學(xué)年揭陽市惠來一中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次段考試卷滿分150分，時間120分鐘一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題紿岀的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．1 B．2 C． D．43．設(shè)的平均數(shù)為與的平均數(shù)為與的平均數(shù)為.若，則與的大小關(guān)系是（

）A．B．C．D．不能確定4．已知某圓錐的側(cè)面積為，軸截面面積為1，則該圓錐的母線與底面所成的角為（

）A． B． C． D．5．小剛參與一種答題游戲，需要解答A，B，C三道題.已知他答對這三道題的概率分別為，，，且各題答對與否互不影響，若他恰好能答對兩道題的概率為，則他三道題都答錯的概率為（

）A． B． C． D．6．已知，，且恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．如圖，邊長為2的正方形沿對角線折疊，使，則三棱錐的體積為（

）

A． B． C． D．48．是定義在R上的函數(shù)，若，且對任意，滿足，，則（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．2026二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多頂符合題目要求。全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選頂，每選對一個得3分;若只有3個正確選項，每選對一個得2分。9．已知向量，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．向量與向量的夾角為B．C．向量在向量上的投影向量為D．向量與向量，共面10．把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到的函數(shù)是一個奇函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的最小正周期為B．C．當(dāng)時，的值域為D．若方程在區(qū)間上恰有六個不等實根，則實數(shù)m的取值范圍為11．如圖，點是棱長為2的正方體的表面上一個動點，則（

）A．當(dāng)在平面上運動時，四棱錐的體積不變B．當(dāng)在線段上運動時，與所成角的取值范圍是C．若是的中點，當(dāng)在底面上運動，且滿足平面時，長度的最小值是D．使直線與平面所成的角為的點P的軌跡長度為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計15分.12．電影《孤注一擲》的上映引發(fā)了電信詐騙問題熱議，也加大了各個社區(qū)反電信詐騙的宣傳力度.已知某社區(qū)共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年齡進行等比例的分層隨機抽樣，共抽取36人作為代表，則中年人比青少年多人13．邢臺一中高二年級研究性學(xué)習(xí)小組為了實地測量某塔的高度，選取與塔底中心O在同一個水平面內(nèi)的兩個測量基點A與B，在A點測得：塔頂P的仰角為45°，O在A的北偏東60°處，B在A的正東方向36米處，且在B點測得O與A的張角為45°，則此塔的高度約為米（四舍五入，保留整數(shù).參考數(shù)據(jù)：，）.14．已知函數(shù)若關(guān)于x的方程有4個解，分別為，，，，其中，則，的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共計77分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知空間中三點，設(shè)(1)已知，求的值；(2)若，且，求的坐標(biāo).16．已知的內(nèi)角所對的邊分別是.(1)求角；(2)若外接圓的面積為，且為銳角三角形，求周長的取值范圍.17．某年級數(shù)學(xué)興趣小組組織游戲闖關(guān)活動，共設(shè)置了20道數(shù)學(xué)問題，滿分100分.結(jié)束后在所有的答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績分成六段：，，……，90,100，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中a的值，并估計該年級全體學(xué)生這次數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)；(2)活動中，甲、乙兩位同學(xué)獨立參加競賽，已知甲同學(xué)答對了12道，乙同學(xué)答對了8道，假設(shè)每道數(shù)學(xué)問題難度相當(dāng)，被答對的可能性都相同.任選一道數(shù)學(xué)問題，求甲、乙兩位同學(xué)恰有一人答對的概率.18．《九章算術(shù)》是我國古代的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱．如圖，在塹堵中，，，，，為棱的中點，為棱的中點．(1)證明：平面平面；(2)求二面角的正切值；(3)求與平面所成角的正弦值．19．已知是指數(shù)函數(shù)，且過點是定義域為的奇函數(shù)(1)求的值；(2)若存在，使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)若函數(shù)恰有2個零點，求實數(shù)的取值范圍參考答案：題號12345678910答案DCBCCBCCABDBCD題號11答案ABD1．D【分析】先求得集合，再根據(jù)交集的定義求解即可．【詳解】由題可知，，所以，故選：D．2．C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運算求得，進而求得.【詳解】由得，兩邊乘以得，所以.故選：C3．B【分析】根據(jù)題意可得，利用作差法比較大小.【詳解】由題意可知：，則，因為，則，可得，即.故選：B.4．C【分析】設(shè)相應(yīng)長度，根據(jù)圓錐的側(cè)面積和軸截面面積列式可得，再結(jié)合線面夾角運算求解.【詳解】設(shè)圓錐的母線為，底面半徑為，高為，由題意可得：，解得，設(shè)該圓錐的母線與底面所成的角為，則，可得，所以該圓錐的母線與底面所成的角為.故選：C.5．C【分析】根據(jù)條件，先求的有關(guān)值，再求對應(yīng)事件的概率.【詳解】記小剛解答A，B，C三道題正確分別為事件D，E，F(xiàn)，且D，E，F(xiàn)相互獨立，且.恰好能答對兩道題為事件，且兩兩互斥，所以，整理得，他三道題都答錯為事件，故.故選：C.6．B【分析】先利用“1”的代換求得的最小值，再由求解.【詳解】解：設(shè)，則，解得，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為2，又因為對，，且恒成立，所以，故選：B7．C【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的數(shù)量積求出，再利用三棱錐體積公式計算即得.【詳解】取中點，連接，則，而平面，于是平面，，，又，則，解得，，而，則，，所以三棱錐的體積為.故選：C

8．C【分析】首先推導(dǎo)出，從而得到，再根據(jù)計算可得.【詳解】因為，即，所以，又，所以，所以.故選：C9．ABD【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得出向量夾角可判斷A；由向量相乘為0可得向量垂直B正確；根據(jù)投影向量的定義可計算出投影向量為所以C錯誤，得出向量共面判斷D.【詳解】因為，所以，可得，則向量與向量的夾角為，故A正確；因為，所以，即B正確；根據(jù)投影向量的定義可知，向量在向量上的投影向量為，所以C錯誤；由向量，，，可知，向量與向量，共面，所以D正確.故選：ABD10．BCD【分析】根據(jù)三角恒等變換化簡，即可利用平移以及奇函數(shù)的性質(zhì)求解，由周期公式即可求解A，代入驗證即可求解B，利用整體法求解即可判斷CD.【詳解】由，得，故，由于為奇函數(shù)，故，由于，故取，則，故，對于A，最小正周期為，A錯誤，對于B，由于，故B正確，對于C，當(dāng)時，則，故，故的值域為1,2，C正確，對于D，時，則，要使在區(qū)間上恰有六個不等實根，則，解得，故D正確，

故選：BCD11．ABD【分析】A選項，考慮錐體的底面積、高均未變，故體積不變；B選項，找出異面直線所成的角，在三角形中判斷角的大小；CD選項，找到點軌跡，計算可得.【詳解】對A：如圖：

當(dāng)在平面上運動時，四棱錐的底面面積為定值4，高為點到平面的距離為定值2，所以為定值.故A正確；對B：如圖

當(dāng)在線段上運動時，與所成角就是與所成的角，因為為等邊三角形，所以當(dāng)點與線段的端點重合時，與所成的角最小，為，當(dāng)點為線段中點時，與所成的角最大，為.故B正確；對C：如圖：

因為是的中點，當(dāng)在底面上運動，且滿足平面時，所在的平面為如圖正六邊形，正六邊形的邊長為，當(dāng)點與中點重合時，最小，為.故C錯誤；對D：如圖：

使直線與平面所成的角為的點P的軌跡為對角線、以及平面內(nèi)以為圓心，以2為半徑的圓的，故點的軌跡長度為：.故D正確.故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：與立體幾何有關(guān)的軌跡問題，關(guān)鍵是要弄清楚動點的軌跡形狀.12．9【分析】根據(jù)題意可以計算出分層隨機抽樣的抽樣比例，進而計算出中年人和青年人的人數(shù)，最后計算出中年人比青少年多多少個.【詳解】設(shè)中年人抽取人，青少年抽取人，由分層隨機抽樣可知，，解得，，故中年人比青少年多9人，故答案為：9.13．26【分析】中,運用正弦定理，先求出，再根據(jù)等腰直角三角形知識得到即可.【詳解】中，，,.所以.在中，運用正弦定理，可得，代入值求得，由于為等腰直角三角形，則，則此塔的高度約為米.故答案為：26.14．1【分析】作出圖象，將方程有4個解，轉(zhuǎn)化為圖象與圖象有4個交點，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得的、的范圍與關(guān)系，結(jié)合圖象，可得m的范圍，綜合分析，即可得答案.【詳解】作出圖象，由方程有4個解，可得圖象與圖象有4個交點，且，如圖所示：由圖象可知：且因為，所以，由，可得，因為，所以所以，整理得；當(dāng)時，令，可得，由韋達定理可得所以，因為且，所以或，則或，所以故答案為：1，．【點睛】解題的關(guān)鍵是將函數(shù)求解問題，轉(zhuǎn)化為圖象與圖象求交點問題，再結(jié)合二次函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可，考查數(shù)形結(jié)合，分析理解，計算化簡的能力，屬中檔題.15．【詳解】（1）因為，，所以，，又，所以，得到.（2）因為，又，所以，解得或，所以的坐標(biāo)為或.16．【詳解】（1）因為，所以由正弦定理得，化簡可得，由余弦定理得，因為為三角形內(nèi)角，B∈0,π，所以.（2）因為的外接圓面積為，故其外接圓半徑為，因為，所以由正弦定理可得故，所以，因為為銳角三角形，則，，即的周長的取值范圍為.17．【詳解】（1）由頻率分布直方圖有，解得，因為，所以中位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，設(shè)為x，則有，得，所以估計該校全體學(xué)生這次數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為75；（2）設(shè)“任選一道題，甲答對”，“任選一道題，乙答對”，“任選一道題，丙答對”，則由古典概型概率計算公式得：，，所以有，記“甲、乙兩位同學(xué)恰有一人答對”，則有，且有與互斥，因為每位同學(xué)獨立作答，所以A，B互相獨立，則A與，與B，與均相互獨立，所以，所以任選一道數(shù)學(xué)問題，求甲、乙兩位同學(xué)恰有一人答對的概率.18．【詳解】（1）由已知，，因為為棱的中點，為棱的中點，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，連接，因為，，因為為棱的中點，為棱的中點，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，，又，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面.（2）由已知平面，平面，所以，又，所以直線兩兩垂直，以點為原點，為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則A3,0,0，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則，所以，取，可得，，所以為平面的一個法向量，又為平面的法向量，設(shè)二面角的平面角為，所以，觀察可得，所以，所以，所以二面角的正切值為.（3）因為，，所以，因為平面平面，為平面的一個法向量，所以為平面的一個法向量，設(shè)與平面所成角為，所以，所以與平面所成角的正弦值為.19．【詳解】（1）設(shè)，函數(shù)過，代入，即，解