相交直線的條數(shù)從2至〃變化時(shí)，最多可有的

交點(diǎn)數(shù)P與直線條數(shù)〃之間的關(guān)系如下表：

直線條數(shù)〃/條2345678

最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)〃/個(gè)13610

則〃與〃的關(guān)系式為：

【答案】P=；"("T)

【分析】因?yàn)閮蓷l直線有1個(gè)交點(diǎn)，三條直線最多有3=1+2個(gè)交點(diǎn)，四條直線最多由

6=1+2+3個(gè)交點(diǎn)，所以根據(jù)規(guī)律，n條直線有(l+2+3+4+...+nl)個(gè)交點(diǎn)，故可求出關(guān)

系式.

【詳解】因?yàn)閮蓷l直線有1個(gè)交點(diǎn)，

三條直線最多有3=1+2個(gè)交點(diǎn)，

四條直線最多由6=1+2+3個(gè)交點(diǎn)，

，n條直線有(l+2+3+4+...+nl)個(gè)交點(diǎn)，

...關(guān)系式為P=g"("T)

【點(diǎn)睛】此題主要考查代數(shù)式的規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)每一項(xiàng)的規(guī)律，再求出來(lái)

即可.

變式2：為了探究n條直線能把平面最多分成幾部分，我們從最簡(jiǎn)單的情形入手：

(1)一條直線把平面分成2部分；

(2)兩條直線最多可把平面分成4部分；

(3)三條直線最多可把平面分成7部分...；

把上述探究的結(jié)果進(jìn)行整理，列表分析：

直線條數(shù)把平面分成部分?jǐn)?shù)寫(xiě)成和形式

121+1

241+1+2

371+1+2+3

4111+1+2+3+4

(1)當(dāng)直線條數(shù)為5時(shí)，把平面最多分成一部分，寫(xiě)成和的形式」

(2)當(dāng)直線為n條時(shí)，把平面最多分成一部分.

【答案】16,1+2+3+4+5；1+yn(n+1).

【詳解】試題分析：(1)根據(jù)表中規(guī)律，當(dāng)直線條數(shù)為5時(shí)，把平面最多分成

1+1+2+3+4+5=16部分；

(2)根據(jù)(1)的規(guī)律，得出當(dāng)直線為n條時(shí)，把平面最多分成：1+1+2+3+...+11=1+萬(wàn)11

(n+1).

考點(diǎn)：探尋規(guī)律.

易錯(cuò)點(diǎn)2：平行線中的三角板

例：如圖，把一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，如果Nl=32。，那么N2的

度數(shù)是()

A.32°B.48°C.58°D.68°

【答案】C

【分析】主要考查了平行線的性質(zhì)和互余的兩個(gè)角的性質(zhì).互為余角的兩角的和為90。，

本題主要利用兩直線平行，同位角相等及余角的定義作答，解此題的關(guān)鍵是能準(zhǔn)確的從

圖中找出這兩個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系，從而計(jì)算出結(jié)果.

【詳解】解：如圖：

根據(jù)題意可知，N2=/3,

/1+/3=90°,

Zl+Z2=90°,

Z2=90°-Zl=90°-32°=58°,

故選：C.

變式1：將一個(gè)三角板如圖所示擺放，直線九W與直線相交于點(diǎn)p,ZMPH=45°,

現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)A以每秒1。的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)時(shí)間為/秒，且0VtV150,當(dāng)，=

時(shí)，MN與三角板的邊平行.

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意，分三種情況討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)/C'〃兒W時(shí)（“3（7轉(zhuǎn)到448'。'）,

當(dāng)時(shí)（“8c轉(zhuǎn)到△/B'C'）,畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形，利用平行線的性質(zhì)，計(jì)算得

到答案.

【詳解】當(dāng)3C〃MV時(shí)，如圖：

ZAQB=Z.MPH=45=,

???NABC=ZBAQ+ZAQB,

60°=45°+ZBAQ,

ZBAQ=15°,

.?"=15+1=15（秒）.

ZC'AB=180°-APAC=135°,

：.ZC'AC=ACAB-ZCAB=109,

.?"=105+1=105（秒）.

當(dāng)4B〃MV時(shí)(“BC轉(zhuǎn)到△TIB'C'),如圖:

NPAB'=ZMPH=特，

：.NB'AB=180°-/PAS'=135°,

.?"=135+1=135（秒）.

故答案為：15秒或105秒或135秒.

變式2：如圖1,將三角板4BC與三角板ADE擺放在一起；如圖2,其中44cs=30。,

ZDAE=45°,ZBAC=ZD=90°.固定三角板/BC,將三角板ADE繞點(diǎn)/按順時(shí)針

方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角=a(0°<?<180°).

固定三角板48。

旋轉(zhuǎn)三角板4DE

圖2

C

備用圖

⑴當(dāng)二為.度時(shí)，AD//BC,并在圖3中畫(huà)出相應(yīng)的圖形;

(2)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，試探究與之間的關(guān)系;

(3)當(dāng)VNOE旋轉(zhuǎn)速度為5。/秒時(shí).且它的一邊與3c平行(不共線)時(shí)，直接寫(xiě)出時(shí)間/

的所有值.

【答案】（1）15,圖見(jiàn)解析

⑵當(dāng)0。<[445。時(shí)，/BAE-NC4D=45。；當(dāng)45°<a490°時(shí)，NCAD+NB4E=45°；

當(dāng)90°<a<180°時(shí)，ZCAD-ZBAE=45°

（3”=3或21或30

【分析】(1)根據(jù)AD〃BC得出ADAC=NACB=30°,根據(jù)a=ZCAE=ZDAE-ADAC

即可求解；

(2)設(shè)NC/Z)=7，ZBAE=p,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，分當(dāng)0。＜口445。時(shí)，當(dāng)45。＜a490。

時(shí)，當(dāng)990。＜夕＜180。時(shí)，三種情況根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；

(3)分①當(dāng)4D〃3C,②當(dāng)DE〃:BC,③當(dāng)4E〃BC時(shí)，分別畫(huà)出圖形即可求解.

【詳解】(1)當(dāng)a=15。時(shí)，AD//BC,如圖：

???AD//BC

:.ZDAC=ZACB=3Q°

a=ZCAE=ZDAE-ADAC=45°-30°=15。

故答案為15；

(2)設(shè)：ZCAD=y,ABAE=p,

①如圖,當(dāng)0°<a445。時(shí),

a+p=90°,a+y=45°,

故尸一7=45。，即/胡E-/G4D=45。；

E

ZDAE+y+/3=90°,即+/◎￡>=45。

③當(dāng)90°<a<180°時(shí)，NCAD=y,ZBAE=p,

A

C

n

/CAD-ABAC=ZEAB-ZEAD

o

gpz-90=yff-45°

:.y_0=45。,即/￡=45。；

(3)①當(dāng)40〃5C時(shí)，由(1)可知a=15。,

???5f=15,

t=3；

D

②當(dāng)DE//5C時(shí)，

則/AFB=ZD=90°,

/54F=90。—60。=30。,

tz=90°+15°=105°,

A5/=105

③當(dāng)時(shí)，

貝2二180。-30。=150。,

J5/=150,

J￡=30；

A

C

D

綜上，f=3或9或21或27或30.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角尺中角度的計(jì)算，解答此題的關(guān)鍵是通過(guò)畫(huà)圖，

確定旋轉(zhuǎn)后△/￡>￡的位置，還注意分類求解，避免遺漏.

易錯(cuò)點(diǎn)3：平行線的性質(zhì)與判定

例：如圖，AB//CD,N/=N3C。，點(diǎn)M是邊/。上一點(diǎn)，連接打延長(zhǎng)5M、CD

交于點(diǎn)P.點(diǎn)N是邊BC上一點(diǎn)，連接MN,使得ZNMC=NMCN，作NNMP的平分線MQ

交CP于點(diǎn)。.若NCMQ=a,則/4W的度數(shù)用含a的式子表示為（）

A.180°-aB.1800-2aC.45°+aD.90°+a

【答案】B

【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義，設(shè)

=由平行線的性質(zhì)得出乙4=N/小，從而得出=,推出,

求出=即可得出答案，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)NNMC=x,

■：AB//CD,

NA=ZADP,

?1-N4=ZBCD,

ZAPD=ZBCD,

AD//BC,

■：ZNMC=ZNCM=x,

ZCMD=ZNCM=x,

平分NNMP,

AQMP=ZQMN=x+a,

ZPMD=ZPMQ+ZQMD=x+a+{a-x)=2tt,

ZAMP=180O-ZPMD=180°-2iz,

故選：B.

變式1：已知等腰直角AC=BC,ADIAC,CE=EF,延長(zhǎng)E/交8/延長(zhǎng)

線于點(diǎn)G,若GF=CD,48=6,AF=242,則GB的長(zhǎng)為.

【答案】8

【分析】如圖，延長(zhǎng)ZX4至點(diǎn)使=連接CM并延長(zhǎng)交8G的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,

連接MG,利用勾股定理求得/C=3也，從而可得。-=也，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)

得CW=C￡),從而可得CM=GF,再由等腰三角形的性質(zhì)可得=

ZDCA=ZCFE,從而可得NMCN=NC7詁，再根據(jù)對(duì)頂角相等可得NGE4=NMC4,

由平行線的判定可得C"〃尸G,從而可證四邊形CMG廠是平行四邊形，由平行四邊形

的性質(zhì)可得CFuMGue"，且C尸〃MG,再由平行線的性質(zhì)得NNA￡4=NNC8,

ZNMG=ZMCF,從而可得ZGMA=ZACB=90°,可證△MG4是等腰直角三角形，再

利用勾股定理即可求解.

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)D4至點(diǎn)使/M=4D,連接CN并延長(zhǎng)交8G的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)N,連接MG,

：是等腰直角三角形，43=6,

血AC=AB=6，

AC=36，

AF=2V2，

CF=g，

VACLAD,AM=AD,

：.CM=CD,

又：GF=CD,

：.CM=GF,

?：ACLAD,CMCD,

???/DCA=/MCA,

CE=EF,

：.ZDCA=NCFE,

???AMCA=ACFE,

又??,ZCFE=AGFA,

：.AGFA=AMCA,

：.CM//FG,

???四邊形CMGF是平行四邊形，

:?CF=MG=6，且CT7〃MG,

???ANMA=ZNCB,即ZNMG+ZGMA=ZMCF+ZACB,

???四邊形CMGF是平行四邊形，

???MG//CF,

：.ZNMG=ZMCF,

???ZGMA=ZACB=90°,

VZCAB=45°,ZCAD=90°,

???ZDAB=ZMAG=45°,

???△MG4是等腰直角三角形，

AG=42MG=2，

GB=GA+AB=2+6=8,

故答案為：8.

c

【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行

四邊形的判定與性質(zhì)、對(duì)頂角相等、平行線的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線，構(gòu)造平行

四邊形是解題的關(guān)鍵.

變式2：如圖，48是。。的直徑，C、。為O。上的點(diǎn)，且8C〃OD,過(guò)點(diǎn)。作。E148

于點(diǎn)E.

(1)求證：BD平分NABC；

(2)若BC=4,DE=3,求O。的半徑長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析

⑵而

【分析】(1)利用平行線的性質(zhì)得到=NCBD,根據(jù)半徑相等可得NO03=ZOBD,

等量代換得到ZOBD=ZCBD,進(jìn)而證得結(jié)論；

(2)過(guò)。點(diǎn)作O///3C于H,根據(jù)垂徑定理得到BH=CH=2,再證明AODE也ABOH

得到。E=08=3,然后利用勾股定理計(jì)算05的長(zhǎng)即可.

【詳解】(1)證明：：8C〃O。，

ZODB=ZCBD,

OB=OD,

：.AODB=ZOBD,

ZOBD=ZCBD,

：.BD平分/ABC；

(2)解：過(guò)。點(diǎn)作于H,如下圖，

?；BC=4,

,/DEIAB,OHIBC,

：.ZDEO=NOHB=90°,

??,OD//BC,

：./DOE=ZOBH,

在△ODE和△50〃中，

ZDEO=/OHB

</DOE=ZOBH,

OD=OB

：.AODE-BOH(AAS),

DE=OH=3,

在中，OB=yjBH2+OH2=722+32=V13，

即。。的半徑長(zhǎng)為屈.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、勾股定

理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵.

易錯(cuò)點(diǎn)4：平行線之間的距離

例：如圖，在^ABC中，點(diǎn)。、E、尸分別在45、4C、上，連接DE、EF,且DE〃BC,

AT)1

EF//AB,——二一.若四邊形3。石尸的面積為16,則V40E的面積為()

BD2

16

A.4B.—C.2D.——

75

【答案】A

【分析】本題考查了平行四邊形的判定和面積計(jì)算，三角形的面積計(jì)算，由。￡〃BC,

EF//AB得到四邊形BDEF為平行四邊形，利用平行四邊形BDEF與VADE同高即可求

解，利用平行四邊形與三角形同高找到面積的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)尸作,，于點(diǎn)”，

DE//BC,EF//AB,

四邊形BDE尸為平行四邊形,

,/四邊形ADEF的面積為16,

；.BDFH=16

'BD~1'

：.2AD-FH=16,

：.AD-FH=8,

：.S=-AD-FH=-x8=4,

"ADE22

故選：A.

變式1：如圖，已知六邊形4BCDE尸是。。的內(nèi)接正六邊形，的半徑為3cm,連接

04、OB、BF,則圖中陰影部分的面積是.

【答案】|Kcm2

【分析】本題考查的是圓的內(nèi)接多邊形的性質(zhì)，扇形的面積，如圖，連接N8,OF,OC,

證明邑加=冬救即可得到答案.

:六邊形/BCOEF是O。的內(nèi)接正六邊形,

ZAOF=ZAOB=ZBOC=60°,

/FOC=180°,F,O,C三點(diǎn)共線，

OA=OB,

：.”08為等邊三角形，

NOAB=ZAOF=60P,

AB//CF,

?C—c

,,2AABF-Q"OB，

.c_c_60兀x3?_3兀

..3陰影=3扇形=-嬴—=—cm2

3

故答案為：-Ttcm2

變式2：如圖2,是小朋友蕩秋千的側(cè)面示意圖，靜止時(shí)秋千位于鉛垂線8。上，轉(zhuǎn)軸2

到地面的距離8。=2.5m.樂(lè)樂(lè)在蕩秋千過(guò)程中，當(dāng)秋千擺動(dòng)到最高點(diǎn)/時(shí)，測(cè)得點(diǎn)N

到2D的距離/C=1.6m,點(diǎn)/到地面的距離/E=1.5m,當(dāng)他從/處擺動(dòng)到H處時(shí),

若_L,求A'到BD的距離.

圖1圖2

【答案】1m

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，作4尸1BD,

垂足為F,先證明N2=N3,再證明多AAFW(AAS),得到Hb=,證明AC//DE,

得至l]CD=4E=1.5m；則BC=8。-CD=l(m),貝l]H尸=l(m),即?到8。的距離是Im.

【詳解】解：作HF1BD,垂足為尸，

AC1BD,

：.ZACB=ZA'FB=90°,

在RM/'FS中，/1+/3=90。；

又：A'B1AB,

Z1+Z2=90°,

N2=N3；

在△NC3和△8E4,中，

AACB=ZA'FB

<Z2=Z3,

AB=A'B

???g△BT^(AAS)；

???AF=BC,

?.?ACLBD,DELBD

：.AC//DE,

?.?CDLAC,AELDE,

：.CD=AE=\.5m；

.?.BC=BD-CD=2.5-1.5=l(m),

：.ArF=l(m),

即H到AD的距離是Im.

圖形的軸對(duì)稱專題

易錯(cuò)點(diǎn)1:軸對(duì)稱的性質(zhì)

例：如圖所示三角形紙片N3C中，ZB=ZC,將紙片沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)C落

到邊上的￡點(diǎn)處，折痕為AD.再將紙片沿過(guò)點(diǎn)￡的直線折疊，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)。重

合，折痕為E/，若4E=2,則“3C的周長(zhǎng)為13,貝!尸長(zhǎng)為（）

A

【答案】B

【分析】本題考查翻折變換，根據(jù)等角對(duì)等邊可得Z8=/C,折疊的性質(zhì)得8C=5￡,

CD=DE=AE=2,AF=DF,再根據(jù)“3C的周長(zhǎng)為13,可得到關(guān)于小的方程，求解

即可.熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：三角形紙片48c中，/B=NC,

：.AB=AC,

:將紙片沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)C落到邊上的E點(diǎn)處，折痕為BD.再將紙片

沿過(guò)點(diǎn)￡的直線折疊，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)。重合，折痕為"，AE=2,

：?BC=BE,CD=DE=AE=2,AF=DF,

.?.AB=AC=AF+DF+CD=2AF+2,

又「AB=AE+BE=2+BC,

：.2+BC=2AF+2,

：.BC=2AF,

???小5C的周長(zhǎng)為13,

AB+AC+BC=13,

BP2/尸+2+2/尸+2+2/尸=13,

AF=1.5,

即AF長(zhǎng)為1.5.

故選：B.

變式1：如圖，梯形OZ3C中,5clM0,0(0,0),4(10,0)1(10,4),BC=2,G?,0)是底邊

CM上的動(dòng)點(diǎn).

(1)tanZCUC=；

(2)邊關(guān)于直線CG的對(duì)稱線段為MN,若MN與△CMC的其中一邊平行時(shí)，則

【答案】24或4指或10-2掂’

【分析】(1)根據(jù)/。/。=乙4c3,求出tan44cB即可.

(2)分①M(fèi)N||OA②MN||AC③MN||OC三種情形討論即可.

【詳解】(1)解：：BC//AO,

：.NOAC=ZACB,

?：AB=4,BC=2,

AR4

AtanZOAC=tanZACB=——=—=2.

BC2

故答案為2；

(2)解：情形①圖1中，當(dāng)時(shí)，作CZ)_LCM垂足為。,

■:NBCN=90°,CG平分ZBCN,

：.ZGCD=-ZBCN=45°,

2

4CGD是等腰直角三角形，

v0(0,0),/(10,0),300,4),BC=2,G(t,0),

:.OA=1Q,BC=DA=2,DG=CD=AB=4,

：.t=OG=OA-(DA+GD)=10-6=4.

情形②圖2中，MN//AC,

■:3cliNO,0(0,0),/(10,0),800,4),BC=2,G?,0),

??.C(8,4),

OC=A/