專題4.6解三角形【九大題型】

【新高考專用】

?熱點題型歸納

【題型1正、余弦定理求三角形的邊與角】.........................................................4

【題型2正、余弦定理判定三角形形狀】...........................................................4

【題型3正弦定理判定三角形解的個數1.....................................................................................5

【題型4證明三角形中的恒等式或不等式】.........................................................6

【題型5和三角形面積有關的問題】................................................................7

【題型6求三角形中的邊長或周長的最值或范圍】..................................................8

【題型7距離、高度、角度測量問題】............................................................10

【題型8求解平面幾何問題】.....................................................................11

【題型9三角函數與解三角形的交匯問題】........................................................13

?考情分析

1、三角恒等變換

考點要求真題統計考情分析

(1)掌握正弦定理、余弦定解三角形是高考的重點、熱點內容，

2022年新高考全國I卷、II卷:

理及其變形是每年高考必考內容之一.從近幾年的

第18題，12分

⑵理解三角形的面積公高考情況來看，正弦定理、余弦定理解

2023年新課標I卷、II卷：第

式并能應用三角形在選擇題、填空題中考查較多，

17題，10分

(3)能利用正弦定理、余弦也會出現在解答題中，在高考試題中出

2024年新課標I卷、II卷：第

定理解決一些簡單的三角現有關解三角形的試題大多數為較易

15題，13分

形度量問題題、中檔題.對于解答題，一是考查正弦

2024年全國甲卷(文數)：

(4)能夠運用正弦定理、余定理、余弦定理的簡單應用；二是考查

第12題，5分

弦定理等知識和方法解決正、余弦定理與三角形面積公式的綜合

2024年全國甲卷(理數)：

一些與測量和幾何計算有應用，有時也會與三角函數、平面向量

第11題，5分

關的實際問題等知識綜合命題，需要學生靈活求解.

?知識梳理

【知識點1解三角形幾類問題的解題策略】

1.正弦定理、余弦定理解三角形的兩大作用

(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素，基本思想是方程思想,

即根據正弦定理、余弦定理列出關于未知元素的方程，通過解方程求得未知元素。

(2)正弦定理、余弦定理的另一個作用是實現三角形邊角關系的互化，解題時可以把已知條件化為角的

三角函數關系，也可以把已知條件化為三角形邊的關系.

2.判定三角形形狀的途徑：

(1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關系；

(2)化角為邊，通過代數變形找出邊之間的關系，正(余)弦定理是轉化的橋梁.

無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項提取公因式，否則會有漏掉一種形狀的可能.注意

挖掘隱含條件，重視角的范圍對三角函數值的限制.

3.對三角形解的個數的研究

已知三角形的兩角和任意一邊，求其他的邊和角，此時有唯一解，三角形被唯一確定.

已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角，此時可能出現一解、兩解或無解的情況，三

角形不能被唯一確定.

(1)從代數的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角”時三角形解的情況，下面以已知

。力和N,解三角形為例加以說明.

由正弦定理、正弦函數的有界性及三角形的性質可得：

①若sin8=M4>l,則滿足條件的三角形的個數為0；

a

②若si吠"1=1,則滿足條件的三角形的個數為1;

③若sin2=*4<l,則滿足條件的三角形的個數為1或2.

a

顯然由0<sin3=/巴且<1可得8有兩個值，一個大于90。，一個小于90。，考慮至廣大邊對大角”、“三

a

角形內角和等于180。”等，此時需進行討論.

4.與三角形面積有關問題的解題策略：

(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關邊、角之后，直接求三角形的面積;

(2)把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結合求出三角形的其他量.

【知識點2測量問題的基本類型和解決思路】

1.測量距離問題的基本類型和解決方案

當4B的長度不可直接測量時，求的距離有以下三種類型：

類型簡圖計算方法

測得/C=6,BC=a,C的大小，則由余弦定理

A,B間不可達

也不可視得48=，/+〃—2abcosC

c

~―--------------4——

-----丁

測得B,。的大小，則上兀-伊+C),

與點4可

-1由正弦定理得/AosinC

視但不可達

sin(5+C)

BaC

AB測得CD=a及4BDC,UCD,〃CD,UDC的度

C,D與點,A,B一'、/一t數.在△NCD中，用正弦定理求/C；在△2CD

均可視不可達中，用正弦定理求2C;在9臺。中，用余弦

定理求NR

CaD

2.測量高度問題的基本類型和解決方案

當4B的高度不可直接測量時，求4B的高度有以下三種類型:

類型簡圖計算方法

底部

測得BC=a,C的大小，AB=a-tanC.

可達

測得CD=a及乙4cB與UDB的度數.

點、B與

先由正弦定理求出NC或/。，再解直角三角形

C,。共線

得48的值.

底

部

不

可

達

點B與測得CD=a及乙BCD,乙BDC,UCB的度數.

C,。不在△BCD中由正弦定理求得2C,再解直角三

共線角形得的值.

3.測量角度問題的解決方案

測量角度問題主要涉及光線(入射角、折射角)，海上、空中的追及與攔截，此時問題涉及方向角、方

位角等概念，若是觀察建筑物、山峰等，則會涉及俯角、仰角等概念.解決此類問題的關鍵是根據題意、圖

形及有關概念，確定所求的角在哪個三角形中，該三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.

【知識點3解三角形的應用的解題策略】

1.平面幾何中解三角形問題的求解思路

(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內利用正弦、余弦定理求解；

(2)尋找各個三角形之間的聯系，交叉使用公共條件，求出結果.

2.解三角形與三角函數的綜合應用

解三角形與三角函數的綜合應用主要體現在以下兩方面：

(1)利用三角恒等變換化簡三角函數式進行解三角形；

(2)解三角形與三角函數圖象和性質的綜合應用.

【方法技巧與總結】

1.三角形中的三角函數關系

(l)sin(^+5)=sinC；

(2)cos(N+8尸-cosC；

.A+BC

(3)sm---=cos—；

(4)cos/￥=siny.

2.三角形中的射影定理

在中，a=bcosC+ccosB；h=acosC+ccosA；C=ACOS/+QCOS注

3.在△/BC中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，

A>B。令a>b<=>sin4>sinB<=>

cosA<cosB.

?舉一反三

【題型I正、余弦定理求三角形的邊與角】

【例1】(2024?浙江紹興?三模)在△4BC中，內角/,B,C所對的邊分別為a,b,c.若2bcos(B+C)-a

cosC=ccosX,則/等于()

7T7T7T27r

A.%B.zC.§D,—

【變式1-1](2024?河南關B州?三模)△ABC的內角A5C所對的邊分別為a,b,c.若b=7,c=6,cos8=g,則口=

()

A.5B.6C.8D.10

【變式1-2](2024?江西九江?三模)在△ABC中，角4B,C所對的邊分別為a,6,c,已知2c-a=2bcosA,則8=

()

n712n5n

A.TB.TC.vD.—

。336

【變式1-3](2024?陜西安康?模擬預測)在△NBC中，三個內角4B,C所對的邊分別為a,b,c,且acos

(B+/)=bsin4若a=c=2,貝(J6=()

A.1B.2C.2V3D.4

【題型2正、余弦定理判定三角形形狀】

【例2】(2024?陜西渭南?三模)已知△ABC中，角/,B,C所對的邊分別是a,b,c,若bcosC+ccos

B=b,且。=區0$5,貝!J△ABC是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【變式2-1]（23-24高一下?廣東廣州?期中）在△4BC中，角/、B、C所對的邊為“、6、c若號=鬻，則

△力BC的形狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

【變式2-2]（2024?山東?二模）在△4BC中，設內角4B,C的對邊分別為a,hc,設甲：b-c=a（cosC-cos

B）,設乙：△4BC是直角三角形，則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【變式2-3】（2023?甘肅酒泉?三模）在△ABC中內角48,C的對邊分別為a,b,c,若q=鬻署，則△4BC的

sinrjcos/l

形狀為（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【題型3正弦定理判定三角形解的個數】

【例3】（2024?福建?模擬預測）在△ABC中，已知2=去a=2,若aABC有兩解，則（）

A.2<fa<4B.b>4C.2</?<4D.0<b<2

【變式3-1]（2023?貴州?模擬預測）△4BC中，角4SC的對邊分別是a,比c,4=60。,a=遮.若這個三角

形有兩解，則6的取值范圍是（）

A.V3</）<2B.V3</）<2

C.l<b<2V3D.l<b<2

【變式3-2]（2023?浙江?模擬預測）在△ABC中，角4B,C所對的邊分別為a,6,c.若B=緊=4,且該三角形

有兩解，貝!16的范圍是（）

A.（2V3,+oo）B.（28,4）

C.（0,4）D.（373,4）

【變式3-3]（2024?湖北?模擬預測）在△4BC中，已知=BC=2魚，C=^,若存在兩個這樣的三角

形力BC,貝漢的取值范圍是()

A.[2V2,+00)B.(0,2①C.(2,272)D.(V2,2)

【題型4證明三角形中的恒等式或不等式】

【例4】(2024?全國?模擬預測)在△4BC中，點。，E都是邊2C上且與2,C不重合的點，且點。在2,

￡之間，AE-AC-BD=ADAB-CE.

(1)求證：sinZ-BAD=sinzCXF.

⑵若AB1女，求證：盛+慈=匚』.

【變式4-1](2024?北京西城?二模)在△ABC中，2V^cos2q+2sin9cos￡=舊.

(1)求B的大??；

(2)若遍(a+c)=2b,證明：a=c.

【變式4?2】(2024?廣東?二模)如圖，已知A45C內有一點尸，滿足/尸/8=乙尸=4尸C4=a.

(1)證明：PBsinABC=ABsina.

(2)若4ABe=90°,AB=BC=1,求尸C

【變式4-3](2024?全國?模擬預測)在△4BC中，A<B<C,且tanA,tanB,tanC均為整數.

(1)求2的大小；

(2)設4C的中點為。，求證：BC=BD.

【題型5和三角形面積有關的問題】

【例5】(2024?西藏?模擬預測)已知△ABC的內角B,C的對邊分別為a,b,c,且26sin(a+》

—2a=c.

⑴求3;

(2)若N4BC的平分線交2C于點D,且BD=2,a=3,求△48C的面積.

【變式5-1](2024?遼寧?模擬預測)如圖，在平面內，四邊形4BCD滿足B,。點在AC的兩側，4B=1,

BC=2,△ACD為正三角形，設乙4BC=a.

D

(1)當a=三時，求4C；

(2)當a變化時，求四邊形A8CD面積的最大值.

【變式5-2](2024?四川攀枝花?三模)請在①2a—b=2ccosB,=tanC+tanB,@V3sin(X+B)=3-2

cos2^三個條件中選擇一個，補充在下面的問題中，并完成解答.

△A8C的內角所對的邊分別是a,6,c,已知.

(1)求角C

(2)若b=4,點。在邊48上，CD為N2CB的平分線，△CDB的面積為竽，求邊長a的值.

【變式5-3](2024?全國?模擬預測)記銳角三角形4BC的內角4B,C的對邊分別為a,b,c,己知bcosA=

V3—acosB,2asinC=V3.

(1)求4

(2)求△ABC面積的取值范圍.

【題型6求三角形中的邊長或周長的最值或范圍】

【例6】(2024?江西?模擬預測)在△ABC中，角4B,。所對的邊分別記為a,b,c,且tan2=

(1)若B=?求C的大小.

(2)若a=2,求b+c的取值范圍.

【變式6-1](2024?安徽淮北?二模)記△力BC的內角45C的對邊分別為a,b,c,已知c—b=Zcsii^

(1)試判斷△ABC的形狀；

(2)若c=l,求△ABC周長的最大值.

【變式6-2](2023?全國?模擬預測)在銳角三角形ABC中，內角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,且

3

sin2X—Zsin^cosBsinC+sin2c=

4

⑴求角B的值.

(2)求答的取值范圍.

【變式6-3](2023?湖南長沙?一模)在銳角△ABC中，角/,B,C所對應的邊分別為a,b,c,已知

sin?l—sinBsinC

V3a-ca+b*

(1)求角B的值；

(2)若a=2,求△4BC的周長的取值范圍.

【題型7距離、高度、角度測量問題】

【例7】（2024?湖南?模擬預測）湖南省衡陽市的來雁塔，始建于明萬歷十九年（1591年），因鴻雁南北遷

徙時常在境內停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布為重點文物保護單位.為測量來雁塔的高度，因地理

條件的限制，分別選擇C點和一建筑物的樓頂￡為測量觀測點，已知點/為塔底，在水平地面上，

來雁塔4B和建筑物DE均垂直于地面（如圖所示）.測得CD=18m/D=15m,在C點處測得E點的仰角

為30。，在￡點處測得8點的仰角為60。，則來雁塔的高度約為（）（舊=1.732,精確到0.1m）

A.35.0mB.36.4mC.38.4mD.39.6m

【變式7-1]（2024?貴州?模擬預測）如圖，甲秀樓位于貴州省貴陽市南明區甲秀路，是該市的標志性建筑

之一.甲秀樓始建于明朝，后樓毀重建，改名“鳳來閣”，清代甲秀樓多次重修，并恢復原名、現存建筑是宣

統元年（1909年）重建.甲秀樓上下三層，白石為欄，層層收進.某研究小組將測量甲秀樓最高點離地面的高

度，選取了與該樓底8在同一水平面內的兩個測量基點C與。，現測得NBCD=23。，^CDB=30°,

CD=11.2m,在C點測得甲秀樓頂端人的仰角為72.4。，則甲秀樓的高度約為（參考數據：tan72.4°?3.15,

sin53°?0.8）（）

D

A.20mB.21mC.22mD.23m

【變式7-2]（23-24高一下?浙江溫州?期中）如圖，在坡度一定的山坡&處測得山頂上一建筑物CD的頂端C

對于山坡的斜度為15。，向山頂前進100m到達B處，在B處測得C對于山坡的斜度為45。.若CD=50m,山坡

與地平面的夾角為e,則cos。等于（）

A.￥B.亨C.1D.Vs_1

【變式7-3]（2024?全國?模擬預測）小明同學為了估算位于哈爾濱的索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的

正東方向找到一座建筑物4B,高為10（3-B）m,在它們之間的地面上的點M（B,M,。三點共線）處測得

樓頂4教堂頂C的仰角分別是15。和60。,在樓頂4處測得塔頂C的仰角為30。，則小明估算索菲亞教堂的高度

為（）

A.60mD.30m

【題型8求解平面幾何問題】

【例8】（2023?河南?模擬預測）如圖,在四邊形48CD中，AB1BC/ADC=120°,71B=CD=2AD,AACD

的面積為冬

⑴求sin44B；

(2)證明：Z-CAB=2LCAD.

【變式8-1](2023?河南信陽?模擬預測)在△ABC中，ABAC=60。，△4BC的面積為10舊，D為BC的中

點，￡^147于點瓦。尸148于點尸.

(1)求的面積；

(2)若4。=等，求sinN力BC+sin/ACB的值.

【變式8-2](2024?陜西西安?一模)已知平面四邊形ABCD的對角線分別為AC,BD,其中反=次瓦sin/BA。?

tanZ.ABD=sinZ.ABD-sinZ.ADB.

(1)探究：△AB。是否為直角三角形；若是.請說明哪個角為直角，若不是，請給出相關理由；

(2)記平面四邊形4BCD的面積為S,若|沆|=2,且恒有S<4,求實數力的取值范圍.

【變式8-3](2023?山西呂梁?二模)如圖，在平面四邊形4BCD中，/2=135。，AB=2,乙4BO的平分線

交于點E,且BE=2近.

⑴求“BE及BD；

(2)若NBCD=60。，求△BCD周長的最大值.

【題型9三角函數與解三角形的交匯問題】

【例9】(2023?湖南?模擬預測)已知函數/(x)=2V§sinxcos久-2cos2久.

(1)求函數y=Iog2/(X)的定義域和值域；

(2)已知銳角△48C的三個內角分別為4,B,C,若/(勺=0,求手的最大值.

【變式9-1](2024?全國?模擬預測)已知函數/'(久)=si吟一gsi碌o或+1.

(1)求函數y=f(x)的單調遞減區間；

(2)在△4BC中，內角B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足。2-。2=accosB-加，求/'(B)的取值范圍.

【變式9-2](23-24高一下?四川巴中?期末)已知函數/(x)=2sin(s+9)(3〉0,—]<0<鄉的部分圖象

如圖所示.

(2)在銳角△4BC中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,若/⑷=板，b=2,且△力BC的面積為竽,

求a.

【變式9-3](2024?北京?三模)已知函數/(%)=2V3sin6oxcos6)x+2cos23%,?>0)的最小正周期為n.

⑴求切的值；

(2)在銳角△ABC中，角/,B,C所對的邊分別為a,b,c.c為/(%)在[。,4上的最大值，再從條件①、條件

②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求力的取值范圍.條件①：acosB+bcosA=2ccosC；條件

②：2asinAcosB+bsin2A=遮口；條件③：△ABC的面積為S,且5=①竽二2注：如果選擇多個條件

分別解答，按第一個條件計分.

?過關測試

一、單選題

1.(2024?江西贛州?二模)記△ABC的內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,若b=l,a2-l=c(c-l),

則4=()

5n

2.（2024?貴州六盤水?三模）在△4BC中，2B=2,2C=3,乙4=己，則△ABC外接圓的半徑為（）

A.立B.@C.也D.源

3333

3.（2024?北京海淀?二模）在△4BC中，4B=4/C=5,cosC=1,貝IJ8C的長為（）

A.6或|B.6C.3+3V2D.3

1

4.（2024?寧夏銀川?三模）△ABC的內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=4,sinC=",若△ABC

有兩解，則C的取值可能為（）

A.3B.4C.5D.6

2

5.（2024?重慶?模擬預測）記△4BC的內角4B,C的對邊分別為a,hc,若B=尹力=6必2+c2=3ac,則4ABC

的面積為（）

4竽B.|C.竽D.1

6.（2024?陜西西安?模擬預測）在100m高的樓頂4處，測得正西方向地面上B、C兩點（B、C與樓底在同一

水平面上）的俯角分別是75。和15。，則B、C兩點之間的距離為（）.

A.200V2B.240V2C.180V3D.200V3

7.（2024?四川成都?模擬預測）設銳角△ABC的三個內角AB,C的對邊分別為a,6,c,且c=2,B=2C,貝必+6

的取值范圍為（）

A.（2,10）B.（2+2V2,10）C.（2+2V2,4+2V3）D.（4+2百,10）

8.（2024?山東聊城?二模）如圖，在平面四邊形力BCD中，AB=AD=2,zB=2zD=120°,記△ABC與△力CD

的面積分別為S1S2,則S2-S1的值為（）

A

A.2B.V3C.1D.孚

二、多選題

9.（2024?遼寧沈陽?模擬預測）在△ABC中，角4、B、C的對邊分別為a、b、c,且已知a=2,貝|（）

A.若力=45°,且△4BC有兩解，貝伊的取值范圍是（2,2偽

B.若4=45。，且6=4,則△2BC恰有一解.

C.若c=3,且△力BC為鈍角三角形，則b的取值范圍是（后,5）

D.若c=3,且△ABC為銳角三角形，貝拈的取值范圍是（而,而）

10.（2024?福建泉州?模擬預測）△4BC中，內角N,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知a=2,AABC

的面積S=穿亞?尼，則以下說法正確的是（）

A.A=30°

B.△ABC的周長的最大值為6

C.若be=4,則△ABC為正三角形

D.若4B邊上的中線長等于竽，貝口=舊

11.（2024?河北邯鄲?三模）已知△4BC的三個內角4,B,C的對邊分別是a,b,c,面積為哼

（a2+c2-房），則下列說法正確的是（）

A.cosAcosC的取值范圍是（一，

B.若。為邊4C的中點，且BD=1,則△ABC的面積的最大值為手

C.若△4BC是銳角三角形，貝嚀的取值范圍是0,2）

D.若角B的平分線BE與邊4C相交于點E,且BE=8，貝|a+4c的最小值為10

三、填空題

12.（2024?新疆?三模）在△ABC中，3sinX=2sinC,cosB=5則sinA=.

13.（2024?寧夏石嘴山?模擬預測）海寶塔位于銀川市興慶區，始建于北朝晚期，是一座方形樓閣式磚塔,

內有木梯可盤旋登至頂層，極目遠眺，巍巍賀蘭山，綿綿黃河水，塞上江南景色盡收眼底.如圖所示，為了

測量海寶塔的高度，某同學(身高173cm)在點力處測得塔頂D的仰角為45°,然后沿點4向塔的正前方走了

38m到達點B處，此時測得塔頂。的仰角為75°,據此可估計海寶塔的高度約為m.(計算結果精確到

0.1)

14.(2024?陜西安康?模擬預測)如圖，平面四邊形力BCD中，AB=3,AC=2BC,AD=DC.^ADC=90°,則

四邊形4BCD面積的最大值為.

四、解答題

15.(2024?云南?模擬預測)在△4BC中，角4B,C所對的邊分別為a,6,c,且滿足cos^gsi吟一cos])=a

⑴求角4

(2)D為邊BC上一點，DA1BA,且BD=4DC,求cosC.

16.(2024?陜西安康?模擬預測)在△ABC中，角45。的對邊分別是a,b,c,tanC=(a—l)tanB.

(1)求證：bcosC=1；

(2)若a=2,△ABC面積為1,求邊c的長.

17.(2024?安徽合肥?三模)如圖，某人開車在山腳下水平公路上自4向B行駛，在4處測得山頂P處的仰角

"2。=30。,該車以45km/h的速度勻速行駛4分鐘后，到達B處,此時測得仰角NPB。=45。,且cos乙4OB=-

V3

V'

(1)求此山的高。P的值;

(2)求該車從a到B行駛過程中觀測p點的仰角正切值的最大值.

18.(2024?遼寧?模擬預測)已知△ABC的內角4B,C的對邊分別為a,6,c,(c—V^b)sinC=(a—b)

(sinZ+sinB).

(1)求4

(2)若△ABC為銳角三角形，且b=6,求△ABC的周長/的取值范圍.

19.(2024?黑龍江大慶?模擬預測)某公園計劃改造一塊四邊形區域/BCD鋪設草坪，其中4B=2百米，BC=1

百米，AD=CD,ADLCD,草坪內需要規劃4條人行道DM、DN、EM、EN以及兩條排水溝NC、BD,其

中〃、N、E分別為邊BC、AB、NC的中點.

(1)若乙4BC=*求排水溝助的長;

(2)若乙4BC=a,試用a表不4條人行道的總長度.

專題4.6解三角形【九大題型】

【新高考專用】

?熱點題型歸納

【題型1正、余弦定理求三角形的邊與角】.........................................................4

【題型2正、余弦定理判定三角形形狀】...........................................................6

【題型3正弦定理判定三角形解的個數1.....................................................................................7

【題型4證明三角形中的恒等式或不等式】.........................................................9

【題型5和三角形面積有關的問題】...............................................................13

【題型6求三角形中的邊長或周長的最值或范圍】.................................................17

【題型7距離、高度、角度測量問題】............................................................20

【題型8求解平面幾何問題】.....................................................................23

【題型9三角函數與解三角形的交匯問題】........................................................27

?考情分析

1、三角恒等變換

考點要求真題統計考情分析

(1)掌握正弦定理、余弦定解三角形是高考的重點、熱點內容，

2022年新高考全國I卷、II卷:

理及其變形是每年高考必考內容之一.從近幾年的

第18題，12分

⑵理解三角形的面積公高考情況來看，正弦定理、余弦定理解

2023年新課標I卷、II卷：第

式并能應用三角形在選擇題、填空題中考查較多，

17題，10分

(3)能利用正弦定理、余弦也會出現在解答題中，在高考試題中出

2024年新課標I卷、II卷：第

定理解決一些簡單的三角現有關解三角形的試題大多數為較易

15題，13分

形度量問題題、中檔題.對于解答題，一是考查正弦

2024年全國甲卷(文數)：

(4)能夠運用正弦定理、余定理、余弦定理的簡單應用；二是考查

第12題，5分

弦定理等知識和方法解決正、余弦定理與三角形面積公式的綜合

2024年全國甲卷(理數)：

一些與測量和幾何計算有應用，有時也會與三角函數、平面向量

第11題，5分

關的實際問題等知識綜合命題，需要學生靈活求解.

?知識梳理

【知識點1解三角形幾類問題的解題策略】

1.正弦定理、余弦定理解三角形的兩大作用

(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素，基本思想是方程思想,

即根據正弦定理、余弦定理列出關于未知元素的方程，通過解方程求得未知元素。

(2)正弦定理、余弦定理的另一個作用是實現三角形邊角關系的互化，解題時可以把已知條件化為角的

三角函數關系，也可以把已知條件化為三角形邊的關系.

2.判定三角形形狀的途徑：

(1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關系；

(2)化角為邊，通過代數變形找出邊之間的關系，正(余)弦定理是轉化的橋梁.

無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項提取公因式，否則會有漏掉一種形狀的可能.注意

挖掘隱含條件，重視角的范圍對三角函數值的限制.

3.對三角形解的個數的研究

已知三角形的兩角和任意一邊，求其他的邊和角，此時有唯一解，三角形被唯一確定.

已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角，此時可能出現一解、兩解或無解的情況，三

角形不能被唯一確定.

(1)從代數的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角”時三角形解的情況，下面以已知

。力和N,解三角形為例加以說明.

由正弦定理、正弦函數的有界性及三角形的性質可得：

①若sin8=M4>l,則滿足條件的三角形的個數為0；

a

②若si吠"1=1,則滿足條件的三角形的個數為1;

③若sin2=*4<l,則滿足條件的三角形的個數為1或2.

a

顯然由0<sin3=/巴且<1可得8有兩個值，一個大于90。，一個小于90。，考慮至廣大邊對大角”、“三

a

角形內角和等于180?！钡?，此時需進行討論.

4.與三角形面積有關問題的解題策略：

(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關邊、角之后，直接求三角形的面積;

(2)把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結合求出三角形的其他量.

【知識點2測量問題的基本類型和解決思路】

1.測量距離問題的基本類型和解決方案

當4B的長度不可直接測量時，求的距離有以下三種類型：

類型簡圖計算方法

測得/C=6,BC=a,C的大小，則由余弦定理

A,B間不可達

也不可視得48=，/+〃—2abcosC

c

~―--------------4——

-----丁

測得B,。的大小，則上兀-伊+C),

與點4可

-1由正弦定理得/AosinC

視但不可達

sin(5+C)

BaC

AB測得CD=a及4BDC,UCD,〃CD,UDC的度

C,D與點,A,B一'、/一t數.在△NCD中，用正弦定理求/C；在△2CD

均可視不可達中，用正弦定理求2C;在9臺。中，用余弦

定理求NR

CaD

2.測量高度問題的基本類型和解決方案

當4B的高度不可直接測量時，求4B的高度有以下三種類型:

類型簡圖計算方法

底部

測得BC=a,C的大小，AB=a-tanC.

可達

測得CD=a及乙4cB與UDB的度數.

點、B與

先由正弦定理求出NC或/。，再解直角三角形

C,。共線

得48的值.

底

部

不

可

達

點B與測得CD=a及乙BCD,乙BDC,UCB的度數.

C,。不在△BCD中由正弦定理求得2C,再解直角三

共線角形得的值.

3.測量角度問題的解決方案

測量角度問題主要涉及光線(入射角、折射角)，海上、空中的追及與攔截，此時問題涉及方向角、方

位角等概念，若是觀察建筑物、山峰等，則會涉及俯角、仰角等概念.解決此類問題的關鍵是根據題意、圖

形及有關概念，確定所求的角在哪個三角形中，該三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.

【知識點3解三角形的應用的解題策略】

1.平面幾何中解三角形問題的求解思路

(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內利用正弦、余弦定理求解；

(2)尋找各個三角形之間的聯系，交叉使用公共條件，求出結果.

2.解三角形與三角函數的綜合應用

解三角形與三角函數的綜合應用主要體現在以下兩方面：

(1)利用三角恒等變換化簡三角函數式進行解三角形；

(2)解三角形與三角函數圖象和性質的綜合應用.

【方法技巧與總結】

1.三角形中的三角函數關系

(l)sin(^+5)=sinC；

(2)cos(N+8尸-cosC；

.A+BC

(3)sm---=cos—；

(4)cos/￥=siny.

2.三角形中的射影定理

在中，a=bcosC+ccosB；h=acosC+ccosA；C=ACOS/+QCOS注

3.在△/BC中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，

A>B。令a>b<=>sin4>sinB<=>

cosA<cosB.

?舉一反三

【題型1正、余弦定理求三角形的邊與角】

【例1】(2024?浙江紹興?三模)在△4BC中，內角力,B,C所對的邊分別為a,b,c.若2bcos(B+C)-a

cosC=ccosX,則/等于()

7T7T7T27r

A.%B.zC.§D,—

【解題思路】本題先根據誘導公式對條件式進行化簡，再用余弦定理進行邊角互化，即可得出答案.

【解答過程】因為2bcos(B+C)—acosC=ccosA,所以2bcos(ir_4)=acosC+ccosA,

即一2bcos/=acosC+ccos/,

如圖，過5點作8014c于可知acosC+ccos/=b,

所以—2bcos/=b,

所以cos/=又4E(O^ir),所以4=竽.

故選：D.

【變式1-1](2024?河南鄭州?三模)△48C的內角4B,C所對的邊分別為a,b,c.若b=7,c=6,cosB=",則口=

A.5B.6C.8D.10

【解題思路】直接由余弦定理的變形式解出即可.

【解答過程】在△4BC中，由余弦定理可得：cosB=*X=丘浮”=]

2acIZa5

化簡得：5a2-12a-65=0,解得：。=5或。=一得(舍).

故選：A.

【變式1?2】(2024?江西九江?三模)在△ABC中，角所對的邊分別為2瓦c,已知2c—a=2bcos4則8=

()

A.￡B.C.vD.

。336

【解題思路】運用正弦定理進行邊角互化，結合誘導公式以及兩角和的正弦公式即可解決.

【解答過程】因為2c-a=2bcos4

由正弦定理，2sinC-sinZ=2sinBcosA

因為4+B+C=IT,???2sin(>l+B)-2sin^coSi4