第九講幾何計數解析幾何的產生第一部分：趣味數學解析幾何的產生十六世紀以后，由于生產和科學技術的發展，天文、力學、航海等方面都對幾何學提出了新的需要。比如，德國天文學家開普勒發現行星是繞著太陽沿著橢圓軌道運行的，太陽處在這個橢圓的一個焦點上；意大利科學家伽利略發現投擲物體試驗著拋物線運動的。這些發現都涉及到圓錐曲線，要研究這些比較復雜的曲線，原先的一套方法顯然已經不適應了，這就導致了解析幾何的出現。1637年，法國的哲學家和數學家笛卡爾發表了他的著作《方法論》，這本書的后面有三篇附錄，一篇叫《折光學》，一篇叫《流星學》，一篇叫《幾何學》。當時的這個“幾何學”實際上指的是數學，就像我國古代“算術”和“數學”是一個意思一樣。笛卡爾的《幾何學》共分三卷，第一卷討論尺規作圖；第二卷是曲線的性質；第三卷是立體和“超立體”的作圖，但他實際是代數問題，探討方程的根的性質。后世的數學家和數學史學家都把笛卡爾的《幾何學》作為解析幾何的起點。從笛卡爾的《幾何學》中可以看出，笛卡爾的中心思想是建立起一種“普遍”的數學，把算術、代數、幾何統一起來。他設想，把任何數學問題化為一個代數問題，在把任何代數問題歸結到去解一個方程式。為了實現上述的設想，笛卡爾茨從天文和地理的經緯制度出發，指出平面上的點和實數對（x，y）的對應關系。x，y的不同數值可以確定平面上許多不同的點，這樣就可以用代數的方法研究曲線的性質。這就是解析幾何的基本思想。具體地說，平面解析幾何的基本思想有兩個要點：第一，在平面建立坐標系，一點的坐標與一組有序的實數對相對應；第二，在平面上建立了坐標系后，平面上的一條曲線就可由帶兩個變數的一個代數方程來表示了。從這里可以看到，運用坐標法不僅可以把幾何問題通過代數的方法解決，而且還把變量、函數以及數和形等重要概念密切聯系了起來。解析幾何的產生并不是偶然的。在笛卡爾寫《幾何學》以前，就有許多學者研究過用兩條相交直線作為一種坐標系；也有人在研究天文、地理的時候，提出了一點位置可由兩個“坐標”（經度和緯度）來確定。這些都對解析幾何的創建產生了很大的影響。在數學史上，一般認為和笛卡爾同時代的法國業余數學家費爾馬也是解析幾何的創建者之一，應該分享這門學科創建的榮譽。費爾馬是一個業余從事數學研究的學者，對數論、解析幾何、概率論三個方面都有重要貢獻。他性情謙和，好靜成癖，對自己所寫的“書”無意發表。但從他的通信中知道，他早在笛卡爾發表《幾何學》以前，就已寫了關于解析幾何的小文，就已經有了解析幾何的思想。只是直到1679年，費爾馬死后，他的思想和著述才從給友人的通信中公開發表。笛卡爾的《幾何學》，作為一本解析幾何的書來看，是不完整的，但重要的是引入了新的思想，為開辟數學新園地做出了貢獻。第二部分：奧數小練【例題1】求下列圖中線段長度的總和。（單位：厘米）【思路導航】要求圖中的線段長度總和，可以這樣計算：AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE=1+（1+4）+（1+4+2）+（1+4+2+3）+4+（4+2）+（4+2+3）+2+（2+3）=352厘米從上面的計算中可以發現這樣一個規律，算式中長1厘米的基本線段（我們把不能再劃分的線段稱為基本線段）出現了4次，長4厘米的線段出現了（3×2）次，長2厘米的線段出現了（2×3）次，長3厘米的線段出現了（1×4）次，所以，各線段長度的總和還可以這樣算：1×4+4×（3×2）+2×（2×3）+3×（1×4）=1×（5－1）+4×（5－2）×2+2×（5－3）×3+3×（5－4）×4=52厘米上式中的5是線段上的5個點，如果設線段上的點數為n，基本線段分別為a1、a2、…a(n－1)。以上各線段長度的總和為L，那么L=a1×(n－1)×1+a2×(n－2)×2+a3×(n－3)×3+…+a(n－1)×1×(n－1)。練習1：1.一條線段上有21個點（包括兩個端點），相鄰兩點的距離都是4厘米，所有線段長度的總和是多少？2.求下圖中所有線段的總和。（單位：米）3.求下圖中所有線段的總和。（單位：厘米）【例題2】數出下面圖中有多少條線段?！舅悸穼Ш健恳_解答這類問題，需要我們按照一定的順序來數，做到不重復，不遺漏。從圖中可以看出，從A點出發的不同線段有3條：AB、AC、AD；從B點出發的不同線段有2條：BC、BD；從C點出發的不同線段有1條：CD。因此，圖中共有3+2+1=6條線段。練習2：1.數出下列圖中有多少條線段。

2.如圖，線段AB＝5cm，點C、D、E在AB上，且AC＝BE＝1cm，求出圖中所有線段的長度和．(先弄清楚共有幾條線段，為防止遺漏或重復計數，經常采用按線段連結的數量進行計數，或用線段的一個端點為起點并按一個方向進行計數)3.如圖，在線段AB上任取D、C、E三個點，那么這個圖中共有幾條線段？【例題3】一條直線上有6個點,求幾條線段,幾條直線,幾條射線?【思路導航】假設這6個點依次是A、B、C、D、E、F

有15條線段：AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF

有1條直線：AF

有2條射線：端點分別是A和F練習3：1.10個點可以連成幾條線段？2.直線過100個點可以畫幾條線段？3.一個五角星有幾條線段？【例題4】從廣州到北京的某次快車中途要停靠8個大站，鐵路局要為這次快車準備多少種不同車的車票？這些車票中有多少種不同的票價？【思路導航】這道題是數線段的方法在實際生活中的應用，連同廣州、北京在內，這條鐵路上共有10個站，共有1+2+3+…+9=45條線段，因此要準備45種不同的車票。由于這些車站之間的距離各不相等，因此，有多少種不同的車票，就有多少種不同的票價，所以共有45種不同的票價。練習4：1.從上海到武漢的航運線上，有9個停靠碼頭，航運公司要為這段航運線準備多少種不同的船票？2.從上海至青島的某次直快列車，中途要?？?個大站，這次列車有幾種不同票價？3.從成都到南京的快車，中途要?？?個站，有幾種不同的票價？第三部分：數學史話中國古代數學在幾何學中的貢獻中國古代數學在幾何學中的貢獻中國是世界文明發達最早的國家之一，與古代埃及、印度、巴比倫并稱為四大文明古國．在綿延不斷的五千年文明史中，中華民族集累了極其豐富的文化遺產．在這個多姿多彩的歷史文化寶庫中，數學無疑是其中一顆特別璀璨的明珠．它在世界數學史上，乃至在整個人類文明發展史上都光彩奪目，具有極其重要的地位和價值．中國古代的數學成就如同造紙、火藥、指南針、印刷術這四大發明一樣，是中華民族對世界文明的一項重大貢獻，是值得炎黃子孫珍視的一份驕傲．幾何是一門古老的學科，它是在人們的生產和生活等實踐活動中逐步形成和發展起來的．“幾何”是一個翻譯名詞，由我國明代科學家徐光啟首先使用．但是我國古代勞動人民在長期的生產勞動和社會生活中早已積累了大量的幾何知識，其成就是十分突出的，如流傳至今的《墨經》、《周髀算經》、《九章算術》等自然科學和數學著作，都記載下了很多幾何方面的知識．(1)《墨經》(公元前480年～公元前390年)中，已經出現了最早的幾何學理論的雛形．把“圓”定義為“圓，一中同長也”．意思是：圓有而且僅有一個中心，從圓心到圓周上任何一點距離相等．這與歐氏的提法基本一致，但比歐氏要早100多年．(2)《周髀算經》(公元前100年前后)中，記載了勾股定理和開平方法，并用于天文觀測和計算．(3)《九章算術》(公元50年～100年或更早)，歷代數學家把它尊為“算經之首”．它的計算技術在當時的世界是第一流的，對古代的幾何學知識也作了比較系統的總結和闡發，它的成就主要表現在對各種平面圖形的面積計算，對各種立體圖形的體積計算，以及對勾股形的形容和應用這幾個方面．參考答案：練習1：1.(21-1)×4+(21-2)×8+(21-3)×12+.+(21-20)×80=4×(20×1+19×2+18×3+.+1×20)=6160

cm2.34米3.122厘米練習2：1.102.因為相鄰兩點所連的線段長度之和為5cm，間隔一個點的線段長度之和為5＋CE＝8cm，間隔兩個點的線段長度之和為4＋4＝8cm，間隔三個點的線段只有AB，其長度為5cm，所以所有線段的長度之和為26cm，也可以把所有線段寫出來，將線段的長度代入，長度不定的線段可以拼成長度一定的線段．3.解：以A為起點的線段有AC、AD、AE、AB四條.以D為起點的線段且與前不重復的有DE、DC、DB三條.以E為起點的線段且與前不重復的有EC、EB二條.以C為起點的線段并且與前不重復的有BC一條.因此圖中共有4+3+2+1=10條線段.

提示：只要有一個端點不相同，就是不同的線段.練習3：1.每兩個點都可以連一條線段,共有45條線段2.如果學過排列組合就可以直接求解。兩點就可以畫一條線段。所以在100個點中隨便選取兩個點的選法個數就是結果。即100選2……C(100，2)=4950

另外可以通過找規律來進行解答。

經過2點……1條

經過3點……3條=1+2

經過4點……6條=1+2+3

經過5點……10條=1+2+3+4

經過6點……15條=1+2+3+4+5

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..

由此可得規律

經過n點可以畫線段1+2+3+……